Bài tập rút gọn biểu thức

BÀI TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC- Bµi 4 : Cho biÓu thøc : A = a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = c) T×m x ®Ó A < 0. d) T×m x ®Ó = A. Kq A = . Bµi 5 : Cho biÓu thøc : A = KQ A = . a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) X¸c ®Þnh a ®Ó biÓu thøc A > . Bµi 6 : Cho biÓu thøc: A = . a) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi x ®Ó biÓu thøc cã nghÜa. b) Rót gän A. c) t×m x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn (A = ) Bµi 7: Cho A= víi x0 , x1. a. Rót gän A. b. T×m ®Ó c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN . (KQ: A = ) Bµi 8 : Cho A = víi x0 , x1. a. Rót gän A. b. CMR nÕu 0 0 c. TÝnh A khi x =3+2 d. T×m GTLN cña A (KQ: A = ) Bµi 9. Cho biÓu thøc : A = a) T×m §KX§ vµ rót gän A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 3 - 2. c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó x.A = . Bµi 10. Cho biÓu thøc: C = a) Rót gän C. b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó: c) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó: C2 = 40C. Bµi 11 Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P > 0 c) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña d) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó cã gi¸ trÞ x > 1 tho¶ m·n: m(- 3).P = 12m - 4 CHUYÊN ĐỀ II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Phương trình bậc nhất một ẩn 1, Dạng tổng quát : ax + b = 0, a0 2, Phương trình bậc nhất một ẩn luôn có nghiệm duy nhất 3, Giải và biện luận pt: ax + b = 0 * Nếu a=0, phương trình vô nghiệm khi b0 Phương trình vô số nghiệm khi b = 0 * Nếu a0, phương trình luôn có nghiệm duy nhất B. Hệ phương trình bậc nhất một ẩn: Phần I : Kiến thức cần nhớ Dạng tổng quát : Số các nghiệm của hệ: + Nếu Hệ có nghiệm duy nhất + Nếu Hệ vô nghiệm + Nếu Hệ có vô số nghiệm Các phương pháp giải hệ phương trình: 1. Phương pháp thế: - Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn(chẳng hạn ẩn x) theo ẩn kia - Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại để tìm y - Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được 2. Phương pháp cộng : - Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt đối bằng nhau - Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn - Giải phương trình tìm ẩn chưa khử - Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được 3. Chú ý : Với hệ phương trình +Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế +Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ +Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng phương pháp thế + Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác và không có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì ta đi tìm BCNN (a;a’) hoặc BCNN (b; b’) Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một điều kiện nào đó ta làm như sau: + Coi tham số như số đã biết + Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số + Giải các phương trình (Bất phương trình) của biểu thức chứa tham số Phần II : Một số bài tập Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: a) b) c) Bài 2:: Cho hệ phương trình: Giải hệ với m = -2 b)Tìm m để hệ có nghiệm dương Bài 3: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình với a = 2 Giải hệ với a bất kỳ Tìm a để hệ có nghiệm dương Bài 4: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình với a = 3 Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm âm duy nhất Bài 5: Cho hệ phương trình Giải và biện luận hệ phương trình Tìm m để hệ có một nghiệm sao cho x < y Bài 6: Cho hệ phương trình Giải hệ với a = 2 Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm x + y > 0 Bài 7: Cho hệ phương trình Giải và biện luận hệ phương trình Tìm m để hệ có một nghiệm x +y >1 Bài 8 : Cho hệ phương trình Giải hệ với m = 2 b)Tìm m để hệ có nghiệm âm Bài 9: Cho hệ phương trình Giải hệ với a = 2 và b = 1 Tìm tất cả các cặp giá trị nguyên của a và b để hệ có nghiệm nguyên Bài 10: Cho hệ phương trình: Giải và biện luận hệ phương trình trên Tìm giá trị nguyên sao cho nghiệm của hệ có giá trị nguyên CHUYÊN ĐỀ III: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Phần I : Kiến thức cần nhớ: I. Hàm số bậc nhất : 1. Dạng tổng quát: y = ax + b (a ≠ 0 ) 2. Tính chất : + Đồng biến nếu a > 0 + Nghịch biến nếu a < 0 3. Đồ thị : Là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, cắt trục hoành tại điểm có hoàng độ bằng . 4. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc nhất: Cho hai hàm số : y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) + Nếu a ≠ a’ ð (d) cắt (d’) + Nếu a = a’; b ≠ b’ ð (d) // (d’) + Nếu a = a’; b = b’ ð(d) ≡ (d’) + Nếu a.a’ = -1 ð (d) (d’) II. Hàm số y = ax2 (a≠0) 1. Tính chất : + Với a > 0 : - Hàm số đồng biến nếu x > 0 - Hàm số nghịch biến nếu x < 0 + Với a < 0 : - Hàm số đồng biến nếu x < 0 - Hàm số nghịch biến nếu x > 0 2. Đồ thị : Là một đường cong (Parabol) nhận trục tung là trục đối xứng, tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ. + Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0 + Nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0 3. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x2 (P): +Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ó a’x2 = ax+b có hai nghiệm phân biệt + Nếu (d) Tiếp xúc (P) ó a’x2 = ax + b có nghiệm kép + Nếu (d) và (P) không có điểm chung ó a’x2 = ax+b vô nghiệm III. Các bài toán lập phương trình đường thẳng 1.Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước và đi qua điểm M (x0; y0): Cách giải: - Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b - Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình đường thẳng để tìm b ð Phương trình đường thẳng cần lập Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;-3) và song song với đường thẳng y = 4x -Giải- Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng y = ax + b , song song với đường thẳng y = 4x ð a = 4. Đi qua M( 2;-3) nên ta có : -3 = 4.2 + b ð b = -11 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11 2.Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x1;y1)và B (x2 ; y2 ): Cách giải: + Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b + Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng : + Giải hệ phương trình tìm a và b Phương trình đường thẳng cần lập Ví dụ : Lập phương trình đường thảng đi qua A (2; 1) và B(-3; - 4). - Giải- Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b (1) Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2) 1 – 2a = 3a – 4 5a = 5 ð a = 1. Thay a = 1 vào (1) ð b = -1 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = x -1 3.Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P) Cách giải : + Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d) + Theo bài ra a = k + Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình: a’x2 = kx + b có nghiệm kép ó Δ = 0 (*) Giải (*) tìm b Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = x+1 và tiếp xúc với parabol y =-x2 - Giải – Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b.song song với đường thẳng y=2x+1ða= 2. Tiếp xúc với parabol y = -x2 nên phương trình : -x2 = 2x + b có nghiệm kép ó x2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép ó Δ’ = 1 – b ; Δ = 0 ó 1 – b = 0 ð b = 1 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1 4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) và tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P) Cách giải: + Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d) + Đi qua M (x0; y0) nên ð y0 = a.x0 + b (1) + Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình : a’x2 = ax + b có nghiệm kép ó Δ = 0 (2) Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b phương trình đường thẳng cần lập Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp xúc với parabol y = 2x2. -Giải- Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b. Đi qua M (-1; 2) nên ta có: 2 = -a + b (1) Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình : 2x2 = ax + b có nghiệm kép ó 2x2 – ax – b = 0 có nghiệm kép ð Δ = a2 + 8b . Δ = 0 ó a2 + 8b = 0 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ: -a + b = 2 (1) a2 + 8b = 0 (2) Từ (1) ð b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được : a2 + 8a + 16 = 0 ó (a + 4)2 = 0 ð a = -4 Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2 IV. Các dạng bài khác 1. Bài toán 5. Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm. Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) ⟺ yA = f(xA). 2. Bài toán 6. Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên. 3 . Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui. Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y). Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số . 4. Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m). +) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m. +) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0. 5. Một số ứng dụng của đồ thị hàm số. 1.Ứng dụng vào phương trình. 2.Ứng dụng vào bài toán tìm diện tích hình tạo thành Bµi tËp vÒ nhµ Bµi tËp 1. Cho parabol y= 2x2. (p) a. t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña (p) víi ®­êng th¼ng y= 3x-1. b. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (p) víi ®­êng th¼ng y=6x-9/2. c. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®­êng th¼ng y=ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2). d. t×m ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2). e. biÖn luËn sè giao ®iÓm cña (p) víi ®­êng th¼ng y=2m+1. ( b»ng hai pp ®å thÞ vµ ®¹i sè). f. cho ®­êng th¼ng (d): y=mx-2. T×m m ®Ó +(p) kh«ng c¾t (d). +(p) tiÕp xóc víi (d). t×m to¹ ®é ®iÓm tiÕp xóc ®ã? + (p) c¾t (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. +(p) c¾t (d). Bµi tËp 2. cho hµm sè (p): y=x2 vµ hai ®iÓm A(0;1) ; B(1;3). a. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB. t×m to¹ ®é giao ®iÓm AB víi (P) ®· cho. b. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P). c. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d1 vu«ng gãc víi AB vµ tiÕp xóc víi (P). d. chøng tá r»ng qua ®iÓm A chØ cã duy nhÊt mét ®­êng th¼ng c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt C,D sao cho CD=2. Bµi tËp 3.Cho (P): y=x2 vµ hai ®­êng th¼ng a,b cã ph­¬ng tr×nh lÇn l­ît lµ y= 2x-5 y=2x+m a. chøng tá r»ng ®­êng th¼ng a kh«ng c¾t (P). b. t×m m ®Ó ®­êng th¼ng b tiÕp xóc víi (P), víi m t×m ®­îc h·y: + Chøng minh c¸c ®­êng th¼ng a,b song song víi nhau. + t×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm A cña (P) víi b. + lËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) ®i qua A vµ cã hÖ sè gãc b»ng -1/2. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (a) vµ (d). Bµi tËp 4. cho hµm sè (P) a. vÏ ®å thÞ hµm sè (P). b. víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®­êng th¼ng y=2x+m (d) c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A,B. khi ®ã h·y t×m to¹ ®é hai ®iÓm A vµ B. c. tÝnh tæng tung ®é cña c¸c hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) theo m. Bµi tËp5. cho hµm sè y=2x2 (P) vµ y=3x+m (d) khi m=1, t×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (P) vµ (d). tÝnh tæng b×nh ph­¬ng c¸c hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) theo m. t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) ®éc lËp víi m. Bµi tËp 6. cho hµm sè y=-x2 (P) vµ ®­êng th¼ng (d) ®I qua N(-1;-2) cã hÖ sè gãc k. a. chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña k th× ®­êng th¼ng (d) lu«n c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm A,B. t×m k cho A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung. b. gäi (x1;y1); (x2;y2) lµ to¹ ®é cña c¸c ®iÓm A,B nãi trªn, t×m k cho tæng S=x1+y1+x2+y2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi tËp7. cho hµm sè y= t×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè. t×m y biÕt: + x=4 + x=(1- )2 + x=m2-m+1 + x=(m-n)2 c¸c ®iÓm A(16;4) vµ B(16;-4), ®iÓm nµo thuéc ®å thÞ hµm sè, ®iÓm nµo kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè? t¹i sao. kh«ng vÏ ®å thÞ h·y t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè ®· cho víi ®å thÞ hµm sè y= x-6 Bµi tËp 8. cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=2mx-m2+4 (d) a.t×m hoµnh ®é cña c¸c ®iÓm thuéc (P) biÕt tung ®é cña chóng y=(1- )2. b.chøng minh r»ng (P) víi (d) lu«n c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña chóng. víi gi¸ trÞ nµo cña m th× tæng c¸c tung ®é cña chóng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi tËp 9. cho hµm sè y= mx-m+1 (d). chøng tá r»ng khi m thay ®æi th× ®­êng th¼ng (d) lu«n ®I qua ®iÓm cè ®Þnh. t×m ®iÓm cè ®Þnh