Bài tập Hình Học khối 9

BÀI TẬP HÌNH HỌC CHƯƠNG I Bài 1: Cho ABC vuông tại A có . Tính tỉ số lượng giác của hai góc trên. Bài 2: Cho ABC vuông tại A , đường cao AH. Biết AH=5, CH=6. Tính AB, AC, BH, CH. Tính SABC . Bài 3: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: , , , , . , , , , Bài 4: Cho ABC có góc A=900, cạnh BC=10cm, góc B=750. Giải ABC. Bài 5*: Cho ABC có góc BAC=1200, AB=AC=6cm. Giải ABC. Bài 6*: Cho ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh: BD2+CE2+AF2=DC2+EA2+FB2. Bài 7: Một cột cờ cao 3,5m có bóng trên mặt đất dài 4,8m. Hỏi góc do tia sáng mặt trời và bóng cột cờ hợp thành là bao nhiêu độ. Bài 8: Cho . Không tính , hãy tính với . Bài 9: Cho ABC vuông tại A, AB=a, AC=3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD=DE=EC. Chứng minh . Chứng minh đồng dạng CDB. Tính tổng góc AFB+góc BCD. Bài 10: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD=5a, AC=12a. Tính . Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 11: Cho ABC có AB=21m, AC=28m, BC=35m. Chứng minh ABC vuông. Tính . Bài 12: Tính các biểu thức sau: Bài 13: Gọi AM, BN, CL là 3 đường cao của ABC. Chứng minh: ANL đồng dạng ABC Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC,BC, CH. Bài 15: Tính giá trị các biểu thức sau: A = sin350 + sin670 - cos230 - cos550. B = sin150 + sin750 - cos150 - cos750 + sin300. Bài 16: Sắp xếp các giá trị lượng giác sau theo thứ tự tăng dần ( từ bé đến lớn ) sin300, cos 890, cos 300 , sin 700 , cos790 , sin590 , cos600 cot300, cot890, tan300 , cot700 , tan790 , tan590 , cot600 Bài 17:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE. Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm. Tính tgIED và tgHCE Chứng minh góc IED = gócHCE. Chứng minh: Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C = 150, BC =4cm. Giải tam giác ABC. Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính số đo góc AMH, AH, AM, HM, HC. Chứng minh rằng: Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A = 360, BC = 1cm. Kẻ phân giác CD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC. Tính AD, DC. Kẻ CK BD. Giải tam giác BKC. Chứng minh rằng Bài 20:Cho tam giác ABC có AB = 1, góc A = 1050, góc B = 600. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED // AD ( D thuộc AC ). Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt BC tại F. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC. Chứng minh rằng tam giác ABE đều. Tính AH. Chứng minh góc EAD = EAF = 450. Tính tỉ số lượng giác của góc AED và góc AEF. Chứng minh . Từ đó suy ra AD = AF. Chứng minh rằng Bài 21: Tính Bài 22: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Giải tam giác vuông ABC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC : Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH. Tính: EAEB + AFFC Bài 23: (1 điểm) Biết sin a = . Tính giá trị của biểu thức: A = 2sin2 a + 5cos2 a. Bài 24:Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: tg230, cotg 710, tg260 , cotg 400 , tg 170 , cotg 500 Bài 25: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Giải tam giác vuông ABC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC: Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH. Tính: EAEB + AFFC Bài 26: Cho sin = 0,6. Hãy tính tan. Bài 27: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: sin 270, cos 780, sin190 , cos 680 , sin 540, cos 500. Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Giải tam giác vuông ABC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC: Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH. Tính: EAEB + AFFC Bài 29: Biết sin2 =. Tính cos; tg. Bài 30: Rút gọn biểu thức: Bài 31: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Giải tam giác vuông ABC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC: Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH. Tính: EAEB + AFFC Bài 32: Cho . Tính giá trị của biểu thức A = . Bài 33: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết b = 4 cm, c = 3 cm. Giải tam giác ABC Bài 34: Cho tam giác ABC vuông tại A có b’ = 7, c’ = 3. Giải tam giác ABC? Bài 35: Cho tam giác ABC vuông tại A có b = 4, b’ = 3.2. Giải tam giác ABC? Bài 36: Cho tam giác ABC vuông tại A có c = 4, b’ = 3.2. Giải tam giác ABC? Bài 37: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH = 4.8, BC =10. Giải tam giác ABC? Bài 38: Chotam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến ứng với cạnh huyền m= 5, h = 4. Giải tam giác ABC? Bài39: Chotam giác ABC vuông tại A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m= 5, một góc nhọn bằng 470. Giải tam giác ABC? Bài 40: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 4, cạnh huyền BC = 5. Giải tam giác ABC? Bài 41: Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đường cao AH cắt đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác tại D Chứng minh: AD là đường kính Tính góc ACD Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính của đường tròn tâm (O) Bài 42: Cho (O) và A là điểm nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB; AC với đường tròn ( B , C là tiếp điểm ) Chứng minh: OA BC Vẽ đường kính CD chứng minh: BD//AO Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB =2cm ; OC=4 cm? Bài 43: Cho đường tròn đường kính AB. Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Gọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh: CE = CF AC là phân giác của góc BAE CH2 = BF. AE Bài 44: Cho đường tròn đường kính AB vẽ các tiếp tuyến A x; By từ M trên đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 nó cắt Ax ở C cắt B y ở D gọi N là giao điểm của BC Và AO .CMR: MN AB Góc COD = 90º Bµi 45: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. CMR: NE AB Gọi F là điểm đối xứng với E qua M .CMR: FA là tiếp tuyến của (O). Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA). Chứng minh: BM.BF = BF2 – FN2 Bài 46: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn ( M ¹ A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại C và D. Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 900 Chứng minh: AC.BD = R2 OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R. Tìm vị trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất. Bài 47: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N. Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân. Hạ OI vuông góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). Chứng minh AM.BN = R2 Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ Bài 48: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy. Chứng minh rằng MC = MD. Chứng mihn AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn. Câu 49: Cho hai đường tròn (O ) và ( O’) tiếp xúc ngoài tại C. AB là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, A Î (O ) và B Î (O’). Tiếp tuyến chung qua C cắt AB tại M. Chứng minh: MA = MB = MC. Chứng minh: D OMO’ là tam giác vuông. Biết OO’ = 5cm, OC = 4cm. Tính MC? Bài 50: Cho đường tròn (O), bán kính R = 6 cm và một điểm A cách O một khoảng 10 cm. Từ A vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm) với đường tròn (O). Lấy điểm C trên đường tròn (O), tia AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Gọi I là trung điểm của CD. Tính độ dài đoạn AB. Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì I di chuyển trên đường nào? Chứng mimh rằng tích AC.AD không đổi khi C thay đổi trên đường tròn (O). Bài 51: Cho đường tròn (0) đường kính AB = 4cm.Gọi M là trung điểm của OB.Từ M kẻ dây CD vuông góc với AB . Chứng minh tam giác ABC vuông, tính độ dài BC. Tứ giác OCBD là hình gì? Vì sao ? Đường thẳng qua O vuông góc AC và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ( 0) tại E.Chứng minh EC là tiếp tuyến của ( 0). Gọi F là giao điểm của hai tia AC và DB. Kẻ FH vuông góc với AB tại H và gọi K là giao điểm của hai tia CB và FH. Chứng minh tam giác FBK cân. Câu 52: Cho đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (B; BM): Chứng minh MN2 = 4 AH .HB . Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó. Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F. Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng. BÀI TẬP HÌNH HỌC CHƯƠNG II Bài 1: Viết phương trình đường tròn biết: Đi qua (0; 5) và (1; 2). Tiếp xúc với và qua (-4; 2). Bài 2: Cho (O; R) nội tiếp ABC. Chứng minh rằng: Với M, N, P lần lược là tiếp điểm của AB, AC, BC với (O). Bài 3: Cho ABC có AB=6; AC=8; BC=10. Chứng minh A thuộc (O; 5). Bài 4: Cho (O) đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh CH=DK. Bài 5: Cho hình thang vuơng ABCD (A=B=900), AB=9cm, BC=13cm, CD=9cm. Tính AD. Chứng minh rằng AD tiếp xúc với (O; ). Bài 6: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A, B là tiếp điểm). Cho biết góc AMB bằng 400. Tính góc AOB. Từ O kẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt MB tại N.Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân. Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẽ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẽ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn, nó cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Chứng minh: Tam giác COD là tam giác vuông. Chứng minh: MC.MD=OM2. Cho biết OC=BA=2R, tính AC và BD theo R. Bài 8: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại B. Vẽ đường kính AB của đường tròn (O) và đường kính BC của đường tròn (O’). Đường tròn đường kính OC cắt (O) tại M và N. Đường thẳng CM cắt (O’) tại P. Chúng minh: OM//BP. Từ C kẽ đường thẳng vuông góc với CM cắt tia ON tại D. Chứng minh: Tam giác OCD là tam giác cân. Bài 9: Cho hai đường tròn (O; R) và (O/; R/) cắt nhau tại A và B sao cho đường thẳng OA là tiếp tuyến của đường tròn (O/; R/). Biết R=12cm, R/=5cm. Chứng minh: O/A là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). Tính độ dài các đoạn thẳng OO/, AB. Bài 10: Cho đường tròn tâm O bán kính R=6cm và một điểm A cách O một khoảng 10cm. Từ A vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB. Vẽ cát tuyến ACD, gọi I là trung điểm của đoạn CD. Hỏi khi C chạy trên đường tròn (O) thì I chạy trên đường nào ? Bài 11: Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r). Dây AB của (O; R) tiếp xúc với (O; r). Trên tia AB lấy điểm E sao cho B là trung điểm của đoạn AE. Từ E vẽ tiếp tuyến thứ hai của (O; r) cắt (O; R) tại C và D (D ở giữa E và C). Chứng minh: EA=EC. Chứng minh: EO vuông góc với BD. Điểm E chạy trên đường nào khi dây AB của (O; R) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với (O; r) ? Bài 12: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M nằm trên nửa đường tròn đó. H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB. Khi AH=2cm, MH=4cm. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng: AB, MA, MB. Khi điểm M di động trên nửa đường tròn (O). Hãy xác định vị trí của M để biểu thức: có giá trị nhỏ nhất. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tiếp tuyến của (O) tại A ở D, OD cắt AM tại I. Khi điểm M di động trên nửa đường tròn (O) thì I chạy trên đường nào ? Bài 13: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Gọi H là trực tâm của tam giác . Tính số đo góc ABD Tứ giác BHCD là hình gì? Tại sao? Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh 2OM = AH. Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn ở điểm D. AD có phải là đường kính của đường tròn (O) không ? Tại sao? Chứng minh: BC2 = 4AH . DH Cho BC = 24cm, AB = 20cm. Tính bán kính của đường tròn (O). Bài 15: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là trung điểm OA. Dây CD vuông góc với OA tại H. Tứ giác ACOD là hình gì? Tại sao? Chứng minh các tam giác OAC và CBD là các tam giác đều. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng. Chứng minh đẳng thức CD2 = 4 AH. HB . Bài 16: Hình bên cho biết AB = CD. Chứng minh rằng: MH = MK. MB= MD . Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang cân. Bài 17: Cho đường tròn đường kính 10 cm, một đường thẳng d cách tâm O một khoảng bằng 3 cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O). Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại điểm A và B. Tính độ dài dây AB. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Tính độ dài BC và số đo góc CAB (làm tròn đến độ). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tia AB tại M. Tính độ dài BM. Bài 18:Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở M. Gọi H là giao điểm của BM và CN. Tính số đo các góc BMC và BNC. Chứng minh AH vuông góc BC. Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH. Bài 19:Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho góc MAB=900. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B;BM). Chứng minh MN2 = 4 AH .HB . Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó. Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F.Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng. Bài 20: Cho đường tròn (O) và điểm A cách O một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B là tiếp điểm). Tính số đo các góc của tam giác OAB. Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA. Chứng minh điểm C nằm trên đường tròn O và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). AO cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC. Bài 21: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh OA BC và tính tích OH. OA theo R Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Chứng minh CD//OA. Gọi E là hình chiếu của C trên BD, K là giao điểm của AD và CE. Chứng minh K là trung điểm CE. Bài 22: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp điểm). Kẻ BE AC và CF AB (E ), BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi. Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng. Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn (O). Bài 23: Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có OA = 6 cm. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Tính độ dài OH. Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tính chu vi tam giác ADE. Tính số đo góc DOE. Bài 24: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax , By là các tia vuông góc với AB( Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M bất kì thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N. Tính số đo góc MON. Chứng minh MN = AM + BN. Tính tích AM. BN theo R. Bài 25: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên các cạnh AB và AC. Chứng minh AD. AB = AE. AC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M; MD) và (N; NE). Gọi P là trung điểm MN, Q là giao điểm của DE và AH . Giả sử AB = 6 cm,AC = 8 cm . Tính độ dài PQ. Bài 26: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( với (O) và D (O’) ). Tính số đo góc CAD. Tính độ dài CD biết OA = 4,5 cm, O’A = 2 cm. Bài 27: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng : MNQP là hình thang cân. PQ là tiếp tuyến chung của của hai đường tròn (O) và (O’). MN + PQ = MP + NQ. Bài 28: Cho ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ (O) đường kính AH. Chứng minh rằng: Điểm E thuộc (O). DE là tiếp tuyến (O). BÀI 29: Cho (O; 3cm) và điểm A sao cho AO=5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao của AO và BC. Tính OH. Qua M bất kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Tính chu vi ADE. Bài 30: Cho nửa (O; R) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt By tại N. Tính góc MON. Chứng minh MN=AM+BN. Chứng minh AM.BN=R2. BÀI TẬP HÌNH HỌC CHƯƠNG III Bài 1:Trên đường tròn đường kính AB lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng MA2=MB.MC. Bài 2:Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngòai đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.Chứng minh rằng MT2 = MA.MB. Bài 3:Qua điểm A nằm ngòai đường tròn (O), vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và Cm cắt nhau tại một điểm S nằm trong đường tròn. Chứng minh rằng các góc Â+BSM= 2.CMN Bài 4:Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và tia phân giác góc A cắt đường tròn tại M . Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng: OM qua trung điểm của dây BC. Am là tia phân giác của góc OAH. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia AC lấy M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng: ABCD là tứ giác nội tiếp được. Góc ABD = góc ACD. CA là tia phân giác của góc SCB. Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) đường trung trực của cạnh huyền BC cắt BC tại M, cắt AC tại D gọi E là điểm đối xứng của D qua A và F là giao điểm của BE và MA Chứng minh : Tứ giác BADM nội tiếp được. BC2 = 2AC.CD. BF = AC. Bài 7: Cho (O) đường kính AB. S là một điểm bên ngòai đường tròn, SA và SB cắt đường tròn lần lượt tại M và N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh : SH vuông góc với AB Chứng minh SMHN nội tiếp được. Xác định tâm và bán kính đtròn đó. Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của (O) tại A. Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tại D và E. Chứng minh rằng: DE = BD + CE. ∆ DOE vuông. BD . CE = R2. Bài 9:Cho 3 điểm A, B, C cố định B nằm giữa A và C, (O) thay đổi qua B và C. Vẽ đường kính MN vuông góc BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC ). Tia AN cắt (O) tại F hai dây BC và MF cắt nhau tại E. Chừng minh : Tứ giác DEFN nội tiếp được. AD.AE = AF.AN. Đường thẳng NF đi qua một đường thẳng cố định. Bài 10: Cho A (O) đường kính BC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm D sao cho cung :AD = CD. Gọi E là giao điểm của AB và CD. H là giao điểm của BD và AC Chứng minh: ∆BEC cân, tính BE theo R. Chứng minh: tứ giác AHDE nội tiếp, xác định tâm I. Chứng minh : BH.BD = BA.BC. Bài 11: Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A; B là tiếp điểm). Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) tại C (CA). Đoạn PC cắt đường tròn tại điểm thứ hai D. Tia AD cắt PB tại E. Chứng minh ∆EAB ~ ∆EBD. Chứng minh AE là trung tuyến của ∆PAB. Bài 12: Cho ∆ABC vuông ở A. Lấy trên cạnh AC một điểm D. Dựng CE vuông góc BD. Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD. Chứng minh tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp. Chứng minh FD vuông góc BC, trong đó F là giao điểm của BA và CE. Cho góc ABC = 600; BC = 2a; AD = a. Tính AC; đường cao AH của ∆ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. Bài 13: Cho ∆ABC vuông (góc ABC= 900; BC > BA) nội tiếp trong đường tròn đưòng kính AC. Kẻ dây cung BD vuông góc AC. H là giao điểm AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường tròn đường kính EC cắt BC tại I (IC). Chứng minh Chứng minh D; E; I thẳng hàng. Chứng minh HI là một tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC. Bài 14: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R). Hạ OH(d) (H d). M là một điểm thay đổi trên (d) (MH). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R). Dây cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K. Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn. Chứng minh IH.IO = IQ.IP Giả sử góc PMQ= 600. Tính tỉ số diện tích 2 tam giác: ∆MPQ và ∆OPQ. Bài 15: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (EA). Từ E, A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự tại C và D.Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn. Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đó suy ra . Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD. Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO. Đặt góc AOC= α. Tính theo R và α các đoạn AC và BD. Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc giá trị của R,không phụ thuộc vào α. Bài 16: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AA1; BB1; CC1. Chứng minh tứ giác HA1BC1 nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn ấy. Chứng minh A1A là phân giác của góc B1A1C1. Gọi J là trung điểm của AC. Chứng minh IJ là trung trực của A1C1. Trên đoạn HC lấy 1 điểm M sao cho . So sánh diện tích của 2 tam giác: ∆HAC và ∆HJM. Bài 17: Cho điểm C cố định trên một đường thẳng xy. Dựng nửa đường thẳng Cz vuông góc với xy và lấy trên đó 2 điểm cố định A, B (A ở giữa C và B). M là một điểm di động trên xy. Đường vuông góc với AM tại A và với BM tại B cắt nhau tại P. Chứng minh tứ giác MABP nội tiếp được và tâm O của đường tròn này nằm trên một đường thẳng cố định đi qua điểm giữa L của AB. Kẻ PI Cz. Chứng minh I là một điểm cố định. BM và AP cắt nhau ở H; BP và AM cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KH PM. Cho N là trung điểm của KH. Chứng minh các điểm N; L; O thẳng hàng. Bài 18: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AB lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM. So sánh hai tam giác: ∆AKN và ∆BKM. Chứng minh: ∆KMN vuông cân. Tứ giác ANKP là hình gì? Vì sao? Bài 19: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. M là một điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC. Nối MB, cắt CD ở N. Chứng minh: tia MD là phân giác của góc AMB. Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA. Chứng minh: BM.BN không đổi. Bài 20: Cho ∆ABC cân (AB = AC) nội tiếp một đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tia BD cắt tiếp tuyến tại A với đường tròn (O) tại điểm E; EC cắt (O) tại F. Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao? Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC; OI. So sánh góc BGOvới góc BAC. Cho biết DF // BC. Tính cosABC. Bài 21: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng AO; AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C; D và cắt (O’) lần lượt tại E; F. Chứng minh: C; B; F thẳng hàng. Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp được. Chứng minh: A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). Bài 22: Cho đường tròn (O; R) có 2 đường kính cố định ABCD. Chứng minh: ACBD là hình vuông. Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC (EB; EC). Trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB. Chứng tỏ: ED là tia phân giác của góc AEB và ED // MB. Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và bán kính theo R. Bài 23: Cho ∆ABC đều, đường cao AH. Qua A vẽ một đường thẳng về phía ngoài của tam giác, tạo với cạnh AC một góc 400. Đường thẳng này cắt cạnh BC kéo dài ở D. Đường tròn tâm O đường kính CD cắt AD ở E. Đường thẳng vuông góc với CD tại O cắt AD ở M. Chứng minh: AHCE nội tiếp được. Xác định tâm I của đường tròn đó. Chứng minh: CA = CM. Đường thẳng HE cắt đường tròn tâm O ở K, đường thẳng HI cắt đường tròn tâm I ở N và cắt đường thẳng DK ở P. Chứng minh: Tứ giác NPKE nội tiếp. Bài 24: BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong ∆ABC. Các đường cao AD; BE; CF đồng quy tại H. Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC. Gọi A’ là trung điểm BC. Chứng minh: AH = 2.A’O. Gọi A1 là trung điểm EF. Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’. Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC. Suy ra vị trí điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN. Bài 25: Cho đường tròn tâm (O; R) có AB là đường kính cố định còn CD là đường kính thay đổi. Gọi (∆) là tiếp tuyến với đường tròn tại B và AD, AC lần lượt cắt (∆) tại Q và P. Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp được. Chứng minh: Trung tuyến AI của ∆AQP vuông góc với DC. Tìm tập hợp các tâm E của đường tròn ngoại tiếp ∆CPD. Bài 26: Cho ∆ABC cân (AB = AC; góc A< 900), một cung tròn BC nằm bên trong ∆ABC tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi Q là giao điểm của MB, IK. Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được. Chứng minh: tia đối của tia MI là phân giác . Chứng minh: Tứ giác MPIQ nội tiếp được PQ // BC. C Bài 27: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, C là trung điểm của cung AB; N là trung điểm của BC. Đường thẳng AN cắt nửa đường tròn (O) tại