40 đề thi vào lớp 10 chuyên Toán

BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 1 Bùi Văn Chi SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học 1999 – 2000 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (LỚP CHUYÊN TOÁN ) Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 16 – 07 – 1999 Bài 1: (1, 5 điểm) Cho phương trì nh: x2 + mx + n = 0 Tìm m và n, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x 2 thoả mã n: 1 2 3 3 1 2 x x 5 x x 35  − =  − = Bài 2: (1,5 đi ểm) Chứng minh rằng mo ät s ố có dạn g: n4 - 4n3 - 4n 2 + 16n (V ới n là s ố tự nhiên chẵn, lớn hơn 4 ) thì chi a hết cho 384. Bài 3: (1,5 đi ểm) Không dùn g má y tính, hãy tính: 33 2142021420 −++ Bài 4: (1,5 đi ểm) Giải phương trình: x + y + z + 4 = 2 56342 −+−+− zyx (V ới x, y, z là cá c ẩ n) Bài 5: (4, 0 điểm ) Cho hình thang A BCD (A B // CD). a) Trê n đáy l ớn A B, ngư ời ta l ấy điểm M. Tìm trên đáy nhỏ CD m ột điểm N sao cho diện tí ch nha än đượ c do cá c đường th ẳng AN, BN , CM và DM cắt nhau tạo thành là lớn nhất . b) Biết diện tích hình tha ng bằn g a 2. Đươ øng ché o lớn của hình thang này co ù độ dài bé nhất là bao nhi êu? BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 2 Bùi Văn Chi SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học 1999 – 2000 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Dành cho các lớp chuyên Văn, Tiếng Anh, Lý, Hoá) Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 16 – 07 – 1999 Bài 1: (2,0 đi ểm) Cho phương trì nh: x2 + mx + n = 0 Tìm m và n biết rằng phươn g trình có hai ng hiệm x1, x2 thoả mãn: 1 2 3 3 1 2 x x 5 x x 35  − =  − = Bài 2: (2,0 đi ểm) Cho A = xx xxxxx + −−+2 ,với x > 0 a) Rút gọn A b) Giải phương trình: A = 12 +−x Bài 3: (4, 0 điểm) Cho đường tr òn tâm O , đường kính A B = 2R. Kẻ tia t iếp t uyến Bx. M là một điểm di đo äng trên B x ( M ≠ B). AM cắt (O) t ạ i N. Gọi I là trung điể m của AN. a) Chứng minh tứ giác B OIM nội ti ếp được trong mo ät đườ ng trò n. b) Chứng minh tam giác IBN đồ ng dạ ng vơ ùi t am giác OMB. c) Tìm vị trí của đie åm M trên t ia Bx để die än tích tam giác AIO có giá trị lớn nhất. Bài 4: (2,0 đi ểm) Cho x, y, z là ba số th ực thoả đi ều kie än x2 + y2 + z 2 = 1 Hãy tì m giá trị nhỏ nhất cu ûa biểu thức: A = xy + yz + 2 zx. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 3 Bùi Văn Chi SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG BÌNH ĐỊNH CHUYÊN - Năm học 2000 – 2001 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Các lớp không chuyên Toán Khoá thi ngày: 17 – 07 – 2000 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 đi ểm) Chứng minh rằng nếu: ayxyyxx =+++ 3 4223 242 , với x > 0; y > 0 thì : 3 23 23 2 ayx =+ Bài 2: (3, 0 điểm ) Cho phương trì nh: 246246122 −−+=+− xx a) Rút gọn vế phải của p hương t rì nh. b) Giải phương trình Bài 3: (4,0 đi ểm) Cho hình thang A BCD (A B // CD), giao điể m hai đườ ng ché o là O. Đường thẳng qua O s on g song với AB ca ét A D và BC lần lượt tại M và N . a) Chứng min h MNCDAB 211 =+ b) Biết diện tích t am giác AOB bằng a 2. Diệ n tích tam giác COD b ằng b2. Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 4: (1,0 đi ểm) Cho P(2 ) là giá trị của đa t hức P (x) k hi x = 2. Chứng minh rằng P (x) - P (2) chia he át cho x – 2. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 4 Bùi Văn Chi SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học 2000 – 2001 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Lớp: Chuyên toán Khoá thi ngày: 17 – 07 – 2000 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2, 0 đi ểm ) Chứng tỏ rằ ng ne áu ba số a, b, c thoả mãn đie àu kiện: a b c 0(1) ab bc ca 0(2) abc 0(3)  + + >  + + >  > thì a, b, c là ba số dương. Bài 2: (2,0 đi ểm) Cho b va ø c là các s ố n guyê n dươ ng và a là số nguyên tố sao cho a 2 + b2 = c2 Chứng minh rằng ta luôn có a < b và b+ 1 = c. Bài 3: (3,0 đi ểm) Giải các phư ơng trình sau: a) x + y + z + 4 = 2 56342 −+−+− zyx b) 2 4 9 4 5 22 =++++− xxxx Bài 4: (3,0 đi ểm) Cho đường tr òn tâm O và một đườ ng thẳng AB ti ếp xú c với đườn g tròn tại T sao cho T là trung điểm củ a đoạn A B. P là một đi ểm trên đoạn B T (P ≠ B và P ≠ T). Từ P k ẻ cát tuyến PM N với đường trò n (O) t rong đ ó M nằ m giữa P và N . NB cắt đườ ng trò n (O) ở E ; AM cắt đườn g tròn ( O) ở I, IE cắt AB ơ û F. Chứn g minh A F = BP. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 5 Bùi Văn Chi SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (LỚP CHUYÊN TOÁN ) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 03 – 07 – 2001 Bài 1: (2,0 điể m) Tìm số t ự nhiên nho û n hất bi ết rằng k hi chia số này cho 200 1 thì đượ c số d ư là 9, còn khi chia no ù cho 2002 thì được số dư là 10 . Bài 2: (2,0 điể m) Giải hệ phương trì nh: 2 2 2 2 2 y xy 6x 1 x y 5x  + =  + = Bài 3: (2,0 điể m) Cho bốn s ố a, b, c, d t hoả mã n: 2 2 2 2 a b c d 3 a b c d 3  + + + =  + + = Tìm ca ùc s ố đo ù trong tr ường hợp d đạt giá trị lớn nha át . Bài 4: (4,0 điể m) Cho tam giác đề u AB C nội t iếp t rong đườ ng t ròn (O, R). M là một điểm tùy ý trên cu ng nhỏ AB . T rê n tia AM kéo dài về p hía M lấy một điể m N sao cho MN = MB. a/ Chứng minh t am gi á c BMN là t am giác đề u. b/ Định vị trí của M để MA + MB lớn nha át. c/ Tìm tập hợp các điể m N khi M di động trê n cung nhỏ AB. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 6 Bùi Văn Chi SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Lớp chuyên Vật lý, Hóa học, Sinh học) Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian phát đề) Ngày thi: 03 – 07 – 2001 Bài 1: (2, 0 điể m) Cho biểu t hức: A = 12 1: 1 11 +− +         − + − aa a aaa , với a > 0, a ≠ 1 1/ Rút gọn A . 2/ Chứng mi nh rằng A < 1. Bài 2: (2,0 điể m) Giải phương trình: 246246122 −−+=+− xx Bài 3: (2,0 điể m) Tìm giá trị của a để ba đườn g thẳng: (d1) : y = 2x – 5 (d2) : y = x + 2 (d3) : y = ax – 12 đồng qui tại một điểm trong mặt p hẳng toạ đ ộ. Bài 4: (4,0 điể m) Cho hai điểm A, B cố đị nh và phân biệt. Đư ờng tro øn tâm O1, tiếp xúc với đường thẳng AB tại A, đươ øng t ròn tâm O2 tiếp xú c v ới đườn g thẳng A B tại B. H ai đường tròn này cắt nhau tại M , N . MN cắt AB tại I. Hãy ch ứng m inh: 1) H ai tam giác IAM v à IAN đồ ng dạ ng. 2) I là điể m cố đị nh kh i hai đường tròn thay đ ổi. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 7 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐHKHTN - ĐHQG HÀ NỘI 1999 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: Các s ố a, b, c thỏa mãn điều kiện:    =++ =++ 14 0 222 cba cba Hãy tính gi á trị của biểu thứ c: P = 1 + a4 + b4 + c4 Bài 2: 1) G iải phương trình: 8273 −=−−+ xxx 2) G iải hệ phư ơng t rìn h: 1 1 9 2 1 5 2 x y x y xy xy  + + + =    + =  Bài 3: Tìm ca ùc s ố ngu yê n dương n sao cho: n2 + 9n – 2 chi a he át cho n + 1 1. Bài 4: Cho vòng tro øn ( C) và điểm I ở trong vò ng tròn. D ự ng q ua I hai dâ y cun g bất ky ø MIN và E IF . Gọi M’, N’, E’ , F ’ là các trung đ iểm của IM, IN, I E, IF . 1) Chứng minh rằ ng tứ giác M’N’ E’F ’ nội t iếp đườn g tròn. 2) G iả sử I thay đ ổi, cá c dây cun g MIN, EIF thay đổi. Chứng mi nh r ằng đư ờng tròn ngoa ïi tiếp tứ gi ác M’N ’E ’F’có bá n kính không đổi. 3) G iả sử I cố định, cá c dây cun g MIN, EIF thay đổi nh ưng luo ân lu ôn vu ông gó c với nhau. Tìm vị trí cu û a các dây cung M IN, EIF sao cho tứ gi ác M’N ’E’F’ co ù diện tích lớn n hất. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 8 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU ĐHQG TP. HCM NĂM 2001 MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: a) Giải bất phương trìn h: 121 −>+ xx b) G iải hệ phư ơng t rìn h:       =+ =+ 3 71 2 71 x y y x Bài 2: Cho a, b, c là ca ùc so á th ực p hân bie ät s ao cho các phương t rình: x2 + ax + 1 = 0 và x 2 + bx + c = 0 có n ghiệ m ch ung, đồ ng thời cá c phư ơng trình x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũ ng có ng hiệm chung. Hãy tìm tổng a + b + c. Bài 3: a) Tre ân các cạn h AB v à CD cu ûa hình vu ông A BCD lần lượt lấy cá c đi ểm M, N sao cho A M = CN = AB 3 . Gọi K là giao đi ểm của A N và DM . Chứn g minh trực tâm của tam giác AD K nằm trên cạ nh B C. b) Cho hì nh vu ông A B CD với giao điể m hai đường ch éo là O. Mo ät đườn g thẳng d vuô ng go ùc với ma ët p hẳng (A BCD ) tại O. L ấy một điểm S tre ân d. Chứng minh rằng (AC ) ⊥ (SBD) và (S A C) ⊥ (SB D ). Bài 4: C ho tứ giác lồi AB C D c ó AB vuông góc với C D và AB = 2, B C = 13, C D = 8, DA = 5. a) Đường thẳng (B A) c ắt đ ường tnẳng (C D ) tại E. Hãy t ính AE. b) Tính diện tích tứ gi ác A B C D. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 9 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU ĐHQG TP. HCM MÔN TOÁN CHUYÊN Năm học 2001 – 2002 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: a) Tì m so á nguyên dương a nhỏ nhất sao c ho a chi a hết c ho 6 va ø 2000 a là số chính phương. b) Tì m s ố ng uye ân dư ơ ng b nh ỏ nhất s ao ch o (b – 1) khô ng là bo äi củ a 9, b là bội cu ûa 4 s ố ngu yên tố liên tiếp và 200 2 b là số chín h phư ơng. Bài 2: Cho x, y l à cá c số t hư ïc s ao cho y x 1 + và x y 1+ đều l à ca ùc số n guye ân. a) Chứng min h 22 22 1 yx yx + l à số nguyê n. b) Tì m tất cả cá c số ng uyên dương n s ao cho nn nn yx yx 1+ l à số nguy ên. Bài 3: a) Cho a, b là cá c số dương tho ûa ab = 1. Tì m giá trị nhỏ nhất của biểu thứ c ( )( )2 2 4A a b a b a b = + + + + b) Cho m, n l à cá c số nguye ân thoả 3 11 2 1 =+ nm . Tìm giá trị l ớn nhất củ a B = m.n. Bài 4: Cho hai đươ øng tròn C1 (O1, R1) và C2 (O2, R2 ) tiếp xú c ng oài với nhau tại điểm A . Hai điểm B, C lần lượt di động trên C1 , C2 s ao cho
