Bài giảng Bài tập về E líp

E LÍP Bài 1: lập phương trinh chính tắc của elíp (E) trong các trường hợp sau: 1. (E) có tiêu cự bằng 6, trục lớn có độ dài . 2. (E) có tâm sai bằng 0,8, trục lớn có độ dài bằng 10. 3. (E) có tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 0,6. 4. (E) có tổng của nửa độ dài hai trục là 10, tiêu cự . 5. (E) có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm I(. 6. (E) có tâm sai bằng và đi qua diểm J. 7. (E) đi qua A và B. 8. (E) có tiêu cự bằng 4 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 5. 9. (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 16. 10. (E) có độ dài trục nhỏ là 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 13. 11. (E) có tâm sai bằng và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 32. ĐS: 1- a= 10, b= 1 2- a= 25, b= 9 3- a= 25, b= 16 4- a= 36, b= 16 5- a= 20, b= 4 6- a= 20, b= 15 7- a= 5, b= 1 8- a= 16, b= 1 9- a= 16, b= 12 10- a= 64, b= 48 Bài 2: Lập phương trình elíp (E) có các tiêu điểm nằm trên oy đối xứng qua gốc toạ độ và a. (E) có nửa các trục là 13 và 5. b. (E) có độ dài trục lớn là 10 và tiêu cự bằng 8. c. (E) có độ dài trục nhỏ là 16 và tiêu cự bằng 12. d. (E) có tiêu cự bằng 24 và tâm sai 12/13. e. (E) có trục lớn bằng và tâm sai bằng . f. (E) có trục nhỏ bằng 16 và tâm sai bằng 3/5. g. (E) có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3. h. (E) có tâm sai bằng 3/4 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 32/3. ĐS : a- ; b- ; c- ; d- e- ; f- ; g- Bài 3 : Cho (E) : 1. Xác định trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai, đỉnh, đường chuẩn và vẽ (E) 2. Tìm m để d: y = x + m cắt (E) tại hai điểm phân biệt Bài 4: 1. Câu hỏi như bài tập 3 với (E) : 2. Cho (E): Tính diện tích của tứ giác có hai đỉnh trùng với các tiêu điểm của (E) và hai đỉnh còn lại trùng với các đỉnh của trục nhỏ. ĐS: S = 24 Bài 5: Cho một (E) có tâm sai bằng 2/3; bán kính qua tiêu điểm F của điểm M (E) bằng 10. Tìm khoảng cách từ M đến đường chuẩn ứng với tiêu điểm F. ĐS: d = 15 Bài 6: Cho một (E) có tâm sai bằng . Khoảng cách từ M (E) đến một trong hai đường chuẩn (E) là 20. Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm tương ứng. ĐS: r= 8 Bài 7: Cho (E) . Tìm những điểm thuộc (E) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái của chúng gấp hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải của chúng. ĐS : M M Bài 8: Cho (E) . a. Tìm trên (E) những điểm có hoành độ x = - 3 b. Tính khoảng cách giữa các điểm đó. c. Từ một trong hai tiêu điểm của (E) : kẻ đường vuông góc với ox cắt (E) tại I và J. Tính IJ. ĐS : a. A B AB b. IJ Bài 9: Cho elíp (E) : và M(2;1). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm của dây AB. ĐS : 32x +25y – 89 = 0 Bài 10: Cho (E) : và MN là đường kính của (E). Chứng minh rằng: tiếp tuyến tại M và N song song. Bài 11: Cho (E) : và D : Hãy lập pttt với (E) biết tiếp tuyến song song với D. Tính khoảng cách giữa các tiếp tuyến. ĐS : , khoảng cách Bài 12: Cho (E) : . Lập phương trình tiếp tuyến của (E) biết : 1. Tiếp tuyến tại M(4;3). 2. Tiếp tuyến đi qua N(4;9). 3. Tiếp tuyến song song với phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba . 4. vuông góc với ĐS : 1. 2. 