Bài giảng môn học Hình học lớp 11 - Đường thẳng – mặt phẳng

ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG 1: Một điểm, một đường thẳng thuộc một mặt phẳng. w w 2: Tìm giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng a. Cách 1: Nếu trong (a) có chứa một đường thẳng b cắt d tại I thì I chính là giao điểm của d với (a). Cách 2:Trong (a) không chứa sẵn một đường thẳng cắt d - Chọn mặt phẳng phụ (b): d Ì (b). - Tìm giao tuyến: D = (a) Ç (b) - Trong mặt phẳng phụ (b): D Ç d = {I}Þ I = d Ç (a) 3: Tìm giao tuyến D của 2 mp (a), (b). Cách 1: Tìm 2 điểm chung A, B Ỵ (a) Ç (b) Þ D º AB. Tìm điểm chung của hai mặt phẳng bằng cách: Chọn trên hai mp hai đường thẳng cắt nhau (Hai đường thẳng đồng phẳng mới có thể cắt nhau). Chọn một đường thẳng trong mp này và tìm giao tuyến với mặt phẳng kia. 4: Chứng minh nhiều điểm A, B, C, thẳng hàng. Cách 1 : Chứng minh: A, B, C Ỵ (a) Ç (b) Þ A, B, C thẳng hàng. Cách 2 : Dùng các định lý trong hình học phẳng. 5: Chứng minh nhiều đường thẳng a, b, c, đồng qui. Cách 1: Bước 1: Gọi {I} = a Ç b Bước 2: Chứng minh: I Ỵ c (I thường là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt chứa a, b và nhận c là giao tuyến) Cách 2: Bước 1: Chứng minh: a, b, c, không đồng phẳng. Bước 2: Chứng minh: a, b, c đôi một cắt nhau. 6: Chứng minh đường thẳng thay đổi d qua điểm cố định I. Bước 1 : Chứng minh: d Ì (a) cố định. Bước 2 : Chứng minh: d cắt đường thẳng a cố định tại I (a Ë (a)). Bước 3 : Tìm a Ç (a) = {I} Þ I cố định, d qua I cố định. 7: Chứng minh điểm I thay đối luôn thuộc đường thẳng cố định. Bước 1 : Tìm 2 mp (a), (b) cố định : a Ì (a), b Ì (b). Bước 2 : Tìm giao tuyến D = (a) Ç (b). Bước 3 : {I} = a Ç b Ì (a) Ç (b) Þ I Ỵ D. 8: Hình chóp và thiết diện. Để dựng thiết diện của một hình chĩp với mặt phẳng (a) ta lần lượt làm như sau Bước 1:Dựng giao tuyến của a với một mặt nào đĩ của hình chĩp Bước 2:Giới hạn đoạn giao tuyến là phần của giao tuyến nằm trong mặt đang xét của hình chĩp Tiếp tục hai bước trên với mặt khác của hình chĩp cho đến khi các đoạn giao tuyến khép kín tạo thành một đa giác,đa giác ấy là thiết diện Bµi 1: Cho tø diƯn ABCD . Gäi M, N lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa AC vµ BC . Gäi K lµ mét ®iĨm lÊy trªn c¹nh BD sao cho BK = 3 KD T×m giao tuyÕn cđa mp( MNK) víi mp(ADC) b) T×m giao tuyÕn cđa mp( MNK) víi mp(ABD) b»ng hai c¸ch. Bµi 2: Cho h×nh chãp S.ABCD víi ®¸y ABCD lµ tø gi¸c cã c¸c cỈp c¹nh ®èi kh«ng song song . T×m giao ®iĨm cđa c¸c cỈp mp ( SAC) vµ (SBD) , (SAB) vµ (SCD), ( SAD) vµ SBC) Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD víi ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh t©m O . Gäi M, N , P lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c ®o¹n BC, CD, SO . T×m giao tuyÕn cđa mp(MNP) víi c¸c mp(SAB), (SAD), (SBC) vµ (SCD) Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD . Cho O lµ mét ®iĨm thuéc miỊn trong cđa tam gi¸c BCD vµ M lµ mét ®iĨm trªn ®o¹n AO . T×m giao tuyÕn cđa mp(MCD) víi c¸c mp(ABC) vµ (ABD) Bµi 5: Cho h×nh chãp tø gi¸c S.ABCD . §¸y ABCD cã c¸c c¹nh ®èi AB vµ CD kh«ng song song víi nhau . M, N lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm c¸c c¹nh SC, SB . X¸c ®Þnh giao tuyÕn cđa 2 mp (ABM) vµ (CDN), (AMN) vµ (SAD), Bµi 6: Cho tø diƯn ABCD. Gäi M, N lÇn l­ỵt lÊy trªn c¸c c¹nh AC vµ BC sao cho MN kh«ng song song víi AB. Gäi O lµ mét ®iĨm thuéc miỊn trong cđa tam gi¸c ABD. T×m giao ®iĨm cđa AD víi