BAC = 900. a) Chứng min h trung đ iểm M của BC luo ân na è m trên một đường tròn cố định. b) H ạ AH vuo âng gó c v ới BC. Tìm t ập hơ ïp ca ùc điểm H. Chứng minh rằng độ d ài đoạn AH không lơ ùn hơn 21 212 RR RR + . c) Phát biểu và chứ ng mi nh cá c kết quả tươ ng tự như câu a ) và câu b) trong trường hợp C1 và C2 ti ếp xu ùc tro ng vơ ùi nhau tại điểm A. Bài 5: G iải hệ phương trình: 2 2 x 1 x 3 x 5 y 1 y 3 y 5 x y x y 80  + + + + + = − + − + −  + + + = BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 10 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ 1999 MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: Giải hệ phương trì nh: 2 2 2 2 x 2 x y 3 y 5 x 2 x y 3 y 2  + + + + + =  + − + + − = Bài 2: Chứng minh rằng: 2 a ( c d ) 3 d 3 3 b ( d c ) 3 c 2 − + ≤ ≤ − + với mọi a, b, c, d thu ộc [2; 3] Bài 3: Chứng minh rằng với ba số t hự c a, b, c pha ân biệt thì phương trình: 1 1 1 0 x a x b x c + + = − − − có hai ng hiệm khá c nh au. Bài 4: Cho tam giác cân AB C. Tr ên cạnh đáy BC l ấy cá c đi ể m E , F (kha ù c B, C ) s ao cho B E = CF < BC 2 . Gọi R và r l ần l ươ ït là bán kính đườ ng t rò n ngoại t iếp ∆AB C , ∆ AEF. a) C hứng m inh rằng ha i đường t ròn ngoại tiếp cá c tam giác ABE và AB F c ó bán kí nh bằng nhau. b) Tí nh bán kí nh đường t ròn ngoại t iếp ∆AB F th eo R , r. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 11 Bùi Văn Chi ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2002 – 2003 - Ngày thi: 12 – 07 – 2002 Thời gian làm bài: 150 phút I . Lý thuyết: (2 đi ểm) Thí sinh ch ọn một tron g hai đề sau đ ể làm bà i. Đề 1: a) Chứng min h định lý : “Với mỗi s ố thực a t hì aa =2 ” b) A ùp dụn g: S o sánh ( )21 3− và ( )23 1− Đề 2 : a) Chứng min h định lý : “Trong một tứ giác n ội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện nhau bằn g hai góc vuô ng”. b) A ùp dụn g: Cho hình thang cân A BCD (AB // CD). Chứng mi nh r ằng ABCD là tứ gi ác nội tiếp. II. Các bài toán bắt buộc: (8 điể m) Bài 1: (1,5 điể m) Cho phương t rì nh: ( ) ( )21 2 x 2 1 x 1 2 0− + − + + = Biết phương trình co ù h ai nghiệm p hân biệt, không giải phươn g trình, hãy tìm tổng và tích 2 nghiệ m của p hươn g trình đã cho. Bài 2: (2,5 điể m) Hai người đi xe đạp khởi hành cù ng m ột lúc t ừ A đe å đi hết qua õng đư ờng A B dài 35 km . Ngươ øi t hứ nhất mỗi giờ đi nhanh h ơn người thứ hai 4 km nê n đến B s ớ m hơn người thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của m ỗi người. Bài 3: (3 điểm) Cho nửa đươ øng tro øn tâ m O, đường kính A B. Lấy một điể m C tre ân đ oạn OA (C khác O và A). G ọi M là một đi ể m t rê n nửa đ ường tro øn (M khác A và B). Kẻ các tiếp tuyến A x, By với nửa đ ườ ng tròn (A x, By ơ û cùng một nửa mặt phẳn g co ù bờ là đươ øng thẳ ng AB chứa nửa đ ườn g tròn ). N ối MC, đường thẳng qua M vuông gó c v ới MC cắt A x và By tại D và E. Chứng minh rằng: a) Các t ứ giác ACMD và BCM E là cá c t ứ giá c nội t iếp. b)


