270 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi và nă ng khiếu toán THCS

270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 1 27 PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh 7 là số vô t ỉ. 2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá t rị nhỏ nhất của b iểu thức : S = x2 + y2. 4. a) Cho a 0, b 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : a b ab 2 + ≥ . b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm giá t rị nhỏ nhất của b iểu thức : M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá t rị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 7. Cho a, b , c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b b iết rằng : a b a b+ > − 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 10. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2 ) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11. Tìm các g iá trị của x sao cho : a) | 2x 3 | = | 1 x |b) x2 4x 5 c) 2x(2x 1) 2x 1. 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001. Với g iá trị nào của a và b thì M đạt g iá t rị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + 3. CMR giá t rị nhỏ nhất của P bằng 0. 15. Chứng minh rằng không có g iá trị nào của x, y , z thỏa mãn đẳng thức sau : x 2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 0 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 1A x 4x 9 = − + 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy t ính) : a) 7 15 và 7+ b) 17 5 1 và 45+ + c) 23 2 19 và 27 3 − d) 3 2 và 2 3 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô t ỉ lớn hơn 2 nhng nhỏ hơn 3 19. Giả i phương t rình : 2 2 23x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x+ + + + + = − − . 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. 21. Cho 1 1 1 1S .... ... 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1= + + + + +− + − . Hãy so sánh S và 19982. 1999 . 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 2 22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương th ì a là số vô tỉ. 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng : a) x y 2 y x + ≥ b) 2 2 2 2 x y x y 0 y x y x     + − + ≥       c) 4 4 2 2 4 4 2 2 x y x y x y 2 y x y x y x       + − + + + ≥           . 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ : a) 1 2+ b) 3m n + với m, n là các số hữu t ỉ, n 0. 25. Có hai số vô t ỉ dương nào mà tổng là số hữu t ỉ không ? 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 x y x y4 3 y x y x   + + ≥ +    . 27. Cho các số x, y, z dơng. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x + + ≥ + + . 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô t ỉ. 29. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2 ) c) (a1 + a2 + .. + an)2 n(a12 + a22 + .. + an2). 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b 2. 31. Chứng minh rằng : [ ] [ ] [ ]x y x y+ ≤ + . 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 1A x 6x 17 = − + . 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : x y zA y z x = + + với x, y, z > 0. 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 b iết x + y = 4. 35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z 0 ; x + y + z = 1. 