55 đề thi học sinh giỏi Toán 8

phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 1998 -1999 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Xác định hệ số a sao cho: a) 27x2 + a chia hết cho 3x + 2 b) 3x2 + ax + 27 chia hết cho x + 5 có số dư bằng 2 Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999 Rút gọn biểu thức: Câu 3: Cho abc 0 và a + b+ c 0 giải phương trình: Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng có bờ là AB các hình vuông AMCD, BMEF. Chứng minh AE vuông góc với BC. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng. Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định. phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 1999 -2000 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Tìm số tự nhiên n để: Số A = n4 + 4 là số nguyên tố. Phân số tối giản. Câu 2. Cho biểu thức: Rút gọn A Tính giá trị của A biết 4a2 + b2 = 5ab và a > b > 0 Câu 3. Giải phương trình: Câu 4. Cho tứ giác ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Gọi E và F là giao của BD với AM và AN. Chứng minh rằng: nếu BE = EF = FD thì tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 5. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh: Tính số đo góc BMK? Gọi P và Q lần lượt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định vị trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất? phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2001- 2002 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức: Rút gọn P. Có giá trị nào của a, b để P = 0? Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện: 3a2 + 3b2 = 10ab và a > b > 0 Câu 2: ( 3,5 điểm) Chứng minh rằng: (n2 + n -1)2 – 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n. Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9. Câu 3: ( 3 điểm) Giải phương trình: x4 + x2 + 6x – 8 = 0 Câu 4: ( 3 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3) Câu 5: (7,5 điểm) Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung tực trong tam giác, H là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR là hình thoi? Chứng minh AQ = OM. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đường nào? phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2001- 2002 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) Câu 2: Chứng minh rằng: biết abc = 1. không là phân số tối giản. Câu 3: Cho biểu thức: Tìm điều kiện để P xác định. Rút gọn P. Tính giá trị của P biết a3 - a2 + 2 = 0 Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức: A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Kẻ đường thẳng qua C và vuông góc với AB tại E. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh: tam giác EMC cân. Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM. Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC. Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC. phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2002- 2003 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết: a. là một số nguyên tố. b. có giá trị là một số nguyên. c. D = n4 + 4n là một số nguyên tố. Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc 0. Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0 Tính giá trị của biểu thức: Bài 3: Giải phương trình: b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 - y2 + 2x - 4y -10 = 0 Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F. Chứng minh : Chứng minh: OE = OF. Chứng minh: Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF. phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2003- 2004 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho biểu thức: Rút gọn A. Tìm các số nguyên a để A có giá trị là một số nguyên. Câu 2. Cho x, y, z đôi một kh`ác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu: thì ta có: Câu 3. Giải phương trình: a, b, x2 + 3y = 3026 với x, y N Câu 4. Cho f(x) là một đa thức với hệ số dương. Biết f(0); f(x) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên. Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME bằng góc B. Chứng minh rằng: a. b. DM là phân giác của góc BDE. c. Chu vi tam giác ADE không đổi khi D, E chuyển động trên cạnhAB và AC. Tỉnh vĩnh phúc PHềNG GD-DT Huyện Trực Ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2004- 2005 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (4 điểm) Cho phõn thức A=. a)Tỡm điều kiện của x để A cú nghĩa. b)Rỳt gọn A. c)Tỡm x để A cú giỏ trị bằng 4. Bài 2 (3 điểm) Xỏc định đa thức f(x) bậc 3 sao cho khi chia đa thức ấy lần lượt cho cỏc nhị thức (x-1);(x-2);(x-3)j đều được dư là 6 và tại x=-1 thỡ đa thức nhận giỏ trị bằng -18. Bài 3 (4 điểm) a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B= b)Chứng minh rằng a4+b4a3b+ab3. Bài 4 (7 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc cạnh AD sao cho CM=AN.Cỏc đường thẳng AM,BN cắt CD theo thứ tự ở E,F. a)Chứng minh CE.DF=a2. b)Gọi I là giao điểm của FA và EB.Chứng minh tam giỏc CEB đồng dạng với tam giỏc DAF và gúc EIF=900. c)Cho CM=.Tớnh diện tớch đa giỏc AIBCD theo a. d)Cỏc điểm M và N cú vị trớ như thế nào thỡ EF cú độ dài nhỏ nhất . Bài 5 (2 điểm) Giải phương trỡnh: ĐỀ HSG Câu 1: Cho x = ; y = Tính giá trị P = x + y + xy Câu 2: Giải phương trình: a, = ++ (x là ẩn số) b, + + = 0 (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Câu 3: Xác định các số a, b biết: = + Câu 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Câu 5: Cho ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C Đề hsg Câu 1: Cho a,b,c thoả mãn: = = Tính giá trị M = (1 +)(1 +)(1 + ) Câu 2: Xác định a, b để f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 Chia hết cho y(x) = x2 – x + b Câu 3: Giải PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680. b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0 Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của nó. Câu 5: Cho ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho: AD = EC = DE = CB. a, Nếu AB> 2BC. Tính góc của b, Nếu AB < BC. Tính góc của . Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 Câu 2: Cho A = : a, Rút gọn A b, Tìm A khi x= - c, Tìm x để 2A = 1 Câu 3: a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2 b, Tìm giá trị lớn nhất của P = Câu 4: a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 < ++< 2 b, Cho x,y 0 CMR: + + Câu 5: Cho đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a a, Tính số đo các góc b, CMR: AM AB c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR đều. Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a8 + a4 +1 b, a10 + a5 +1 Câu 2: a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức: A = + + b, Cho biểu thức: M = + Rút gọn M + Tìm x Z để M đạt giá trị nguyên. Câu 3: a, Cho abc = 1 và a3 > 36, CMR: + b2 + c2 > ab + bc + ca b, CMR: a2 + b2 +1 ab + a + b Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y +1 b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b) Câu 5: a, Tìm x,y,x Z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0 b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3 Câu 6: Cho . H là trực tâm, đường thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D. a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc và của tứ giác ABDC. Đề hsg Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Câu 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2003 + y2003 + z2003 Biết x,y,z thoả mãn: = ++ Câu 3: a, Cho a,b > 0, CMR: + b, Cho a,b,c,d > 0 CMR: +++ 0 Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > 0 b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > 0 Câu 5: a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2 Câu 6: Cho M là một điểm miền trong của . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B là hình bình hành. b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ Đề hsg Câu 1: Cho = và = Tính giá trị của biểu thức A = Câu 2: Cho x2 – x = 3, Tính giá trị của biểu thức M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2 Câu 3: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3) b, Cho x,y > 0 và x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của N = + Câu 4: a, Cho 0 a, b, c 1 CMR: a2 + b2 + c2 1+ a2b + b2c + c2a b, Cho 0 <a0 <a1 < ... < a1997 CMR: < 3 Câu 5: a,Tìm a để PT = 5 – a có nghiệm Z+ b, Tìm nghiệm nguyên dương của PT: ++ = Câu 6: Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc cắt BC tại P, kẻ phân giác góc cắt CD tại Q CMR PQ AM Đề hsg Câu 1: Cho a, b, c khác nhau thoả mãn: + + = 1 Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1. Câu 2: Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Tìm giá trị lớn nhất A = ++ Câu 3: Cho M = a5 – 5a3 +4a với aZ a, Phân tích M thành nhân tử. b, CMR: M120 aZ Câu 4: Cho N1, n N a, CMR: 1+ 2+ 3+....+n = b, CMR: 12 +22 + 32 +......+n2 = Câu 5: Tìm nghiệm nguyên của PT: x2 = y(y+1)(y+2)(y+3) Câu 6: Giải BPT: > - 1 Câu 7: Cho 0 a, b, c 2 và a+b+c = 3 CMR: a2 + b2 + c2 5 Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD một góc 150 cắt AD tại E CMR: cân. Đề hsg Câu 1: Cho A = a, Rút gọn A b, Nếu nZ thì A là phân số tối giản. Câu 2: Cho x, y > 0 và x+y = 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 - )(1 - ) Câu 3: a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca) b, Cho 0 a, b , c 1 CMR: a + b2 +c3 – ab – bc – ca 1 Câu 4: Tìm x, y, z biết: x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz Câu 5: Cho nZ và n 1 CMR: 13 + 23 +33 +......+n3 = Câu 6: Giải bất phương trình: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5 Câu 7: Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6)....., nhóm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong nhóm 94. Câu 8: Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN CMR: AK = BC Đề hsg Câu 1: Cho M = + + ; N = + + a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0 b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không? Câu 2: Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2 CMR: + + 1 Câu 3:Cho x, y, z 0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998 Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z Câu 4: a, Tìm các số nguyên x để x2 – 2x -14 là số chính phương. b, Tìm các số sao cho là số nguyên tố Câu 5: Cho a, b, c, d là các sô nguyên dương CMR: A = + + + không phải là số nguyên. Câu 6: Cho cân (AB=AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP CMR: BC PC Câu 7: Cho x, y thoả mãn: 2x2 + + = 4 (x0) Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất Đề hsg Câu 1: Cho a, b, c > 0 và P = ++ Q = + + a, CMR: P = Q b, CMR: P Câu 2: Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1 CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) 0 Câu 3: CMR x, yZ thì: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương. Câu 4: a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m2 + n2 = m + n + 8 b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2) Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = Câu 6: Cho x = ; y = Tính giá trị: M = Câu 7: Giải BPT: (x là ẩn số) Câu 8: Cho , trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE. Tính PQ theo BC Đề hsg Câu 1: Cho x = ; y = ; z = CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z) Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A = Câu 3: a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1 CMR: b+c 16abc b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau: 2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 Câu 4: Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 – 1 Câu 5: a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x2 + y2 + z2 = xyz b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương. Câu 6: Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó. Câu 7: Cho hình thang ABCD (BC// AD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F là trung điểm của AD, BC CMR: E, O, F thẳng hàng. Đề hsg Câu 1: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+3 dư 1 f(x) chia cho x-4 dư 8 f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương là 3x và dư Câu 2: a, Phân tích thành nhân tử: A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000 b, Cho: CMR: Câu 4: CMR: ++.....