Bài giảng ôn thi vào đại học phương trình đường thẳng

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Phương trình đường thẳng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Các dạng phương trình đường thẳng a) Khái niệm véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của đường thẳng  Véc-tơ 0n    là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng  , ký hiệu n    hoặc n   , nếu giá của n  vuông góc với  .  Véc-tơ 0u    là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng  , ký hiệu u    hoặc u   , nếu giá của u  song song hoặc trùng với  . b) Các dạng phương trình đường thẳng Dạng 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng nhận  ;n a b  làm véc-tơ pháp tuyến có dạng : 0ax by c    . Dạng 2. Phương trình tham số của đường thẳng  qua  0 0;x y và nhận  ;u a b  làm véc-tơ chỉ phương là 0 0 : x x at y y bt       , ( t là tham số). Chú ý.  Ý nghĩa của tham số: Mỗi điểm M thuộc đường thẳng  tương ứng với một giá trị cụ thể của tham số.  Một đường thẳng có vô số phương trình tham số. Dạng 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm  0 0;M x y và nhận  ;u a b  làm véc-tơ chỉ phương là 0 0x x y y a b    , ở đây a , b là những số khác 0 . Chú ý. Chỉ có những đường thẳng với véc-tơ chỉ phương có cả hoành độ và tung độ đều khác 0 mới có phương trình chính tắc. Dạng 4. Phương trình dạng hệ số góc của đường thẳng  có dạng : y kx m   , số k được gọi là hệ số góc của  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 Chú ý.  Ý nghĩa hình học của hệ số góc: Nếu 0k  đặt M Ox  , gọi Mt là nửa đường thẳng  ở phía trên Ox . Khi đó tank xMt (Hình 1).  Phương trình tổng quát 0ax by c   chỉ có thể đưa được về dạng hệ số góc nếu 0b  . Như vậy, đường thẳng có phương thẳng đứng ( 0b  ) không có dạng hệ số góc. M y xO t Hình 1 Dạng 5. Phương trình đoạn chắn của đường thẳng  đi qua hai điểm  ;0A a và  0;B b là : 1x y a b    , ở đây a , b là những số khác 0 . Phương trình đoạn chắn cho ta một cách lập phương trình đường thẳng một cách nhanh chóng khi biết các giao điểm của đường thẳng ấy với các trục tọa độ. 2. Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng  Phương trình đường thẳng đi qua điểm  ;M a b và vuông góc với trục hoành là x a .  Phương trình đường thẳng đi qua điểm  ;M a b và vuông góc với trục tung là y b .  Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng 0ax by  , với 2 2 0a b  .  Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt: Xét  ;A AA x y ,  ;B BB x y . +) Nếu A B A B x x y y    thì đường thẳng AB có phương trình chính tắc là : A A B A B A x x y yAB x x y y      . +) Nếu A Bx x thì đường thẳng AB có phương trình là : AAB x x . +) Nếu A By y thì đường thẳng AB có phương trình là : AAB y y . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 B. Các dạng toán hay gặp Dạng 1. Một số bài toán cơ bản về lập phương trình đường thẳng  Phương pháp giải toán và các ví dụ Các bài toán cơ bản về lập phương trình đường thẳng cùng với phương pháp giải và ví dụ được trình bày ngắn gọn trong bảng sau. Chúng tôi yêu cầu học sinh đọc phương pháp và thực hành bằng cách tự giải các ví dụ cho ở cột thứ ba của bảng. Bài toán Phương pháp giải Ví dụ 1. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm  0 0;M x y và nhận  ;n a b  làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng  là    0 0: 0a x x b y y     . Ví dụ 1.  2; 1M  ,  2; 3n   . Đáp số: : 2 3 7 0x y    . 2. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm  0 0;M x y và nhận  ;u a b  làm véc-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng  là 0 0 : x x at y y bt       . Ví dụ 2. 