mp(OMN), DC víi (OMN). Bµi 7: Cho h×nh chãp S.ABCD . Gäi M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh SC T×m giao ®iĨm cđa AM vµ mp(SBD) LÊy mét ®iĨm N trªn c¹nh BC . T×m giao ®iĨm cđa SD vµ mp(AMN) Bµi 8: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh . Gäi M lµ trung ®iĨm cđa c¹nh SC . T×m giao ®iĨm I cđa ®­êng th¼ng AM v¬Ý mp (SBC) . Chøng minh IA = 2IM T×m giao ®iĨm F cđa ®­êng th¼ng SD víi mp(ABM) . Chøng minh F lµ trung ®iĨm cđa c¹nh SD vµ tø gi¸c ABMF lµ mét h×nh thang Gäi N lµ mét ®iĨm tuú ý lÊy trªn c¹nh BC . T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp SABCD c¾t bëi mp(AMN). Bµi 9: Cho h×nh chãp tø gi¸c S.ABCD. M, N lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm c¸c c¹nh SA, SD, G lµ träng t©m tam gi¸c SCD . T×m giao ®iĨm cđa : MG vµ mp(ABCD). b) BN vµ mp (SAG). c)SB vµ (MNG). Bµi 10: Cho h×nh chãp S.ABCD. Gäi I, K lµ 2 ®iĨm trªn SA vµ SC víi SI = 2 IA, KC = 3SK. Mét mp () chøa IK c¾t SB t¹i M vµ SD t¹i N. Gäi O lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD a) CMR ba ®­êng th¼ng IK, MN, SO ®ång quy . Tõ ®ã suy ra mét c¸ch dùng ®iĨm N khi biÕt ®iĨm M b) Gäi vµ F = . CMR 3 ®iĨm S, E, F th¼ng hµng c) Gäi P = IN vµ Q = MK BC . CMR khi () thay ®ỉi ®­êng th¼ng PQ lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh. Bµi 11: Cho h×nh chãp S.ABCD. Gäi I lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AD vµ K lµ mét ®iĨm trªn c¹nh SB T×m c¸c giao ®iĨm E, F cđa IK vµ DK víi mp(SAC) Gäi . CMR 3 ®iĨm A, F, M th¼ng hµng . Bµi 12: Cho tø diƯn ABCD. Gäi E, F, G lµ 3 ®iĨm lÇn l­ỵt n»m trªn 3 c¹nh AB, AC, BD sao cho EF c¾t BC t¹i I, EG c¾t AD t¹i H. CMR CD, IG, HF ®ång quy Bµi 13: Cho h×nh chãp tø gi¸c S.ABCD. C¸c ®iĨm M, N lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh AB, SD. C¸c ®­êng th¼ng MN, BN lÇn l­ỵi c¾t mp(SAC) t¹i c¸c ®iĨm I, J. CMR ba ®iĨm A, I, J th¼ng hµng Bµi 14: Cho h×nh chãp S.ABCD vµ mét ®iĨm M thuéc miỊn trong cđa tam gi¸c SCD. T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(ABM) Bµi 15: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. Gäi M, N, E lµ ba ®iĨm lÇn l­ỵt lÊy trªn AD, CD, SO. T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(MNE) Bµi 16: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi M, N lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c ®o¹n SB vµ AD. §­êng th¼ng BN c¾t CD t¹i I Chøng minh ba ®iĨm M, I vµ träng t©m G cđa tam gi¸c SAD th¼ng hµng . T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp (CGM). CMR trung ®iĨm cđa ®o¹n SA thuéc thiÕt diƯn nµy. T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp ( AGM). Bµi 17: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang víi AB lµ c¹nh ®¸y lín . Gäi I lµ trung ®iĨm cđa SC . Mp () quay quanh AI c¾t c¸c c¹nh SB, SD lÇn l­ỵt t¹i M, N . Chøng minh MN lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh. MI kÐo dµi c¾t BC t¹i P, IN kÐo dµi c¾t CD t¹i Q. CM ®­êng th¼ng PQ lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh . Khi M di ®éng trªn ®o¹n SB th× giao ®iĨm cđa IM vµ AN ch¹y trªn ®­êng th¼ng cè ®Þnh nµo. Bµi 18: Cho hình chĩp S.ABCD với ABCD là hình thang đáy lớn là AB. Gọ I và J là trung điểm của SA, SB, M là điểm tuỳ ý trên SD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng ( SAD) và (SBC) .Tìm giao điểm K của IM với mp( SBC) Tìm giao điểm N của SC với mp(IJM). Gọi H là giao điểm của IN và JM. Khi M chạy trên SD chứng minh H ở trên một đường cố định.