Bài tập Toán khối 11 - Hoàng Trọng Nam

Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 1 PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN 1. Hai cung đối nhau: -x và x cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x − = − = − − = − − = − 2. Hai cung bù nhau: xpi − và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x pi pi pi pi − = − = − − = − − = − 3. Hai cung phụ nhau: 2 x pi − và x sin cos cos sin 2 2 tan cot cot tan 2 2 x x x x x x x x pi pi pi pi     − = − =            − = − =        4. Hai cung hơn kém nhau Pi: xpi + và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x pi pi pi pi + = − + = − + = + = 5. Các hằng đẳng thức lượng giác 2 2 2 2 1 . sin cos 1 . 1 tan cos 1 . 1 cot . tan .cot 1 sin a x x b x x c x d x x x + = + = + = = 6. Công thức cộng lượng giác cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y x − = + + = − − = − + = + 7. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 sin 2 2sin cos : sin 2sin cos 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin nx nx x x x TQ nx x x x x x = = = − = − = − 8. Công thức nhân ba: 3 3sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = − 9. Công thức hạ bậc: 2 21 cos 2 1 cos2sin cos 2 2 x x x x − + = = 10. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y = − + + = − − + = − + + 11 . Công thức biến đổi tổng thành tích Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 2 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + − + = + − − = − + − + = + − − = A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Bài 1: Cho 3 3 sin < < .Tính cos ,tan ,cot . 5 2 p a p a a a a æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 ( )o o180 < a < 270 .Tính sina , tana, cota. Bài 3: Cho o o o otan15 2 3. Tính sin15 ,cos15 ,cot15 .= - Bài 4: Tính tanx cot xA tanx cot x + = - biết 1sinx = . 3 Tính 2sin x 3cosxB 3sin x 2cosx + = - biết tanx = -2 Tính 2 2 2 sin x 3sin x cos x 2cos xC 1 4sin x + - = + biết cotx = -3 Bài 5: Chứng minh: 4 4 2 2 6 6 2 2a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x (sử dụng như 1 công thức) 2 2 2 2 2 2c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 1-2cos x 1+sin x cosx 1 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 1+sinx cosxsin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosxd/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosxg/ ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1-cosx 4cotx sin x cos x - = ; h/1- - = sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx 1 tan x-tan y sin x-sin yi/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 4 4 4 2 4 2 24 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4 6 6 4 2 4 2 4 4 A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3 C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x sin x+cos x-1E= sin x+4cos x + cos x+4sin x ; F= ; sin x+cos x-1 4 4 6 6 4 2 2 sin x+3cos x-1 G= sin x+cos x+3cos x-1 H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; ) 2 pé ùê úÎ ê úë û II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT * Biết 1 HSLG khác: Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với 3 x 2 2 p p æ ö÷ç < < ÷ç ÷çè ø Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 3 a/ Tính cosx ; b/ Tính ( ) ( )sin x , cos x , tan x , cot 3 x 2 2 p pp p æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ - + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø Bài 2: Tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos sin tan 2 2A 2 cos ; cot sin 2 3 3 sin tan sin cot 2 2 2 2 B cot cot tan 3 cos 2 tan cos cot 2 p p a a p a a p a p a p p p p a b b a b b b p p b p ap a b æ ö æ ö÷ ÷ç ç - + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø = - æ ö÷ç + -÷ç ÷çè ø æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç+ + - +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø = - + - æ ö - -÷ç - - ÷ç ÷çè ø Bài 3: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 5A sin 13 cos cot 12 tan ; 2 2 7 3 3B cos 15 sin tan .cot 2 2 2 5 9 7C sin 7 cos cot 3 tan 2tan 2 2 2 p pp a a p a a p p pp a a a a p p pp a a p a a a æ ö æ ö÷ ÷ç ç= + - - + - + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= - + - - + -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= + + - - - + - + -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø÷ Bài 4: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )o o o o o A sin a sin 2 a sin 3 a ... sin 100 a B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x p p p p= + + + + + + + + = - - - + + + - + - Bài 5: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( )o o o o o 19 tan x .cos 36 x .sin x 5 2sin2550 cos 18812A B 9 tan368 2cos638 cos98 sin x .cos x 99 2 p p p p p æ ö÷ç - - -÷ç -÷çè ø = = + æ ö +÷ç - -÷ç ÷çè ø Bài 6: Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o 2 2 a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0 85 3b /sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1 2 2 p pp p - + - + = æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ + + + + + - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh: A B C a / sin(A B) sin A; b / cosA cos(B C) 0; c / sin cos ; 2 2 3A B Cd / cosC cos(A B 2C) 0; e / sin A cos 0 2 + + = + + = = + + + + + = + = III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: o o o o o15 ,75 ,105 ,285 ,3045 Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299, , , , 12 12 12 12 12 p p p p p Bài 10: Tính cos x 3 pæ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø biết 12 3sin x , ( < x < 2 ) 13 2 p p= - Bài 11: Cho 2 góc nhọn ,a b có 1 1 tan , tan 2 3 a b= = . a/ Tính ( )tan a b+ b/ Tính a b+ Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 4 Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : x y 4 tan x.tan y 3 2 2 pìïï + =ïíïï = -ïî a/ Tính ( )tan x y ; tan x tan y+ + b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y. Bài 13: Tính tan x 4 pæ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø biết 40 sin x 41 = - và 3< x < 2 pp Bài 14: Tính tan 4 p a æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø theo tana . Áp dụng: Tính tg15 o Bài 15: Tính: o o o o o o o o o o o o o o o o o o o tan 25 tan 20 1 tan15A sin 20 cos10 sin10 cos20 B C 1 tan 25 .tan 20 1 tan15 3 tan 225 cot81 .cot 69D sin15 3 cos15 E sin15 cos15 F 3 cot 261 tan 201 + + = + = = - - - = - = + = + Bài 16: Tính: 3 a / A cos x cos x cos x cos x 3 4 6 4 2 2b / B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x 3 3 3 3 p p p p p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= - + + + +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + + + + + +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x: 2 2 2 2 2 22 2A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x 3 3 3 3 p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + + + - = + + + -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø Bài 18: Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a /cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a c/sin a b .cos a b sinacosa sin bcosb d /sin a sin a 2sina 4 4 p p + - = - = - + - = - = - + - = + æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ - - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C3/ sin cos cos sin sin 2 2 2 2 2 A B C B C4/ cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C 2 A B B6/ tan tan tan 2 2 p = - = - æ ö÷ç ¹ ÷ç ÷çè ø + C C A tan tan tan 1 2 2 2 2 A B C A B C7/ cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1 + = + + = ( học thuộc kết quả ) Công thức biến đổi: Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 5 Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG ( ) ( )o o2a / sin .sin b / cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 305 5 p p + - ( ) ( ) ( ) d / 2sin x.sin 2x.sin3x; e /8cosx.sin 2x.sin3x; f / sin x .sin x .cos2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a 6 6 p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç+ - - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH ( ) ( ) ( ) a / cos 4x cos3x; b / cos3x cos 6x; c / sin 5x sin x d / sin a b sin a b ; e / tan a b tan a; f / tan 2a tan a + - + + - - + + - Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : A B C9/ sinA + sinB + sinC = 4 cos .cos .cos 2 2 2 A B C10 / cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin .sin .sin 2 2 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - ( )2 2 2 2 2 2 4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC 14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC A B C15/ sinA + sinB - sinC = 4 sin .sin .cos 2 2 2 ( tiếp theo Loại 5- Trang 