1 ;3 2 M      ,  7;4u  . Đáp số: 1 7 : 2 3 4 x t y t         . 3. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm  0 0;M x y và song song với đường thẳng ' : 0ax by c    . Nếu điểm M không thuộc đường thẳng ' thì tồn tại đường thẳng  .  song song với đường thẳng ' nên nhận véc-tơ pháp tuyến  ;n a b  của đường thẳng ' làm véc-tơ pháp tuyến. Do đó    0 0: 0a x x b y y     . Ví dụ 3.  2;1M  , ' : 3 7 0x y    . Đáp số: : 3 1 0x y    . 4. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm  0 0;M x y và vuông góc với đường thẳng ' : 0ax by c    .  vuông góc với đường thẳng ' nên nhận véc-tơ pháp tuyến  ;n a b  của đường thẳng ' làm véc-tơ chỉ phương. Do đó Ví dụ 4.  3;4M , 3 2' : 7 0x y    . Đáp số: 3 3 : 4 2 x t y t       . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 0 0 : x x at y y bt       . 5. Lập phương trinh đường thẳng đi qua hai điểm A và B . Áp dụng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. Ví dụ 5.  13;2A ,  4;7B . Đáp số: 13 2: 9 5 x yAB    . 6. Lập phương trình đường trung trực  của đoạn thẳng AB .  chính là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và nhận véc-tơ AB  làm véc-tơ pháp tuyến. Ví dụ 6.  2;5A ,  4;7B . Đáp số: : 9 0x y    . 7. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm  0 0;M x y và có hệ số góc k . Phương trình đường thẳng  là  0 0: y k x x y    . Ví dụ 7.  2; 4M  , 17k  . Đáp số: : 17 38y x   . 8. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm  0 0;M x y và tạo với trục hoành góc  . Phương trình đường thẳng  có dạng  0 0: y k x x y    . k có hai giá trị là tan . Ví dụ 8.  1; 2M  , 60   . Đáp số: : 3 2 3y x    hoặc : 3 2 3y x     . Chú ý. Trong các dạng phương trình đường thẳng thì phương trình tổng quát và phương trình tham số dễ sử dụng hơn cả. Do đó, trong nhiều tình huống ta cần đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát hoặc tham số.  Tham số hóa để lập phương trình tham số của đường thẳng Ở Ví dụ 1, cho 3x t , suy ra 7 2 3 y t   . Do đó, phương trình tham số của  là 3 : 7 2 3 x t y t        .  Khử tham số từ phương trình tham số Trong Ví dụ 2, khử tham số t , ta được phương trình chính tắc 1 2 3: 7 4 x y    , suy ra phương trình tổng quát : 4 7 19 0x y    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 Ví dụ 9. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm  4; 3C  và cắt các trục tọa độ tại hai điểm A , B sao cho tam giác OAB cân. Giải Thấy tam giác OAB vuông tại O nên tam giác chỉ có thể cân tại O , có nghĩa là đường thẳng  tạo với trục hoành góc 45 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi hệ số góc k của  bằng tan 45 1   . Đường thẳng  còn đi qua điểm  4; 3C  , suy ra  : 4 5y x    , hay : 9y x   ; hoặc  : 4 5y x     , hay : 1y x    . Vậy phương trình đường thẳng  là 9y x  hoặc 1y x   . Ví dụ 10. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm  2; 9M  và cắt các trục tọa độ tại hai điểm P , Q sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng PQ . Giải Giả sử P , Q lần lượt thuộc trục hoành, trục tung. Suy ra tọa độ của hai điểm này có dạng  ;0P p ,  0;Q q . Điểm M là trung điểm của PQ nên 2 2 9 2 p q        , suy ra 4 9 p q     . Áp dụng phương trình dạng đoạn chắn, suy ra : 1 4 9 x y    . Ví dụ 11. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết  2; 3M  , 1 ;0 2 N      ,  7;4P  lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA của tam giác. Giải AB đi qua  2; 3M  và nhận 13 ;4 2 NP      là véc-tơ chỉ phương, véc-tơ này cùng phương với véc-tơ  13; 8 . Do đó 2 3: 13 8 x yAB    , hay : 8 13 23 0AB x y   . P N M A B C BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 Tương tự, BC đi qua 1 ;0 2 N      và nhận  9; 7PM   làm véc-tơ chỉ phương nên 1 2: 9 7 x yBC    , hay 7: 7 9 0 2 BC x y   . CA đi qua  7;4P  và nhận  52 ;3MN   là véc-tơ chỉ phương, véc-tơ này cùng phương với véc-tơ  5; 6 . Do đó 7 4: 5 6 x yCA    , hay : 6 5 22 0CA x y   .  Bài tập tự giải Bài 1. Lập phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau. 1)  qua  2; 1M  và nhận  3; 1n   làm vectơ pháp tuyến. 2)  qua 1 ;3 2 M      và nhận  2;0u  làm vectơ chỉ phương. 3)  qua  1;4M và song song với đường thẳng ' : 2 12 0x y    . 4)  qua 31; 4 M      và vuông góc với đường thẳng ' : 3 12 0x y     . 5)  qua  1;4M và có hệ số góc bằng 5 . 6)  đi qua hai điểm  2;4A và  2; 1B  . 7)  đi qua hai điểm  3;0A và  0; 1B  . 8)  là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút  1;7A  và  2; 4B  . 9)  qua 23; 3 M      và tạo với trục hoành góc 30o . Đáp số: 1) : 3 7 0x y    . 2) : 3y  . 3) : 2 7 0x y    . 4) 15:3 0 4 x y    . 5) : 5 1y x   . 6) : 2x  . 7) : 3 3 0x y    . 8) : 3 11 15 0x y    . 9) 1 2: 3 33 y x    hoặc 1 2: 3 33 y x     . Bài 2. Đưa phương trình đường thẳng  về dạng tổng quát BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 1) : 2x  . 2) : 1 2 3 x y    . 3) 1: 7 2 y x   . 4) 1 2: 7 5 x y    . 5) 1 2 : 2 5 x t y t        . 6) 1 2 : 2 x t y       . Đáp số: 1) : 2 0x   . 2) : 3 2 6 0x y    . 3) : 2 14 0x y    . 4) : 5 7 19 0x y    . 5) : 5 2 9 0x y    . 6) : 2 0y   . Bài 3. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm  4; 4M  và tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích bằng 4 . Đáp số: : 2 4 0x y    hoặc : 2 4 0x y    . Bài 4. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm  1;4M và tạo với phần dương của hai trục tọa độ tam giác có diện tích nhỏ nhất. Đáp số: : 4 1 0x y    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 Dạng 2. Bài toán tìm điểm  Nội dung phương pháp Để giải những bài toán dạng này, ta cần biết cách khai thác sự kiện một điểm thuộc một đường thẳng.  Điểm  0 0;M x y thuộc đường thẳng : 0ax by c    khi và chỉ khi 0 0 0ax by c   . Từ đó, ta có thể rút 0x theo 0y hoặc 0y theo 0x . Do đó, việc tìm tọa độ điểm M được quy về tìm một con số ( 0x hoặc 0y ).  Điểm M thuộc đường thẳng 0 0 : x x at y y bt       khi và chỉ khi tọa độ của M có dạng  0 0;M x at y bt  . Như vậy, việc tìm điểm M được quy về tìm giá trị của tham số t .  Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho đường thẳng 1 2 : 1 x t y t        . 1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng  sao cho 5MA  với  1; 5A   . 2) Điểm  2;7N  có thuộc  không? Giải 1) Điểm M thuộc đường thẳng  tọa độ nên M có dạng  1 2 ; 1M t t   . Giả thiết 5MA  tương đương với 2 25MA  , hay 2 1 0t   . Phương trình trên có nghiệm 1t   . Vậy  3; 2M  hoặc  1;0M  . 2) Thay tọa độ điểm N vào phương trình  , ta có 2 1 2 7 1 t t         3 2 8 t t       t . Vậy N không thuộc  . Ví dụ 2. Cho  1;2A  và  3;7B . Tìm điểm C thuộc đường thẳng : 4d y x  sao cho 1) Tam giác ABC vuông tại C . 2) Tam giác ABC cân tại C . Giải 1) Điểm C thuộc đường thẳng d nên tọa độ C có dạng  ; 4C c c  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 Ta có          21 3 2 3 2 3 3 2 3 9CA CB c c c c c c c c               . Tam giác ABC vuông tại C khi và chỉ khi C không trùng với A , B và . 