Bài giảng Đại số 10 Cấp số cộng

CAÁP SOÁ COÄNGCho dãy (un) với un = 2n + 5 (n  N*)Viết 5 số hạng đầu của dãy số ?Xét tính tăng giảm của dãy số ?Nhận xét quy luật của các số hạng trong dãy ?KIỂM TRA BÀI CŨ5 số hạng đầu của dãy số: u1= 7 u2 = 9 u3 = 11 u4 = 13 u5 = 15c) Kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng của dãy số đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 2KIỂM TRA BÀI CŨb) Ta có un+1 = 2(n + 1) + 5 = 2n + 7 Xét hiệu : un+1 – un = 2n + 7 – 2n – 5 = 2 > 0 Vậy dãy số trên là dãy số tăngBài giảiBài 3 CẤP SỐ CỘNGI. Định nghĩaPhương pháp: Để cm một dãy số là cấp số cộng ta cm hiệu un+1 – un bằng số d không đổiCấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số d không đổi.Số d được gọi là công sai của cấp số cộngChú ý : d = 0 => CSC là một dãy số không đổi có dạng : u1 , u1 , u1 , u1,… d > 0 => CSC là dãy số tăng d CSC là dãy số giảmun+1 = un + d (nN*)Công thức truy hồi:Ví dụ2: Dãy số sau có là cấp số cộng không? Vì sao? 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 b) 7 , 3 , -1 , -5 , -9 1 , 3 , 5 , 7 , 8 , 10 d) 12 , 6 , 0 , -5 , -11Ta có un+1 = 4(n + 1) +3 = 4n + 7Xét hiệu : un+1 – un = 4n+7 – 4n – 3 = 4 (const)Vậy dãy số trên là một CSC với công sai d = 4(Có)(Không)(Có)(Không)I. Định nghĩaBài 3 CẤP SỐ CỘNGun+1 = un + d (n N*)Công thức truy hồiPhương pháp: Để cm một dãy số là cấp số cộng ta cm hiệu un+1 – un bằng số d không đổiVí dụ1: CMR dãy (un) với un = 4n + 3 là CSCu3 = u2 + d = u1 + 2da) u2 = u1 + d = u1 + 1d u4 = u3 + d = u1 + 3d…b) un = u1 + (n – 1)d (n  2) II Số hạng tổng quátBài 3 CẤP SỐ CỘNGVí dụ 3: Cho CSC (un)  a) Biểu thị u2 ,u 3,u 4 theo u1 và d b) Từ đó biểu thị un theo u1 và dI. Định nghĩaBài giảiun = u1 + (n – 1)d (n  2) II Số hạng tổng quátBài 3 CẤP SỐ CỘNGNếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được tính bởi công thức:I. Định nghĩaBài 3 CẤP SỐ CỘNGII Số hạng tổng quátI. Định nghĩaun+1 = un + d (nN*)Công thức truy hồiun = u1 + (n – 1)d (n  2) Số hạng tổng quátVí dụ4: Cho cấp số cộng có u1 = -1, u2 = 2Tìm u15 ?b) Số 296 là số hạng thứ bao nhiêu?c) Biểu diễn 5 số hạng đầu trên trục số Ta có d = u2 – u1 = 3Theo ct số hạng tổng quát: u15 = u1 + (15 – 1)d = -1 + 14.3 = 41b) Giả sử 296 là số hạng thứ n ta có un = u1 + (n – 1)d 296 = -1 + (n – 1).3 n = 100 => 296 là số hạng thứ 100 của dãy sốu1u2u3u4u5-1581102c) 5 số hạng đầu của dãy số làu1= -1 u2 = 2 u3 = 5 u4 = 8 u5 = 11Lời giảiBài 3 CẤP SỐ CỘNGII Số hạng tổng quátI. Định nghĩaun+1 = un + d (n N*)Công thức truy hồiun = u1 + (n – 1)d (n  2) Số hạng tổng quátIII. Tính chấtuk = với k ≥ 2 uk–1 + uk+12Chú ý:Để cm 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộngta chỉ ra 2b = a + c Hay 2uk = uk–1 + uk+1Bài 3 CẤP SỐ CỘNGNếu (un) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng là trung bình cộng của số hạng đứng liền trước và liền sau nóII. Số hạng tổng quátI. Định nghĩaBài 3 CẤP SỐ CỘNGII. Số hạng tổng quátI. Định nghĩaIII. Tính chấtVí dụ 5 : Cho CSC ( un ) với un = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 …Tính tổng của 100 số hạng đầu tiênBài giải Ta có S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 S 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + …S100= (1+100) .1002u1nunIV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộngSn = n(u1 + un)2Bài 3 CẤP SỐ CỘNGNếu (un) là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 thì tổng n số hạng đầu được tính bởi công thức :Chú ý : Vì un = u1 + ( n – 1 )d nên := nu1 + n(n – 1)d2Sn II. Số hạng tổng quátI. Định nghĩaIII. Tính chấtIV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộngun+1 = un + d (n N*)un = u1 + (n – 1)d (n  2)n(u1 + un)2Sn = = nu1 + n(n – 1)d2uk = với k ≥ 2 uk–1 + uk+121, Công thức truy hồi2, Công thức số hạng tổng quát3, Tính chất4, Tổng n số hạng đầuCho dãy số (un) với un = 5 + 4na) Cm dãy (un) là cấp số cộng , tìm u1 , db) Tính tổng của 50 số hạng đầuc) Biết Sn = 1425, tìm nBài 3 CẤP SỐ CỘNGVí dụ 6 :un+1 = un + d (n N*)un = u1 + (n – 1)d (n  2)n(u1 + un)2Sn = = nu1 + n(n – 1)d2uk = với k ≥ 2 uk–1 + uk+121, Công thức truy hồi2, Công thức số hạng tổng quát3, Tính chất4, Tổng n số hạng đầuBài 3 CẤP SỐ CỘNGGiải :a, un +1 = 5 +4(n+1) = 4n + 9Xét hiệu : un+1 – un = 4n + 9 – 4n – 5 = 4 Vậy d/số trên là CSC với u1 = 9 ; d = 4b, u50 = 9 + 49.4 = 205S50 = 50(9 + 205)2= 5350c, Theo bài ra ta có :1425 = 9n +n(n - 1)2.4 => n = 25Vậy số 1425 ở vị trí thứ 25 trong dãyKiến thứcun+1 = un + d (n N*)un = u1 + (n – 1)d (n  2)n(u1 + un)2Sn = = nu1 + n(n – 1)d2uk = với k ≥ 2 uk–1 + uk+121, Công thức truy hồi2, Công thức số hạng tổng quát3, Tính chất4, Tổng n số hạng đầuCỦNG CỐHai phương pháp chứng minh một dãy số là CSC : - Dùng định nghĩa - Dùng tính chất- Vận dụng các công thức để giải các bài toán liên quanHs cần nắm được :BTVN : BT SGK_( 97 , 98 )Xin chúc quý thầy cô cùng toàn thể các em học sinh mạnh khoẻ , hạnh phúc , thành đạt !