Bài giảng môn học Hình học lớp 11 - Số hạng tổng quát của dãy số

Số hạng tổng quát của dãy số Chuyên đề1: Aùp dụng sai phân để tìm số hạng tổng quát. Định nghĩa : Cho y = f(x) xác định trên tập X , h > 0 hằng số . Gia số gọi là sai phân cấp 1 của f(x) tại điểm x . được gọi là sai phân cấp2 của f(x) tại x Tương tự, được gọi là sai phân cấp k của f tại x. * Định nghĩa : Phương trình sai phân la mộtø hệ thức giữa sai phân các cấp : (1) ( y được xem là sai phân cấp 0 ) Chú ý : (1) có thể viết : yn+k = an+k-1 + a2 yn+k-2 + + akyn + f(n) Nếu f(n) = 0 thì (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất Nếu f(n) thì (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất . Tính chất : T/c1: Nếu đều là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất : yn+k = a1yn+k-1 + + akyn (2) Thì cũng là nghiệm của phương trình (2). * Bây giờ ta xét phương trình (2) với các hệ số hằng a1, a2 ,, ak. Khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất (2) được tìm dưới dạng yn= . Thay biểu yn= vào (2) và sau khi ước lược cho , ta được phương trình (3) Phương trình (3) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (2) . Nghiệm của phương trình (1) và (2) phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng (3). T/c2: Nếu phương trình đặc trưng (3) có k nghiệm thực phân biệt thì y là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (2). T/c3: Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm thực bội s thì thay cho s nghiệm ứng với các đó ta lấy : (c1 + c2n + c3n2 + + csns-1) n trong đó các c1, c2 , , cs là các hằng số .Nghĩa là nếu (3) có các nghiệm bội s và các nghiệm còn lại đều thực và đơn thì : T/c4: Nếu ptđt (3) có nghiệm phức đơn thì T/c5: Nếu ptđt (3) có nghiệm phức bội s thì Định lý : Nếu là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và y là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất thì nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất đó có dạng : . Bảng một số dạng nghiệm riêng. f(n) Nghiệm của PT đặc trưng Dạng nghiệm riêng + Nghiệm f(n) = + Nghiệm = 1 bội s . + Nếu không là nghiệm của ptđt f(n) = + Nếu là nghiệm bội s của ptđt + Nếukhông là nghiệm của ptđt f(n) = Pm(n) n + Nếu là nghiệm bội s của ptđt + Nếu không là nghiệm của ptđt . f(n) = a.cos+ . b. + Nếu là nghiệm bội s của ptđt f(n) = pm(n) + Nếu không là nghiệm + của ptđt + Nếu là nghiệm bội s của ptđt f(n) = + + Nếu không là nghiệm của ptđt + Nếu là nghiệm bội s của ptđt 3. Các ví dụ : Ví dụ 1: Dãy số (un) được xác định như sau : (1) Hãy tìm un . Giải: Trước hết tìm nghiệm tổng quát của pt sai phân thuần nhất: un+2 +2un+1 – 8un = 0 (2) và có pt đặc trưng là : hay Nghiệm tổng quát pt (2) là : un = c12n + c2(-4)n Ta gọi u*= a.5n nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (1) . Khi đó ta có : a.5n+2 + 2a.5n+1 – 8a.5n = 27.5n Theo định lý nghiệm tổng quát của ph (1) là : un = c12n + c2(-4)n + 5n Ứng với n = 1 , n =2 , ta được : hay c1= -3, c2 = 2. Vậy un = 5n + 2(-4)n – 3.2n. Ví dụ 2: Cho dãy (un) thoả mãn Chứng minh rằng : ( un + 4 ) với mọi số n là số nguyên tố : Giải : Đặt xn = un + 3 , ta được : x1 = -1 , x2 = 13 , xn+2 = -xn+1 + 6xn Xét phương trình đặc trưng : Ta được : xn = . Trong đó Do đó xn = (-3)n + 2n Với n là số nguyên tố . ( Ucbt). Ví dụ 3 : Cho dãy số (un) xác định như sau : Chứng minh rằng nếu P là số nguyên tố thì . Giải: Từ hệ thức un+1 = 7un-1 – 6un-2 Ta có phương trình đặc trưng : x3 – 7x + 6 = 0 có các nghiệm x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = -3 Nên ta có nghiệm tổng quát un = a(1)n + b(2)n + c(-3)n (1). Từ giả thiết u1 = 1 , u2 =14 , u3 = -18, thay vào (1) ta có hệ phương trình sau đây xác định a , b , c Vậy dãy số (un) được xác định như sau : un = 1 + 2n + (-3)n , n = 1 , 2 ,, Vì p là số nguyên tố , nên theo định lý nhỏ Fecma , ta có : Vậy suy ra up = 1 + 2p + (-3)p . Ví dụ 4 : Tìm dãy số (un) , biết rằng : Giải : Phương trình đặc trưng của dãy có dạng : x3 - 4x2 + 5x – 2 =0 hay (x – 1)2(x – 2) = 0 . Từ đó x1,2 = 1 bội 2 , x3 = 2 Bởi vậy un = c1 + c2n + c32n khi n = 0 , 1 , 2 ta có hệ Vậy un = -1 – n + 2n . Ví dụ 5 : Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất sau : xn+7 – xn+6 + xn+5 - xn+4 – xn+3 + xn+2 –xn+1 + xn = 0 Giải: Phương trình sai phân đã cho có ptđt là : (1) Phương trình (1) có nghiệm là : Do đó ta có : Nếu ta biết 7 giá trị ban đầu thì ta sẽ tìm được c1, c2 , , c7 bằng cách giải hệ phương trình gồm 7 phưong trình và 7 ẩn . Ví dụ 6: Giải phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất sau đây : Giải : Phương trình (1) tương đương với (2) Phương trình đặc trưng có dạng : + 4 = 0 Do là nghiệm của phương trình đặc trưng. Theo bảng , nghiệm riêng có thể viết dưới dạng : Thay vào phương trình (2) ta được : 4n.2n Khai triển và cân bằng hệ số ta được : Do vậy : (*) Do Ptđt chỉ có hai nghiệm phức liên hợp , nên theo tính chất 5 ta có : (**) Do nên từ (*) và (**) ta có : (***) Do nên thay vào (***) ta được a = b = 1 suy ra xn. Bài tập : Tìm số hạng tổng quát của các dãy sau . u1 = 1, un+1 = un +2n2 . uo = 0 ; u1 = 5 ; un-2 = 2un-1 – un + 6n + 4. u0 = 0 ; u1 = 5 ; un-2 = 3un-1 – 2un + 4.3n. u0 = -1 ; u1 = 2 ; un-2 = 5un-1 –6un + (8n + 11).2n-1 u0 = 1 ; u1 = 0 ; un-2 = 2un+1 – un + sin n. Chuyên đề 2 : Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát Vấn đề1 : Dãy qui nạp tuyến tính bậc nhất . Bài toán dạng a.un+1 + b.un = f(n) , trong đó f(n) là hàm theo n Bài toán 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy Ví dụ 1: Cho dãy (un) xác định bởi Tìm số hạng tổng quát của dãy. Giải : Xét a = 1 . Ta có là cấp số cộng d = b Vậy un = c + (n –1)b Xét . Ta có thể đưa dãy về CSN công sai a Thật vậy , đặt vn = un + h ( h hằng số ) Và vn+1= avn  Ta có v1 = c + h = Vậy Chú ý a = 0 thì un = b Ví dụ 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy : Giải : Ta có Đặt . Dãy đã cho đưa về dạng Xét a = 1 . Ta có vn = c + (n -1) b Xét a ( theo ví dụ 1) Vậy Ví dụ 3 . Tìm un của dãy sau : Giải. Ta có un+1 = Lấy logarit cơ số e cả hai vế ta được lnun+1 = alnun + Đặt vn = lnun , b = Dãy đã cho trở thành Xét a =1 . Ta có : vn = c + (n – 1)b = ln Suy ra Xét . Ta có vn = Bài toán 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy Với f(n) là đa thức theo n . *Phương pháp : Ta có thể đưa về bài toán 1 bằng cách đặt vn = un + g(n) trong đó vn+1 = avn và g(n) là đa thức thoả : Nếu a = 1 thì g(n) = n g’(n) trong g’(n) đa thức cùng bậc f(n). Nếu a thì g(n) cùng bậc với f(n) . Bằng cách đồng nhất thức suy ra g(n). Ví dụ 1. Tìm số hạng tổng quát un biết Giải. Ta có a = 1 , nên ta chọn g(n) = n(bn + c) Đặt vn = un + g(n) và thoả vn+1 = avn ( a = 1) Từ đó suy ra un+1 + g(n+1) = un + g(n) do đó g(n) = -n(n – 1). Ta có vn+1 = vn suy ra vn = C ( hằng số) Suy ra un = C - g(n) = C + n(n – 1) . Từ u1 = 2 suy ra C = 2. Vậy un = n2 – n + 2 . Ví dụ 2. Tìm số hạng tổng quát un biết Giải . Ta có A = 3 , nên ta chọn g(n) = an2 + bn + c. Đặt vn = un + g(n) và thoả vn+1 = 3vn. Tương tự như ví dụ 1 , đồng nhất thức suy ra Nên . Từ đó suy ra un Vậy Ví dụ 3. Tìm số hạng tổng quát của dãy biết : Giải . Ta có Lấy logarit cơ số a hai vế ta được logau1 = 5 Đặt vn = logaun suy ra vn+1 = 3vn + n2 +1, v1 = 5 Theo ví dụ hai ta được vn = 3n-1 + Vậy un = . Bài toán 3 Tìm số hạng tổng quát của dãy Phương pháp : Ta có thể đưa bài toán về dạng bài toán 1 bằng cách : Đặt vn = un + g(n) với vn+1 = avn , đồng thời g(n) thoả : Nếu Nếu a = Thế vào biểu thức (vn) rồi đồng nhất thức hệ số , suy ra g(n) . Từ đó ta có un. Ví dụ 1 Cho dãy (un) được xác định như sau : Tìm số hạng tổng quát un của dãy . Giải . Ta có Lấy logarit cơ số a hai vế ta được logaun+1 = 3logaun + 2n (1) Nếu đặt vn = logaun ta sẽ được : Đặt wn = vn + A.2n .Thế vào wn+1 = 3wn ta được A = 1 Wn = b 3n-1 suy ra vn = b.3n-1 – 2n mà v1 = b – 2 = 1 nên b = 3 Tức là vn = 3n – 2n . Vì vn = logaun nên Vậy . Ví dụ 2. Cho dãy (un) đựơc xác định như sau : Tìm số hạng tổng quát của dãy . Giải . Ta thấy a = Nên ta đặt g(n) = A.n.4n Đặt vn+1= un + g(n) với vn+1 = 4.vn Do đó ta có : un+1 + g(n+1) = 4 (un + g(n) ) Từ vn+1 = 4vn (1) Do u1 = Ví dụ 3. Tìm số hạng tổng quát un của dãy xác định bởi : Giải . Từ Do đó Vậy Bài tập. Tìm số hạng tổng quát un của dãy Cho dãy (un) được xác định như sau : Tìm số hạng tổng quát của dãy . Tìm số hạng tổng quát un của dãy Tìm số hạng tổng quát của dãy Tìm số hạng tổng quát của dãy Tìm số hạng tổng quát của dãy Vấn đề 2 : Một số bài toán về phương trình dãy với cặp chỉ số tự do Khi gặp phương trình dãy với cặp chỉ số tự do với các thay thế chỉ số ta đưa về phương trình sai phân quen biết . Việc thay thế này có thể đưa về phương trình dãy không tương đương . Do đó khi giải xong đáp số cần phải thử lại trong một trường hợp. Ví dụ 1. Xác định số hạng tổng quát của dãy (xn) thoả mãn : Giải : Từ Pt (1) , ta suy ra : xn+1 = x1 + xn +n hay xn-1 – xn = a + n (2) đây là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1 ; phương trình đặc trưng có nghiệm (đơn) Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng là : Thay ở đây vào (2) ta được (3) Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của (1) là : Thay c = 0 vào (3) ta được : Thử lại ta thấy kết quả này thoả mãn điều kiện ban đầu . Ví dụ 2: Tồn tại hay không tồn tại dãy (xn) mà ta có : xm+n = xm + xn + m+ n. (1) Giải : Giả sử x1 = a , theo ví dụ 1 ta có Thử lại : x1 = a nên ta có tiếp : x2 = x1 + x1 +1 + 1 = 2a +2 x3 = x2 + x1 + 3 = 2a +2 + a +3 = 3a + 5 x4 = x3 + x1 + 4 = 3a + 5 + a + 4 (2) x4 = x 2 + x2 + 4 = 2(2a + 2) + 4 = 4a + 8 (3) Do 4a + 9 nên từ (2) và (3) ta có x4 vô lý . Vậy không tôn tại dãy (xn) thoả mãn điều kiện của bài toán . Ví dụ 3: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (xn) nếu biết : Giải : Hiển nhiên ta có : (2) Từ (1) và (2) ta có : xn = (3) Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (3) với điều kiện ban đầu Thử lại ta thấy kết quả này hoàn toàn đúng. Ví dụ 4 : Xác định dãy số (xn) nếu biết : xn.m = xm.xn (1) Giải : Ta có : xm = xm.1 = xm.x1 suy ra x1 = 1 Giả sử có thể nhận giá trị tuy ý . Giả sử . Khi đó ta có : Để cho gọn ta ký hiệu (2) Ta thấy phương trình (2) là phương trình tuyến tính thuần nhất . Do đó (3) Bài tập : Xác định số hạng tổng quát của dãy (xn) nếu biết : Đs : xn = Xác số không âm x0 , x1 , x2 , thoả mãn Đs : xn = n2 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (xn) nếu biết Đs : xn= (-1)n Tìm dãy số (xn) sao cho : Đs : xn = Xác định dãy số (xn) thoả mãn : Đs : xn = Xác định dãy số (xn) thoả mãn : Đs : xn = Xác định dãy số (xn) thoả mãn : Đs : xn = 2n + 2-n Vấn đề 3: Một số phương trình sai phân tự tuyến tính hoá Ví dụ1: Xác định số hạng tổng quát của dãy (xn) nếu biết : Giải : Ta có : Pt (1) Từ (2) ta thay (n+1) bởi n ta cũng có : Trừ từng vế của (2) và (3) ta được : Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (4) biết Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy (xn) nếu biết : Giải : Pt (*) Từ (1) ta thay n bởi (n – 1) ta được : Trừ từng vế của (1) và (2) ta được : Do đó : xn = t (xn+1 + xn-1). Đây là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng có phương trình đặc trưng là t đã biết cách giải. Bài tập : Xác định dãy số (xn) nếu biết : (*) ( Hd: đưa phương trình (*) về phương trình bxn = a(xn+1 + xn-1) ) Cho dãy số (xn) xác định bởi Hãy xác định số hạng tổng quát của xn. Chứng minh rằng số có thể biểu diễn thành tổng bình phương của 3 số nguyên tiếp 3. Xác định dãy số (xn) nếu biết : Đs : x 4. Xác định dãy số (xn) nếu biết : Đs : 5. Cho dãy số (xn) được xác định như sau : Hãy xác định dãy số (xn). 6. Cho dãy số (xn) là dãy thực xác định bởi : Chứng minh rằng : ( Hd : Đưa pt (*) về dạng xn+4 = 4xn+2 – xn . Vì (x1,x2,x3,x4) nên hệ thức trên chỉ ra rằng ( bằng qui nạp theo n)). Vấn đề 4 : Phương pháp đổi dãy Để xác định số hạng tổng quát của dãy số ta thường đưa phương trình của dãy về phương trình sai phân đã biết cách giải hoặc đưa đến nhưng phương trình dãy dễ giải hơn bằng cách đặc dãy số phụ còn gọi là phương pháp đổi dãy. Để tìm những cách đặc dãy số phụ ta thường nghịch đảo , logarit hoá , mũ hoá, .các biểu thức ban đầu . Sau đây là một vài ví dụ và bài tập minh hoạ. Ví dụ 1: Hãy tìm tất cả các giá trị thực a để x1 = a ; (1) , xác định một dãy , hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số . Giải: Ta có (1) (2) Đặt (3) Phương trình (3) đã biết cách giải và giải ra ta được : (4) Từ (*) và (4) ta có : (5) Ta phải tìm giá trị của a sao cho . Nghĩa là từ (5) ta cần phải có : Do đó , khi xác định một dãy và số hạng tổng quát của dãy là : . Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy (xn) nếu biết : Giải : Ta có ph (1) Đặt yn = xn + b khi đó ta có (2) phương trình này chính là phương trình sai phân tự tuyến tính hoá đã biết cách giải ( ví dụ 2 ) . Ví dụ 3 : Tìm (xn) biết (1) Trong đó : Giải. Ta có : (1) (2) Đặt . Khi đó ta có (2) (3) Phương trình (3) là phương trình sai phân tự tuyến tính hoá dạng 1 mà ta đã biết cách giải . Ví dụ 4 : Xác định dãy số (xn) biết : Trong đó : g(0) Giải . Đặt dãy phụ : (2) Khi đó ta có (3) Từ đẳng thức (3) ta có các đẳng thức sau : ; ;.; Cộng vế với các đẳng thức trên ta được Vậy từ cách đặt ẩn phụ ban đầu (2) ta có , n > 1 (4) Trong trường hợp ( c là hằng số ) Thì công thức (4) trở thành , n > 1 Hay , n > 1 (5) Như vậy ta có thể cọi việc giải pt(1) là việc tính tích . Ví dụ 5 . Xác định dãy số (xn) nếu biết x1= a > 0 , (1) Trong đó f(n) > 0 . \ Giải . Ta có (1) (2) Đặt dãy phụ (3) . Khi đó ta có : (2) (4) Lấy logarit hoá hai vế của phương trình (4) theo cơ số e ta được : lnvn+1= k.lnvn (5) Đặt dãy phụ un = lnvn (6) . Khi đó ta có : (5) (7) trong đó c là hằng số . Từ (6) và (3) ta có do đó thay vào (7) ta được Vậy (8) Từ (3) , (6) , (8) ta có Vậy Ví dụ 6. Xác dãy số (xn) nếu biết Giải . Đặt dãy (2) . Khi đó ta có : (1) (3) Từ (2) ta có : x1 = 3y1 Ta sẽ chứng minh qui nạp rằng Thật vậy : đúng . Giả sử đúng ta chứng minh Từ (3) ta có = 2 (đpcm) Thay yn= vào (2) ta được Ví dụ 7. Xác định số hạng tổng quát của dãy (xn) nếu xn thoả phương trình dãy sau dây : (1*) trong đó Giải . Ta đặt dãy phụ như sau : (1) Khi đó ta có : (1*) (2) Đặt chỉ số phụ như sau : (3) Khi đó ta có m thuộc N và ta có : Pt (2) (4) Đặt dãy phụ (5) Khi đó ta có , pt (4) (6) Đặt dãy phụ (7) Khi đó ta có : (6) (8) Do đó (9) với vk tuỳ ý và m = Từ (1) , (3) , (5) ,(7) và (9) ta có : Trong đó vk tuỳ ý và Ví dụ 8 : Giải phương trình sai phân thức : trong đó : p , q , r , s : là các số đã biết . Giải . Giả sử yn , xn : là nghiệm của hệ phương trình sai phân (1) thì là nghiệm của phương trình đã cho . Thật vậy , ta chứng minh bằng qui nạp như sau : ( đpcm) Dễ dàng giải (1) bằng cách đưa về phương trình sai phân thuân nhất Ví dụ 9 . Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (xn) thoả mãn : Giải. iNếu d > 0 : Giả sử yn và zn là nghiệm của hệ : (I) Thì là nghiệm của phương trình. Chứng minh tương tự như ở ví dụ 9. Như vậy để giải phương trình (1) cần phải giải hệ một (I) Ta có : (I) Cộng vế với vế (2) và (3) ta được : Do đó : (4) Tương tự trừ từng vế của (2) và (3) ta cũng có (5) Từ (4) và (5) ta có : (*) Do nên từ (*) ta có : Thử lại bằng qui nạp cho thấy kết quả vừa tìm được ở trên là đúng. ii) Nếu d 0 .G Giả sử yn , zn là nghiệm của hệ Thì là nghiệm của hệ . Cm tuơng tự ví dụ 9. Ta giải hệ hai như sau : (II) Ta lần lượt cộng vế theo vế và trừ vế theo vế của (6) và (7) ta có : Do nên từ (8) và (9) ta có : Vấn đề 5 : Phương pháp đưa về lượng giác và các hàm Hypebolic. I)-Cơ sở lý thuyết : Các hàm cosx , sinx có miền giá trị là [-1 ; 1] nên khi chuyển dãy số về dạng các hàm số lượng giác rát hạn chế . Chú ý dưa vào các dấu hiệu sau : x2 + y2 = k2 : Đặt |x| . Các hàm Hypebolic có miền giá trị rộng hơn có thể giải quyết được hạng chế trên và cũng có những tính chất tương tự hàm số lượng giác . Tính chất hàm số Hypebolic như sau : * Hàm sinhypebolic : MXĐ : R * Hàm coshypebolic : y = chx = MXĐ : R