+ < Với nN và n1 Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M = (x≠0; y≠0) Câu 6: a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2 b, CMR phương trình sau không có nghiệm nguyên: x2 + y2 + z2 = 1999 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đường vuông góc AB, AD tại E, F. a, CMR: CF = DE; CF DE b, CMR: CM = EF; CM EF c, CMR: CM, BF, DE đồng qui đề 13 (55) Câu 1: a, Rút gọn: A = (1-)(1-).....(1-) b, Cho a, b > 0 và 9b(b-a) = 4a2 Tính M = Câu 2: a, Cho a, b, c > o CMR: + + b, Cho ab 1 CMR: + Câu 3: Tìm x, y, z biết: x+2y+3z = 56 và == Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M = b, Tìm giá trị nhỏ nhất A = Câu 5: Giải BPT: mx2 – 4 > 4x + m2 – 4m Câu 6: a, Tìm số nguyên dương x thoả mãn: x(x+1) = k(k+2) k là số nguyên dương cho trước. b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4. Câu 7: Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ đều, về phía trong hình vuông trên cạnh AB vẽ đều. CMR: D, E, F thẳng hàng. Đề hsg Câu 1: Cho A = ( a, Tìm TXĐ của A b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0. Câu 2: a, Giải PT: x4 + 2x3 – 2x2 + 2x - 3 = 0 b, Giải BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)2 Câu 3: Cho a, b, c > 0 CMR: Câu 4: CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 không là số chính phương với nN và n >1 Câu 5: Cho f(x) = x2 + nx + b thoả mãn Xác định f(x) Câu 6: Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1 Tìm giá trị lớn nhất A = Câu 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC). M, N là trung điểm của AD, BC. Từ O trên MN kẻ đưởng thẳng song song với AD cắt AB, CD tại E và F. CMR: OE = OF Đề hsg Câu 1: Cho xyz = 1 và x+y+z = = 0 Tính giá trị M = Câu 2: Cho a ≠ 0 ; 1 và Tìm a nếu x1997 = 3 Câu 3: Tìm m để phương trình có nghiệm âm: Câu 4: Với nN và n >1 CMR: Câu 5: Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1 Tìm giá trị M biết: xy = 1 và đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 6: Tìm x, y N biết: 2x + 1 = y2 Câu 7: Cho (AB < AC). AD, AM là đường phân giác, đường trung tuyến của . Đường thẳng qua D và vuông góc với AD cắt AC tại E So sánh S và S Đề hsg Câu 1: Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 CMR: với abc ≠ 0 Câu 2: Cho abc ≠ 0 và CMR: Câu 3: Cho a, b, c là 3 số dương và nhỏ hơn 1 CMR: Trong 3 số: (1-a)b; (1-b)c; và (1-c)a không đồng thời lớn hơn Câu 4: Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + 4 = 0 và xy > 0 Tìm giá trị lớn nhất A = Câu 5: a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 không có nghiệm nguyên. b, Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Câu 6: Cho nN và n >1 CMR: 1 + Câu 7: Cho về phía ngoài vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A. CMR: Trung tuyến AI của vuông góc với EF và AI = EF Câu 8: CMR: là phân số tối giản (với nN). Đề hsg Câu 1: Phân tích ra thừa số: a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 b, x3 + 6x2 + 11x + 6 Câu 2: Cho x > 0 và x2 + = 7 Tính giá trị của M = x5 + Câu 3: Cho x, y thoả mãn 5x2 + 8xy + 5y2 = 72 Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 + y2 Câu 4: a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c 1 CMR: b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1. CMR: 0 a, b, c Câu 5: Tính tổng S = 1+2x+3x2+4x3+.....+ nxn-1 (x≠1) Câu 6: Tìm nghiệm nguyên của PT: = 3 Câu 7: Cho biết đường cao AH và trung tuyến AM chia góc thành 3 phần bằng nhau. Xác định các góc của Đề hsg Câu 1: Rút gọn: M = Câu 2: Cho: x = Tính giá trị P = (x+y+xy+1)3 Câu 3: Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau: 2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 Câu 4: Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4 CMR: Nếu x = m; y = n Với m, n N thì P.Q là số chẵn. Câu 5: a, CMR PT: 2x2 – 4y2 = 10 không có nghiệm nguyên. b, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n > 1 sao cho: A = 12 + 22 +....