3. Bài 13: Tìm trên (E) : một điểm M gần đường thẳng : nhất và tính khoảng cách d từ M đến đã cho. ĐS: M(-3;2) Bài 14: Tính khoảng cách ngắn nhất từ (E) : đến đường thẳng :. ĐS: Bài 15: Từ A(-10; 8) ta dựng các tiếp tuyến AM và AN với (E) : . Lập pt đường thẳng MN . ĐS: Bài 16: Từ A(-16; 9) ta dựng các tiếp tuyến AP và AQ với (E) : .Tính khoảng cách từ A tới PQ. ĐS : d = 18 Bài 17: Một elíp (E) có các tiêu điểm là F(-3; 0) và F(3, 0). Biết rằng (E) tiếp xúc với đường thẳng : . Lập (E). ĐS : . Bài 18: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai (E) sau: (E) : (E) : ĐS : và Bài 19: Cho (E) : và một điểm M di động trên (E). là tiếp tuyến của (E) tại M. Chứng minh rằng: tích số các khoảng cách từ các tiêu điểm của (E) đến không phụ thuộc vị trí của M trên (E). ĐS : Bài 20: Cho (E) : 1. Xác định các đỉnh và các tiêu điểm của (E). Tìm tâm sai của (E) 2. Các đường thẳng D : và D’ : cắt (E) theo các dây MN và M’N’. Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm I và I’ của các dây MN và M’N’. 3. Đường thẳng (dm) : cắt (E) tại P và Q. Tìm tập hợp trung diểm K của PQ. ĐS : (2, 3) Bài 21: Cho (E) : và (E) : 1. Viết phưong trình đường tròn đi qua các giao điểm của hai elíp. 2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai elíp. Ds 1. 2. ; Bài 22: Cho elíp . Gọi F, F là các tiêu điểm. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc elíp ta đều có a. MF.MF+ OM= a + b b. (MF- MF)= 4(OM- b) Bài 23: Cho 2 điểm cố định F, F sao cho FF= 8 a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho MFF có chu vi bằng 18. b. Lập phương trình chính tắc của tập hợp ấy. ĐS : a. Elíp b. Bài 24: Lập phương trình tiếp tuyến của hai elíp và . ĐS : , Bài 25: Cho (E) : nhận các đường thẳng và làm các tiếp tuyến. Xác định và . ĐS : =40 , = 10 Bài 26: ( Đại học Hàng hải 1990 ) 1. Viết phương trình của (E) biết F, F đo dài trục lớn là . 2. Đường thẳng d tiếp xúc với (E) tại M cắt hai trục toạ độ tại A và B. Tìm vi trí điểm M sao cho diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất. ĐS: 1. 2. M(-3;-2) M(-3;2) M(3;-2) M(3;2) Bài 27: Trong oxy cho (E) : 1. Chứng minh rằng (E) : 2. Gọi A là một giao điểm của đường thẳng y = kx với (E). Tính OA theo a,b,k. 3. Gọi A, B là hai điểm thuộc elíp sao cho OA vuông góc OB. Chứng minh rằng: const ĐS: 2. 3. Bài 28: ( Đại học Ngoại Thương 1993 ) : Cho 2 điểm A( 3cost , 0) ; B( 0 , 2sint ). Tìm tập hợp điểm M( x , y ) sao cho khi t thay đổi. ĐS : Bài 29: ( Đại học Kiến Trúc 1994 ) : Cho (E) : . Xét một hình vuông ngoại tiếp elíp ( tức các cạnh của hình vuông đều tiếp xúc với elíp ). Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh hình vuông đó. ĐS : , Bài 30: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 2 điểm đến một tiếp tuyến bất kỳ của một elíp bằng bình phương độ dài của nửa trục nhỏ. Bài 31: Cho (E) : . Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết: a. Tiếp tuyến tại A( 4 ; 0 ) b. Tiếp tuyến đi qua B( 2 ; 4) c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d. Tiếp tuyến vuông góc với ĐS : a. b. c. d. Bài 32: Viết phương trình tiếp tuyến của (E) : biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng =0 một góc 45. ĐS : ; Bài 33: Viết phương trình tiếp tuyến với (E) : biết tiếp tuyến tạo với một góc 45 Bài 34: Cho (E) : Viết phương trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp elíp (E). Bài 35: Biết rằng Elíp (E) : nhận các đường thẳng và làm tiếp tuyến. a. Xác định và , từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (E). b. Viết phương trình các tiếp tuyến của (E) đi qua điểm A( 2 , 0 ). c. Viết phương trình các tiếp tuyến của (E) đi qua điểm B( 0 , 4 ).