Bài tập giới hạn của dãy số, hàm số

Giới hạn A. Kiến thức sách giáo khoa I. Giới hạn của dãy số 1. Dãy số có giới hạn 0 a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy sốcó giới hạn 0, kí hiệu(hay), nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. b. Tính chất: c. Định lí: Cho hai dãy số (1) 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số có giới hạn là số thực L, kí hiệu , nếu b. Các định lí: • Cho (un) mà un = c, "n : • limun = L • Nếu thì: • (2) • Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn; Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. (3) c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn • • 3. Dãy số có giới hạn vô cực a. Dãy số có giới hạn Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Kết quả: b. Dãy số có giới hạn - ∞ Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limun = -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. c. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực • Quy tắc nhân + + • Quy tắc chia có dấu có dấu + + + + II. Giới hạn của hàm số 1. Giới hạn hữu hạn a. Giới hạn hữu hạn Cho và f là hàm số xác định trên tập . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu , khi x dần đến (hoặc tại điểm ), nếu với mọi dãy số trong tập mà , ta đều có b. Giới hạn vô cực nếu mọi dãy trong tập mà thì 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞, kí hiệu , nếu với mọi dãy số trong khoảng mà , ta đều có 3. Các định lí a. Định lí 1: Giả sử và . Khi đó: • • • • b. Định lí 2: Giả sử . Khi đó: • ; • ; • Nếu với mọi , trong đó J là một khoảng nào đó chứa thì và . c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp . Khi đó: 4. Giới hạn một bên a. Định nghĩa: • Giả sử hàm f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x0, kí hiệu: , nếu với mọi dãy số trong khoảng mà , ta đều có . • Giả sử hàm f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0, kí hiệu: , nếu với mọi dãy số trong khoảng mà , ta đều có . • Các định nghĩa được phát biểu tương tự như trên. b. Định lí: • • 5. Quy tắc tìm giới hạn vô cực a. Quy tắc nhân b. Quy tắc chia có dấu có dấu g(x) có dấu + + + + + + 6. Các dạng vô định Khi tìm khi ta gặp các dạng vô địn, kí hiệu , lúc đó ta không dùng được các định lí về giới hạn cũng như các quy tắc tìm giới hạn vô cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vô định B. Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số. Ví dụ 1: Tìm: Giải: Ví dụ 2: Tìm: Giải: Ví dụ 3: Tìm: Giải: . Dạng 2: Chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng định lí: Cho hai dãy số (1); (2) Ví dụ: Chứng minh: Giải: Ta có: và nên Dạng 3: Chứng minh tồn tại Phương pháp giải: Sử dụng định lí Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn; Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. Ví dụ: Chứng minh dãy số cho bởi có giới hạn. Giải: Ta có Do đó dãy giảm. Ngoài ra, nêu dãy bị chặn dưới. Vậy dãy có giới hạn. Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải: Sử dụng công thức: Ví dụ: Tính tổng Giải: Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với và . Vậy: Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực Ví dụ: Tìm: Giải: Cách 1: Ta có: Lại có và nên suy ra: Cách 2: Ta có: Lại có Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số Phương pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc Ví dụ 1: Tính: . Giải: Xét dãy mà và . Ta có: Vì Do đó . Ví dụ 2: Tính: Giải: Ta có: Ví dụ 3: Tính: Giải: Ta có: (Chú ý: khi là ta xét x < 0, nên ) Dạng 7: Chứng minh (Hoặc bằng L) Phương pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp Giả sử J là một khoảng chứa và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp . Khi đó: Ví dụ: Chứng minh: Giải: Ta luôn có: . Dạng 8: Tìm giới hạn một bên Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên Ví dụ 1: Cho hàm số . Tìm Giải: Ta có: (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra Ví dụ 2: Cho hàm số Tìm Tìm Giải: a. b. Ta có: suy ra không tồn tại (Chú ý: tồn tại khi và chỉ khi thì ) Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực Ví dụ: Tính Giải: Vì và Dạng 10: Khử dạng vô định Phương pháp giải 1. Khi tìm giới hạn dạng, với : • Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho • Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lượng liên hiệp. Ví dụ 1: Tìm: Giải: Ví dụ 2: Tìm: Giải: Ví dụ 3: Tìm: Giải: Ví dụ 4: Tìm: Giải: Ví dụ 5: Tìm: Giải: Ví dụ 6: Tìm: Giải: Đặt . Do đó: Ví dụ 7: Tìm: Giải: 2. Khi tìm giới hạn dạng , ta lưu ý: • Đặt (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x) • Sử dụng kết quả: ( với ) Ví dụ 1: Tìm: Giải: Ví dụ 2: Tìm: Giải: Ví dụ 3: Tìm: Giải: C. Bài tập tự luận 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 2. Tìm các giới hạn hàm số sau: 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 4. