Bài giảng Bài 5: Phương trình đường elip (3 tiết)

Giáo án Bài 5. Phương trình đường elip (3 tiết) I. Mục tiêu 1. Về kiến thức. Biết được định nghĩa elíp, phương trình chính tắc của elíp và hình dạng của elíp. 2. Về kĩ năng. Từ phương trình chính tắc của elíp (0 < b < a) xác định được độ dài trục nhỏ, trục lớn, tiêu cự của elíp; xác định được toạ độ các tiêu điểm và toạ độ các đỉnh của elíp. 3. Về tư duy. Phát triển tư duy lôgic và thuật toán. Thấy được sự ứng dụng trong thực tế của Toán học. 4. Về thái độ. Nghiêm túc, cẩn thận và chính xác. II. Chuẩn bị phương tiện dạy học 1. Thực tiễn. Học sinh đã được học các kiến thức cơ bản về toạ độ. 2. Phương tiện. Chuẩn bị dụng cụ vẽ elíp như trong hình 3.19 SGK. III. Phương pháp dạy học. Sử dụng phương pháp gợi mở vấn đáp. IV. Nội dung bài dạy. Tiết 1 Ngày 25/03/2008. Tiết thứ 37. Hoạt động 1. Định nghĩa đường elíp. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Thực hiện H1 và H2 trong SGK +/ H1. đường được đánh dấu bởi mũi tên trong hình 3.18a, không phải là đường tròn . +/ Bóng của đường tròn trong hình 3.18b, trên một mặt phẳng không phải là đường tròn. - Thực hiện hoạt động như trong hình 3.19 SGK. - Nắm được định nghĩa đường elíp và các tên gọi: tiêu điểm, tiêu cự. - Cho học sinh trả lời H1 và H2 trong SGK. - Cho học sinh thực hiện như trong hình 3.19 SGK. - Đưa ra định nghĩa đường elíp Cho hai điểm F1, F2 và một độ dài 2a không đổi lớn hơn F1F2. Elíp là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a. +/ F1, F2 được gọi là các tiêu điểm. +/ F1F2 = 2c được gọi là tiêu cự. Hoạt động 2. Phương trình chính tắc của elíp. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Vẽ hình minh hoạ 3.20 SGK B2 M(x,y) A2 A1 O B1 - Biết được điểm m thuộc (E) khi và chỉ khi MF1 + MF2 = 2a. - Xác định được toạ độ các tiêu điểm F1(-c; 0) và F2(c; 0). - Nắm được phương trình chính tắc của (E) với b2 = a2 - c2. - H3. Biết được a > c nên a2 - c2 > 0 nên ta luôn đặt được b2 = a2 - c2. Từ cách đặt đo suy ra a > b. - Đưa ra ví dụ về phương trình chính tắc của (E) ; ; ;. - Đưa vào elíp hệ trục toạ độ Oxy sao cho F1F2 thuộc Ox và O là trung điểm của F1F2. - Điểm M thuộc elíp (E) khi nào? - Toạ độ của F1 và F2 bằng bao nhiêu? - Đưa ra dạng phương trình chính tắc của (E) (1) với b2 = a2 - c2. - H3. tại sao ta luôn đặt được b2 = a2 - c2? Hãy so sánh a và b? - Hãy cho ví dụ về phương trình chính tắc của (E)? Hoạt động 3. Hình dạng của elíp. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Biết được nếu điểm M(x, y) thuộc (E) thì toạ độ các điểm M1(-x; y); M2(x; -y); M3(-x; -y) thay vào phương trình của (E) thoả mãn. Vậy các điểm M1(-x; y); M2(x; -y); M3(-x; -y) cũng thuộc (E). Vậy (E) có trục đối xứng Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ O. - Tìm được giao của (E) với các trục toạ độ +/ Khi y = 0 thay vào phương trình (1) ta có , suy ra (E) cắt Ox tại các điểm A1(-a; 0) và A2(a; 0) +/ Khi x = 0 thay vào phương trình (1) ta có , suy ra (E) cắt Oy tại các điểm B1(0; -b) và B2(0; b). - Nắm được khái niệm đỉnh, trục lớn và trục nhỏ của elíp. - Ví