36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu : a) ab và a b là số vô tỉ. b) a + b và a b là số hữu tỉ (a + b 0) c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b 0) 37. Cho a, b , c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) 38. Cho a, b , c, d > 0. Chứng minh : a b c d 2 b c c d d a a b + + + ≥ + + + + 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 3 39. Chứng minh rằng [ ]2x bằng [ ]2 x hoặc [ ]2 x 1+ 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n. Chứng minh rằng t rong các số đó, tồn tạ i hai số mà hai chữ số đầu t iên là 96. 41. Tìm các g iá trị của x để các b iểu thức sau có ngh ĩa : 2 2 2 1 1 1 2A= x 3 B C D E x 2x xx 4x 5 1 x 3x 2x 1 − = = = = + + − + − − − − − 2G 3x 1 5x 3 x x 1= − − − + + + 42. a) Chứng minh rằng : | A + B | | A | + | B | . Dấu = ” xảy ra khi nào ? b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 2 2M x 4x 4 x 6x 9= + + + − + . c) Giải phương trình : 2 2 24x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81+ + + − + = + + 43. Giả i phương t rình : 2 22x 8x 3 x 4x 5 12− − − − = . 44. Tìm các g iá trị của x để các b iểu thức sau có ngh ĩa : 2 2 2 1 1A x x 2 B C 2 1 9x D 1 3x x 5x 6 = + + = = − − = − − + 2 2 2 1 x E G x 2 H x 2x 3 3 1 x x 42x 1 x = = + − = − − + − −+ + 45. Giả i phương t rình : 2x 3x 0 x 3 − = − 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x x= + . 47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B 3 x x= − + 48. So sánh : a) 3 1a 2 3 và b= 2 + = + ; b) 5 13 4 3 và 3 1− + − c) n 2 n 1 và n+1 n+ − + − (n là số nguyên dương) 49. Với giá trị nào của x, b iểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : 2 2A 1 1 6x 9x (3x 1)= − − + + − . 50. Tính : a) 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2− + − 2 2d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1= + + + − + = + − + − − (n > 1) 51. Rút gọn biểu thức : 8 41M 45 4 41 45 4 41 = + + − . 52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : 2 2 2(2x y) (y 2) (x y z) 0− + − + + + = 53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2P 25x 20x 4 25x 30x 9= − + + − + . 54. Giả i các phương t rình sau : 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 4 2 2 2 2 2a) x x 2 x 2 0 b) x 1 1 x c) x x x x 2 0− − − − = − + = − + + − = 4 2 2d) x x 2x 1 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5− − + = + + + − = − + − = − 2 2 2h) x 2x 1 x 6x 9 1 i) x 5 2 x x 25− + + − + = + + − = − k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2+ − − + + − − = + + − = + + − 55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CM R: 2 2x y 2 2 x y + ≥ − . 56. Rút gọn các b iểu thức : a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1 c) 2 3 . 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2 + + + + − + − − + + + + + + − + + − + + 57. Chứng minh rằng 6 22 3 2 2 + = + . 58. Rút gọn các b iểu thức : ( ) ( )6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6 a) C b) D 2 3 + + + − − − + − − = = .59. So sánh : a) 6 20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và 2 1 c) 28 16 3 và 3 2+ + + − − 60. Cho biểu thức : 2A x x 4x 4= − − + a) Tìm tập xác định của biểu thức A. b) Rút gọn biểu thức A. 61. Rút gọn các b iểu thức sau : a) 11 2 10 b) 9 2 14− − 3 11 6 2 5 2 6 c) 2 6 2 5 7 2 10 + + − + + + − + 62. Cho a + b + c = 0 ; a, b , c 0. Chứng minh đẳng thức : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + 63. Giả i bất phương trình : 2x 16x 60 x 6− + < − . 64. Tìm x sao cho : 2 2x 3 3 x− + ≤ . 65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , b iết rằng : x 2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = 1 (1) 66. Tìm x để b iểu thức có nghĩa: 2 21 16 xa) A b) B x 8x 8 2x 1x 2x 1 − = = + − + + − − . 