Bài tập nâng cao toán 9

Bài tập nâng cao tốn 9 Bài 51:Cho (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tt AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E. C/m ABOC nội tiếp. Chứng tỏ AB2=AE.AD. C/m góc và DBDC cân. CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB. Bài 52: Cho DABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp trong (O) đường kính AA’. Tính bán kính của (O). Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì? Kẻ AK^CC’. C/m AKHC là hình thang cân. Quay DABC một vòng quanh trục AH. Tính diện tích xung quanh của hình được tạo ra. Bài 53:Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQ^OA (MỴ cung AC ; QỴ AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt (O) tại P. C/m: a/ PMIO là thang vuông. b/ P; Q; O thẳng hàng. Gọi S là Giao điểm của AP với CQ. Tính Góc CSP. Gọi H là giao điểm của AP với MQ. Cmr: a/ MH.MQ= MP2. b/ MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DQHP. Bài 54: Cho (O;R) và một cát tuyến d không đi qua tâm O.Từ một điểm M trên d và ở ngoài (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vuông góc với BC tại O cắt AM tại D. C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường tròn. C/m AC//MO và MD=OD. Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME.MF Xác định vị trí của điểm M trên d để DMAB là tam giác đều.Tính diện tích phần tạo bởi hai tt với đường tròn trong trường hợp này. Bài ;55: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C. C/m AMN=BMC. C/mDANM=DBMC. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F.C/m FE^Ax. Chứng tỏ M cũng là trung điểm DC. Bài 56: Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CD^AB; CE^MA; CF^MB. Gọi I và K là giao điểm của AC với DE và của BC với DF. C/m AECD nt. C/m:CD2=CE.CF Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của góc FCE. C/m IK//AB. Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn. AC cắt tiếp tuyến Bt tại I. C/m DABI vuông câ Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. C/m AC.AI=AD.AJ. C/m JDCI nội tiếp. Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K. Hạ DH^AB. Cmr: AK đi qua trung điểm của DH. Bài 59: Cho (O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn ở M. Chứng minh: NMBO nội tiếp. CD và đường thẳng MB cắt nhau ở E. Chứng minh CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM Nếu ON=NM. Chứng minh MOB là tam giác đều. Bài 60: Cho (O) đường kính AB, và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi D; E theo thứ tự là hình chiếu của A và B lên đường thẳng d. C/m: CD=CE. Cmr: AD+BE=AB. Vẽ đường cao CH của DABC.Chứng minh AH=AD và BH=BE. Chứng tỏ:CH2=AD.BE. Chứng minh:DH//CB. Bài 61: Cho DABC có: A=1v.D là một điểm nằm trên cạnh AB.Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.các đường thẳng CD;AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F và G. C/m CAFB nội tiếp. C/m AB.ED=AC.EB Chứng tỏ AC//FG. Chứng minh rằng AC;DE;BF đồng quy. Bài 62: Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O).M là điểm di động trên d.Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn..Hạ OH^d tại H và dây cung PQ cắt OH tại I;cắt OM tại K. C/m: MHIK nội tiếp. 2/C/m OJ.OH=OK.OM=R2. CMr khi M di động trên d thì vị trí của I luôn cố định. Bài 63: Cho D vuông ABC(A=1v) và AB<AC.Kẻ đường cao AH.Trên tia đối của tia HB lấy HD=HB rồi từ C vẽ đường thẳng CE^AD tại E. C/m AHEC nội tiếp. Chứng tỏ CB là phân giác của góc ACE và DAHE cân. C/m HE2=HD.HC. Gọi I là trung điểm AC.HI cắt AE tại J.Chứng minh: DC.HJ=2IJ.BH. \EC kéo dài cắt AH ở K.Cmr AB//DK và tứ giác ABKD là hình thoi. Bài 64: Cho tam giác ABC vuông cân ở A.Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC tại D,kẻ CE ^Bx tại E.Hai đường thẳng AB và C cắt nhau ở F. C/m FD^BC,tính góc BFD C/m ADEF nội tiếp. Chứng tỏ EA là phân giác của góc DEF Nếu Bx quay xung quanh điểm B thì E di động trên đường nào? Bài 65: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm của CQ với BM. 1/cm: ACMP nội tiếp. 2/Chứng tỏ AB//DE 3/C/m: M; P; Q thẳng hànHình 65 554 Bài 66: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đưởng tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax.Tia BM cắt tia Ax tại I. Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; Tia BE cắt Ax tại H; cắt AM tại K. C/m: IA2=IM.IB . C/m: DBAF cân. C/m AKFH là hình thoi. Xác định vị trí của M để AKFI nội tiếp được. Bài 67: Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khác A; O; B). Đường thẳng CM cắt (O) tại N. Đường vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P. Chứng minh: COMNP nội tiếp. CMPO là hình bình hành. CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của M. Khi M di động trên AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định. Bài 68: Cho DABC có A=1v và AB>AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và nửa đường tròn đường kính HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB và AC tại E và F. Giao điểm của FE và AH là O. Chứng minh: AFHE là hình chữ nhật. BEFC nội tiếp AE. AB=AF. AC FE là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn. Chứng tỏ:BH. HC=4. OE.OF. Bài 69: Cho DABC có A=1v AH^BC.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;d là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A.Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E. Tính góc DOE. Chứng tỏ DE=BD+CE. Chứng minh:DB.CE=R2.(R là bán kính của đường tròn tâm O) C/m:BC là tiếp tuyến của đtròn đường kính DE. Bài 70: Cho DABC(A=1v); đường cao AH.Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH.Gọi HD là đường kính của đường tròn (A;AH).Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA tại E. Chứng minh DBEC cân. Gọi I là hình chiếu của A trên BE.C/m:AI=AH. C/m:BE là tiếp tuyến của đường tròn C/m:BE=BH+DE. Gọi đường tròn đường kính AH có Tâm là K.Và AH=2R.Tính diện tích của hình được tạo bởi đường tròn tâm A và tâm K. Bài 71: Trên cạnh CD của hình vuông ABCD,lấy một điểm M bất kỳ.Đường tròn đường kính AM cắt AB tại điểm thứ hai Q và cắt đường tròn đường kính CD tại điểm thứ hai N.Tia DN cắt cạnh BC tại P. C/m:Q;N;C thẳng hàng. CP.CB=CN.CQ. C/m AC và MP cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính AM. Bài 72: Cho DABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.D và E theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB;AC.Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự là H và K. C/m:DAHK cân. Gọi I là giao điểm của BE với CD.C/m:AI^DE C/m CEKI nội tiếp. C/m:IK//AB. DABC phải có thêm điều kiện gì để AI//EC. Bài 73: Cho DABC(AB=AC) nội tiếp trong (O),kẻ dây cung AA’ và từ C kẻ đường vuông góc CD với AA’,đường này cắt BA’ tại E. C/m góc DA’C=DA’E C/m DA’DC=DA’DE Chứng tỏ AC=AE.Khi AA’ quay xung quanh A thì E chạy trên đường nào? C/m BAC=2.CEB Bài 74: Cho DABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB.O là trung điểm AB;M là điểm chính giữa cung AC.H là giao điểm OM với AC> C/m:OM//BC. Từ C kẻ tia song song và cung chiều với tia BM,tia này cắt đường thẳng OM tại D.Cmr:MBCD là hình bình hành. Tia AM cắt CD tại K.Đường thẳng KH cắt AB ở P.Cmr:KP^AB. C/m:AP.AB=AC.AH. Gọi I là giao điểm của KB với (O).Q là giao điểm của KP với AI. C/m A;Q;I thẳng hàng. Bài 75: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính EF.Từ O vẽ tia Ot^ EF, nó cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên tia Ot lấy điểm A sao cho IA=IO.Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ với nửa đường tròn;chúng cắt đường thẳng EF tại B và C (P;Q là các tiếp điểm). 1.Cmr DABC là tam giác đều và tứ giác BPQC nội tiếp. 2.Từ S là điểm tuỳ ý trên cung PQ.vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến này cắt AP tại H,cắt AC tại K.Tính sđ độ của góc HOK 3.Gọi M; N lần lượt là giao điểm của PQ với OH; OK. Cm OMKQ nội tiếp. 4.Chứng minh rằng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy tại điểm D, và D cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp DHOK. Bài 76: Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O),các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E.Các cạnh bên AD;BC kéo dài cắt nhau ở F. C/m:ABCD là thang cân. Chứng tỏ FD.FA=FB.FC. C/m:Góc AED=AOD. C/m AOCF nội tiếp. Bài 77: Cho (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn.Kẻ OA^xy rồi từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) tại B và C.Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy tại D và E.Đường thẳng BD cắt OA;CE lần lượt ở F và M;OE cắt AC ở N. C/m OBAD nội tiếp. Cmr: AB.EN=AF.EC So sánh góc AOD và COM. Chứng tỏ A là trung điểm DE. Bài 78: Cho (O;R) và A là một điểm ở ngoài đường tròn.Kẻ tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. OB kéo dài cắt AC ở D và cắt đường tròn ở E. 1/ Chứng tỏ EC // với OA. 2/ Chứng minh rằng: 2AB.R=AO.CB. 3/ Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC, qua M dựng một tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB vàAC lần lượt ở I,J .Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC. 4/ Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để 4 điểm J,I,B,C cùng nằm trên một đường tròn. Bài 79: Cho(O),từ điểm P nằm ngoài đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn.Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM,đường này cắt PA,PB lần lượt ở C và D. 1/Chứng minh A,C,M,O cùng nằm trên một đường tròn. 2/Chứng minh:COD=AOB. 3/Chứng minh:Tam giác COD cân. 4/Vẽ đường kính BK của đường tròn,hạ AH ^BK.Gọi I là giao điểm của AH với PK.Chứng minh AI=IH. Bài 80: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H. 1/Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. 2/Chứng minh :AD.AB=AE.AC. 3/Chứng tỏ AK là phân giác của góc DKE. 4/Gọi I; J là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//JI. Bài 81: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC tại I(Enằm trên cung nhỏ BC) 1/Chứng minh BDCO nội tiếp. 2/Chứng minh:DC2=DE.DF 3/Chứng minh DOCI nội tiếp được trong đường tròn. 4/Chứng tỏ I là trung điểm EF. Bài 82: Cho đường tròn tâm O,đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F. Trên cung BC,lấy điểm M.AM cắt CD tại E. 1/Chứng minh AM là phân giác của góc CMD. 2/Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp được trong một đường tròn. 3/Chứng tỏ AC2=AE.AM 4/Gọi giao điểm của CB với AM là N;MD với AB là I.Chứng minh NI//CD. Bài 83: Cho DABC có A=1v;Kẻ AH^BC.Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở E và cắt đường thẳng AC tại G.Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt cạnh AC ở F,cắt đường thẳng AB tại D. C/m:AEHF nội tiếp. Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC Chứng minh EF^DG và FHC=AFE. Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngắn nhất. Bài 84: Cho DABC (AB=AC) nội tiếp trong (O).M là một điểm trên cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC ở N,cắt (O) ở I. Chứng minh A;O;I thẳng hàng. Kẻ AK^ với đường thẳng MC. AI cắt BC ở J.Chứng minh AKCJ nội tiếp. C/m:KM.JA=KA.JB. Bài 85: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Một đường tròn (O’) qua A và C cắt AB và tia Ax theo thứ tự tại D và E. Đường thẳng EC cắt By tại F. Chứng minh BDCF nội tiếp. Chứng tỏ:CD2=CE.CF và FD là tiếp tuyến của đường tròn (O). AC cắt DE ở I;CB cắt DF ở J.Chứng minh IJ//AB Xác định vị trí của D để EF là tiếp tuyến của (O) Bài 86: Cho (O;R và (O’;r) trong đó R>r, cắt nhau tại Avà B. Gọi I là một điểm bất kỳ trên đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB. Kẻ hai tiếp tuyến IC và ID với (O) và (O’). Đường thẳng OC và O’D cắt nhau ở K. Chứng minh ICKD nội tiếp. Chứng tỏ:IC2=IA.IB. Chứng minh IK nằm trên đường trung trực của CD. IK cắt (O) ở E và F; Qua I dựng cát tuyến IMN. a/ Chứng minh:IE.IF=IM.IN. b/ E; F; M; N nằm trên một đường tròn. Bài 87: ChoDABC có 3 góc nhọn.Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.(O) cắt AB;AC lần lượt ở D và E.BE và CD cắt nhau ở H. Chứng minh:ADHE nội tiếp. C/m:AE.AC=AB.AD. AH kéo dài cắt BC ở F.Cmr:H là tâm đường tròn nội tiếp DDFE. Gọi I là trung điểm AH.Cmr IE là tiếp tuyến của (O) Bài 88: Cho(O;R) và (O’;r) cắt nhau ở Avà B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBD^AB (CỴ(O)) và cát tuyến EBF bất kỳ(EỴ(O)). Chứng minh AOC và AO’D thẳng hàng. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng CE và DF.Cmr:AEKF nt. Cm:K thuộc đường tròn ngoại tiếp DACD. Chứng tỏ FA.EC=FD.EA. Bài 89: Cho DABC có A=1v.Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC tại B và dựng (O’;r) tiếp xúc với BC tại C.Gọi M;N là trung điểm AB;AC,OM và ON kéo dài cắt nhau ở K. Chứng minh:OAO’ thẳng hàng CM:AMKN nội tiếp. Cm AK là tiếp tuyến của cả hai đường tròn và K nằm trên BC. Chứng tỏ 4MI2=Rr. Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp trong (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC và DB vuông góc với nhau. Đường thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau ở E; BC và AD cắt nhau ở F. Cm:BDEF nội tiếp. Chứng tỏ:DA.DF=DC.DE Gọi I là giao điểm DB với AC và M là giao điểm của đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp DAEF. Cmr: DIMF nội tiếp. Gọi H là giao điểm AC với FE. Cm: AI.AM=AC.AH. Bài 91: Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A.Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) tại B và C (khác A). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE(DỴ(O)); DB và CE kéo dài cắt nhau ở M. Cmr: ADEM nội tiếp. Cm: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. ADEM là hình gì? Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC. Bài 92: Cho hình vuông ABCD.Trên BC lấy điểm M. Từ C hạ CK^ với đường thẳng AM. Cm: ABKC nội tiếp. Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại N.Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường này cắt đường thẳng DK ở E. Cmr: BD.KN=BE.KA Cm: MN//DB. Cm: BMEN là hình vuông. Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB ở O. Gọi M là 1 điểm trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M. Kẻ NE; NF và NP lần lượt vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB ở Q. Cm: QPCB nội tiếp. Cm: AN//DB. Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng. Cm: DPEN là tam giác cân. Bài 94: Từ đỉnh A của hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạo với nhau 1 góc bằng 45o. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q. Cm:E; P; Q; F; C cùng nằm trên 1 đường tròn. Cm:AB.PE=EB.PF. Cm:SDAEF=2SDAPQ. Gọi M là trung điểm AE.Cmr: MC=MD. Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở O.Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC.Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở I.Gọi E và F lần lượt là trung điểm DH và BC.Từ E dụng đường thẳng song song với AD.Đường này cắt AH ở J. C/m:OHIK nội tiếp. Chứng tỏ KH^OI. Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường này cắt AH ở J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp được trong một đường tròn. Bài 96: Cho DABC, phân giác góc trong và góc ngoài của các góc B và C gặp nhau theo thứ tự ở I và J.Từ J kẻ JH; JP; JK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB; BC; AC. Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng. Chứng minh: BICJ nt. BI kéo dài cắt đường thẳng CJ tại E. Cmr:AE^AJ. C/m: AI.AJ=AB.AC. Bài 97: Từ đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay sao cho: Ax cắt cạnh BC ở P,Ay cắt cạnh CD ở Q.Kẻ BK^Ax;BI^Ay và DM^Ax,DN^Ay . Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2=AP.MD. Chứng minh MN=KI. Chứng tỏ KI^AN. Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o.Phân giác góc A cắt cạnh CD và đường thẳng BC tại I và K.Hạ KH và KM lần lượt vuông góc với CD và AM. Chứng minh KHDM nt. Chứng minh:AB=CK+AM. Bài 99: Cho(O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC. Vẽ cát tuyến BEF.Đường thẳng CE và CF gặp lại đường tròn ở điểm thứ hai tại M và N.Dựng hình bình hành AECD. Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF. Chứng minh AFCD nội tiếp. Chứng minh:CN.CF=4BE.BF Chứng minh MN//AC. Bài 100: Trên (O) lấy 3 điểm A;B;C.Gọi M;N;P lần lượt theo thứ tự là điểm chính giữa cung AB;BC;AC .AM cắt MP và BP lần lượt ở K và I.MN cắt AB ở E. Chứng minh DBNI cân. PKEN nội tiếp. Chứng minh AN.BD=AB.BN Chứng minh I là trực tâm của DMPN và IE//BC. Bài tập vận dụng 43 Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng 1. M lµ ®iĨm bÊt kú n»m trong h×nh vu«ng. Chøng minh r»ng MA2+MB2+MC2+MD2 ³ 1 (HD: MA+MC ³ AC vµ MA2 + MC2 ³) 1. Cho tam gi¸c ®Ịu ABC. Chøng minh ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC ®ia qua trung ®iĨm cđa AB vµ trung ®iĨm cđa AC. 2. Cho ®iĨm P n»m ngoµi ®­êng trßn (O; R) sao cho OP = 2R. §­êng th¼ng ®ia qua P c¾t ®­êng trßn t¹i A vµ B sao cho AB = R (A n»m gi÷a P vµ B). a) TÝnh tØ sè l­ỵng gi¸c cđa gãc BPO. b) Qua P, kỴ c¸t tuyÕn kh¸c c¾t ®­êng trßn (O; R) t¹i C vµ D, h¹ OK vu«ng gãc víi DC. So s¸nh hai d©y AB vµ CD, biÕt OK < . 