Bài giảng Hình học 10 Bài 5 : Đường Elip

Những hình ảnh về đường Elip trong khoa học và đời sống1ELIPĐườngBài 5 : 2 I . CÁC ĐỊNH NGHĨACho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0)Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho F1M + F2M = 2aTrong đó a là hằng số cho trước lớn hơn cHai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip.Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.Tỉ số gọi là tâm sai của elip.M  (E )  F1M + F2M = 2a , (a > c > 0 )°°F1F22cM3 II . Phương trình chính tắc của elipyxO°(- c ; 0 )( c ; 0 )( x ; y )Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, trục Oy là trung trực của F1F2 như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ F1 , F2 là Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 , F2 . Tiêu cự F1F2 = 2c như hình vẽ. M  (E)  F1M + F2M = 2a với a > c > 0F1 ( - c ; 0)F2 ( c ; 0)và M°°F1F2 °(E)2c4xyF1F2O-ccM( x ; y )(E)°Ta có °M(x ; y)  (E)  F1M + F2M = 2a (1)F1 ( - c ; 0)F2 ( c ; 0)F1M2 = ( x + c )2 + y2F2M2 = ( x - c )2 + y2  F1M2 - F2 M2 = và F1M2 + F2 M2 = 4cx (*) 2x2 + 2y2 + 2c2 (**)(*)  F1M - F2M = (1) và (2)  F1M = và F2M = (3) Các đoạn thẳng F1M và F2M được gọi là các bán kính qua tiêu của điểm MĐộ lớn các bán kính qua tiêu của điểm M được tính theo công thức (3)5Thay (3) vào (**) và rút gọn ta thu được phương trình : (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2) (4)Vì a > c > 0 nên a2 > c2. Đặt b2 = a2 - c2 (b > 0), ta có (5) là phương trình chính tắc của elip đã cho.Ta gọi phương trình :6GHI NHỚĐịnh nghĩa : M  (E )  F1M + F2M = 2a , (a > c > 0 )Trong đó F1, F2 là hai tiêu điểm cố định, F1F2 = 2c là tiêu cự yPhương trình chính tắc của elip : Trong đó a > b > 0, c2 = a2 – b2 xF1F2O-ccM(E)°°Tiêu điểm F1 ( - c ; 0) F2 ( c ; 0) tâm sai Bán kính qua tiêu F1M = a + ex , F2M = a - ex 7Ví dụ 1: Các nhóm viết ph.trình chính tắc của elip của mình ?NHÓM I: Có a = 6, c = 2  b2 = a2 – c2 = 36 – 4 = 32. Do đó pt (E1) là:NHÓM II: Có a = 7, c = 4  b2 = a2 – c2 = 49 – 16 = 33. Do đó pt (E2) là:NHÓM III: Có a = 7, c = 6  b2 = a2 – c2 = 49 – 36 = 13. Do đó pt (E3) là:NHÓM IV: Có a = 7, c = 13/5  b2 = a2 – c2 = 1056/25. Do đó pt (E4 ) là:8E. (E) đi qua một trong các điểm N1( 6 ; 1) , N2( 8 ; – 5) và N3( – 1 ; 6) Ví dụ 2: Cho (E):. Hãy chọn mệnh đề SAI :A. Tiêu cự là 6 và hai tiêu điểm F1 ( – 3 ; 0) , F2( 3 ; 0) B. Tiêu cự là 6 và tâm sai e = 0,6C. (E) qua các điểm A1(– 5 ; 0) , A2(5 ; 0) , B1( 0 ; – 4) và B2(0 ; 4) Ví dụ 3: Cho (E):và điểm M (x0 ; y0 )  (E ). Hãy chọn mệnh đề ĐÚNG NHẤT:D. (E) đi qua M1( 3 ; 16/5) , M2( – 3 ; 16/5) , M3( 3 ; – 16/5 ) và M4(– 3 ; – 16/5) A. Các điểm M1( – x0 ; y0 ) , M2 ( x0 ; – y0) , M3 (– x0 ; – y0) cũng thuộc (E)C. – a  x0  a và – b  y0  b B. (E) cắt các trục tọa độ tại A1(– a ; 0) , A2( a ; 0) , B1(0 ; – b) , B2(0 ; b)D. Tất cả đều đúng9III.Nhận xét về hình dạng của elipxF1F2O– ccM( x0 ; y0 )°°°°M2( x0 ; – y0 )M1M3(– x0 ; – y0 )(x0 ; – y0 )A1A2yB1B2°°°°°a– a– bb1.Tính đối xứngXét elip (E) có pt chính tắc: Đường elip (E) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng  (E) cắt trục hoành tại A1(– a ; 0) và A2( a ; 0). Ta có A1A2 = 2a  (E) cắt trục tung tại B1(0 ; – b) và B2 ( 0 ; b). Ta có B1B2 = 2b2. Hình chữ nhật cơ sởTa gọi A1 , A2 , B1 , B2 là 4 đỉnh của elip (E).  Trục Ox gọi là trục lớn của (E), ta cũng gọi đoạn A1A2 là trục lớn của (E )  Trục Oy gọi là trục nhỏ của (E), ta cũng gọi đoạn B1B2 là trục nhỏ của (E ) °°°°PQRS( a ; b )( a ; – b )(– a ; b )(– a ; – b ) Hình chữ nhật PQRS có các cạnh tiếp xúc với (E) tại 4 đỉnh của (E) như hình vẽ gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E)102. Tâm sai của elip Ta đã định nghĩa tâm sai của elip là : Tâm sai của elip là tỉ số giữa tiêu cự và trục lớn của elipTa có 0 b > 0, a > c> 0 , c2 = a2 – b2 xF1F2O-ccM(E)°°Tiêu điểm F1 ( - c ; 0) , F2 ( c ; 0) Tâm sai Tọa độ các đỉnh A1(– a ; 0) , A2 ( a ; 0) , B1 (0 ; – b) , B2(0 ; b)Trục lớn A1A2 = 2aTrục nhỏ B1B2 = 2bCác trục đối xứng : x’Ox , y’Oy Tâm đối xứng : gốc tọa độ O F1M = a + ex F2M = a – ex15161718