+n2 là một số chính phương. Câu 6: Cho vuông cân ở A, qua A vẽ đường thẳng d sao cho B, C thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ là d, vẽ BH, CK cùng vuông góc với d (H, K là chân đường vuông góc). a, CMR: AH = CK b, Gọi M là trung điểm BC. Xác định dạng Đề hsg Câu 1: Cho a, b, c ≠ 0; a2 + 2bc ≠ 0; b2 + 2ca ≠ 0; c2 + 2ab ≠ 0 và a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 CMR: S = M = Câu 2: a, Cho a, b, c > 0 CMR: b, Cho 0 a, b, c 1 CMR: a+b+c+ + abc Câu 3: a, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = b, Tìm giá trị lớn nhất: M = (x,y > 0) Câu 4: a,Tìm nghiệm Z+ của: b, Tìm nghiệm Z của: x4 + x2 + 4 = y2 – y Câu 5: Cho , đặt trên các đoạn kéo dài của AB, AC các đoạn BD = CE. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của DE. CMR: MN // đường phân giác trong của góc của Câu 6: Tìm các số nguyên dương n và số nguyên tố P sao cho P = Đề hsg Câu 1: a, Cho a+b+c = 1; a2 + b2 + c2 = 1 và ; abc ≠ 0 CMR: xy + yz + xz = 0 b, Cho x, y, z > 0 và 2x2 + 3y2 – 2z2 = 0 CMR: z là số lớn nhất. Câu 2: a, Cho a, b, c ≠ 0 CMR: b, Cho nN, n > 1 CMR: Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất với a, b, c > 0 a, P = b, Q = Câu 5: Tìm các số chính phương sao cho chia nó cho 39 được thương số nguyên tố và dư 1 Câu 6: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Gọi F, G là trung điểm của AC, BD. a, CMR: S = b, Gọi M là giao điểm của AD, BC. Chứng minh FG đi qua trung điểm ME. Đề hsg Câu 1: Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = abc CMR: a(b2-1)( c2-1) + b(a2-1)( c2-1) + c(a2-1)( b2-1) = 4abc Câu 2: Cho n là số nguyên tố CMR: A = n4 – 14n3 +71n2 – 154n + 120 chia hết cho 24. Câu 3: Tìm nghiệm nguyên của PT: 4x2y = (x2+1)(x2+y2) Câu 4: Tìm a, b để M = x4 - 6x3 +ax2 +bx + 1 là bình phương của một đa thức khác. Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của PT: P = x2+y2 và biết x2+y2+xy = 4 Câu 6: a, Cho a, b, c > 0 CMR: có ít nhất một BĐT sai là đúng. a+b c+d (a+b)cd)( c+d)ab (a+b)( c+d) ab+cd b, Tìm các số a, b, c thoả mãn đồng thời các BĐT: ; ; Câu 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC), AD > BC. Các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên AD lấy điểm M sao cho AM có độ dài bằng độ dài trung bình của hình thang ABCD. CMR: cân tại M Đề hsg Câu 1: Cho x3 + x = 1. Tính A = Câu 2: Giải BPT: Câu 3: Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn: x = 1 - y = 1 - z = 1 - Tìm số lớn nhất trong ba số x, y, z. Câu 4: Cho x, y thoả mãn: x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x3+y3+xy Câu 5: CMR: Câu 6: Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau: x+y+z+t = xyzt Câu 7: Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho: = = 150 CMR: đều Đề hsg Câu 1: a, Cho a2 + b2 + c2 = . CMR: a = b = c b, Cho (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2. CMR: với x, y ≠ 0 c, Rút gọn: A = (x2-x+1)(x4-x2+1)(x8-x4+1)(x16-x8+1)(x32-x16+1) Câu 2: a, Tìm số nguyên dương n để n5+1 chia hết cho n3+1 b, Tìm các số a, b, c sao cho: ax3+bx2+c chia hết cho x+2 và chia cho x2-1 thi dư x+5. c, Nếu n là tổng 2 số chính phương thì n2 cũng là tổng 2 số chính phương. Câu 3: a, Cho A = 11.....1 (n chữ số 1), b = 100....05 (n-1 chữ số 0) CMR: ab + 1 là số chính phương. b, Tìm nghiệm tự nhiên của PT: x+y+1 = xyz Câu 4: a, Cho x, y N Tìm giá trị lớn nhất của A = b, Cho x, y, z > 0 x+y+z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất B = Câu 5: a, MCR: b, MCR: Câu 6: Cho vuông tại A, cạnh huyền BC = 2AB, D là điểm trên AC sao cho góc = , E là điểm trên AB sao cho góc = . F là giao điểm của BD và CE, K và H là điểm đối xứng của F qua BC, CA. CMR: H, D, K thẳng hàng. Đề hsg Câu 1: Cho M = Tính giá trị M biết: x2+9y2-4xy = 2xy- Câu 2: a, Cho a+b = ab. Tính (a3+b3-a3b3)3 + 27a6b6. b, Cho a, b thoả mãn: Tìm các giá trị có thể của N = Câu 3: a, Tìm số tự nhiên n để n4+4 là số nguyên tố. b, Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 là lập phương của số tự nhiên. Câu 4: a, Cho CMR: b, Chứng tỏ có ít nhất một bất đẳng thức sau là sai: a(a+b) b2+1 c, Chứng tỏ có ít nhất 1 BĐT sau là đúng a3b5(c-a)7(c-b)9 0; bc5(c-b)9(a-c)13 0; c9a7(b-c)5(b-a)3 0 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất: A = (x+5)4 + (x+1)4 Câu 6: Cho có 3 góc nhọn, đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D,E,F là trung điểm của BC, CA, AB, Gọi P, Q, R là trung điểm của IA, IB, IC. a, CM: PQRE, PEDQ là hình chữ nhật. b, CM: PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng. c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cùng cách đều một điểm. Đề hsg Câu 1: Cho A = 4x2+8x+3; B = 6x2+3x a, Biến đổi S thành tích biết S = A + B b, Tìm giá trị của x để A và B lấy giá trị là số đối nhau. Câu 2: Cho 3 số x, y, z thoả mãn đồng thời x2+2y = -1 y2+2z = -1 z2+2x = -1 Tính giá trị của A = x2001 + y2002 + z2003 Câu 3: CMR PT: 2x2-4y2 = 10 không có nghiệm nguyên. Câu 4: Cho 2 đường thẳng ox và oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại O, Trên ox lấy về hai phía của O hai đoạn thẳng OA = 4cm; OB = 2cm. Gọi M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn AB. MA, MB cắt nhau với oy ở C và D. Gọi E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD. a, CMR: MF + ME = (AC+BD) b, Đường thẳng CF cắt ox tại P. Chứng minh P là một điểm cố định khi M di chuyển trên đường trung trực của AB. Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số, Mẫu số là tổng các chữ số của tử số. Đề hsg Câu 1: Cho x, y > 0 sao cho: 9y(y-x) = 4x2 . Tính: Câu 2: Cho a, b, c thoả mãn: abc = 1 và CMR: Có ít nhất 1 phân số là bình phương của một trong 2 số còn lại. Câu 3: Tìm các nghiệm nguyên thoả mãn 2 BPT: 16+5x > 3+11 và Câu 4: Cho A = a, A thay đổi như thế nào nếu ta hoán vị 2 trong 3 số a, b, c. b, Tìm A nếu x=a. c, Tìm A nếu b = d, Nếu a-b = b-c > 0. Tìm x nếu phân thức thứ nhất bằng phân thức thứ 3. Tìm giá trị của phân thức thứ nhất và phân thức thứ 3. Câu 5: Cho > 0. CMR: Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD, Lấy P thuộc BD, trên tia CP lấy M sao cho PM = CP, Kẻ ME ^ AD; MF ^ AB a, CMR: AM // BD; EF // AC b, CMR: E,F,P thẳng hàng. Câu 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1, trên AB, AD lấy M,N sao cho = 450. Tính chu vi Đề hsg Câu 1: Cho M = x3+x2-9x-9; N = (x-2)2 – (x-4)2 a, Rút gọn A = b, CMR: Nếu x chẵn A tối giản. Câu 2: Tìm số có 4 chữ số thỏa mãn: 665(abcd +ab +ad +cd +1) = 738(bcd +b+ d) Câu 3: CMR: (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 1 Câu 4: Cho số chính phương M gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi số của M một đơn vị thì được một số N là số chính phương. Tìm hai số M, N. Câu 5: So sánh A, B biết: A = 20+21+....+2100+9010 B = 2101+1020 Câu 6: CHo , đường cao AF, BK, CL cắt nhau tại H. Từ A kẻ Ax AB, từ C kẻ Cy BC. Gọi P là giao của Ax và Cy. Lấy O, D, E là trung điểm của BP, BC, CA. a, CMR: đồng dạng với b, Gọi G là trọng tâm của CMR: O, G, H thẳng hàng. Đề hsg Câu 1: Rút gọn: A = , với x+y+z = 0 Câu 2: a, CMR: M = không tối giản b, CMR: Nếu các chữ số a, b, c 0 thoả mãn: : = a:c Thì: : = a:c Câu 3: a, Rút gọn: P = b, Cho Q = (mẫu có 99 chữ số 0). Tìm giá trị của Q với 200 chữ số thập phân. Câu 4: a, Cho a, b, c 0. CMR: a4+b4+c4 abc(a+b+c). b, CMR: Nếu a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác thì: a2+b2+c2 < 2(ab+ac+bc). Câu 5: Cho x, y thoả mãn: x2+y2 = 4+xy. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A = x2+y2 Câu 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1. Trên AB, AD lấy P, Q sao cho cân có chu vi là 2. a, CMR: PQ + QD = PQ b, CMR: = 450. Đề hsg Câu 1: Cho A = CMR: Nếu a+b+c = 0 thì: a, ABC = 1 b, A + B + C = 3 Câu 2: Cho nN, n > 0 CMR: Câu 3: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương. a, CMR: A = không là số nguyên. b, Tìm 5 số tự nhiên liên tiếp