3. Cho ®­êng trßn (O; R) vµ hai tiÕp tuyÕn MA, MB cđa ®­êng trßn. KỴ AD (D n»m gi÷a O vµ M) sao cho gãc MAD = 450. a) Chøng minh DO.MB = AO.DM b) Chøng minh BD lµ ®­êng ph©n gi¸c cđa gãc OBN, c) Tõ M kỴ ®­êng th¼ng song song víi OB, ®­êng th¼ng nµy c¾t OA t¹i N. Chøng minh NO = NM. 4. Cho ®­êng trßn (O; R), ®­êng kÝnh AB. Trªn nưa ®­êng trßn lÊy ®iĨm M. KỴ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi MO t¹i M, ®­êng th¼ng nµy c¾t tiÕp tuyÕn t¹i A vµ c¾t tiÕp tuyÕn t¹i B t¹i hai ®iĨm C vµ D, ®­êng th¼ng DO c¾t CA t¹i I. a) Chøng minh D DCI c©n t¹i C. b) Chøng minh CA.BD = R2 c) Nªu vÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa cđa ®­êng th¼ng AB vµ ®­êng trßn ®i qua ba ®iĨm C, O, D. 5. Tõ ®iĨm P n»m ngoµi ®­êng trßn (O; R), kỴ hai c¸t tuyÕn PBA vµ PCD. Gäi M, N lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ CD. a) Chøng minh P, H, O, K cïng thuéc mét ®­êng trßn. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cđa ®­êng trßn ®ã. b) So s¸nh hai d©y AB vµ CD biÕt PH < PK. 6. Cho ®­êng trßn (O; R) , hai tiÕp tuyÕn MA, MB cđa ®­êng trßn, AB c¾t OM t¹i H. a) Chøng minh AM.BM = MH.MO b) §­êng th¼ng OA c¾t MB t¹i N. Chøng minh c) Tõ O kỴ OK song song víi AM (K thuéc MB). Chøng minh OK = MK. 7. Cho nưa ®­êng trßn t©m O, ®­êng kÝnh AB. LÊy ®iĨm I trªn nưa ®­êng trßn. TiÕp tuyÕn t¹i I c¾t tiÕp tuyÕn t¹i A vµ tiÕp tuyÕn t¹i B lÇn l­ỵt t¹i M vµ N. a) Chøng minh tam gi¸c MON vu«ng t¹i O. b) §­êng th¼ng NM c¾t BA kÐo dµi t¹i P. Chøng minh PO.MI = PM.OB vµ PO.NI = PN.OA. 8*. Cho ®­êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R, kỴ d©y DE vu«ng gãc víi ®­êng AB t¹i P (P n»m gi÷a O vµ B). KỴ d©y BC song song víi AE, ®­êng th¼ng ®i qua P song song víi BC c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i J. Chøng minh JA lµ tiÕp tuyÕn cđa ®­êng trßn (O; R) 9*. Cho ®­êng trßn t©m O, ®­êng kÝnh AB vµ tia tiÕp tuyÕn Ax. Tõ ®iĨm M trªn Ax kỴ tiÕp tuyÕn thø hai MC víi ®­êng trßn, kỴ CH vu«ng gãc víi AB. Chøng minh MB ®i qua trung ®iĨm N cđa CH. 10*. Cho tam gi¸c ABC ®Ịu víi O lµ trung ®iĨm cđa c¹nh BC. Trªn c¹nh AB lÊy ®iĨm M, trªn c¹nh AC lÊy ®iĨm N sao cho gãc MON = 600. a) Chøng minh BC2 = 4.BM.CN b) MO c¾t BN t¹i I. Chøng minh IB.MN = IN.MB c) Khi M vµ N di ®éng trªn hai c¹nh AB vµ AC cđa tam gi¸c ABC sao cho gãc MON = 600, chøng minh MN lu«n tiÕp xĩc víi mét ®­êng trßn cè ®Þnh. 11*. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ngo¹i tiÕp ®­êng trßn (O; r). KỴ OH vu«ng gãc víi AB, OK vu«ng gãc víi AC. Chøng minh: a) DiƯn tÝch tø gi¸c AKOH b»ng r2. b) sinB - cosB = 12*. Gäi I vµ K theo thø tù lµ c¸c ®iĨm n»m trªn c¹nh AB, AD cđa h×nh vu«ng ABCD sao cho AI = AK. §­êng th¼ng kỴ qua A vu«ng gãc víi DI ë P, c¾t BC ë Q. Chøng minh n¨m ®iĨm C, D, K, P, Q cïng thuéc mét ®­êng trßn. 13*. Cho h×nh vu«ng ABCD, O lµ giao ®iĨm hai ®­êng chÐo AC vµ BD. Gäi M, N lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa OB, CD. a) Chøng minh gãc AMN = 900, tõ ®ã suy ra bèn ®iĨm A, M, N, D cïng thuéc mét ®­êng trßn; b) So s¸nh AN víi MD. 14. Cho tam gi¸c ABC c©n ë A cã AB = 15 cm, ®­êng cao AH = 9 cm. TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. 15**. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh b»ng a. Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm tuú ý trªn c¸c c¹nh AB vµ CD sao cho chu vi tam gi¸c AMN b»ng 2a. Gäi H lµ h×nh chiÕu cđa C trªn MN. Chøng minh r»ng ®iĨm H lu«n lu«n thuéc mét ®­êng trßn cè ®Þnh khi hai ®iĨm M, N chuyĨn ®éng trªn c¸c c¹nh AB vµ CD. 16*. Cho ®o¹n th¼ng AB vµ trung ®iĨm O cđa AB. Trªn cïng mét nưa mỈt ph¼ng bê AB vÏ tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. Trªn c¸c tia Ax, By lÊy theo thø tù hai ®iĨm C vµ D sao cho gãc COD = 900. KỴ OH ^ CD. a) Chøng minh r»ng H thuéc ®­êng trßn t©m O. b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa ®­êng th¼ng CD víi ®­êng trßn (O). 17*. Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn ®­êng chÐo BD lÊy ®iĨm I sao cho BI = BA. §­êng th¼ng kỴ qua I vu«ng gãc víi BD c¾t AD ë E. a) So s¸nh c¸c ®o¹n th¼ng AE, EI, ID. b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa ®­êng th¼ng BD víi ®­êng trßn (E; EA). 19. Cho ®­êng trßn (O; 5cm), ®­êng kÝnh AB, tiÕp tuyÕn Bx. Gäi C lµ mét ®iĨm trªn ®­êng trßn sao cho gãc BAC = 300, tia AC c¾t Bx ë E. a) Chøng minh BC2 = AC.AE. b) TÝnh ®é dµi ®o¹n AE. 20. Cho nưa ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Qua C thuéc nưa ®­êng trßn, kỴ tiÕp tuyÕn xy cđa nưa ®­êng trßn. Gäi M vµ N lÇn l­ỵt lµ h×nh chiÕu cđa ®iĨm A vµ ®iĨm B trªn xy. Gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kỴ tõ C xuèng AB. Chøng minh: a) C lµ trung ®iĨm cđa MN. b) CH2 = AM.BN 21. Cho nưa ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB, hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Trªn Ax, By lÊy theo thø tù hai ®iĨm C vµ D. BiÕt AC + BD = CD. Chøng minh. a) Gãc COD = 900. b) §­êng th¼ng AB lµ tiÕp tuyÕn cđa ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD, cßn ®­êng th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn c¶u ®­êng trßn (O). 22. Cho nưa ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB, tiÕp tuyÕn Ax. Qua ®iĨm C trªn nưa ®­êng trßn (O) kỴ tiÕp tuyÕn víi nưa ®­êng trßn c¾t Ax ë M. KỴ CH ^ AB c¾t BM ë I. Chøng minh I lµ trung ®iĨm cđa CH. Phần 1: Hình học Bài 1: Cho một đường trịn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Gọi M là điểm di động trên cung BC, dây AM cắt OC ở E.Chứng minh tâm I của đường trịn ngoại tiếp tam giác OME luơn thuộc đoạn thẳng cố định. Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn cĩ trực tâm H. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AH, BC. Các đường phân giác gĩc ABH và ACH cắt nhau tại P.Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng . Bài 3: Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn (O),H là trực tâm của tam giác ABC.Gọi E là điểm đối xứng của H qua BC. a) Chứng minh E thuộc đường trịn (O). b) Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác ABC và D là điểm đối xứng của I qua BC .Tìm điều kiện của tam giác ABC để D thuộc đường trịn (O). Bài 4: Các đường cao AH, BE,CF của tam giác nhọn ABC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác đĩ tại các điểm thứ 2 tương ứng là M,N,P.Chứng minh : a) b) Bài 5 : (BMO 2004)Cho hai đường trịn tiếp xúc trong tại M. Đường tiếp tuyến với đường trịn bên trong tại P cắt đường trịn bên ngồi tại Q và R.Chứng minh : Bài 6 : (BMO 2000)Hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N.Vẽ tiếp tuyến chung PQ (gần N hơn )của hai đường trịn.PN cắt đường trịn (O’) tại R.Chứng min