Bài giảng số 1. phương trình đường thẳng

Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com ; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. Trịnh Phƣơng Liên – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295 ; fanpage: www.facebook.com/Trinh Phuong Lien.vn 1 BÀI GIẢNG SỐ 1. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG ....PHẦN 1.... Bài toán 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng Phương pháp:  Xác định vecto chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của đường thẳng  Tìm một điểm M thuộc đường thẳng  Viết phương trình đường thẳng theo công thức. Đường thẳng đi qua  0 0;M x y và nhận  ;n A B làm vecto pháp tuyến thì có phương trình tổng quát    0 0 0A x x B y y    .  Đường thẳng d đi qua  0 0;M x y và nhận  ;n a b làm vectơ chỉ phương thì 0 0 : , . x x at d t R y y bt      (Pt tham số ) hoặc 0 0: x x y y d a b    ( Pt chính tắc). Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau a. Đường thẳng đi qua điểm M(2;-5) và nhận vectơ  4; 3u   làm vecto chỉ phương b. Đường thẳng đi qua hai điểm A(1;-4) và B(-3;5) c. Qua điểm N(3;-2) và nhận vectơ  4; 3n   làm vectơ pháp tuyến Giải a. Đường thẳng nhận  4; 3u   làm vtcp nên nhận vectơ  3;4n  làm vtpt và qua  2; 5M  Có phương trình tổng quát là :    3 2 4 5 0 3 4 14 0x y x y        b. Ta có ,  4;9AB   . Đường thẳng AB nhận  4;9AB   làm vectơ chỉ phương, nên nhận vectơ  9;4n  làm vtpt và đi qua A (1;-4) nên có phương trình tổng quát là :    9 1 4 4 0 9 4 7 0x y x y        c. Đường thẳng đi qua điểm N(3;-2) và nhận vecto  4; 3n   làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là :    4 3 3 2 0 4 3 18 0.x y x y        Ví dụ 2: a. Viết phương trình tham số của đường thẳng :3 2 0x y   b. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 1 2 : 3 x t y t      Giải a. Cách 1: Lấy hai điểm, ví dụ    0; 2 , 1;1M N thuộc đường thẳng :3 2 0x y    Khi đó  1;3MN  là một vectơ chỉ phương của  nên  có phương trình tham số là , . 2 3 x t t R y t      Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com ; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. Trịnh Phƣơng Liên – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295 ; fanpage: www.facebook.com/Trinh Phuong Lien.vn 2 Cách 2: Cho y t ta có   1 2 1 2 3 3 3 x y t    . Đường thẳng đã cho có phương trình tham số 2 1 , .3 3 x t t R y t       b. Từ phương trình tham số 1 2 , . 3 x t t R y t      ta có phương trình chính tắc của đường thẳng là 1 3 . 2 1 x y    Phương trình tổng quát    1. 1 2 3 2 7 0x y x y        . Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A(2;0), B(4;1), C(1;2). Hãy viết phương trình các cạnh tam giác, phương trình đường cao AH, đường trung tuyến AM, đường phân giác trong AI của tam giác ABC, phương trình đường trung trực của BC. Giải Ta có  2;1AB  là vecto chỉ phương của AB Phương trình đường thẳng AB : 2 0 2 2 0 2 1 x y x y         3;1BC   là vecto chỉ phương của BC Phương trình đường thẳng BC : 4 1 3 7 0 3 1 x y x y          1;2AC   là vecto chỉ phương của AC Phương trình đường thẳng AC : 2 0 2 4 0 1 2 x y x y         Đường cao AH nhận  3;1BC   làm một vec tơ pháp tuyến. Phương trình đường cao AH    3 4 1 1 3 13 0x y x y        M là trung điểm của BC nên 2 4 3 12 2 3; 0 1 1 2 2 22 A B M M A B MM x x x x M y y yy                         1 1; 2 AM        là một vtcp của AM hay  2 2;1AM  cũng là 1vtcp của AM. Phương trình trung tuyến AM : 2 0 : 2 2 0 2 1 x y AM x y        . Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com ; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. Trịnh Phƣơng Liên – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295 ; fanpage: www.facebook.com/Trinh Phuong Lien.vn 3 Phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài tại A là 3 2 02 2 2 4 3 6 05 5 x yx y x y x y                  1 2 . Lần lượt thay tọa độ của B, C vào vế trái của (1) ta đượ( 4+3.1-2) (1+3.2-2)=25>0 Do đó B và C nằm cùng phía với đường thẳng có phương trình (1). Do đó phương trình đường phân giác trong góc A là : 3 6 0x y   Đường trung trực của BC nhận  3;1BC   làm một vtpt, đi qua 1 3; 2 M       có phương trình   1 19 3 3 1 3 0. 