Bài tập quan hệ vuông góc Toán 11

Buổi 1. Vấn đề 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(): Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (). Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với (). Cách chứng minh đường thẳng a và b vuông góc: Cách 1: Ta chứng minh góc giữa hai đt đó bằng . Cách 2: Ta chứng minh a//c mà cb. Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương . Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp() chứa đường thẳng b. (hay dùng) Cách 5: Sử dụng định lí ba đường vuông góc: (dùng nhiều lắm nà) ahình chiếu a đường xiên. Kết quả: + Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì song song. + Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. Bài 1. Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mp khác nhau tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh BCAD. Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH(BCD). Bài 2. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác cân tại A với AB = a, BC = . Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AHMD. Chứng minh AH(BCD). Cho AD = .Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM. Gọi G1, G2 là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh G1G2(ABC). Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng: a) SC vuông góc với mp(BHK). b) HK vuông góc với mp(SBC). Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Chứng minh SO (ABCD) và ACSD. Gọi I, J là trung điểm của BA, BC. Chứng minh IJ (SBD). Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAB là tam giác đều và SC = a. Gọi H, K là trung điểm của AB, AD. Chứng minh SH (ABCD). b) Chứng minh AC SK và CK SD. Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H (ABC). Chứng minh rằng: a) AA’BC và AA’B’C’. b) Gọi MM’ là giao tuyến của hai mp(AHA’) và (BCC’B’) trong đó M BC và M’ B’C’. Chứng minh tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó. Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, biết SB = SD. a) Chứng minh (SAC) là mp trung trực của đoạn thẳng BD. b) Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SH = SK, OH = OK và HK//BD. Chứng minh (SAC) là mp trung trực của HK. Bài 8. Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mp khác nhau sao cho ACBF. Gọi CH và FK là hai đường cao của tam giác BCE và ADF. Chứng minh: ACH và BFK là các tam giác vuông. b) BFAH và ACBK. Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có SA đáy, tam giác ABC cân tại B. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB. Chứng minh BC (SAB). b) NG (SAC). Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD. Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI (SCD), SJ (SAB). Gọi SH là đường cao của tam giác SIJ. Chứng minh SH AC và tính độ dài SH. Gọi M là điểm thuộc BD sao cho BM SA. Tính AM theo aAM theo a. Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có SA đáy và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a. Ngoài ra SC BD. Chứng minh tam giác SBC vuông. Tính theo a độ dài đoạn AD. Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x, với . Tính độ dài đường cao DE của tam giác BDM theo a và x. Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có SA đáy và SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C với AB = 2a, BAC = . Gọi M là một điểm di đọng trên cạnh AC, H là hình chiếu của S trên BM. Chứng minh AH BM. Đặt AM = x, với . Tính khoảng cách từ S tới BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách này là lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 13. Cho tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = a. Gọi E, F là trung điểm SB, SC. Chứng minh BC (SAD). Tính diện tích của tam giác AEF. Bài 14. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. cạnh bên AA’ = a và vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI BC’. Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh AM BC’. Gọi K là một điểm trên đoạn A’B’ sao cho KB’ = và J là trung điểm của B’C’. Chứng minh AM (MKJ). Bài 15. Cho tứ diện ABCD có DA (DBC) và tam giác ABC vuông tại A. Kẻ DI BC. Chứng minh BC (AID). Kẻ DH AI. Chứng minh DH (ABC). Đặt ,,. Chứng minh . Giả sử AD = a, . Tính BC và . Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = SB = . Kẻ SH (ABC). Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. TÍnh đọ dài SH theo a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC (SAI). Gọi là góc giữa SA và SH. Tính . Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD). Gọi I , M là trung điểm của SC và AB. Cho SA = a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh IO (ABCD). Tính khoảng cách từ I đến CM. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, SA (ABCD). Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC (AHK). Kẻ AJ (SBD). Chứng minh J là trực tâm của tam giác SBD. Bài 19. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy. Gọi M, N là hình chiếu của A trên SB, SD. a) Chứng minh MN//BD và SC vuông góc với mp(AMN). b) Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc. Bài 20. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: BC (SAI). SI (ABC). Bài 21. Cho tứ diện ABCD có DA (ABC). Gọi AI là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Hạ HK DI. Chứng minh: HK BC. K là trực tâm của tam giác DBC. Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S di động. Gọi D, F là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh: AF SB. Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, , , . Chứng minh tam giác ABC vuông. Xác định hình chiếu H của S trên mp(ABC). Tính SH theo a. Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có ABD là tam giác đều, BCD là tam giác cân tại C có . SA đáy. Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh SC (AHK). Gọi C’ là giao điểm của SC với mp(AHK). Tính diện tích tứ giác AHC’K khi AB = SA = a. Bài 25. Cho tam giác ABC đều cạnh a, d là đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh HK (SBC). Bài 26. Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K là trung điểm AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại H, lấy điểm S (khác H). Chứng minh: AC (SHK). CK SD. Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA đáy. Hạ AH SB, AK SC. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. Chứng minh SHK là tam giác vuông. Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh AC AD. Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh tâm O, AB = SA = a, SA đáy. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD tại H, I, K. Chứng minh HK//BD. Chứng minh AH SB, AK SD. Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vuông góc. Tính diện tích AHIK theo a. Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = , mặt bên SBC vuông tại B, SCD vuông tại D có SD = . Chứng minh SA (ABCD) và tính SA. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt CB, CD tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC, K và L là giao điểm của SB, SD với mp(HIJ). Chứng minh AK (SBC) và AL (SCD). Tính diện tích tứ giác AKHL. Bài 30. Cho tam giác MAB vuông tại M nằm trong mp(P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy hai điểm C, D nằm hai phía đối với (P). Gọi C’ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC’. Chứng minh CC’ (MBD). Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh K là trực tâm của tam giác BCD. Buổi 2. Vấn đề 2. Hai mặt phẳng vuông góc. Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau: Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.(đường nào đây ta??) Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là . Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(): Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này. Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mp kia. Kết quả: + + Nếu hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau, điểm A thuộc (P) thì mọi đường thẳng qua A và vuông góc với (Q) đều nằm trong (P). Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy. Chú ý. + Cần phân biệt hai khái niệm Hình chóp đều và hình chóp có đáy là đa giác đều. + Hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau. + Hình chóp đều có góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. Dạng 1. Chứng minh sự vuông góc. Bài 1. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại B và AD (ABC). Chứng minh (ABD) (BCD). Bài 2. Cho tứ diện ABCD có AB (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mp(ACD) vẽ DK AC. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh (ACD) (ABE) và (ACD) (DFK). Chứng minh OH (ACD). Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh (SAD) (SAB). Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh (SBC)(SAC). b) Chứng minh (ABI)(SBC). Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với mp(ABC). Chứng minh (ABB’)(ACC’). Gọi AH, AK là đường cao của các tam giác ABC và AB’C’. Chứng minh hai mp(BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với mp(AHK). Bài 6(SGK). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Chứng minh (SBD) (ABCD). b) Chứng minh tam giác SBD vuông. Bài 7.(góc giữa hai mp = ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, có cạnh bằng a và đường chéo BD = a. SC = và vuông góc với (ABCD). Chứng minh (SAB) (SAD). Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại B. Đoạn thẳng AD(ABC). Chứng minh (ABD)(BCD). Vẽ đường cao AH của tam giác ABD, chứng minh AH(BCD). Bài 9. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh AC’ (A’BD) và (ACC’A’)(A’BD). Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SAđáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh: (SAH)(SBC). b) (CHK)(SBC). Bài 11. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD) và O là trung điểm của AH. Chứng minh các mp(OBC), (OCD), (OBD) đôi một vuông góc với nhau. Bài 12. Cho tam giác đều ABC. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S. Gọi D là trung điểm của BC. a) Chứng minh (SAD)(SBC). b) Kẻ CIAB, CKSB. Chứng minh SB(ICK). c) Kẻ BMAC, MNSC. Chứng minh SCBN. d) Chứng minh (CIK)(SBC) và (MBN)(SBC). e) MB cắt CI tại G, CK cắt BN tại H. Chứng minh GH(SBC). f) Chứng minh 6 điểm B, C, I, K, M, N cách đều D. Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SHđáy với H thuộc đoạn BC. Chứng minh (SBC)(ABC). Kẻ HIAB, HKAC. Tứ giác AIHK có đặc điểm gì? Chứng minh (SHI)(SAB) và (SHK)(SAC). Kẻ HMSI, HNSK. Chứng minh HM(SAB) và HN(SAC). Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD). Biết ABCD là hình vuông và SA = AB. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh: a) (SAC) (SBD). b) (SAD) (SCD). c) (SCD) (ABM). Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Hai mp(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Chứng minh (SAC)(SBD). Từ O kẻ OKBC. Chứng minh BC(SOA). Chứng minh (SBC)(SOK). Kẻ OHSK. Chứng minh OH(SBC). Bài 16. Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với đáy. Chứng minh (SAB)(SAD) và (SAB)(SBC). Tính góc giữa hai mp (SAD) và (SBC). Gọi H, I là trung điểm của AB, BC. Chứng minh (SHC)(SDI). Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mp(ASB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. a) Chứng minh SA(ABCD). b) Chứng minh (SAC)(SBD). c) Cho SA = 2a. Kẻ AH(SBC). Tính AH? Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB < BC, AB = a. Hai mp(SAD) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. a) Chứng minh SA(ABCD). b) Chứng minh (CSB)(SAB). c) Đặt , . Chứng minh . Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có SAđáy, đáy ABCD là hình chữ nhật. Hạ AHSB, AKSD. Chứng minh: (SBC)(SAB). b) (AHK)(SAC). Bài 20. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = . Chứng minh: (SAB) (SAC). b) (SBC)(SAD). Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAđáy. Gọi M, N là các điểm thuộc BC và CD sao cho BM = , . Chứng minh (SAM)(SMN). Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, SB = SD = a, BD = . Hai mp(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Chứng minh tam giác SAC vuông tại S. b) Chứng minh (SBC)(SCD). Bài 23. Trong mp(P), cho hình thoi ABCD với AB = a, AC = . Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại giao điểm O của hai đường chéo AC và BD, lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh: Tam giác ASC vuông. b) (SAB)(SAD). Bài 24. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, các cạnh đáy có độ dài bằng a, M, N là trung điểm của SB, SC. Biết (AMN)(SBC). Tính theo a diện tích tam giác AMN. Buổi 3. Dạng 2. Tìm Thiết diện của hình chóp sử dụng quan hệ vuông góc. Cách xác định mp() đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d: Cách 1: + Kẻ đường thẳng a qua A và vuông góc với d. + Tìm đường thẳng b cắt a và bd. Khi đó, mp(a,b) chính là mp() cần dựng. Cách 2: Sử dụng kết quả ở dưới. Cách xác định mp() chứa đt a và vuông góc với đường thẳng mp(): + Chọn một điểm A trên đt a. + Kẻ đường thẳng qua A và vuông góc với mp(). Khi đó, mp(a,b) chính là mp() cần dựng. Kết quả: + Nếu một đường thẳng và một mp cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. Bài 25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Chứng minh (SBC)(SAB). Bài 26. Cho tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a, có cạnh SAmp(ABC) và SA = a. Chứng minh (SAB)(SBC). Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH(SBC). Tính độ dài đoạn AH. Từ trung điểm O của đoạn AC vẽ OK(SBC). Tính độ dài đoạn OK. Bài 27. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Kẻ CKBD. Chứng minh C’KBD. Chứng minh (C’BD)(C’CK). Kẻ CHC’K. Chứng minh CH(C’BD). Bài 28. Cho tam giác ACD và BCD nằm trong hai mp vuông góc với nhau. AC = AD = BC = BD = a và CD = 2x. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD. Chứng minh IJ AB và CD. Tính AB và IJ theo a và x. Xác định x để (ABC) (ABD). Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SAđáy. Gọi M là trung điểm của BC. Tìm N trên CD để (SAM)(SMN). Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh SAđáy. Giả sử () là mp qua A và vuông góc với cạnh SC, () cắt SC tại I. Xác định giao điểm K của SO với mp(). Chứng minh (SBD)(SAC) và BD//(). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(). Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, hai đáy là AD = 2a, BC = a. Biết AB = a, SA = và SAđáy. Chứng minh (SAC)(SDC). Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P) chứa AB và vuông góc với mp(SDC). Tính diện tích thiết diện theo a. Bài 32. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: (ABC)(BCD). b) (ABC)(ACD). Bài 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAđáy. Gọi M, N là hai điểm thuộc các cạnh BC, CD sao cho BM = x, DN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, x và y để (SAM) (SMN). Bài 34. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = a. Gọi I, K là trung điểm của AB, CD. Một mp(P) qua CD và vuông góc với (SAB) cắt SA, SB tại M và N. Chứng minh (SIK)(SAB). (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a. Bài 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = và vuông góc với đáy. Chứng minh (SCD)(SAD). Cắt hình chóp bởi mp(P) chứa AB và vuông góc với (SCD). Tính theo a diện tích thiết diện đó. Bài 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SAđáy và SA = . Gọi M là một điểm thuộc đoạn AO sao cho AM = x, . Gọi H là hình chiếu của M trên (SBC). Tính MH. Mp(P)AC tại M cắt hình chóp theo một đa giác. Trình bày cách dựng thiết diện này. Tìm x để diện tích đa giác lớn nhất. Bài 37. Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A với AB = a, , SB(ABC) và SB = 2a. a) Chứng minh (SAC)(SAB). b) Lấy điểm M thuộc đoạn AB sao cho BM = x, 0 < x < a. Qua M dựng mp(Q) song song với AC và SB.Tính diện tích thiết diện của (Q) với hình chóp. Tìm x để diện tích này lớn nhất. Buổi 4. Vấn đề 3. Góc. Góc giữa hai đường thẳng. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b: Chọn điểm O thích hợp, rồi kẻ hai đường thẳng đi qua điểm O: a’//a và b’//b. Các phương pháp tính góc: + Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác: Định lí sin: Định lí cos: + Tính góc theo vectơ chỉ phương: Chú ý. + + + Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì . Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = . Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB. Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của BC và AD. Tính góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều cạnh bằng a. Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = . Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = . Tính góc giữa AB và CD, biết AB = 2a, CD = và MN = . Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và , . Chứng minh: ABCD. Nếu I, J là trung điểm của AB và CD thì IJAB, IJCD. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, SA = SB và SABC. Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC. Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K là trung điểm của BC, AC, AD, BD. Hãy tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD trong các trường hợp: Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH = IJ. Tứ giác IJHK là hình chữ nhật. Bài 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a (hình hộp thoi), , . Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D. Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’. Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’. Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b và AA’ = c. Tính góc giữa hai đường thẳng AD’ và B’C. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và A’C. Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và các tam giác SAB, SBC, SCA vuông tại S. Gọi M là trung điểm BC. Tính góc giữa AC và SM. Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy là hình vuông. Gọi N là trung điểm SB. Tính góc giữa AN và CN, AN và SD. Bài 10. Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABD và DBC là các tam giác đều cạnh a. Cho AD = . Chứng minh ADBC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P): + Xác định hình chiếu d’ của d trên mp(P) (Bằng cách tìm hình chiếu của điểm B trên mp(P)). + Góc giữa d và hình chiếu d’ chính là góc giữa đường thẳng d và mp(P). A B B’ d d' Chú ý. + . + Nếu hoặc thì . + Tính chất của trục đường tròn: ĐN. Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác . Đường thẳng đi qua O và vuông góc với mp chứa đa giác gọi là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đã cho. Tính chất: Nếu thì S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đa giác . Do đó, hình chiếu của S trên mp chứa đa giác là tâm đường tròn O. Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAđáy và SA = . Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD). Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA = SA = SC = . Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABC). Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAđáy và SA = . Tính góc giữa: SC và (ABCD). b) SC và (SAB). AC và (SBC). d) SB và (SAC). Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SAđáy, đáy là tam giác vuông tại B. Biết . Đặt . Gọi I là hình chiếu của B trên SC. Xác định để góc giữa BI và mp(SAC) là . Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Biết SD = , tất cả các cạnh còn lại đều bằng a. Chứng minh (SBD) là mặt phẳng trung trực của AC và SBD là tam giác vuông. Xác định góc giữa SD và mp(ABCD). Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a nằm trong mp(P), cạnh AC = và tạo với (P) một góc . Tính góc giữa BC và (P). Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = và đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi H là hình chiếu của S trên mp(ABC). Tính SH. Tính góc giữa SA và (ABC). Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết góc giữa SC và mặt đáy là . Tính số đo góc: Giữa SC và (SAD). Giữa SC và (SAD). Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = và vuông góc với đáy. Tính góc giữa BS và CD Tính góc giữa SC và (ABCD). Tính góc giữa SC và (SAB), SB và (SAC), AC và (SBC). Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, hai đáy là AD = 2a, BC = a. Biết SA = 2a, AB = a. Chứng minh SCD là tam giác vuông. Tính góc giữa SD và (SAC). Buổi 5. Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA, BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là . Tính MN và SO. Tính góc giữa MN và (SBD). Bài 12. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết BC’ hợp với mp(ABB’A’) góc . Tính AA’. Gọi M, N là trung điểm của AC và BB’. Tính góc giữa MN và mp(BA’C’). Bài 13. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Gọi M, N là trung điểm của AB và B’C’. Biết MN = a và MN hợp với đáy góc và mặt bên (BCC’B’) góc . Tính cạnh bên và các cạnh đáy của lăng trụ theo a và . Chứng minh . Góc giữa hai mặt phẳng. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến c: + Chọn điểm I thích hợp trên giao tuyến c. + Qua I vẽ hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến c và lần lượt nằm trong hai mp đã cho. Chú ý. + + Nếu hoặc thì . + Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AD(BCD) và AB = a. Biết BCD là tam giác đều cạnh 2a. Tính góc giữa hai mp(ACD) và (BCD). Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc . Tính góc giữa các mặt phẳng: (SAB) và (SCD). (SAB) và (SBC). Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAđáy, SA = x. Tìm x để hai mp(SBC) và (SCD) tạo với nhau góc . Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a nằm trong mp(P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B và C lấy các đoạn BD = , CE = nằm cùng một bên đối với (P). Chứng minh tam giác ADE vuông. Tính diện tích tam giác này. Tính góc giữa hai mp(ADE) và (P). Bài 5. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, AA’ = a và A’O(ABCD). Tính góc hợp bởi: Cạnh bên và mặt đáy. Cạnh bên và cạnh đáy. (BDD’B’) và (ABCD); (ACC’A’) và (ABCD). Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB)(ABCD). Tính góc giữa: (SCD) và (ABCD). (SCD) và (SAD). Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SAđáy và SA = a. Chứng minh (SAB)(SCD) và (SAC)(SCB). Gọi là góc giữa hai mp(SBC) và (ABCD). Tính . Bài 8. Cho tứ diện SABC, hai mp(SAB) và (SBC) vuông góc với nhau và SA(ABC), SB = , , . Chứng minh BCSB. Tìm điểm cách đều 4 điểm S, A, B, C. Xác định để hai mp(SAC) và (SCB) tạo với nhau góc . Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, BA = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO(ABCD), đặt SO = h. Gọi M, N là trung điểm của AB, CD. Tính góc giữa (SMN) với (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để (SMN) vuông góc với các mp(SAB), (SCD). Tính góc giữa hai mp(SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mo đó vuông góc. Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, BA = a, BC = 2a, cạnh bên SAđáy và SA = a. Tính: Các góc giữa các mp chứa các mặt bên và mp đáy của hình chóp. Góc giữa hai mp chứa hai cạnh bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp. Bài 11. Cho tam giác cân ABC, AB = AC = a, . Xét hai tia cùng chiều Bt, Ct’ và vuông góc với mp(ABC). Lấy điểm B’ thuộc Bt, C’ thuộc Ct’ sao cho BB’ = 3CC’. Cho BB’ = a. Tính góc giữa hai mp(AB’C’) và (ABC), Tính diện tích tam giác AB’C’. Bài 12. Cho hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến d. Lấy hai điểm cố dịnh A, B thuộc d sao cho AB = a. Gọi SAB là tam giác đều trong (P), ABCD là hình vuông trong (Q). Tính góc giữa mp(SCD) với các mp(P) và (Q). Gọi O1 là giao điểm của B1C và A1D, trong đó B1, D1 là trung điểm của SA, SB. Gọi H1 là giao điểm của đường cao SH của tam giác SAB với mp(A1B1CD). Chứng minh SO1 vuông góc với SA và CD. Tính góc giữa mp(A1B1O1) với các mp(P) và (Q). Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA = và vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mp(SAD) và (SBC). Tính góc giữa hai mp(SCD) và (SBC). Bài 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = a. Tính góc giữa hai mp(ABC’) và (BCA’). Bài 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai mp(SC