T/c : f(x+y) + f(x-y) = 2f(x).f(y) *Hàm Tghypebolic : y = thx = T/c : ; MGT [-1;1] Hàm Cotghyperbolic : y = cothx = T/c : f(x + y) = * ch2x + sh2x = 1 ; sh2x = 2 shx chx ch2x = 2ch2x – 1 ; sh(x+y) = shx chy + shychx ch (x+y) = chx chy + shx chy . th(x+y) = ; coth(x+y) = Ví dụ 1. Cho dãy số (un) được xác định như sau : u1 = 2 ; un+1 = , n = 1 , 2 , 3 , Chứng minh rằng Chứng minh rằng dãy đã cho không tuần hoàn . Giải . Đặt A = arctg2 ( tức là tgA = 2) . Bằng qui nạp ta sẽ chứng minh rằng dãy số un = tg(nA) (1) Thật vậy khi n = 1, thì một hiển nhiên đúng ( vì theo giả thiết u1 = 2 = tgA). Giả sử đã đúng đến n = k , tức là : uk = tg(kA) (2) Ta có : Vậy (2) cũng đúng khi n = k+1. Theo nguyên lý qui nạp thì (1) đúng Bây giờ ta giải bài toán . a) - Rõ ràng (3) Giả thiết phản chứng giả sử un = 0 . Xét hai khả năng sau : 1) Nếu n chẵn , khi đó n = 2m . Theo (3) suy ra um = 0. (4) 2) Nếu n lẻ , khi đó bao giờ ta cũng có biểu diễn n dưới dạng : Sử dụng un = 0 và công thức (3) , ta sẽ đi đến : u2s+1 = 0 (5) Từ (4) ta suy ra nếu m còn chẵn , thì ta lại thực hiện tiêps qui trình đó, cho đến khi m là lẻ. Tóm lại nếu tồn tại n sao cho un = 0, thì đi đến một số nguyên s , sao cho : u2s+1 = 0. Ta có u2s + 1 = Do đó suy ra u2s = -2. Lại theo (3) suy ra : (6) Ta biết rằng nếu us thoả mãn (6) thì us phải là số vô tỷ ( vì nghiệm của phương trình x2 – x – 1 = 0 là : ) nhưng do u1 = 2 là số hữu tỷ nên từ cách xác định : ta suy ra mọi số hạng của dãy là số hữu tỷ. Vậy đi đến đều vô lý . Như thế giả thiết phản chứng là sai . b) - Ta chứng minh một điều mạnh hơn , không dãy số đã cho không tuần hoàn mà nó chỉ nhận giá trị nào đó đúng một lần . Thật vậy giả sử tồn tại hai số hạng của dãy cùng nhận một giá trị . điều đod có nghĩa là tồn tại các số nguyên m , n với sao cho : un+m = un Từ đó ta có : tg(n+m)A = tgnA Từ (*) suy ra điều vô lý , vì theo phần một vừa chứng minh . Vậy giả thiết phản chứng là sai suy ra điều phải chứng minh . Chú ý : Dễ dàng chứng minh ( bằng qui nạp ) , vây dãy đã cho xác định với mọi x . Ví dụ 2. Cho dãy số được xác định bởi : Tìm u2003. Giải. Ta có tg Viết lại biểu thức un+1 dưới dạng sau : (1) Đặt un = tgA thì từ (1) suy ra : (2) Vì u1 = nên từ (2) theo nguyên lý qui nạp dễ dàng suy ra: Vậy : Ví dụ 3. Dãy (un) được xác định : Tìm Dãy (un) được xác định : Tìm Giải . 1. Ta chứng minh un = 2cos (1) ( Bằng qui nạp ta dễ dàng chứng minh (1)) Ta có = = = Vậy ta có : = = Từ câu 1 suy ra = Vậy Ví dụ 4. Tìm số hạng tổng quát các dãy sau : a) b) c) d) Giải . a) Đặt u1 = a = ch suy ra u2 = ch2 . Qui nạp suy ra un = ch2n-1 b) Từ giả thiết suy ra {un{ < 1 với mọi n đặt a = sin , u2 = sin2n-1 c) Đặt u1 = sh = a u2 = Tương tự. Ví dụ 5. Tìm số hạng tổng quát của các dãy . u1 = a , un+1 = u1 = a , un+1 = Giải . a) Đặt u1 = a = tga ( a , b ¹ B = tg Giả sử Ta phải chứng minh un+1 = Thật vậy un+1 = Vậy b) Đặt u1 = a = u2 = Qui nạp ta được Ví dụ 6. Tìm số hạng tổng quát của dãy : Giải . a) Đặt u1 = a = tga Qui nạp b) Đặt u1 = a = tha Qui nạp ta được un = th Bài Tập: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số a) b) c) d) 2) Hãy biểu thị an theo a , n : 3) Tìm số hạng tổng quát các dãy sau đây :