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau: D. Bài tập trắc nghiệm Dãy số có giới hạn 0 1. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? a. b. c. d. 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? a. b. c. d. 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? a. b. c. d. 4. Dãy số nào sau đây không có giới hạn? a. b. c. d. 5. Gọi . Khi đó L bằng a. b. c. – 1 d. 0 6. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? a. b. c. d. Dãy số có giới giạn hữu hạn 7. Cho . Khi đó un bằng a. b. c. d. 8. Cho . Khi đó limun bằng a. 0 b. 1 c. d. 9. Gọi thì L bằng số nào sau đây? a. 0 b. c. 3 d. 9 10. Tổng của cấp số nhân vô hạn là a. 1 b. c. d. 11. Tổng của cấp số nhân vô hạn là a. b. c. d. 4 12. Tổng của cấp số nhân vô hạn là a. b. c. d. 13. Tổng của cấp số nhân vô hạn: là a. b. c. d. 2 Dãy số có giới hạn vô cực 14. Kết quả là a. b. – 4 c. – 6 d. 15. Biết thì L bằng a. b. 3 c. 5 d. 16. bằng a. b. – 6 c. – 3 d. 17. bằng a. b. c. – 1 d. 0 18. bằng a. b. c. 0 d. 19. bằng a. 0 b. c. d. 20. bằng a. 0 b. c. d. 21. bằng a. b. 0 c. d. 22. bằng a. b. c. 0 d. 23. Dãy số nào sau đây có giới hạn là? a. b. c. d. 24. Dãy số nào sau đây có giới hạn là - ∞? a. b. c. d. 25. bằng a. 0 b. 1 c. 2 d. 26. Kết quả là a. +∞ b. 10 c. 10 d. 0 27. Kết quả là a. 0 b. 1 c. d. 28. Nếu thì bằng a. L + 9 b. L + 3 c. d. 29. Nếu thì bằng bao nhiêu? a. b. c. d. 30. bằng a. b. c. 1 d. 31. bằng bao nhiêu? a. b. 10000 c. 5000 d. 1 32. bằng bao nhiêu? a. 0 b. c. d. 33. bằng a. b. c. d. 0 34. bằng bao nhiêu? a. +∞ b. 4 c. 2 d. – 1 35. bằng số nào sau đây? a. b. c. 0 d. 1 36. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? a. b. c. d. 37. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞? a. b. c. d. 38. Dãy số nào sau đây có giới hạn +∞? a. b. c. d. 39. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1? a. b. c. d. 40. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? a. b. c. d. 41. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là ? a. b. c. d. 42. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ? a. b. c. d. 43. Nếu thì L bằng a. b. c. d. 0 44. Gọi . Khi đó L bằng a. b. 6 c. 3 d. 2 45. bằng a. 1 b. c. 2 d. 46. bằng a. b. c. 9 d. 3 47. có kết quả là a. 1 b. 2 c. 4 d. 50. Dãy số nào sau đây có giới hạn ? a. b. c. d. Giới hạn của hàm số 51. bằng a. 5 b. 7 c. 9 d. 52. bằng a. b. 5 c. 9 d. 10 53. bằng a. b. 1 c. 2 d. 54. bằng a. 5 b. 1 c. d. 55. bằng a. b. c. d. 56. bằng a. b. c. d. 57. bằng a. b. c. d. 58. bằng a. b. c. d. 59. bằng a. b. c. d. 60. bằng a. 5 b. 3 c. 1 d. 61. bằng a. 0 b. 1 c. d. 62. bằng a. b. c. 1 d. 2 63. bằng a. 0 b. c. d. 64. bằng a. b. c. d. 65. bằng a. b. c. d. 0 66. bằng a. 0 b. c. d. 67. bằng a. b. c. d. 68. bằng a. b. c. d. Giới hạn một bên 69. bằng a. b. c. 0 d. 70. bằng a. 1 b. 0 c. d. 71. bằng a. b. c. d. 72. là a. b. 2 c. 1 d. 73. bằng a. b. c. d. 74. là a. b. c. d. 75. là a. b. 0 c. 1 d. 76. Cho hàm số: . Khi đó bằng: a. 11 b. 7 c. d. 77. Cho hàm số . Khi đó bằng a. – 4 b. –3 c. –2 d. 2 78. Cho hàm số . Khi đó bằng a. b. c. 0 d. 79. Cho hàm số: . Khi đó bằng a. –1 b. 0 c. 1 d. 80. Cho hàm số . Khi đó bằng a. b. 2 c. 4 d. Một vài quy tăc tìm giới hạn vô cực (dạng vô định) 81. Cho . Khi đó a. b. c. d. 82. Cho . Khi đó a. b. c. d. 83. bằng a. b. c. d. 84. bằng a. b. 5 c. d. 85. bằng a. b. c. d. 86. bằng a. b. c. d. 87. bằng a. b. 2 c. 0 d. 88. bằng a. b. c. d. 89. bằng a. b. 2 c. 1 d. 0 90. bằng a. b. 4 c. 1 d. 91. bằng a. b. c. d. 92. bằng a. b. 0 c. d. 93. bằng a. b. 3 c. –1 d. 94. bằng a. 0 b. 1 c. 2 d. 95. bằng a. 0 b. –1 c. d. 96. bằng a. b. 1 c. d. 97. bằng a. –8 b. –4 c. d. 98. bằng a. –4 b. –1 c. 4 d. 99. bằng a. b. –2 c. d. 100. bằng a. b. c. d. 101. bằng a. –3 b. –1 c. 0 d. 1 102. bằng a. 0 b. 1 c. 2 d. 103. bằng a. b. c. 0 d. 104. bằng a. b. 1 c. 2 d. 105. bằng a. b. 4 c. 0 d. 106. bằng a. b. 2 c. 6 d. 107. bằng a. b. c. d. 108. Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để được một khẳng định đúng. Cột trái Cột phải 1. bằng a) 2. bằng b) 0 3. bằng c) 4. bằng d) e)