Bài giảng Hình học giải tích

Bài giảng hình học giải tích Đ0 : Mở đầu Nguyên tắc Trực quan Các quan hệ véctơ Các liên hệ trong hệ toạ độ Đ1 : Véctơ I. Tổng quan 1. Là gì ? + là khái niệm toán học thể hiện sự tác động có thứ tự ( mối quan hệ ) giữa các điểm. 2 điểm Được tạo thành nhờ 1 hướng xác định giữa 2 điểm Cụ thể : +) Với 2 điểm A; B ta có véctơ Với A : điểm đầu B : điểm cuối +) Nếu điểm đầu trùng điểm cuối ta có véctơ 1.2) Đặc trưng của 1 véctơ Phương : là phương của 1 đt với điểm đầu, điểm cuối Gồm : Hướng : từ điểm đầu đến điểm cuối Độ lớn : độ dài đoạn với 2 điểm Cụ thể : Phương : là phương của đt MN ( đường thẳng giá ) +) Hướng : từ M đến N = MN +) Véctơ có phương tuỳ ý, hướng tuỳ ý, = o Phương Ta nói : 2 véctơ gọi là bằng nhau nếu chúng có 3 trùng Hướng Độ lớn Nhận xét: +) Với 3 đặc trưng trên người ta xác định 1 véctơ tức là không còn quan trọng vì 1 véctơ là 2điểm nút của chúng nữa mà là 3 đặc trưng trên. Do vậy : Ta có thể ký hiệu 1 véctơ kiểu đại số như : ; ; thay cho . Viết rõ ; ; nếu không thực sự quan tâm tới 2 nút. 2. Quan hệ đồng phẳng + Khái niệm này ám chỉ sự kiện 3 véctơ có thể dời về cùng một mặt phẳng và vì vậychúng sẽ phải được đặt trên 3 đt giá cùng song song với 1 mặt phẳng. Định lý : Các khẳng định sau là các mệnh đề tưong đương : 1/ đồng phẳng với & , ( & giả thiết là không cùng mặt phẳng ). 2/ ! Cặp ( k;l ) = k. + l. 3/ = = 0 Chú ý : Câu hỏi đặt ra là nhỡ cùng phẳng với thì sao tuy nhiên sự kiện này rất tầm thường bởi nhẽ : Nếu thế ; ; luôn đồng phẳng bất chấp ra sao. 3. Quan hệ + Từ định nghĩa vô hướng ta thấy quá rõ ràng rằng và có phương vuông góc với nhau . = 0 Điều tầm thường này dùng để xem xét các quan hệ = véctơ Chú ý : +) Xét 3 Vector đơn vị , , chung gốc T ( .. ) và đặt theo thứ tự tam diện vuông thuận khi đó . = .= .= 0; = = = 1 Hơn nữa : [] = []= []= Đồng thời : Với , , không đồng phẳng trong không gian 3 chiều thì ! bộ ( k; l; m ) = k. + l. + m. Nếu giờ vector trong không gian 3 chiều đều được biểu diễn tuyến tính qua ; ; thì định lượng trở lên rất đơn giản ! Định lý I ( Định lý về sự dời gốc ) * Cho trước 1 và 1 điểm gốc Tcố định, khi đó ! A thỏa = II. Các phép toán véctơ II.1 : Phép cộng +) Là phép toán thể hiện mối quan hệ không thứ tự và có tính tác động truyền dẫn giữa 2 véctơ. Luật ( Tam giác ) Cho = ; = khi đó + = + = T C Luật hình bình hành = ; = khi đó + = + = Với điều kiện TACB là 1 hình bình hành II.2: Phép trừ +) Véctơ đối của 1 véctơ = là véctơ Phương : cùng với = Có các đặc trưng Hướng : ngược với Độ lớn : = = AB Ký hiệu : = - = - + Phép trừ 2 véctơ là phép toán ngược của phép cộng 2 véctơ nó có tính thứ tự - = + ( - ) - = + ( - ) = + II.3 : Phép nhân 1 véctơ với 1 số Tác động của số k lên được định nghĩa Phương : cùng với k >0 ( cùng hướng) k = Hướng : tùy theo dấu của k k < 0 ( ngược hướng) Độ lớn : = . Chú ý : Ba phép toán ( + ); ( _ ) & nhân véctơ với 1 số gọi là 3 phép toán tuyến tính của các véctơ. Nếu = k. + k. + + k. thì ta nói được biểu diễn tuyến tính theo; với các hệ số biểu diễn tương ứng là k k / R * Định lý II ( Định lý về sự cùng phương ) cùng phương với ! k = k k được xác định qua & nhờ = dấu k phụ thuộc vào sự cùng hoặc ngược hướng giữa & Ngoài ra phép toán tuyến tính còn có một số t/c đáng lưu ý sau : + = + ( Giao hoán ) ( + ) + = + ( + ) ( Kết hợp ) k. ( + ) = k + k ( k + l ). = k. + l. ( phân phối ) II.4/ Tính vô hướng của 2 véctơ II.4.1/ Là gì ? + )Là phép toán ( quan hệ 2 ngôi trên các véctơ có tính lượng hóa II.4.2/ Định nghĩa : . = . . Cos ( ; ) Chú ý : +) Về bản chất . = . = . Với là véctơ chiếu của lên trục giá của là véctơ chiếu của lên trục của +)Tính vô hướng có tính tác động phân phối lên 3 phép toán tuyến tính và giao hoán. Cụ thể . ( k + l) = ( k + l). = k k, l / R Chả có nghĩa lý gì cho ký hiệu Còn ( ) . được hiểu là lấy trước rồi lấy hằng số = k nhân vào để được k( tích vô hướng không có tính kết hợp ) II.5/ Tích hữu hướng của 2 véctơ trong không gian II.5.1/ Về bản chất +) là phép toán véctơ thể hiện tính đóng II.5.2/ Định nghĩa : là véctơ được khai báo : + Phương cả phương & + Hướng : Luật tam diện thuận + Độ lớn : = . sin () Luật tam diện thuận III. Các định tính bằng véctơ 1. Quan hệ cùng phương +) cùng phương với được hiểu là khi 2 đường thẳng giá của chúng song song hoặc trùng nhau ( theo định lý dời gốc khi này cần dời chúng về chung một gốc vì vậy chúng được đặt trên cùng 1 giá ). Định lí 3 điều sau là 1. cùng phương với 2. ! k / ; ( k được xác định nhờ và quan hệ về hướng giữa $ ). 3. = Chú ý : +) véctơ được coi là cùng phương ( và cùng hướng với véctơ ) và vì thế hướng của nó hóa ra là bất định ! +) Quan hệ cùng phương ( cùng hướng ) giữa các véctơ có tính bắc cầu IV. Hệ tọa độ Decacty IV.1 Là gì ? +) Là hệ các véctơ biểu diễn tuyến tính qua 1 cơ sở trực chuẩn Tức là : đôi một vuông góc ( phương) Hệ cơ sở gồm độ lớn mỗi véctơ = 1 đặt theo thứ tự tam diện thuận Nhận xét : Với : = l.+ m.+ n. = l. + m. + n. Ta có : . = ll+ mm+ nn = + + = * Định nghĩa : Giả sử : = x+ y + z Với x, y, z /R Ta nói : ( x; y; z) là tọa độ của theo Phương trình 1 đt trong oxy 1. Làgì ? +) là điều kiện ràng buộc giữa các tọa độ của 1 điểm muốn vào đường thẳng. 2. làm nào để lập phương trình đường thẳng? 1 điểm đặt M VTCP +) Cần biết 2 đặc trưng 1 đặc trưng phương VTPT +) Cụ thể : Giả dụ M ( x;y); (a;b); (A,B) Lấy M (x;y) bất kỳ khi đó = t. ; t /R Pt tham số Lại có : M . = 0 A (x - x) + B ( y - y) = 0 Rút gọn : ( - Ax- By= C) Ax + By + C = 0 Phương trình tổng quát * Chú ý : ( a; b ) thì ( - b;a ) = ( A; B ) thì ( - B; A ) = II. Quan hệ của đường tròn với các đối ượng hình học khác như thế nào? 1. Với 1điểm M Nhận xét : - Sự “ xa gần ” của M với tâm T sẽ quyết định quan hệ của M với (C) Cụ thể : +) Xét P = TM2 – R2 = ( xM - a)2 + ( yM – b2) – R2 = x+ y+ Ax+ ByM + C Giá trị này gọi là phương tính của M với ( C) P< 0 TM < R M nằm trong (C) = 0 TM = R M nằm trên ( C) > 0 TM > R M nằm ngoài ( C) Với 1 đường thẳng Xét H = d2 ( I; ) – R2 < 0 : cắt ( C ) = 0 : tiếp xúc ( C ) > 0 : không có điểm chung ( C ) Vấn đề Ta sẽ đi sâu hơn vào điều kiện sao cho tiếp xúc với ( C ) Giả sử : kx + ly + m = 0 ( C ) : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 tiếp xúc với ( C ) d ( I; ) = R (*) Mà I (); R= Nên (*) = (kA + lB – 2m )2 = ( k2 + l2 ) ( A2 + B2 – 4C) Rút gọn từ phương trình chính . Và đặt - 2a = A; -2b = B; a2 + b2 – R2 = C Ta được : x+ y+ Ax + By + C = 0 Phương trình tổng quát Chú ý : +) Với 1 đường tròn cho bởi phương trình tổng quát như trên thì tâm của nó là T ( ) Còn bán kính R = Do vậy cần có điều kiện : A2 + B2 > 4C +) Trong thực hành xác định tâm và bk của đường tròn cho bởi pt tổng quát ta cần điêu luyện kỹ thuật ptik tam thức bậc 2. VD : (C) : x2 + y2 + 2..x + 9y – 478 = 0 ( x + ) + ( y - ) = ( x + ) + ( y - )= Vậy I ( ) & R =