67. Cho biểu thức : 2 2 2 2 x x 2x x x 2xA x x 2x x x 2x + − − − = − − − + − . a) Tìm giá trị của x để b iểu thức A có nghĩa. 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 5 b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2. 68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : 0,9999....9 (20 chữ số 9) 69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - 2 | + | y 1 | với | x | + | y | = 5 70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1 71. Trong hai số : n n 2 và 2 n+1+ + (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ? 72. Cho biểu thức A 7 4 3 7 4 3= + + − . Tính giá trị của A theo hai cách. 73. Tính : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)+ + + − − + − + + 74. Chứng minh các số sau là số vô t ỉ : 3 5 ; 3 2 ; 2 2 3+ − + 75. Hãy so sánh hai số : a 3 3 3 và b=2 2 1= − − ; 5 12 5 và 2 + + 76. So sánh 4 7 4 7 2+ − − − và số 0. 77. Rút gọn biểu thức : 2 3 6 8 4Q 2 3 4 + + + + = + + . 78. Cho P 14 40 56 140= + + + . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai 79. Tính giá trị của b iểu thức x2 + y2 biết rằng : 2 2x 1 y y 1 x 1− + − = . 80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A 1 x 1 x= − + + . 81. Tìm giá trị lớn nhất của : ( )2M a b= + với a, b > 0 và a + b 1. 82. CMR trong các số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd+ − + − + − + − có ít nhất hai số d- ương (a, b, c, d > 0). 83. Rút gọn biểu thức : N 4 6 8 3 4 2 18= + + + . 84. Cho x y z xy yz zx+ + = + + , trong đó x, y , z > 0. Chứng minh x = y = z. 85. Cho a1, a2, , an > 0 và a1a2aan = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) 2n. 86. Chứng minh : ( )2a b 2 2(a b) ab+ ≥ + (a, b 0). 87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác th ì các đoạn thẳng có độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giác. 88. Rút gọn : a) 2 ab b aA b b − = − b) 2(x 2) 8x B 2 x x + − = − 89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có : 2 2 a 2 2 a 1 + ≥ + . Khi nào có đẳng thức ? 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 6 90. Tính : A 3 5 3 5= + + − bằng hai cách. 91. So sánh : a) 3 7 5 2 và 6,9 b) 13 12 và 7 6 5 + − − 92. Tính : 2 3 2 3P 2 2 3 2 2 3 + − = + + + − − . 93. Giả i phương t rình : x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2+ + − + − − − = . 94. Chứng minh rằng ta luôn có : n 1.3.5...(2n 1) 1 P 2.4.6...2n 2n 1 − = < + ; ∀n ∈ Z+ 95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì 2 2 a b a b b a + ≤ + . 96. Rút gọn biểu thức : A = 2 x 4(x 1) x 4(x 1) 1 . 1 x 1x 4(x 1) − − + + −   −  −  − − . 97. Chứng minh các đẳng thức sau : a b b a 1a) : a b ab a b + = − − (a, b > 0 ; a b) 14 7 15 5 1 a a a ab) : 2 c) 1 1 1 a 1 2 1 3 7 5 a 1 a 1      − − + − + = − + − = −     − − − + −     (a > 0). 98. Tính : a) 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48− − − + − + . c) 7 48 28 16 3 . 7 48 + − − +    . 99. So sánh : a) 3 5 và 15 b) 2 15 và 12 7+ + + 16 c) 18 19 và 9 d) và 5. 25 2 + 100. Cho hằng đẳng thức : 2 2 a a b a a b a b 2 2 + − − − ± = ± (a, b > 0 và a2 b > 0). Áp dụng kết quả để rút gọn : 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 a) ; b) 2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2 + − − + + − + + − − − + 2 10 30 2 2 6 2 c) : 2 10 2 2 3 1 + − − − − 101. Xác định giá trị các biểu thức sau : 2 2 2 2 xy x 1. y 1 a) A xy x 1. y 1 − − − = + − − với 1 1 1 1x a , y b 2 a 2 b     = + = +        (a > 1 ; b > 1) 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 7 a bx a bxb) B a bx a bx + + − = + − − với ( )2 2am x , m 1 b 1 m = < + . 