Êy. t×m m ®Ó (d) c¾t (P) y=x2 t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A vµ B, sao cho AB= . Bµi tËp 10. trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho c¸c ®iÓm M(2;1); N(5;-1/2) vµ ®­êng th¼ng (d) y=ax+b. t×m a vµ b ®Ó ®­êng th¼ng (d) ®I qua c¸c ®iÓm M, N. x¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng MN víi c¸c trôc Ox, Oy. Bµi tËp 11. cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=3x+m2 (d). chøng minh víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña m ®­êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. gäi y1, y2 kµ c¸c tung ®é giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng (d) vµ (P) t×m m ®Ó cã biÓu thøc y1+y2= 11y1.y2 bµi tËp 12. cho hµm sè y=x2 (P). vÏ ®å thÞ hµm sè (P). trªn (P) lÊy 2 ®iÓm A, B cã hoµnh ®é lÇn l­ît lµ 1 vµ 3. h·y viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB. lËp ph­¬ng tr×nh ®­êng trung trùc (d) cña ®o¹n th¼ng AB. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P). Bµi tËp 13.. a. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi (P) y=2x2 t¹i ®iÓm A(-1;2). b. cho hµm sè y=x2 (P) vµ B(3;0), t×m ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tiÕp xóc víi (P) vµ ®i qua B. c. cho (P) y=x2. lËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A(1;0) vµ tiÕp xóc víi (P). d. cho (P) y=x2 . lËp ph­¬ng tr×nh d song song víi ®­êng th¼ng y=2x vµ tiÕp xóc víi (P). e. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng song song víi ®­êng th¼ng y=-x+2 vµ c¾t (P) y=x2 t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng (-1). f. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (d)y=x+1 vµ c¾t (P) y=x2 t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 9. CHUYÊN ĐỀ IV:Phương trình bậc hai một ẩn số Phần I: kiến thức cần nhớ I.Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) Trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số II. Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn: a) Công thức nghiệm: Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Δ = b2 – 4.a.c + Δ < 0 ð phương trình vô nghiệm + Δ = 0 ð Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = + Δ > 0 ð phương trình có hai nghiệm phân biệt : b)Công thức nghiệm thu gọn: Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Nếu b chẵn. Đặt b = 2b’, ta có Δ’ = b’2 – a.c + Δ’ < 0 ð phương trình vô nghiệm + Δ’ = 0 ð Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = + Δ’ > 0 ð phương trình có hai nghiệm phân biệt : III. Hệ thức vi ét – Áp dụng: a)Định lý vi ét: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 Thì: x1 + x2 = x1.x2 = b) Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) + Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = + Nếu a – b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = + Nếu có hai số x1, x2 sao cho x1 + x2 = S; x1.x2 = P ( v ới P2 – 4S ≥ 0) Thì x1, x2 là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0 III. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Bài tập về số nghiệm của phương trình bậc hai: Với phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Δ = b2 – 4.a.c + Phương trình có hai nghiệm phân biệt ó Δ > 0 (Δ’ > 0) + Phương trình có nghiệm kép ó Δ = 0 (Δ’ = 0) + Phương trình vô nghiệm ó Δ < 0 (Δ’< 0) Chú ý: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có 1 nghiệm ó 2.Bài tập về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu: ó b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương : ó c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm: ó d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: ó a.c < 0 3.Bài tập: dạng thành lập một hệ thức đối xứng giữa các nghiệm Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0 Các hệ thức đối xứng với hai nghiệm của phương trình bậc hai thường gặp : a) x12 + x22 b) x13 + x23 c) ..v..v Cách giải: Bước1: Nêu tổng và tích hai nghiệm Bước 2:Biến đổi các hệ thức đối xứng này như sau : x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2) Bước 3: Thay tổng và tích hai nghiệm vào các biểu thức đối xứng 4.Bài tập dạng tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức: Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0 + Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có hai nghiệm + Bước 2: Nêu hệ thức vi et : + Bước 3: Nêu hệ thức của bài toán (3) + Bước 4 : giải hệ gồm 2 phương trình sau đó thay vào phương trình còn lại để tìm m. 5.Bài tập dạng tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số: Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 Cách giải: + Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có nghiệm () + Bước 2: Lập S , P (x1 + x2 = ), x1.x2 = theo tham số m + Bước 3: Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử m + Bước 4 : Thay S = x1 + x2 ; P = x1.x2 ta được hệ thức cần tìm. 6.Bài tập dạng so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kì: Cách giải:Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm () Bước 2: Áp dụng vi et tính x1 + x2 ; x1.x2 (*) +Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm > Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m + Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm < Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m + Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm , trong đó một nghiệm x1 > nghiệm kia x2 < Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m Hoặc có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai: * Nếu Một số bài tập: Bài 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu: x2 – 2x + m = 0 b)x2 – 2mx + 2m – 3 = 0 Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu: a) 2x2 – 6x + m – 2 = 0 b)(3 – 2m )x2 + (m - 1)x – 3 = 0 Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương: 2x2 – mx + 2m – 8 = 0 Bài 4: Cho phương trình : x2 +4mx + 3m2 + 2m – 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình nhận x = 2 là nghiệm Bài 5 : Tìm m để phương trình : (3 – 2m)x2 + (m - 1)x + 6 = 0 nhận x = 3 là nghiệm. khi đó tìm nghiệm còn lại? Bài 6: Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 5 = 0 Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó xác định dấu các nghiệm Bài 7: Cho phương trình: x2 – 2(m+1)x + 4m = 0 Giải phương trình với m = -2 CMR phương trình có nghiệm với mọi m Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x12+x22 = 4 Bài 8: Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m = 0 CMR phương trình luôn có nghiệm. Tìm các nghiệm đó Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 9: Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một trong các điều kiện sau đây: a) x12 + x22 = 1 b) x12 – x22 = 12 Bài 10: Cho phương trình : x2 – 2.(m - 1)x + m2 – 3m = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 0. Tìm nghiệm còn lại Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn x12 + x22 = 8 Bài 11: Cho phương trình :x2 +2x + m = 0 Xác đinh m để phương trình x1, x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1 Bài 12: Cho phương trình : 2x2 + (2m – 1)x + m -1 = 0 a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức 3x1 – 4x2 = 11 b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm c) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 13: Xác định k để để phương trình sau có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2 a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + 8 = 0 Bài 14: Cho phương trình : x2 – 6x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 3x1 + 2x2 =20 Bài 15: Cho phương trình: 3x2 – (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 a)Chứng tỏ phương trình có nghiệm x = -1. Tìm nghiệm còn lại. b) Xác định m để phương trình có nghiệm thoả mãn 3x1 – 5x2 = 6 c) Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lạp với m Bài 16: Cho phương trình : x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b)Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: -3 < x1 < x2 < 6 d) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. Bài 17: Cho phương trình: x2 – (m - 3)x + 2m + 1 = 0 a)Giải phương trình với m = -1 b)Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 18: Cho phương trình: x2 – (2m +1)x + m2 + m -1 = 0 a)Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m b)Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trinh. Tìm m sao cho ( 2x1 – x2 ) . ( 2x2 – x1 ) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy. c) Tìm một hệ thức liện hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 19: Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2.