Bài giảng môn học Hình học lớp 11 - Vectơ trong không gian (Tiết 1)

Vectơ trong không gian Bài 1 : Cho hai đường thẳng d, d’ cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’. Với điểm O bất kỳ trong không gian, đặt . Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. Bài 2 : Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho . Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng. Bài 3 : Cho hình chap S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kỳ không đi qua S cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng : Bài 4 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho . Tìm điểm N trên đường thẳng B’C và điểm P trên đường thẳng A’C’ sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng Bài 5 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB’A’. M là một điểm trên OB’. Mặt phẳng (MD’C) cắt BC’ ở I và DA’ ở J. Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng hàng. Bài 6 : Cho tứ diện ABCD. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD, ADB và ABC. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD và B’C’D’. Chứng minh ba điểm A, G’, G thẳng hàng. Bài 7 : Trong không gian cho hai hình bình hành bất kỳ và . Trên các đoạn lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho : . Chứng minh rằng ABCD cũng là một hình bình hành. Bài 8 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E, F lần lượt là những điểm nằm trên các đường chéo CA’ và AB’ của các mặt bên sao cho EF//BC’. Tìm tỷ số , xác định vị trí của E và F. Bài 9 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Ba điểm M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ sao cho . Hai điểm E, F lần lượt nằm trên các đoạn thẳng CM, A’N sao cho EF//B’P. Tìm tỷ số Bài 10 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N duy nhất thuộc DC’ sap cho MN//BD’. Tính tỷ số Bài 11 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB’. Chứng minh rằng MN vuông góc với A’C Bài 12 : Trên các đường chéo D’A, A’B, B’C, C’D của các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho . Biết . Tính . Bài 13 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD. Chứng minh rằng : Bài 14 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng : Hai đường thẳng vuông góc Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi , cạnh bên SA=AB và SA vuông góc với BC Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc Sb và SD sao cho IJ//BD. Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J. Bài 2 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, góc BAD bằng , Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’. Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường AB, AD và AA’ Bài 3 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Chứng minh rằng AD vuông góc với CB Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC. Bài 4 : Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt là góc giữa BC và AD, là góc giữa AC và BD, là góc giữa AB và CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng có một số hạng bằng tổng của ba số hạng còn lại. Bài 5 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AC, AD sao cho , trong đó k là số dương cho trước. Chứng minh rằng : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Bài 1 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng Gọi d là giao tuyến của (SAB) và (SCD), d’ là giao tuyến của (SBC) và (SAD). Chứng minh Bài 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A xuống SB, SC. Chứng minh rằng Tứ giác BCC’B’ nội tiếp. Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều có . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Chứng minh rằng : Chứng minh rằng Bài 4 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng Chứng min rằng H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng Chứng minh rằng các góc của tam giác ABC đều nhọn Bài 5 : Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng Tính độ dài SH Gọi M là một điểm thuộc CD sao cho . Tính độ dài AM theo a Bài 6 : Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), ABC là tam giác vuông tại A Chứng minh ACS là tam giác vuông Tính SA, SB, SC biết rằng các góc Bài 7 : Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với và tính diện tích của thiết diện này. Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a, SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là một điểm trên cạnh AB, là mặt phẳng qua M vuông góc với AB. Đặt x = AM với 0 < x < a Tìm thiết diện của hình chóp với . Thiết diện là hình gì ? Tìm diện tích của thiết diện theo a và x Hai mặt phẳng vuông góc Bài 1 : Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) Cm : Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Cmr : Bài 2 : Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng (BDC). Vẽ đường cao BE, DF của tam giác BCD và đường cao DK của tam giác ACD Cmr Cmr Gọi O và H lần lượt là trực tâm của tam giác BCD và ACD. Cmr Bài 3 : Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O. AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đặt SO = h. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính góc giữa mp(SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa a và h để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB), (SCD). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Tính Các góc giữa các mặt phẳng chứa các cạnh bên và mặt đáy của hình chóp. Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai cạnh bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp. Bài 5 : Trong mặt phăngt (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P) vẽ nửa đường tròn đường kính EF. Gọi S là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn đó Cm Gọi H’, K’ lần lượt là hình chiếu của các trực tâm H, K của các tam giác SAD và SBC xuống (P). Cmr HH’.KK’ không phụ thuộc vào vị trí của điểm S Bài 6 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC’ và A’B Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC và DD’. Cmr Bài 7 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi là trung điểm của CC’ Tính góc giữa hai đường thẳng và A’B’. Tính góc giữa hai mặt phẳng và Cmr hình chóp là hình chóp tứ giác đều Một mặt phẳng (P) chứa cạnh AB tạo với mặt đáy (ABC) góc và cắt hình lăng trụ đã cho theo hình có diện tích khác 0. Tính diện tích thiết diện đó theo a và Bài 8 : Trên các cạnh Ox, Oy, Oz của tam diện vuông Oxyz lấy các điểm A, B, C sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Cmr tam giác ABC nhọn Tính OH, OG và diện tích tam giác ABC theo a, b, c Cmr Gọi là góc tạo bởi OH với OA, OB, OC. Cmr Bài 9 : Cho lăng trụ đứng OAB.O’A’B’. Biết OO’ = h, tam giác OAB vuông ở O, OA = a, OB = b. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với AB’ Chỉ rõ cách xác định thiết diện do (P) cắt lăng trụ.Thiết diện là hình gì? Tìm liên hệ giữa a, b, h để thiết diện là tam giác , khi đó tính diện tích thiết diện.