102. Cho biểu thức 2 2 2x x 1P(x) 3x 4x 1 − − = − + a) Tìm tất cả các g iá t rị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x). b) Chứng minh rằng nếu x > 1 th ì P(x).P(- x) < 0. 103. Cho biểu thức 2 x 2 4 x 2 x 2 4 x 2A 4 4 1 x x + − − + + + − = − + . a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên. 104. Tìm giá t rị lớn nhất (nếu có) hoặc g iá t rị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau: 2a) 9 x b) x x (x 0) c) 1 2 x d) x 5 4− − > + − − − 2 2 1 e) 1 2 1 3x g) 2x 2x 5 h) 1 x 2x 5 i) 2x x 3 − − − + − − + + − + 105. Rút gọn biểu thức : A x 2x 1 x 2x 1= + − − − − , bằng ba cách ? 106. Rút gọn các biểu thức sau : a) 5 3 5 48 10 7 4 3+ − + b) 4 10 2 5 4 10 2 5 c) 94 42 5 94 42 5+ + + − + − − + . 107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b 0 ; a b a) ( )2a b a b 2 a a b+ ± − = ± − b ) 2 2 a a b a a b a b 2 2 + − − − ± = ± 108. Rút gọn biểu thức : A x 2 2x 4 x 2 2x 4= + − + − − 109. Tìm x và y sao cho : x y 2 x y 2+ − = + − 110. Chứng minh bất đẳng thức : ( ) ( )2 22 2 2 2a b c d a c b d+ + + ≥ + + + . 111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : 2 2 2a b c a b c b c c a a b 2 + + + + ≥ + + + . 112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh : a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b b c c a 6+ + + + + < + + + + + ≤ . 113. CM : ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2a c b c a d b d (a b)(c d)+ + + + + ≥ + + với a, b, c, d > 0. 114. Tìm giá t rị nhỏ nhất của : A x x= + . 115. Tìm giá t rị nhỏ nhất của : (x a)(x b)A x + + = . 116. Tìm giá t rị nhỏ nhất, g iá trị lớn nhất của A = 2x + 3y 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 8 biết 2x2 + 3y2 = 5. 117. Tìm giá t rị lớn nhất của A = x + 2 x− . 118. Giả i phương trình : x 1 5x 1 3x 2− − − = − 119. Giả i phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1 2+ − + − − = 120. Giả i phương trình : 2 23x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + = 121. Giả i phương trình : 2 2 23x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − − 122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 3 2 ; 2 2 3− + 123. Chứng minh x 2 4 x 2− + − ≤ . 124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học : 2 2 2 2a b . b c b(a c)+ + ≥ + với a, b , c > 0. 125. Chứng minh (a b)(c d) ac bd+ + ≥ + với a, b, c, d > 0. 126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b , c lập đợc thành một tam giác th ì các đoạn thẳng có độ dài a , b , c cũng lập đợc thành một tam giác. 127. Chứng minh 2(a b) a b a b b a 2 4 + + + ≥ + với a, b 0. 128. Chứng minh a b c 2 b c a c a b + + > + + + với a, b, c > 0. 129. Cho 2 2x 1 y y 1 x 1− + − = . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1. 130. Tìm giá t rị nhỏ nhất của A x 2 x 1 x 2 x 1= − − + + − 131. Tìm GTNN, GTLN của A 1 x 1 x= − + + . 132. Tìm giá t rị nhỏ nhất của 2 2A x 1 x 2x 5= + + − + 133. Tìm giá t rị nhỏ nhất của 2 2A x 4x 12 x 2x 3= − + + − − + + . 134. Tìm GTNN, GTLN của : ( )2 2a) A 2x 5 x b) A x 99 101 x= + − = + − 135. Tìm GTNN của A = x + y b iết x, y > 0 thỏa mãn a b 1 x y + = (a và b là hằng số dương). 136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1. 137. Tìm GTNN của xy yz zxA z x y = + + với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. 138. Tìm GTNN của 2 2 2x y zA x y y z z x = + + + + + biết x, y, z > 0 , xy yz zx 1+ + = . 