8) Bài 23: Chứng minh ABCD vuông nếu: 2 2 2sin B sin Ca / sin A ; b / sin C cos A cosB; c / sin A sin B sin C 2 cos B cosC + = = + + + = + Bài 24: Chứng minh ABCD cân nếu: 2C sinBa / sinA 2sinB.cosC; b/ tanA tanB 2cot ; c/ tanA 2tanB tanA.tan B; d / 2cosA 2 sinC = + = + = = Bài 25: Chứng minh ABCD đều nếu: 1 3 a / cosA.cosB.cosC ; b / sinA sinB sinC sin2A sin2B sin2C; c/ cosA cosB cosC 8 2 = + + = + + + + = Bài 26: Chứng minh ABCD cân hoặc vuông nếu: ( ) ( )22 2 2 2 2 2 sin B C sin B CC tan B sin B a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c / 2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C + - = = = + - Bài 27: Hãy nhận dạng ABCD biết: 2 2 2 sinAa / sin4A sin4B sin4C 0 b/ cos A cos B cos C 1 c/ 2sinC cosB + + = + + = = B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Chú ý : 1) A B có nghĩa khi B 0≠ (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0≥ 2) 1 s inx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ 3) sin 0 ; s inx = 1 x = 2 ; s inx = -1 x = 2 2 2 x x k k kpi pipi pi pi= ⇔ = ⇔ + ⇔ − + 4) os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2 2 c x x k c k c kpi pi pi pi pi= ⇔ = + ⇔ ⇔ + Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 6 5) Hàm số y = tanx xác định khi 2 x kpi pi≠ + Hàm số y = cotx xác định khi x kpi≠ Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1 2 x x + + 3) y = sin 4x + 4) y = cos 2 3 2x x− + 5) y = 2 os2xc 6) y = 2 s inx− 7) y = 1 osx 1-sinx c+ 8) y = tan(x + 4 pi ) 9) y = cot(2x - ) 3 pi 10) y = 1 1 s inx 2 osxc − II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) = [ ]2sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐD ; Kiểm tra ,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀ Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng − = →  − = − →  − ≠ ± → 0 0 0 ( ) ( ) ch½n ( ) ( ) lÎ Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n, kh«ng lÎ f x f x f f x f x f f x f x f Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = 1 2 tan2x 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3x III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k kpi pi − + pi + pi    Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 32 ; 2 2 2 k kpi pi + pi + pi    Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng ( )2 ; 2k k−pi + pi pi Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng ( )2 ; 2k kpi pi + pi Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 2 k kpi pi − + pi + pi    Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( );k kpi pi + pi Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số 1) y = sinx trên ; 6 3 pi pi  −    2) y = cosx trên khoảng 2 3; 3 2 pi pi      3) y = cotx trên khoảng 3 ; 4 2 pi pi  − −    4) y = cosx trên đoạn 13 29; 3 6 pi pi     5) y = tanx trên đoạn 121 239; 3 6 pi pi  −   6) y = sin2x trên đoạn 3; 4 4 pi pi  −   7) y = tan3x trên khoảng ; 12 6 pi pi  −    8) y =sin(x + 3 pi ) trên đoạn 4 2; 3 3 pi pi  −   Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 7 Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số Hàm số Khoảng 3 ; 2 pi  pi    ; 3 3 pi pi  −    23 25 ; 4 4 pi pi      362 481 ; 3 4 pi pi  − −    y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K ⇒y = A.f(x) +B ®ång biÕn trªn K nÕu A > 0 nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0    Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [ ];−pi pi 2) y = -2cos 2 3 x pi  +    trên đoạn 2 ; 3 3 pi pi  −    IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : 1 s inx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ; A2 + B ≥ B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x- 2 pi ) + 3 2) y = 3 – 1 2 cos2x 3) y = -1 - 2os (2x + ) 3 c pi 4) y = 21 os(4x )c+ - 2 5) y = 2 s inx 3+ 6) y = 5cos 4 x pi + 7) y = 2sin 4s inx + 3x − 8) y = 24 3 os 3 1c x− + Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ ];a b thì [ ] [ ]a ;a ;ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )bbm f x f b f x f a= = Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ ];a b thì [ ] [ ]a ;a ;ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )bbm f x f a f x f b= = Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên đoạn ; 2 3 pi pi  − −   2) y = cosx trên đoạn ; 2 2 pi pi  −   3) y = sinx trên đoạn ;0 2 pi  −   4) y = cos pix trên đoạn 1 3; 4 2      Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 8 C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC. I:LÍ THUYEÁT . 