Bài giảng Đường tròn (tiết 10)

ĐƯỜNG TRÒN I.Lập phương trình đường tròn : Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không ? Nếu có hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau : (C) có tâm I(3 ; 5) và qua điểm A(7 ; 2) (C) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng D : x – 2y + 7 = 0 (C) có đường kính AB với A(1 ; 1) và B(7 ; 5) (C) có đường kính CD với C(1 ; 5) và D(-1 ; 1) (C) có tâm là I(-1 ; 2) và chắn trên D : x + 2y + 2 = 0 một dây cung MN = 2. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm : O(0 ; 0), M(1 ; 2), N(-2 ; 4) A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3) A(4 ; 5), B(3 ; -2), C(1 ; 4) A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0) A(2 ; 1), B(2 ; 5), C(-2 ; 1) A(-2 ; 4), B(5 ; 5), C(6 ; -2) Cho bốn điểm : A(-1 ; 3), B(-2 ; 2), C(4 ; -2), D(3 ; -3) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn Lập phương trình đường tròn đó. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau : (C) có tâm I(2 ; -5) và tiếp xúc với Ox (C) có tâm I(1 ; 3) và tiếp xúc với Oy (C) qua A(9 ; 9) và tiếp xúc với trục Ox tại M(6 ; 0) (C) tiếp xúc với trục Ox tại A(2 ; 0) và khoảng cách từ tâm của (C) đến B(6 ; 4) bằng 5 (C) tiếp xúc cả hai trục tọa độ và qua M(2 ; 1) (C) tiếp xúc cả hai trục tọa độ và qua M(4 ; 2) (C) tiếp xúc cả hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng D : 4x – 2y – 8 = 0 (C) qua hai điểm A(2 ; 3), B(-2 ; 1) và có tâm nằm trên trục hoành (C) qua hai điểm A(2 ; 0), B(3 ; 1) và có bán kính R = 5 (C) qua hai điểm A(-1 ; 1), B(0 ; 2) và có tâm nằm trên đường thẳng D : 2x + 3y = 0 (C) qua hai điểm A(-1 ; 2 ), B(3 ; 0) và có tâm nằm trên đường thẳng D : 7x + y – 6 = 0 (C) tiếp xúc với đường thẳng : x – 2y + 3 = 0 tại M(1 ; 2) và có tâm nằm trên đường thẳng : x – 5y – 5 = 0. (C) tiếp xúc với đường thẳng : x – 7y + 10 = 0 tại M(4 ; 2) và có tâm nằm trên đường thẳng : 2x + y = 0. (C) tiếp xúc cả hai đường thẳng : x + y + 4 = 0, : 7x – y + 4 = 0 và có tâm nằm trên đường thẳng : 4x + 3y – 2 = 0 Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau : (C) tiếp xúc với đường thẳng D : 3x – 4y – 31 = 0 tại điểm M(1 ; -7) và có bán kính R = 5 (C) tiếp xúc với đường tròn (C’) : tại A(2 ; 0) và có bán kính R = 5 (C) qua A(5 ; 3) và tiếp xúc với đường thẳng D : x + 3y + 2 = 0 tại M(1 ; -1). (C) tiếp xúc với đường thẳng : 5x – 4y – 17 = 0 tại M(4 ; 3) và tiếp xúc với đường thẳng : x – 5y – 5 = 0. (C) qua hai điểm A(-1 ; 0), B(1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng D : x – y – 1 = 0 Cho hai đường tròn () : và . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua các giao điểm của () và () , có tâm nằm trên đường thẳng D : x + 6y – 6 = 0. Lập phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng D và D : x – y – 1 = 0. (ĐH_D_03) và D : x + y – 1 = 0. (C) : và D : x – 2 = 0. Cho tam giác ABC có B(0 ; 1), C(1 ; 0) và trực tâm H(2 ; 1). Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2 ; ) Viết phương trình đường tròn () có đường kính là OM. Viết phương trình đường thẳng D qua M và cắt hai nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho . Tìm tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp () của . Viết phương trình đường tròn đó. Cho A(4 ; 0) và B(0 ; 3). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác OAB. II.Viết Phương Trình Tiếp Tuyến : Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm Cho đường tròn (C) : . Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 0 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Oy Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và đường thẳng : x + y = 0 Cho đường tròn (C) : Chứng tỏ M(6 ; 5) nằm trên đường tròn (C). Viết phương tiếp tuyến D của (C) qua M Chứng tỏ N(0 ; -1) nằm ngoài đường tròn (C). Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) qua N Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ một điểm cho trước : Cho đường tròn (C) : . Chứng minh các tiếp tuyến tại điểm thuộc đường tròn có hoành độ bằng 1 vuông gốc với nhau. Cho đường tròn (C) : Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(5 ; -3) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng : 5x – 12y + 2 = 0 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng ’ : 3x + 4y – 7 = 0 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(3 ; 6) Cho đường tròn (C) : Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1 ; 0) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm A(3 ; -11) Lập phương trình đường tròn vuông góc với đường thẳng : x + 2y = 0 Cho đường tròn (C) : Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng : 4x + 2y – 1 = 0 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng ’ : 2x – y + 7 = 0 Cho đường tròn (C) : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng D : x + 2y = 0 Định m để đường thẳng : x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với (C) Trong đường tròn (C) : và A(8 ; -1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. Gọi E, F là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ A của (C). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm EF. Tính độ dài đường thẳng EF. Trong đường tròn (C) : và A(3 ; 5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. Gọi E, F là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ A của (C). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm EF. Tính độ dài đường thẳng EF. Cho đường tròn (C) : . Lập phương trình tiếp tuyến (D) biết: D tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân D tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 Cho đường tròn (C) : và đường thẳng d: x – y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d mà từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) tại A, B sao cho . Cho hai đường tròn và Tìm tâm và bán kính của đường tròn () và () Xét vị trí tương đối của () và () Viết phương trình tiếp tuyến chung của () và () Cho hai đường tròn và Tìm tâm và bán kính của đường tròn () và () Xét vị trí tương đối của () và () Viết phương trình tiếp tuyến chung của () và () Cho hai đường tròn và Tìm tâm và bán kính của đường tròn () và () Xét vị trí tương đối của () và () Viết phương trình tiếp tuyến chung của () và () Cho hai đường tròn và Tìm tâm và bán kính của đường tròn () và () Xét vị trí tương đối của () và () Viết phương trình tiếp tuyến chung của () và () Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau : và : và : và : và : và : và : và và và và III.Họ Đường Tròn Và Quỹ Tích : Cho () : Tìm điều kiện của m để () là đường tròn Tìm điều kiện của m để () là đường tròn có bán kính Cho () : Tìm điều kiện của m để () là đường tròn Tìm điều kiện của m để đường tròn () có bán kính bằng 1 Tìm điều kiện của m để () là đường tròn đi qua gốc tọa độ O Cho () : Tìm điều kiện của m để () là đường tròn Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn () khi m thay đổi Cho Chứng minh () là họ đường tròn Chứng minh rằng : trong các đường tròn của () có một đường tròn qua gốc tọa độ. Tìm phương trình đường tròn đó. Cho () : Tìm điều kiện của m để () là đường tròn Với giá trị nào của m thì đường tròn () tiếp xúc với đường thẳng Tìm tập hợp tâm của họ () khi m thay đổi Cho Tìm điều kiện của m để () là đường tròn Tìm các điểm cố định của họ () khi m thay đổi Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn () khi m thay đổi Cho () : Chứng minh () là họ đường tròn Chứng minh rằng khi m thay đổi, () luôn đi qua hai điểm cố định. Cho () : Chứng minh rằng khi m thay đổi, () luôn đi qua hai điểm cố định. Chứng minh rằng () luôn cắt trục tung tại hai điểm phân biệt . Cho () : Định m để () là đường tròn có bán kính nhỏ nhất Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn () Chứng minh rằng () luôn đi qua hai điểm cố định Cho () : Tìm điều kiện của m để () là đường tròn Tìm m để đường tròn () cắt trục hoành tai hai điểm A, B sao cho AB = 4 Cho () : Định m để () là một đường tròn. Khi đó tìm tọa độ tâm và bán kính Định m để () tiếp xúc với hai trục tọa độ Định m để () cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho AB = 2. Lập phương trình đường tròn đi qua A(0 ; 1) và tiếp xúc với Ox. Tìm tập hợp tâm của đường tròn đó. Tìm tập hợp các điểm : Cho và và điểm M(x ; y) thỏa mãn . Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với t. Cho hai điểm A(1 ; 1) và B(9 ; 7). Tìm tập hợp các điểm M thỏa các điều kiện sau : MA = 3 MB Cho ba điểm A(-1 ; 0), B(2 ; 4), C(4 ; 1). Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) Cho họ () : = 0. Chứng minh rằng : () luôn là đường tròn với mọi m. Tìm tập hợp tâm của họ () khi m thay đổi Chứng minh rằng : () luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định. Cho () : Chứng minh rằng : () luôn là đường tròn với mọi . Định tâm và bán kính của (). Chứng minh rằng : () luôn có một tiếp tuyến cố định và xác định tiếp tuyến đó. Cho đường thẳng D : . Chứng minh D luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Cho đường thẳng D : . Chứng minh D luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Cho đường thẳng D : . Chứng minh D luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. IV.Vị Trí Tương Đối : Xét vị trí tương đối của đường thẳng (D) và đường tròn (C) D : x + y – 2 = 0 và (C) : D : và (C) : Cho đường tròn (C) : và M(4 ; 2). Viết phương trình đường thẳng D qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm AB. Cho đường tròn (C) : và đường thẳng D : 3x – 2y – 1 = 0 Xác định vị trí tương đối của D và (C) Tìm trên D điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất Tìm trên đường tròn (C) : điểm M có khoảng cách đến đường thẳng D : 3x – 4y + 23 = 0 Nhỏ nhất Lớn nhất Cho đường tròn (C) : và đường thẳng D : y = x Chứng minh D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài đoạn AB. Viết phương trình đường thẳng qua A(2 ; 3) và cắt đường tròn (C) : tại hai điểm M, N sao cho MN = 6 Cho đường tròn (C) : và đường thẳng : 3x – 4y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng D // và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài lớn nhất. Cho đường tròn (C) : . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A(3 ; 2) và cắt (C) theo một dây cung có độ dài lớn nhất. Cho đường tròn (C) : . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A(3 ; 2) và cắt (C) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. Xét vị trí tương đối của () và () : và và Cho hai đường tròn và Chứng tỏ () và () cắt nhau tại hai điểm A, B. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B. Cho hai đường tròn và . Tìm m để () và () tiếp xúc với nhau. Cho họ đường tròn : . Tìm m để cắt đường tròn (C) : tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để và (C’) : tiếp xúc trong với nhau. Cho hai đường tròn () : và Chứng minh () và () nằm ngoài nhau. Cho M(1 ; 2). Hãy tìm hai điểm sao cho M là trung điểm của AB. Cho tam giác ABC có A(1 ; 0), B(0 ; 2) và đường tròn (C) : . Viết phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của đường tròn (C) và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO. Cho hai đường tròn () : và Viết phương trình trục đẳng phương D của () và () Chứng minh rằng nếu thì khoảng cách từ K đến tâm của () nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của (). Cho hai đường tròn () : và Chứng minh và cắt nhau tại hai điểm A, B Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và điểm C(3 ; -1) Cho điểm M(4 ; 1). Chứng minh qua M có hai tiếp tuyến đến (C). Gọi E, F là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (C). Hãy lập phương trình đường tròn (’) ngoại tiếp Cho đường thẳng : , đường tròn () : và đường tròn . Gọi I là tâm đường tròn () Tìm m sao cho cắt () tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh và () tiếp xúc với nhau. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của () và (). Cho đường tròn (C) : và đường thẳng : 3x – y + m = 0. Tìm các giá trị m để : tiếp xúc với (C) cắt (C) và (C) không có điểm chung Biện luận theo m sự tương giao của đường thẳng và đường tròn (C) (C) : và : 2x + y – m = 0 (C) : và : mx – y + 2 = 0 (C) : và : mx – y + 7 – 4m = 0 (C) : và : mx – y + 3m – 1 = 0 (C) : và : x – my + 2m + 3 = 0 V. Bài Tập Nâng Cao : Cho () : . Chứng minh rằng () luôn đi qua hai điểm cố định. Suy ra giá trị của m để () là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Cho () : . Chứng minh họ () luôn tiếp xúc nhau tại điểm cố định. Cho đường tròn (C) : và đường thẳng : x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Cho đường tròn () : có tâm là I. Xác định m để đường thẳng D : x + y + 1 = 0 cắt () tại hai điểm phân biệt A và B sao cho IAB là tam giác đều. Lập phương trình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với đường thẳng D : 3x + 4y + 20 = 0 và đường tròn (C’) : . Tìm trên đường thẳng D : 3x + 4y + 20 = 0 những điểm mà từ đó có thể kẻ tới đường tròn những tiếp tuyến có độ dài nhỏ nhất. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết phương trình các cạnh AB : 3x + 4y – 6 = 0, AC : 4x + 3y – 1 = 0, BC : y = 0 Cho hai đường tròn và có tâm lần lượt là I và J. CMR : () và () tiếp xúc ngoài nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm H Gọi D là tiếp tuyến chung của () và () không đi qua H. Tìm giao điểm K của D và IJ Viết phương trình đường tròn (C’) đi qua K và tiếp xúc với () và () tại H. Cho đường tròn (C) : và đường thẳng D : . Tìm hệ thức liên hệ giữa A, B để D tiếp xúc với (C). Gọi M, N là hai điểm thuộc (C) có và .Khi D tiếp xúc với (C), tìm A, B để tổng các khoảng cách từ M, N đến D là nhỏ nhất. Cho đường tròn (C) : và một điểm M() nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến và với (C). Trong đó là các tiếp điểm. Viết phương trình đường thẳng Giả sử điểm M chạy trên một đường thẳng D cố định, không cắt đường tròn (C). Chứng minh rằng khi đó các đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định. Cho n điểm và (n+1) số sao cho . Tìm tập hợp các điểm M sao cho VI. Một số bài toán liên quan : Định m để hệ phương trình sau có nghiệm Định m để hệ phương trình sau có nghiệm Định m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm : Định m để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm : Cho hệ phương trình Xác định m để hệ phương trình trên có hai nghiệm sao cho biểu thức : đạt giá trị lớn nhất. Cho hệ phương trình Xác định m để hệ phương trình trên có hai nghiệm sao cho biểu thức : đạt giá trị lớn nhất. Cho hệ phương trình . Định m để hệ có nghiệm nhiều nhất. Định m để phương trình sau có nghiệm : . Cho hệ bất phương trình Giải hệ khi m = 1 Định m để hệ có nghiệm duy nhất. Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : Trong các cặp nghiệm của bất phương trình . Hãy tìm cặp nghiệm có x + 3y nhỏ nhất.