139. Tìm giá t rị lớn nhất của : a) ( )2A a b= + với a, b > 0 , a + b 1 b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4 4 4B a b a c a d b c b d c d= + + + + + + + + + + + 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 9 với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. 140. Tìm giá t rị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4. 141. Tìm GTNN của b cA c d a b = + + + với b + c a + d ; b, c > 0 ; a, d 0. 142. Giả i các phương t rình sau : 2 2 a) x 5x 2 3x 12 0 b) x 4x 8 x 1 c) 4x 1 3x 4 1− − + = − = − + − + = d) x 1 x 1 2 e) x 2 x 1 x 1 1 g) x 2x 1 x 2x 1 2− − + = − − − − = + − + − − = h) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 i) x x 1 x 1+ − − + + − − = + + − = 2 2 2k) 1 x x x 1 l) 2x 8x 6 x 1 2x 2− − = − + + + − = + 2 2m) x 6 x 2 x 1 n) x 1 x 10 x 2 x 5+ = − − + + + = + + + ( )( )2o) x 1 x 3 2 x 1 x 3x 5 4 2x− + + + − − + = − p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 1 2 x 2+ + + + + − + = + + . 2 2q) 2x 9x 4 3 2x 1 2x 21x 11− + + − = + − 143. Rút gọn biểu thức : ( )( )A 2 2 5 3 2 18 20 2 2= − + − + . 144. Chứng minh rằng, ∀n ∈ Z+ , ta luôn có : ( )1 1 11 .... 2 n 1 12 3 n+ + + + > + − . 145. Trục căn thức ở mẫu : 1 1a) b) 1 2 5 x x 1+ + + + . 146. Tính : a) 5 3 29 6 20 b) 6 2 5 13 48 c) 5 3 29 12 5− − − + − + − − − 147. Cho ( )( )a 3 5. 3 5 10 2= − + − . Chứng minh rằng a là số tự nhiên . 148. Cho 3 2 2 3 2 2b 17 12 2 17 12 2 − + = − − + . b có phải là số tự nhiên không ? 149. Giả i các phương t rình sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) 3 1 x x 4 3 0 b) 3 1 x 2 3 1 x 3 3 5 x 5 x x 3 x 3 c) 2 d) x x 5 5 5 x x 3 − − + − = − = + − − − + − − = + − = − + − 150. Tính g iá trị của biểu thức : M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21= − + + − + − − 151. Rút gọn : 1 1 1 1A ... 1 2 2 3 3 4 n 1 n = + + + + + + + − + . 152. Cho biểu thức : 1 1 1 1P ... 2 3 3 4 4 5 2n 2n 1 = − + − + − − − − + a) Rút gọn P. b) P có phả i là số hữu t ỉ không ? 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 10 153. Tính : 1 1 1 1A ... 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 = + + + + + + + + . 154. Chứng minh : 1 1 11 ... n 2 3 n + + + + > . 155. Cho a 17 1= − . Hãy tính giá trị của b iểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000. 156. Chứng minh : a a 1 a 2 a 3− − < − − − (a 3) 157. Chứng minh : 2 1x x 0 2 − + > (x 0) 158. Tìm giá t rị lớn nhất của S x 1 y 2= − + − , biết x + y = 4. 159. Tính g iá trị của biểu thức sau với 3 1 2a 1 2aa : A 4 1 1 2a 1 1 2a + − = = + + + − − . 160. Chứng minh các đẳng thức sau : ( )( ) ( )a) 4 15 10 6 4 15 2 b) 4 2 2 6 2 3 1+ − − = + = + ( )( ) ( )2c) 3 5 3 5 10 2 8 d) 7 48 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 22− + − = + = + − + = − 161. Chứng minh các bất đẳng thức sau : 5 5 5 5 a) 27 6 48 b) 10 0 5 5 5 5 + − + > + − < − + 5 1 5 1 1 c) 3 4 2 0, 2 1,01 0 31 5 3 1 3 5   + − + − + − >   + + + −   2 3 1 2 3 3 3 1d) 3 2 0 2 6 2 6 2 6 2 6 2  + − − + + − + − >  + − +  e) 2 2 2 1 2 2 2 1 1,9 g) 17 12 2 2 3 1+ − + − − > + − > − ( ) ( ) 2 2 3 2 2h) 3 5 7 3 5 7 3 i) 0,84+ + −+ + − + + < < 162. Chứng minh rằng : 12 n 1 2 n 2 n 2 n 1 n + − < < − − . Từ đó suy ra: 1 1 12004 1 ... 2005 2 3 1006009 < + + + + < 163. Trục căn thức ở mẫu : 3 3 2 3 4 3 a) b) 2 3 6 8 4 2 2 4 + + + + + + + + . 164. Cho 3 2 3 2x và y= 3 2 3 2 + − = − + . Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2. 165. Chứng minh bất đẳng thức sau : 2002 2003 2002 2003 2003 2002 + > + . 