1/Phöông trình löôïng giaùc cô baûn . sin u = sin v ⇔    +−= += pipi pi 2 2 kvu kvu ( k ∈ Z ) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2pi. ( k ∈ Z ) tanu = tanv ⇔ u = v + kpi ( k ∈ Z ) cotu = cotv ⇔ u = v + kpi ( k ∈ Z ) 2/ Phöông trình ñaëc bieät : sinx = 0 ⇔ x = kpi , sinx = 1 ⇔ x = 2 pi + k2pi ,sinx = -1 ⇔ x = - 2 pi + k2pi cosx = 0 ⇔ x = 2 pi + k pi , cosx = 1 ⇔ x = k2pi , cosx = -1 ⇔ x = pi + k2pi . 3/ Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx vaø cosx . Laø phöông trình coù daïng : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a2 + b2 ≠ 0 Caùch 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(.22 ϕ−+ xba = c vôùi 22 cos ba a + =ϕ asinx +bcosx = c ⇔ )sin(.22 ϕ++ xba = c vôùi 22 cos ba a + =ϕ . Caùch 2 : Xeùt phöông trình vôùi x = pi + kpi , k ∈ Z Vôùi x ≠ pi + kpi ñaët t = tan 2 x ta ñöôïc phöông trình baäc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 Chuù yù : pt(1) hoaëc pt( 2) coù nghieäm ⇔ a2 + b2 - c2 ≥ 0 . Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau: 1. 2sincos3 =− xx , 2. 1sin3cos −=− xx 3. xxx 3sin419cos33sin3 3+=− , 4. 4 1) 4 (cossin 44 =++ pixx 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− , 6. tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x− = + 7. 3(1 cos 2 ) cos 2sin x x x − = 8. 2 1sin 2 sin 2 x x+ = 4/ Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc : Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc laø phöông trình coù daïng : f[u(x)] = 0 vôùi u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Ñaët t = u(x) ta ñöôïc phöông trình f(t) = 0 . Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau: 1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1 5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6. x x 2cos 3 4 cos = 7. 2 3 3 2 tan cos x x = + 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 9 9. 26sin 3 cos12 4x x+ = 10. 4 24sin 12cos 7x x+ = 5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx : a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 . Caùch 1 : • Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . • Xeùt cos 0x ≠ chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t = tanx. Caùch 2: Thay sin2x = 2 1 (1 – cos 2x ), cos2x = 2 1 (1+ cos 2x) , sinxcosx = 2 1 sin2x ta ñöôïc phöông trình baäc nhaát theo sin2x vaø cos2x . b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët aån phuï t = tanx sau khi ñaõ xeùt phöông trình trong tröôøng hôïp cos x = 0 hay x = 2 pi + kpi ,k∈Z. Baøi taäp : 1. 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 2. 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0 3. 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4 4. 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx. 5. 2 2 1sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = 6/ Phöông trình daïng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän 22 ≤≤− t khi ñoù sinxcosx = 2 12 −t Ta ñöa phöong trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai theo t . Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän 22 ≤≤− t khi ñoù sinxcosx = 2 1 2t− Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Caùc phöông trình löôïng giaùc khaùc. Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = xcos 3 , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7 Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t =sinx 2/ xx 2cos 3 4 cos = ÑS : x = k3pi , x= ± 4 pi +k3pi , x = ± 4 5pi +k3pi Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 10 3/ 1+ sin 2 x sinx - cos 2 x sin2x = 2cos2 ( − 4 pi 2 x ) ÑS: sinx =1 v sin 2 x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : ñaët t = tanx , ÑS : x = - 4 pi + k pi 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = xcos 1 ÑS : x = k2pi , x = ± 3 pi +k2pi 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ÑS : cosx = 0 , cos 2x = 2 1 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :ñaët t = tan 2 x 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :ñaët t =cos 2x 12/ tan3( x - 4 pi ) = tanx - 1 ÑS : x = kpi v x = 4 pi + kpi 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Ñöa veà PT baäc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ÑS : x = 4 pi + kpi 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX. Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 . 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ÑS : x= 4 pi + 2 pik 5/ sin3(x - 4 pi ) = 2 sinx ÑS : x = 4 pi +kpi 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ÑS :x = ± 3 pi + kpi v x= 4 pi + 2 pik 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx III. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG – PT PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG . Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin3x + cos3x = 2 3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ 3 10 cossin sin 1 cos 1 =+++ xx xx 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6 8/ x2sin 2 + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 11 IV.PHÖÔNG TRÌNH TÍCH VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC KHAÙC . Giaûi caùc phöông trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 4 1 5/ sin4 2 x + cos4 2 x = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/ x x xx sin cos1 sincos = − + 11/ sin2 ) 42 ( pi−x tan2x – cos2 2 x = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = xsin 1 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x ) 15/ 32cos) 2sin21 3sin3cos(sin5 += + + + x x xx x 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 2 4 4 (2 sin 2 )sin3 tan 1 cos x x x x − + = 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan 2 x ) 20/ cotx – 1 = 2 cos 2 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x + − + 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx = Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 12 D. TOÅ HÔÏP Tóm tắt giáo khoa I. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k ∈
mà 1 k n≤ ≤ . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k nA là: ( ) ( ) ( ) k n n!A n. n 1 ... n k 1 n k ! = − − + = − . 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈
mà 1 k n≤ ≤ . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu knC là: ( ) ( ) ( )k n n n 1 ... n k 1n!C k! n k ! k! − − + = = − c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: ( ) ( ) * k n k n n k k k 1 n 1 n n Cho a, k : C C 0 k n C C C 1 k n − − + ∈ = ≤ ≤ = + ≤ ≤
III. Khai triển nhị thức Newton ( ) nn k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n nn n n n n k 0 a b C a b C a C a b .. C a b .. C b− − − = + = = + + + + +∑ Nhận xét: – Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. – Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. – Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. – Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: k n k kk 1 nT C a b−+ = – 0 1 2 n n n n n nC C C ... C 2+ + + + = – ( ) ( )k n0 1 2 3 k nn n n n n nC C C C ... 1 C ... 1 C 0− + − + + − + + − = Chú ý: – ( ) nn k n k kn k 0 a b C a b− = + =∑ là khai triển theo số mũ của a giảm dần. – ( ) nn k k n kn k 0 a b C a b − = + =∑ là khai triển theo số mũ của a tăng dần. Trường THPT Cò Nòi Hoàng Trọng Nam Bài tập Toán khối 11 13 Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập { }A 0;1;2;3;4= . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Bài 3: Từ tập { }A 1,2,3,4,5= hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị Phương pháp giải: • Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3n • Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử: ( ) ( ) ( ) k n n!A n. n 1 ... n k 1 n k ! = − − + = − Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Bài 6: Từ tập { }A 0,1,2,3,4,5= có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử: ( ) ( ) k n n!C 0 k n k! n k ! = ≤ ≤ − Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Dạng 5: Tìm *n ∈
trong phương trình chứa k kn n nP ,A ,C Phương pháp giải: Dùng các công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k n n n n! n!P n! n 1 ; A n n 1 ... n k 1 1 k n ; C 0 k n n k ! k! n k ! = ≥ = − − + = ≤ ≤ = ≤ ≤ − − Bài 8: Tìm *n ∈
, nếu có: ( )3n n n 1 2P A 1 P − = . Bài 9: Tìm *n ∈
, nếu có: ( )3 3n n 16n 6 C C . 2+− + ≥ Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n. Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton: ( ) nn k n k k 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n nn n n n n n k 0 a b C a b C a C a b C a b ..