dụ. (E): có toạ độ đỉnh A1(-5; 0); A2(5; 0); B1(0; -3) và B2(0; 3); trục lớn A1A2 = 2a = 10, trục nhỏ B1B2 = 2b = 6. - H4. +/ Xác định được toạ độ các tiêu điểm của (E): là . +/ Vẽ được hình elíp 1 3 -3 -1 - Nếu điểm M(x, y) thuộc (E) thì các điểm M1(-x; y); M2(x; -y); M3(-x; -y) có thuộc (E) không? - (E) có trục đối xứng là đường nào? tâm đối xứng của (E) là điểm nào? - Hãy tìm giao của (E) với các trục toạ độ? - Đưa ra khái niệm đỉnh của elíp, trục lớn và trục nhỏ. +/ Các điểm A1, A2, B1 và B2 được gọi là các đỉnh của elíp. +/ Đoạn thẳng A1A2 , B1B2 được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elíp. - Hãy tìm toạ độ các đỉnh, độ dài các trục của (E): ? - Hãy tìm toạ độ các tiêu điểm và vẽ (E) có phương trình ? Hoạt động 4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elíp. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Biết được b2 = a2 - c2 nên khi c càng nhỏ thì b gần tiến đến a, tức là trục nhỏ của elíp càng gần bằng trục lớn. Khi đó elíp có dạng gần như đường tròn. - Biết thay x/, y/ vào phương trình đường tròn, ta được toạ độ M/ thoả mãn phương trình là một elíp (E). Biết được khi đó đường tròn (C) được co thành elíp (E). - Khi nào thì (E) có hình dạng gần như đường tròn? - Cho đường tròn (C): x2 + y2 = a2 +/ Đặt x/ = x; y/ = by/a (b < a), khi đó tập hợp các điểm M/(x/, y/) là gì? +/ Đường tròn (C) trở thành đường nào? Hoạt động 5. Củng cố. Câu 1. Đường elíp có tiêu cự bằng A. 1; B. 9; C. 2; D. 4. Câu 2. Đường elíp có tiêu điểm là : A. (3, 0); B. (0, 3); C. ; D. . Câu 3. Phương trình chính tắc của elíp có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10 là: A. ; B. ; C. ; D. . Hoạt động 6. Bài tập về nhà. Làm các bài tập 1, 2, 3, 4, 5 trong SGK trang 88. Tiết 2 Ngày 28/03/2008. Tiết thứ 37. Hoạt động 1. Xác định các yếu tố của đường elíp. Câu 1. Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của các elíp có phương trình sau: a) ; b) 4x2 + 9y2 = 1; c) 4x2 + 9y2 = 36. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Nhớ được +/ Phương trình chính tắc của elip có dạng với b2 = a2 - c2. +/ Độ dài các trục: Độ dài trục lớn A1A2 = 2a; trục bé B1B2 = 2b. +/ Toạ độ các tiêu điểm: F1(-c; 0); F2(c; 0). +/ Toạ độ các đỉnh A1(-a; 0); A2(a; 0); B1(0; -b); B2(0; b). - Từ đó xác định được a) Ta có a2 = 25; b2 = 9 => c2 = 16. Suy ra +/ Độ dài các trục: A1A2 = 10; B1B2 = 6. +/ Toạ độ tiêu điểm: F1(-4; 0); F2(4; 0). +/ Toạ độ các đỉnh: A1(-5; 0); A2(5; 0); B1(0; -3) và B2(0; 3). b) Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình chính tắc . Suy ra a2 = 1/4; b2 = 1/9. Ta có +/ Độ dài các trục: A1A2 = 1; B1B2 = 2/3. +/ Toạ độ tiêu điểm: F1(-; 0); F2(; 0). +/ Toạ độ các đỉnh: A1(-1/2; 0); A2(1/2; 0); B1(0; -1/3) và B2(0; 1/3). c) Biến đổi phương trình đã cho về dạng chính tắc . Suy ra a2 = 9; b2 = 4. Từ đó xác định được +/ Độ dài các trục: A1A2 = 6; B1B2 = 4. +/ Toạ độ tiêu điểm: F1(-; 0); F2(; 0). +/ Toạ độ các đỉnh: A1(-3; 0); A2(3; 0); B1(0; -2) và B2(0; 2). - Các phương trình đã cho có dạng chính tắc chưa? - Hãy xác định các giá trị của a, b và c từ mỗi phương trình của elip? - Độ dài trục bằng bao nhiêu? - Tiêu điểm có toạ độ như thế nào? - Các đỉnh có toạ độ xác định như thế nào? Câu 2. Đường elíp có tiêu cự bằng: A. 6/7; B. 6; C. 3; D. 9/16. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Nhớ được tiêu cự F1F2 = 2c. Từ mối liên hệ: b2 = a2 – c2. Suy ra c = 3. Vậy tiêu cự F1F2 = 6. Đáp án; B. Tiêu cự của elip xác định như thế nào? Hãy xác định giá trị của c ? Câu 3. Đường elíp có một tiêu điểm là : A. (3, 0); B. (0, 3); C. ; D. . Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Nhớ được toạ độ tiêu của elip: F1(-c; 0); F2(c; 0). Từ phương trình chính tắc của elip xác định được c = . Đáp án: C. Tiêu điểm của elip có toạ độ xác định như thế nào? Hãy xác định giá trị của c? Hoạt động 2. Viết phương trình chính tắc của elip. Câu 4. Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn và trục bé bằng 8 và 6. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Nhớ được: Phương trình chính tắc của elip có dạng (E): với b2 = a2 - c2. Độ dài trục lớn bằng 2a = 8 => a = 4 ; trục bé bằng 2b = 6 => b = 3. Phương trình chính tắc của elip là: . Phương trình chính tắc của elip có dạng như thế nào ? Độ dài trục lớn và trục bé được xác định như thế nào ? Phương trình chính tắc cần tìm? Câu 5. Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 10 và 6. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Nhớ được: Phương trình chính tắc của elip có dạng (E): với b2 = a2 - c2. Độ dài trục lớn bằng 2a = 10. Suy ra a = 5. Tiêu cự bằng 2c = 6 => c = 3. Từ mối liên hệ giữa a, b và c, suy ra b2 = 16 . Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là . Phương trình chính tắc của elip có dạng như thế nào ? Độ dài trục lớn và tiêu cự được xác định như thế nào ? Phương trình chính tắc cần tìm? Câu 6. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua A(0;3) và B(3; -12/5). Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Nhớ được: Phương trình chính tắc của elip có dạng (E): với b2 = a2 - c2. Một điểm thuộc elip khi thay toạ độ của nó vào phương trình thoả mãn. Điểm A thuộc elip nên ta có 9/b2 = 1 => b2 = 9, điểm b thuộc elip nên ta có . Từ đó tìm được a2 = 25. Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là: . Phương trình chính tắc của elip có dạng nào? Một điểm thuộc elip khi nào? Hãy tìm giá trị của a và b? Hoạt động 3. Chứng minh một điểm thuộc elip. Câu 7. Cho hai đường tròn C1(F1; R1) và C2(F2; R2). C1 nằm trong C2 và F1 khác F2. Đường tròn C thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C1 và tiếp xúc trong với C2. Chứng minh rằng tâm M của đường tròn C di động trên một đường elip. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Nhớ được: điểm M thuộc elip có tiêu điểm F1 và F2 khi và chỉ khi MF1 + MF2 = 2a (a là hằng số cho trước). Tính được MF1 = R1 – R (R là bán kính của C) và MF2 = R2 + R. Suy ra MF1 + MF2 = R1 + R2. Kết luận: M thuộc đường elip có tiêu điểm F1; F2 và độ dài trục lớn bằng R1 + R2 (đpcm). Một điểm thuộc elip khi nào? Hãy tính độ dài MF1 và MF2 theo các đại lượng đã biết? Có kết luận gì?