0CACB    , hay 22 3 9 0c c   . Phương trình trên có nghiệm 3c  và 3 2 c   , suy ra  3;7C hoặc 3 5; 2 2 C      . Ta thấy hai điểm C tìm được đều không trùng với A , B nên thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2) Ta có    2 22 21 2 2 6 5CA c c c c       ,  22 22 3 2 12 18CB c c c     . Do đó ABC cân tại C khi và chỉ khi C không thuộc đường thẳng AB và CA CB , hay 2 22 6 5 2 12 18c c c c     . Phương trình trên có nghiệm duy nhất 13 18 c  , suy ra 13 85; 18 18 C      . Khi đó  4;5AB  , 31 49; 18 18 AC       . Ta thấy 31 494 : 5 : 18 18  nên C không thuộc đường thẳng AB . Vậy 13 85; 18 18 C      . Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng 1 2: 3 1 x y    và 2 2 2 : x t y t      . Hãy tìm điểm A thuộc 1 và B thuộc 2 sao cho đoạn thẳng AB nhận điểm 13 ;1 2 I      làm trung điểm. Giải Đường thẳng 1 có phương trình tham số là 1 2 3 : x s y s       ( s là tham số). A thuộc 1 , B thuộc 2 nên tọa độ của A , B có dạng  2 3 ;A s s  ,  2 2 ;B t t . AB nhận I là trung điểm khi và chỉ khi    2 3 2 2 13 2 2 1 2 s t s t          . Giải hệ ta được 1s  , 3t  . Do đó  5; 1A  và  8;3B . Chú ý. Trong một bài toán, nếu đồng thời sử dụng phương trình tham số của nhiều hơn một đường thẳng thì ký hiệu tham số của các đường thẳng khác nhau bắt buộc phải khác nhau. Trong Ví dụ 3, hai tham số của hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt là s và t . Trong các ví dụ còn lại của phần này, chúng tôi trình bày một số bài toán liên quan đến hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 Ví dụ 4. Cho điểm  2;7A  và đường thẳng : 1 0x y    . 1) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên  . 2) Tìm tọa độ điểm 'A đối xứng với A qua  . Giải 1) Điểm  ;H a b là hình chiếu của A lên  khi và chỉ khi H thuộc  và AH  cùng phương với véc-tơ pháp tuyến  1;1n  của  , tức là 1 0 2 7 1 1 a b a b          1 9 a b a b         5 4 a b       5;4H  . 2) Ta thấy 'A chính là điểm đối xứng với A qua H nên ' ' 2 8 2 1 A H A A H A x x x y y y         , suy ra  ' 8;1A  . Chú ý. Trong Ví dụ 4, ta có thể tính 'A một cách trực tiếp (không thông qua H ) như sau.  ' ;A a b đối xứng với A qua  khi và chỉ khi trung điểm của AB thuộc  và 'AA  cùng phương với véc-tơ pháp tuyến  1;1n  của  , tức là 2 7 1 0 2 2 2 7 1 1 a b a b             ' 8;1A  . Ví dụ 5. Cho đường thẳng : 2 5 0d x y   . Viết phương trình đường thẳng ' đối xứng với đường thẳng : 3 15 0x y    . Giải Xét hệ gồm phương trình của d và  2 5 0 3 15 0 x y x y        . Hệ này có nghiệm duy nhất 0x  , 5y  . Do đó d cắt  tại  0;5A . Từ phương trình  , cho 0y  ta được 15x   . Do đó điểm  15;0B  thuộc  . Điểm  ' ;B a b đối xứng với B qua d khi và chỉ khi trung điểm của 'BB thuộc d và 'BB  cùng phương với véc-tơ pháp tuyến  2; 1n   của d , điều này có nghĩa là BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 152 5 0 2 2 15 2 1 a b a b            2 20 2 15 a b a b        5 10 a b       ' 5; 10B  . ' chính là đường thẳng đi qua A và 'B cho nên 5' : 5 15 x y      ' : 3 5 0x y    . Chú ý (Cách lập phương trình đường thẳng đối xứng với một đường thẳng qua một đường thẳng khác) Bài toán lập phương trình đường thẳng ' đối xứng với đường thẳng  qua đường thẳng d có hai tình huống sau đây. Tình huống 1.  và d cắt nhau. Khi đó, gọi A là giao điểm của  và d , lấy điểm B thuộc  ( B khác A ) và 'B đối xứng với B qua d . Đường thẳng  chính là đường thẳng đi qua hai điểm A và 'B . Tình huống 2.  song song với d . Khi đó, lấy điểm B thuộc  và 'B đối xứng với B qua d . Đường thẳng  chính là đường thẳng đi qua điểm 'B và song song với  . d ' B' A B Tình huống 1:  và d cắt nhau d 'B' B Tình huống 2:  song song với d Ví dụ 6. Cho hai điểm  2;1A và  5;2B . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Giải Ta giải bài toán nói trên theo hai cách. Cách 1 (Quy về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức). Điểm M thuộc trục hoành nên có tọa độ dạng  ;0M m . Ta có BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12    2 22 22 1 5 2MA MB m m       . Áp dụng bất đẳng thức u v u v       với  2;1u m  và  2;1v m   , ta có 3 2MA MB u v u v          . Suy ra 3 2MA MB  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 1 0 5 2 m m     , hay 3m  . Vậy MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi  3;0M . Cách 2 (Sử dụng phép đối xứng trục). Gọi 'A là điểm đối xứng với A qua trục hoành. Vì phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách nên ' 'MA MB MA MB A B    . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của đoạn 'A B với trục hoành ( 'A và B nằm về hai phía trục hoành nên điểm M như thế tồn tại). Dễ thấy  ' 2; 1A  . Suy ra phương trình đường thẳng 'A B là 2 1' : 3 3 x yA B   , hay ' : 3 0A B x y   . Từ phương trình 'A B , cho 0y  suy ra 3x  . Vậy  3;0M . x B A' A M Chú ý (Bài toán tổng quát của Ví dụ 6. Ta xét bài toán: Cho hai điểm A , B không thuộc đường thẳng  . Tìm điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.  Tình huống 1: A và B nằm khác phía  . Khi đó điểm M cần tìm chính là giao điểm của đường thẳng AB với  .  Tình huống 2: A và B nằm về cùng một phía  . Khi đó, lấy điểm 'A đối xứng với A qua  . Nếu làm như vậy thì 'MA MB MA MB   và MA MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của 'A B với  . Vấn đề còn lại là làm cách nào để biết A và B nằm về cùng một phía hay khác phía  ? Để trả lời câu hỏi này, ta xử dụng kiến thức sau. Xét đường thẳng : 0ax by c    , ký hiệu  ;F x y là biểu thức ở vế trái của phương trình tổng quát của phương trình  . Đường thẳng  chia mặt phẳng tọa độ làm hai phần: một phần gồm tất cả những điểm  0 0;x y mà  0 0; 0F x y  , phần còn lại gồm tất cả những điểm  0 0;x y mà  0 0; 0F x y  . Như vậy,     0F A F B  là điều kiện cần và đủ để A và B nằm về cùng một phía của  . Tương tự,     0F A F B  là điều kiện cần và đủ để A và B nằm về cùng một phía của  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13  Bài tập Bài 1. Cho 1 : 5 0d x y   và 2 : 3 4 2 0d x y   . Giả sử  là đường thẳng đi qua điểm  1; 4A  và cắt 1d , 2d lần lượt tại các điểm B , C sao cho C là trung điểm của AB . Tìm tọa độ điểm B . Đáp số:  3;2B . Bài 2. [ĐHB11Chuẩn] Cho : 4 0x y    và : 2 2 0d x y   . Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho ON cắt đường thẳng  tại điểm M thỏa mãn 8OM ON  . Đáp số:  0; 2N  hoặc 6 2; 5 5 N      . Bài 3. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC cân tại A biết  3; 2B   ,  5;2C và A nằm trên đường thẳng : 2 7 0d x y   . Đáp số:  1;4A  . Bài 4. Cho điểm  6;4A  và đường thẳng : 4 5 3 0x y    . 1) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên  . 2) Tìm tọa độ điểm 'A đối xứng với A qua  . Đáp số: 1) Hình chiếu của A lên  là  2; 1H   . 2)  ' 2; 6A  . Bài 5. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng : 2 2 0d x y   qua đường thẳng : 1 0x y    . Đáp số: 2 1 0x y   . Bài 6. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng : 2 2 0d x y   qua đường thẳng điểm  1;3I  . Đáp số: 2 12 0x y   . Bài 7. Cho đường thẳng : 2 1 0x y    và hai điểm  1;6A và  3; 4B   . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Đáp số:  0;1M . Bài 8. Cho đường thẳng : 3 1 0x y    và hai điểm  4;1A và  0;4B . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Đáp số:  2;5M . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 Dạng 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng  Nội dung phương pháp Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta thường đưa phương trình của cả hai đường thẳng về dạng tổng quát: 1 1 1 1: 0a x b y c    , 2 2 2 2: 0a x b y c    . Bài toán nói trên được quy về việc xét số nghiệm của hệ 1 1 1 2 2 2 0 0 a x b y c a x b y c        . (1) Hệ nói trên tương đương với 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c        . Ký hiệu 1 1 2 2 a b D a b  , 1 1 2 2 x c b D c b    , 1 1 2 2 y a c D a c    .  1 và 2 cắt nhau  hệ (1) có nghiệm duy nhất  0D  . Trong trường hợp này nghiệm duy nhất của hệ (1) là xDx D  , y D y D  , nghiệm của hệ đồng thời là tọa độ giao điểm của 1 và 2 .  1 và 2 song song  hệ vô nghiệm  2 2 0 0x y D D D     .  1 và 2 trùng nhau  hệ có vô số nghiệm 0x yD D D   .  Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng 21 : 1 0mx y m     và  2 : 2 2 0m x my     . Biện luận theo m vị trí tương đối giữa hai đường thẳng nói trên. Giải Xét hệ gồm hai phương trình 1 và 2   2 1 0 2 2 0 mx y m m x my              2 1 2 2 mx y m m x my         . Ta có 2 1 2 2 m D m m m m      , 2 31 1 2 2x m D m m m      , BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15 2 3 21 2 3 2 2 2y m m D m m m m        . Do đó +) 0D   1 2 m m     : Hệ có nghiệm duy nhất  hai đường thẳng cắt nhau. +) 1m   0x yD D D   : Hệ có vô số nghiệm  hai đường thẳng trùng nhau. +) 2m   0 0x D D    : Hệ có vô nghiệm  hai đường thẳng song song. Ví dụ 2. Cho ba đường thẳng  1 : 1 2 0d m x my m     , 2 : 2 x mt d y m t     và 3 : 2 5 0d x y   1) Tìm m để 1d và 2d cắt nhau. 2) Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy. Giải 1) Xét hệ phương trình  1 2 0 2 m x my m x mt y m t           . (2) Thay x và y trong hai phương trình cuối vào phương trình đầu ta được     1 2 1m m t m m     . (3) Hai đường thẳng 1d và 2d cắt nhau khi và chỉ khi phương trình hệ (2) có nghiệm duy nhất, tương đương với phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là   0 1 0 1 m m m m       . 2) Ba đường thẳng đồng quy thì trước hết 1d và 2d cắt nhau. Giải (3) ta được  2mt m    . Thay vào (3) ta được tọa độ giao điểm I của 1d và 2d là 2 2 42; m mI m m         . Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi I thuộc 3d , tức là   2 2 12 42 2 5 0 3 4 0 4 mm mm m m mm                . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16 Vậy ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi 1m   hoặc 4m  . Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng 1 : 2 3 0d x my   và  2 : 4 1 2 0d x m y m     . 1) Tìm m để 1d song song với 2d . 2) Trong trường hợp 1d song song với 2d , lập phương trình đường thẳng cách đều 1d và 2d Giải 1) Đường thẳng 1d song song với 2d khi và chỉ khi 2 3 4 1 2 m m m       1m  . 2) Khi 1m  thì 1 : 2 3 0d x y   và 2 : 4 2 1 0d x y   . Gọi d là đường thẳng cần tìm, từ giả thiết suy ra d song song với 1d , theo nhận xét trên thì phương trình d có dạng: 2 0x y c   . Gọi  0;3A thuộc 1d và 10; 2 B      thuộc 2d . Theo giả thiết thì trung điểm 50; 4 I      của AB thuộc đường thẳng d , tức là 5 52.0 0 4 4 c c      . Do đó phương trình của đường thẳng d là 52 0 4 x y   hay 8 4 5 0x y   . Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng 1 : 0d mx y m   và  2 : 1 2 0d m x y    . Chứng minh rằng với mọi m thì hai đường thẳng 1d và 2d luôn luôn cắt nhau. Tìm tập hợp giao điểm I của 1d và 2d . Giải Xét hệ gồm các phương