DCE DAM MBE= + c)
DCE vuôn g Bài 4: (1 điểm) Với a, b, c l à 3 s ố d ươ ng. Ch ứng minh ra èng: Nếu a + b + c = cabcab ++ thì a = b = c. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 12 Bùi Văn Chi ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2002 – 2003 - Ngày thi: 13 – 07 – 2002 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,5 điểm) Câu 1: (1,5 điểm) B iết a2 + b2 = 1. C hứng mi nh đẳng t hức: ( ) ( )6 6 4 4 4 2 4 22 a b 3 a b a 4b b 4a 2+ − + + + + + = Câu 2: (1, 5 điểm) Gi ải phương trì nh: 05444 22 =+−−− xxxx (1) Câu 3: (1, 5 điểm) a) Định m để đươ øng thẳng - 4 x – y + 1 = 0 son g song với đường thẳng (m2 - 4 m ) x - y + 5 = 0 b) Với gi á trị m tì m được ở c âu a, hãy t ì m giá t rị nhỏ nhất c ủa: A = ( ) ( ) 22 24x y 1 2 m 4m x 2y 5 − − + + − − +  Bài 2: (2 điểm) C ho đường tròn ( O) và đ ường thẳng (d) không c ắ t đường tròn. a) Gọi I là hì nh c hiếu c ủ a O lên (d ). Từ I t a kẻ c a ùc c át t uyến IAB và IC D t ới đường tròn (A, B , C , D thuộc ( O)). Đươ øng thẳng (d ) cắt A D và C B tại các điểm E và F. C hứng minh: IE = IF. b) Gọi M l à điểm bất kỳ trên (d ). T ừ M kẻ c ác tiếp tuyến MT và MT ‘ tớ i (O ) (T và T ‘ là c ác tiếp đi ểm). C hứng m inh khi M di động trên (d) thì T T ‘ luôn đi qua một đi ểm c ố định. Bài 3: (1,5 điểm) a) Với m o ãi n ∈ N, đặt a n = 7 n 3 2 n 1 4 n 12 3 . 5+ + ++ Đị nh n để an la ø một số n guyên tố. b) Gọi x là so á chính phư ơng có 8 chữ số, trong đ ó 4 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều lập thành số c hính phương l ớn hơn 0. Tì m gi á t rị l ớn nhất của x. Bài 4: (1 điểm) C ho hàm số tttttf 222222 −++++=)( Gọi x, y, z là những gi á trị c ủa t để f (t ) nhỏ nhất và x + y + z = 3. Tì m giá trị lớn nhất của A = x 2 + y 2 + z 2. Bài 5: (1 điểm) C ho một số hữu hạn các hì nh tròn cắt nhau. C ác phần giao này tạo thành m ột hì nh hoa ëc nhiều hì nh c ó diện tíc h hoặc tổng di ện tíc h bằng 9. C hứng minh rằng: Hoa ëc t ồn tại một hì nh tròn, ho ặc tồn tại một số hì nh tr òn đôi một không cắt nhau sao c ho diện tích của nó hoặc tổ ng di ện tíc h c ủa chúng l ớn hơn 1. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 13 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI Năm học 2002 –2003 MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (2 điểm) 1) Th ự c hiện phé p tính: 63 216 57 31 515 21 714 +−         − − − − − )(. 2) G iải phương trình: 3 x - 7 04 =+x . Bài 2: (3 điểm) C ho hàm số y = ax2 (1) 1) Tì m gi á trị a để đồ t hị hàm số (1 ) đi qua đi ểm (2; 1). Vẽ đồ thị (P) của hàm số (1) ứng với giá trị của a vừa t ì m được . 2) C hứng tỏ rằng: Tron g c ùng một he ä t rục t ọa đ ộ, đường thẳng (d): y = mx – 2 (m + 1) l uôn luôn cắt đồ thị (P) (ơ û câu 1) tại hai điểm phân biệt. T ì m m để hai giao đi ểm c ủa (d) và ( P) có hoa ønh độ dươ ng. 3) Chứng minh rằng đườ ng thẳng (d) (ơ û câu 2) luôn l uôn đi qua một điểm cố định khi m t hay đổi. Bài 3: (4 điểm) C ho đường tròn tâm O, đường kí nh AB cố định. C là một điểm c ố định trên đoạn thẳng OA (C khác A và O ). M là đi ểm di động t rên đườ ng tròn (O) sao cho đườ ng thẳng vuông góc với MC tại M c ắt c ác t iếp t uyến t ại A và B của đươ øng tròn ( O) lần l ượt ở D và E . 