2 2 x y x y              Bài tập Bài 1. Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC biết A(-1;2), B(2;-4), C(1;0). Đáp số: x-4y+9=0, x-y-6=0, x-2y-1=0. Bài 2. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết M(-1;1), N(1;9), M(9;1) là các trung điểm của ba cạnh của tam giác. Đáp số: x+4y-13=0, x-y+2=0, x-1=0. Bài 3. Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua hai điểm M(3;6) và N(5;-3) Đáp số: 3 2 6 9 x t y t      , 3 6 2 9 x y    . Bài 4. Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng sau a. 2 2 x t y t       , b. 3 6 2 x y t      , c. 2 3 4 x t y      Đáp số: . 0, . 3 0, . 4 0a x y b x c y      Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng . 2 3 0, . 1 0, . 6 0a x y b x c y        Đáp số: 1 . , . , . 3 2 6 x t x x t a b c y t y t y                Bài 6. Cho hai điểm A(-1;3) và đường thẳng d có phương trình 2 2 0x y   . Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B, C nằm trên d và các tọa độ của đỉnh C đều dương. a. Tìm các tọa độ các đỉnh B, C, D. b. Tính chu vi và diện tích hình vuông ABCD Đáp số: a. B(0;1), C(2;2), D(1;4) b. Chu vi: 4 5 , diện tích: 5 Bài toán 2: Các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng đặc biệt ( Song song Ox, Oy, đọan chắn) Phương pháp:  Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy có dạng 0ax c   Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox có dạng 0by c  Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com ; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. Trịnh Phƣơng Liên – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295 ; fanpage: www.facebook.com/Trinh Phuong Lien.vn 4  Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng 0ax by   Đường thẳng cắt trục Ox tại A(a;0) và Oy tại B(0;b) ( , 0a b  ) có phương trình theo đoạn chắn 1 x y a b   . Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng d đi qua P(6;4) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. Giải Giả sử d giao với Ox tại A(a;0) và Oy tại B(0;b) (a và b khác 0). Phương trình của d là 1 x y a b       6 4 1 1 1 1 . . 2 . 4 2 2 2 OAB P d a b S OAOB a b a b          Từ (1) ta có 4 6 a b a   ( 6a  vì nếu 6a  thì (1) trở thành 4 0 b  : vô lí) Thay vào (2) ta được 2 4 . 4 6 6 a a a a a      Với 6a  thì   23 6 0a a    vô nghiệm. Với 6a  thì   2 2 3 6 0 3 a a a a          Với a = 2 2b  ta có đường thẳng 1 : 1 2 0 2 2 x y d x y       Với a = -3 4 3 b  ta có đường thẳng 2 : 1 4 9 12 043 3 x y d x y       Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua  1;4A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm M, N khác điểm O sao cho tam giác OMN có diện tích nhỏ nhất. Giải Giả sử M(m;0), N(0;n) với , 0m n  . Phương trình của đường thẳng d là 1 x y m n   , vì 1 4 1A d m n     , theo cô si 1 4 1 4 1 2 16mn m n m n      1 8 2 OMNS ab   Vậy 1 4 min 8OABS m n    và 1 4 1 m n   2; 8m n   Khi đó phương trình đường thẳng d là 1 4 8 0 2 8 x y x y      . Bài tập Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com ; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. Trịnh Phƣơng Liên – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295 ; fanpage: www.facebook.com/Trinh Phuong Lien.vn 5 Bài 1. Đường thẳng d: 2x-5y+9=0 cắt 2 trục tọa độ tại A và B. Tính chiều cao OH của tam giác OAB. Đáp số: 9 29 OH  Bài 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua A(2;4) và cắt Ox, Oy tại M, N trong các trường hợp a. A là trung điểm của M, N b. OM = ON Đáp số: a. 2x+y-8=0 b. y = 2x, y = x+2y, y = -x+6 Bài 3. Lập phương trình đường thẳng qua 2 hình chiếu của K(4;-3) lên Ox, Oy Đáp số: 1 4 3 x y    Bài 4. Cho đường thẳng : 0.ax by c    Viết phương trình đường thẳng ' đối xứng với  a. Qua Ox b. Qua Oy c. Qua gốc tọa độ Đáp số: a. ' : 0ax by c    . ' : 0b ax by c    . ' : 0c ax by c    Bài 5. Lập phương trình đường thẳng đi qua  4;9A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm M, N khác điểm O sao cho tam giác OM ON nhỏ nhất. Đáp số: 3 2 30 0x y   .