(m - 4) =0 a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x2 - x1 = 17 b) Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 20: Cho phương trình mx2 + 2(m - 2)x + m – 3 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x12 + x22 Bài 21: Cho các phương trình: x2 + ax + bc = 0 x2 + bx + ca = 0 Trong đó bc ca. Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1) x2, x3 là các nghiệm của phương trình (2). Hãy viết một phương trình bậc hai có nghiệm là x1, x3. Bài 22: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 3x2 – 4x + 2.(m - 1) = 0 Bài 23: Cho phương trình : x2 – 3x + m + 2 = 0 Tìm m để phương trình có một nghiệm lớn hơn 3, nghiệm còn lại nhỏ hơn 3 Bài 24: Cho phương trình : x2 – (2m + 1)x – m2 +m – 1 = 0 a)CMR phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m b)Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 25: Cho phương trình : x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 a)CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m b)Tìm một biểu thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc và m c)Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn hệ thức CHUYÊN ĐỀ V GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phần I. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình : + Bước 1: Lập phương trình (Hệ phương trình) - Chọn ẩn và xác định ĐK cho ẩn (nếu có) (Thông thường bài toán hỏi cái gì ta chọn cái đó làm ẩn) - Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua đại lượng đã biết ( Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng để biểu thị) -Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình (Chú ý đến tình huống bài toán – giả thiết- để lập phương trình) + Bước 2: Giải phương trình (Hệ phương trình) + Bước 3: Chọn kết quả thích hợp – Trả lời Chú ý : Trong một bài toán thông thường liên quan đến 3 đại lượng. Một đại lượng đã biết, một đại lượng chưa biết mà bài toán yêu cầu tim, một đại lượng chưa biết có liên quan đến tình huống bài toán Mối quan hệ giữa các đại lượng: + Quãng đường = vận tốc x Thời gian + Chuyển động có dòng nước : Vx = Vthực - Vn Vngược = Vthực - Vn + Tổng sản lượng = Năng suất x Thời gian = Năng suất x số người + Khối lượng = Khối lượng riêng x thể tích (m = D.V ) + Nhiệt lương thu vào = nhiệt lượng toả ra + Toán có nội dung hình học: Chu vi hình chữ nhật có các cạnh a, b : C = (a +b).2 Diện tích HCN có cạnh a, b: S = a.b .. + Toán làm chung, làm riêng: -Coi toàn bộ công việc là 1 (đv) - Giả sử công nhân A hoàn thành công việc trong x giờ 1 giờ công nhân A sẽ làm được công việc - Công nhân B hoàn thành công việc trong y giờ 1 giờ công nhân B làm được công việc -Cả hai người làm trong t giờ thì hoàn thành công việc 1 giờ cả hai người làm được công việc Ta có phương trình : Phần II. Một số bài toán A. DẠNG TOÁN TÌM SỐ. L­u ý: + Sè tù nhiªn cã 2 ch÷ sè: + Sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè: Bµi 1: Tìm soá töï nhieân coù 2 chöõ soá .Toång caùc chöõ soá baèng 8,neáu ñoåi choã hai chöõ soá cho nhau thì soá töï nhieân ñoù giaûm ñi 36 ñôn vò. Bµi 2: T×m sè tù nhiªn cã 2 ch÷ sè biÕt r»ng hiÖu ch÷ sè hµng chôc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ b»ng 3 vµ tæng cña sè ®ã víi sè viÕt ®¶o vÞ trÝ hai ch÷ sè cña nã b»ng 77. Bµi 3: T×m hai sè biÕt r»ng tæng cña hai sè ®ã b»ng 17 ®¬n vÞ. NÕu sè thø nhÊt t¨ng thªm 3 ®¬n vÞ, sè thø hai t¨ng thªm 2 ®¬n vÞ th× tÝch cña chóng b»ng 105 ®¬n vÞ. B. DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG. Bài 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B. Bài 2: Hai thành phố A và B cách nhau 50km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Sau đó 1giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ. Tính vận tốc của mỗi người biết rằng vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h. Bài 3: Mét ca n« chạy xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B, sau ®ã chạy ng­îc dßng tõ B vÒ A hÕt tæng thêi gian lµ 5 giê . BiÕt qu·ng ®­êng s«ng tõ A ®Õn B dµi 60 km vµ vËn tèc dßng n­íc lµ 5 km/h . TÝnh vËn tèc thùc cña ca n«. Bài 4: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thì