Bài giảng Không gian vectơ tôpô

KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Bài tập 6 (chương 2) Cho X là không gian vectơ ñịnh chuẩn trên trường K và { }0x X \ .∈ θ Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X thoả mãn 0 0f 1,f (x ) x .= = Bài làm Xét { }0 0X x | K= λ λ ∈ thì 0 0x X X.∈ ⊂ Lấy tuỳ ý 0x, y X ; K.∈ α∈ Do { }0 0x, y X x | K∈ = λ λ∈ nên tồn tại 1 2, Kλ λ ∈ sao cho 1 0 2 0x .x , y .x .= λ = λ Ta thấy 1 0 2 0 1 2 0 0x y .x .x ( ).x X+ = λ + λ = λ + λ ∈ và 1 0 1 0 0.x ( .x ) ( ).x X .α = α λ = αλ ∈ Chứng tỏ 0X là không gian con của X. Xét ánh xạ 0 1 0 1 0 1 0g : X K, x .x g(x) g( .x ) . x .→ = λ = λ = λ֏ Dễ thấy 0 0g(x ) x .= Lấy tuỳ ý 0x, y X ; , K.∈ α β∈ Do 0x, y X∈ nên tồn tại 1 2, Kλ λ ∈ sao cho 1 0 2 0x .x , y .x .= λ = λ Ta luôn có 1 0 2 0g( .x .y) g( .( .x ) .( .x ))α + β = α λ + β λ = 1 2 0 1 2 0 1 0 2 0g(( ).x ) ( ). x .( . x ) .( . x ) .g(x) .g(y).= αλ + βλ = αλ + βλ = α λ + β λ = α + β Tức là g là phiếm hàm tuyến tính trên 0X . Hơn nữa 1 0g(x) g( .x )= λ = 1 0 1 0 1 0 0( . x ) . x .x x 1. x ( x X ),= λ = λ = λ = ≤ ∀ ∈ hay g là phiếm hàm bị chặn ở trên 0X . Vậy g là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên 0X . Do 0x ≠ θ nên tồn tại phần tử 0x X∈ sao cho x 1= (chẳng hạn 0 0 1 x .x ). x = Ta có 0 0x X x X x 1 x 1 g sup g(x) sup x 1. ∈ ∈ = = = = = Nói tóm lại g là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên 0X và thoả mãn 0 0g 1, g(x ) x .= = Theo nguyên lí thác triển Hahn-Banach, luôn tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X thoả mãn 0f g , f (x) g(x), x X .= = ∀ ∈ Do f g= và g 1= nên f 1.= Do 0 f (x) g(x), x X ,= ∀ ∈ và 0 0x X ,∈ 0 0g(x ) x= nên 0 0f (x ) x .= Vậy, luôn tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f : X K→ thoả mãn f 1,= 0 0f (x ) x .=