1) C hứng mi nh các tứ gi ác DMC A và C B EM là các tứ gi ác nội ti ếp được đường tròn . 2) C hứng mi nh he ä t hức : 222 111 CECDCM += 3) C hứng mi nh rằng tích AD. B E không đổi kh i M di động trên đường t ròn ( O). 4) Xác đị nh vị trí của điểm M trên ( O) sao c ho tứ giác AB DE có di ện tí ch nhỏ nha át . Bài 4: (1 điểm) C ho các số thực x, y, z thỏa m ãn các điều kiện: x + y + z = 5 và x y + yz + zx = 8 C hứng minh rằng: 3 71 ≤≤ x . BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 14 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI Năm học 2002 – 2003 MÔN TOÁN CHUYÊN (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (2,5 điể m) 1) Cho hai phươ ng trình ẩn x: ax2 + bx + c = 0 và a(1 – x2) + c(1 – x) – b = 0 Chứng minh rằng ít nhất một trong hai p hươn g trình có nghiệ m. 2) G iải phương trình: 128264 22 +−=−− xxxx Bài 2: (2 điểm ) 1) Cá c s ố a, b, x, y thoả mãn điều kiệ n x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2 Chứng minh rằng: x2 002 + y2002 = a2002 + b2 002 2) Tì m cá c gía trị của x, y để biểu thư ùc P = -x2 – y2 + xy + 2x + 2 y đạt giá trị lớn nhất và chỉ ro õ giá trị l ớn nhất đó . Bài 3: (1,5 điể m) Cho ca ùc s ố ngu yê n dương x, y, z th ỏa mãn đi ều kiện x2 + y2 + z2 ch ia hết cho 4 Chứng minh rằng: 19x + 5y + 2001z không thể là s ố chính phương. Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuô ng A BC D có độ dài cạnh bằng a. Tre ân cạnh A D va ø C D l ấy các điểm M, N s ao cho
MBN = 450, BM va ø BN ca ét AC t heo thứ tự tại E và F. 1) Chứng minh rằ ng b ốn điể m M, N, E, F cù ng nằ m t rên mo ät đườn g tròn. 2) G ọi H là gi ao điểm của MF và N E, I là giao điểm của BH và M N. Chứng minh rằng K hi M, N di động nhưng v ẫn thỏa ma õn điề u ki ện đã ch o thì I di động trên một cung của một đường tr òn cố định. Xác đị nh cu ng tr òn đo ù. 3) Tì m vị trí của M , N (vẫn thỏa mãn điều ki ện đã cho ) để diện tích tam gi ác MDN lớn nhất. Bài 5: (1 điểm) Cho tam giác A BC có ba đỉnh đề u ở tro ng đ ư ờng tro øn tâm O ba ùn kí nh R và có diện tích lớn h ơn R2. Chứng minh rằng O nằ m trong tam giác A BC . BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 15 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 KHỐI THPT CHUYÊN TOÁN – TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NĂM 2001 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1. 1) Tì m một số tự nhie ân có 4 chữ s ố mà tổng của s ố đó và tất cả các chữ số của nó bằ ng 20 02. 2) Tì m x sao cho: 1 1 5 1 1 x x x x x x x x    − + + − ≤     − +   Bài 2. 1) G iải phương trình: 21 1 6 2 5 0 4 x x+ + − − = 2) Tì m gi á trị nhỏ nhất và lớn n hất của biểu t hức: A = 2 2 2 y 3x 3xy 2y+ + Bài 3. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: 10x2 + 29xy + 2 1y2 = 2001 Bài 4. Ở về p hía ngoài của tam giác A BC, t a dự ng các hình vuông A BB1A 2, BCC1B 2, CA A1C2. Gọi M là tru ng điể m cu ûa cạ nh BC . Chứng minh AM vuô ng gó c vơ ùi A1A 2. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 16 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU - ĐHQG TP. HCM NĂM HỌC 2001 – 2002 - Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: Cho phương trì nh: 011612 2 =−+−−+ mmxx a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng minh phương trình có nghi ệ m v ới mọi m. Bài 2: Cho hệ phư ơng trình:     −= −=+++++ 6 122 3223 yx myyxyxxmyx )( a) Giải hệ phươ ng t rì nh khi m = 0 . b) G iải hệ phư ơng t rìn h khi m = 1 . Bài 3: Gọi M, N l ần l ượt l à trung điể m của ca ùc cạnh AB, CD của hình ch ữ nhật A BCD. Biết rằng đường tròn n goại t iếp hình ch ữ nhậ t A BCD có đườ ng kính bằng 328 + và tồn tại mo ät điểm I thuộc đ oạn MN sao ch o gó c DAI = 4 50, góc ID A = 300. a) Tính diệ n tích hình chữ nhật A BCD. b) G ọi K, H l ần l ượt l à trọng tâm cu ûa cá c tam giác ADI và BIC. Tính diện tích tam gi ác NKH . Bài 4: Tam gi á c ABC có gó c A BC = 300 và go ùc A C B = 150. Go ïi O là tâm đườn g tròn ngoại tiếp tam giác A BC và M, N, P, I lần lượt là trung điể m của BC, CA, AB , OC. a) Tính go ùc P ON. Chứ ng minh A , M, I thẳng hàng. b) Chứng minh P là trực tâm của tam giá c O M N. Bài 5: a) Tìm tất cả các số th ực a va ø b s ao cho 52 +=+ xbax với mọi s ố thư ïc x. b) Cho a, b, c, d, e, f l à các s ố thự c thỏa điều kiện: fxedxcbxa +=+++ với mo ïi s ố thự c x. Biết a, c và e khác 0. Chứng minh: ad = bc. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 17 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU – ĐHQG TP.HCM NĂM HỌC 2000 – 2001 - MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: Cho x1, x2 l à hai nghi ệm của phương trình: x2 – 7x + 3 = 0 1) Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm là 2 x1 - x2 và 2x2 – x1. 2) Hãy tính gi á trị biểu thức: A = 1 2 2 12x x 2x x− + − Bài 2: 1) G iải hệ phư ơng t rìn h: x 2y 6 xy 8  − =  = 2) G iải hệ phư ơng t rìn h: 2x y z x 2(y z) xy 2(z 1)  + =  = +  = + Bài 3: 1) G iải phương trình: 1x x 1 x + + = 2) G ọi α, β là s ố đo m ỗi gó c t rong của hai đa giác đề u có s ố cạn h lầ n lượt là m và n. Tìm m và n nếu 5 7 α =β . Bài 4: Cho tam giác A BC có đườn g cao BD. Giả sử (C) là m ột đườ ng trò n có tâm O nằm trê n đoạ n AC va ø lần lượt tiếp xúc với BA , BC tại M, N. a) Chứng minh rằng 4 đi ểm B , M, D, N nằ m t rên m ột đươ øng tròn. b) Chứng minh rằng

ADM CDN= Bài 5. Tron g m ột gi ải bóng đ á có 10 đội bó ng t hi đấ u vòng tròn một lượt . Trong m ỗi trân, đội thắng đươ ïc 3 điểm, đ ội hoà đượ c 1 điểm và đội thua kh ôn g có điểm. Các đ ội co ù cu øng so á điể m sẽ đ ượ c xe áp hạ ng th eo cá c chỉ s ố phụ nà o đó. a) Gọi A là một đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A co ù t hể đa ït nhữ ng điểm số nào ? b) Giả s ử đội bó ng A đ ượ c xế p thứ nhì khi kết t húc giải. Tìm s ố điể m tối đa, số điểm tối thi ểu mà đo äi bóng A co ù thể đạt đượ c. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 18 Bùi Văn Chi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU - ĐHQG TP. HCM