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 11 166. Tính g iá trị của biểu thức : 2 2x 3xy yA x y 2 − + = + + với x 3 5 và y 3 5= + = − . 167. Giả i phương trình : 26x 3 3 2 x x x 1 x − = + − − − . 168. Giả i bất các pt : a) 13 3 5x 72 b) 10x 14 1 c) 2 2 2 2x 4 4 + ≥ − ≥ + + ≥ . 169. Rút gọn các biểu thức sau : a 1 a) A 5 3 29 12 5 b) B 1 a a(a 1) a a − = − − − = − + − + 2 2 2 2 2 2 x 3 2 x 9 x 5x 6 x 9 x c) C d) D 2x 6 x 9 3x x (x 2) 9 x + + − + + + − = = − + − − + + − 1 1 1 1E ... 1 2 2 3 3 4 24 25 = − + − − − − − − 170. Tìm GTNN và GTLN của b iểu thức 2 1A 2 3 x = − − . 171. Tìm giá t rị nhỏ nhất của 2 1A 1 x x = + − với 0 < x < 1. 172. Tìm GTLN của : a) A x 1 y 2= − + − biết x + y = 4 ; b) y 2x 1B x y −− = + 173. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997= − = − . So sánh a với b , số nào lớn hơn ? 174. Tìm GTNN, GTLN của : 2 2 1 a) A b) B x 2x 4 5 2 6 x = = − + + + − . 175. Tìm giá t rị lớn nhất của 2A x 1 x= − . 176. Tìm giá t rị lớn nhất của A = | x y | b iết x2 + 4y2 = 1. 177. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 b iết x, y 0 ; x2 + y2 = 1. 178. Tìm GTNN, GTLN của A x x y y= + biết x y 1+ = . 179. Giả i phương trình : 2 x 11 x x 3x 2 (x 2) 3 x 2 − − + − + + − = − . 180. Giả i phương trình : 2 2x 2x 9 6 4x 2x+ − = + + . 181. CM R, ∀n ∈ Z+ , ta có : 1 1 1 1 ... 2 2 3 2 4 3 (n 1) n+ + + + <+ . 182. Cho 1 1 1 1A ... 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 = + + + + . Hãy so sánh A và 1,999. 183. Cho 3 số x, y và x y+ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗ i số x ; y đều là số hữu t ỉ 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 12 184. Cho 3 2a 2 6 ; b 3 2 2 6 4 2 3 2 + = − = + + − − . CMR : a, b là các số hữu t ỉ. 185. Rút gọn biểu thức : 2 a a 2 a a a a 1P . a 1a 2 a 1 a  + − + − − = −  −+ +  . (a > 0 ; a ≠ 1) 186. Chứng minh : a 1 a 1 14 a a 4a a 1 a 1 a  + −   − + − =   − +    . (a > 0 ; a 1) 187. Rút gọn : ( ) 2 x 2 8x 2 x x + − − (0 < x < 2) 188. Rút gọn : b ab a b a ba : a b ab b ab a ab   − +  + + −   + + −   189. Giả i bất phương trình : ( ) 22 2 2 25a2 x x a x a + + ≤ + (a ≠ 0) 190. Cho ( )2 1 a a 1 a aA 1 a : a a 1 1 a 1 a     − + = − + − +    − +     a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A với a = 9. c) Với g iá t rị nào của a thì | A | = A. 191. Cho biểu thức : a b 1 a b b bB a ab 2 ab a ab a ab  + − − = + +  + − +  . a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của B nếu a 6 2 5= + . c) So sánh B với -1. 192. Cho 1 1 a bA : 1 a a b a a b a b  +  = + +   − − + + −    a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm b b iết | A | = -A. c) Tính giá trị của A khi a 5 4 2 ; b 2 6 2= + = + . 193. Cho biểu thức a 1 a 1 1A 4 a a a 1 a 1 a  + −   = − + −   − +    a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A nếu 6a 2 6 = + . c) Tìm giá trị của a để A A> . 194. Cho biểu thức a 1 a a a aA 2 2 a a 1 a 1    − + = − −   + −   . 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 13 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A để A = - 4 195. Thực h iện phép tính : 1 a 1 a 1 a 1 aA : 1 a 1 a 1 a 1 a    + − + − = + −    − + − +    196. Thực h iện phép t ính : 2 3 2 3B 2 2 3 2 2 3 + − = + + + − − 197. Rút gọn các biểu thức sau : ( )3 x y 1 1 1 2 1 1 a) A : . . x yxy xy x y 2 xy x yx y     −    = + + +     + +  +     với x 2 3 ; y 2 3= − = + . b) 2 2 2 2 x x y x x y B 2(x y) + − − − − = − với x > y > 0 c) 2 2 2a 1 xC 1 x x + = + − với 1 1 a ax 2 a 1 a   − = −  −  ; 0 < a < 1 d) ( )( )2 2 2 a 1 b 1 D (a b) c 1 + + = + − + với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 e) x 2 x 1 x 2 x 1E . 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 + − + − − = − + − + − − 198. Chứng minh : 2 2 x 4 x 4 2x 4 x x x x x − − + + + − = với x 2. 199. Cho 1 2 1 2a , b 2 2 − + − − = = . Tính a7 + b7. 200. Cho a 2 1= − a) Viết a2 ; a3 dưới dạng m m 1− − , t rong đó m là số tự nhiên. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an v iết đợc dới dạng t rên. 201. Cho biết x = 2 là một nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 với các hệ số hữu tỉ. Tìm các nghiệm còn lạ i. 202. Chứng minh 1 1 12 n 3 ... 2 n 2 2 3 n − < + + + < − với n∈ N ; n 2. 203. Tìm phần nguyên của số 6 6 ... 6 6+ + + + (có 100 dấu căn). 204. Cho 2 3a 2 3. Tính a) a b) a   = +     . 205. Cho 3 số x, y , x y+ là số hữu t ỉ. Chứng minh rằng mỗ i số x , y đều là số hữu t ỉ 206. CM R, ∀n 1 , n ∈ N : 1 1 1 1... 2 2 3 2 4 3 (n 1) n+ + + + <+ 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 14 207. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , a25 thỏa đk : 1 2 3 25 1 1 1 1 ... 9 a a a a + + + + = . Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau. 208. Giả i phương trình 2 x 2 x 2 2 2 x 2 2 x + − + = + + − − . 209. Giả i và b iện luận với tham số a 1 x 1 x a 1 x 1 x + + − = + − − . 210. Giả i hệ phương trình ( ) ( ) ( ) x 1 y 2y y 1 z 2z z 1 x 2x  + =  + =  + = 211. Chứng minh rằng : a) Số ( )78 3 7+ có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy. b) Số ( )107 4 3+ có mời chữ số 9 liền sau dấu phẩy. 212. Kí hiệu an là số nguyên gần n nhất (n ∈ N*), ví dụ : 1 2 3 41 1 a 1 ; 2 1,4 a 1 ; 3 1,7 a 2 ; 4 2 a 2= ⇒ = ≈ ⇒ = ≈ ⇒ = = ⇒ = Tính : 1 2 3 1980 1 1 1 1 ... a a a a + + + + . 213. Tìm phần nguyên của các số (có n dấu căn) : a) na 2 2 ... 2 2= + + + + b) na 4 4 ... 4 4= + + + + c) na 1996 1996 ... 1996 1996= + + + + 214. Tìm phần nguyên của A với n ∈ N : 2 2A 4n 16n 8n 3= + + + 215. Chứng minh rằng khi v iết số x = ( )2003 2+ dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9. 216. Tìm chữ số tận cùng của phần nguyên của ( )2503 2+ . 217. Tính tổng A 1 2 3 ... 24       = + + + +        218. Tìm giá t rị lớn nhất của A = x2(3 x) với x 0. 219. Giả i phương trình : a) 3 3x 1 7 x 2+ + − = b) 3 x 2 x 1 3− + + = . 220. Có tồn tạ i các số hữu t ỉ dương a, b không nếu : a) a b 2+ = b) 4a b 2+ = . 221. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : a) 3 33 5 b) 2 4+ 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Trang: 15 222. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm : 3a b c abc 3 + + ≥ . 223. Cho a, b, c, d > 0. Biết a b c d 1 1 a 1 b 1 c 1 d + + + ≤ + + + + . Chứng minh rằng : 1 abcd 81 ≤ . 224. Chứng minh bất đẳng thức : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x + + ≥ + + với x, y, z > 0 225. Cho 3 33 3 3a 3 3 3 3 ; b 2 3= + + − = . Chứng minh rằng : a < b. 226. a) Chứng minh với mọi số nguyên dương n , ta có : n11 3 n   + <    . b) Chứng minh rằng trong các số có dạng n n (n là số tự nhiên), số 3 3 có giá trị lớn nhất 227. Tìm giá t rị nhỏ nhất của 2 2A x x 1 x x 1= + + + − + . 228. Tìm giá t rị nhỏ nhất của A = x2 (2 x) biết x 4. 229. Tìm giá t rị lớn nhất của 2 2A x 9 x= − . 230. Tìm giá t rị nhỏ nhất, g iá trị lớn nhất của A = x(x2 6) biết 0 x 3. 231. Một miếng bìa h ình vuông có cạnh 3 dm. Ở mỗ i góc của h ình vuông lớn, ngời ta cắt đi một hình vuông nhỏ rồ i gấp bìa để đợc một c