Bài tập về Cấp số cộng

1 bµi tËp CÊp sè céng  Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ Bài 1. Trong các cấp số cộng sau tính số hạng đã chỉ ra ? a, 7, 4, 1,...    u20 = ? b, 5 9 28 8 u u    u15 = ? Bài 2. Xác định số hạng đầu , công sai , 18u và 30S của các cấp số cộng biết : a, 1 5 3 2 7 9 30 u u u u u       (u1 = 1 , d = 4) b, 6 5 2 1 4 5 . 22 0 u u u u u d        ( ĐS : u1= 11 , d = 3 )      75. 8 72 37 uu uu c, 2 5 6 2 3 12 u u S       ( ĐS : u1= 17 , d =6 ) d, 4 6 9 1 22 2 S S     ( ĐS : u1= 0 , d = 3 2 ) d, 6 10 18 110 S S    ( ĐS : u1=  7 , d = 4 ) c, 3 3 1 2 15 4706 585 0 u u S d        ( ĐS : u1= 11 , d =4 ) e) 2 5 3 4 6 10 26 u u u u u       3 5 13 14 129 u u S     ( ĐS : u1 = 13 53 , 38 39 d  ) 5 9 19 35 u u    ( ĐS : u1 = 3 , 4) 4 6 9 45 2 S S     ( ĐS : u1 = 0 , 3 2 d  ) 3 10 4 9 31 2 7 u u u u       a) 1 5 3 1 6 10 17 u u u u u       b) 7 15 2 2 4 12 60 1170 u u u u      d) 1 2 3 4 5 6 168 21 u u u u u u        Bài 2.1: Cho cấp số cộng  u1, u2, u3, ...Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính u1 + u6 + u11 + u16. Bài 3. Tính số số hạng của cấp số cộng hữu hạn biết : a, u1= 4 , d = 7 và Sn = 175 ( ĐS : n = 7 ) b, 3 4 9 16 100n S S S      ( ĐS : n = 10 ) c) u1 = 2, d= 5, Sn = 245. Bài 3.1: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30. Bài 3.1: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176. Hiệu số hạng cuối và đầu là 30. Tìm cấp số đó? Bài 4. Giải phương trình : 14 + 20 + 26 + + x = 1420 biết x là một số hạng của cấp số cộng 14,20,26,... ( ĐS : x = 128) Bài 5. Giải phương trình; 2 bµi tËp CÊp sè céng  Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ a) 1 + 4 + 7 + ... + x = 287 (x là số hạng thứ n của cấp số cộng). b) 2 + 4 + 8 + ... + y = 1022 ( y là số hạng thứ n của cấp số nhân). c) (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ... + (x + 28) = 155. Bài 5. Tìm x để 32 , 2 , 4x x x  theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng (ĐS: x = 1, x =2) Bài 6. Viết sáu số xen giữa hai số 33 và 5 để đưọc một cấp số cộng có tám số hạng . Tìm công sai và tổng các số hạng của cấp số này . ( ĐS: d = 4 , S = 152) Bài 6. Tìm csc gồm 3 số hạng có tổng bằng 21, tổng các bình phương của chúng bằng 309 Bài 7. Cho 3 số lập thành cấp số cộng . Biết tổng của chúng bằng 9 , tổng các bình phương bằng 35 . Tìm 3 số đó . ( ĐS: 1, 3, 5) Bài 8. Cho 4 số nguyên lập thành CSC. Biết tổng của chúng bằng 20 và tích bằng 384. Tìm 4 số đó. Bài 8. Tìm 4 số biết: 4 số đó lập thành 1 csc có tổng bằng 5 và tổng bình phương bằng 245. Bài 8. Cho 4 số nguyên lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 20, tích bằng 384. Tìm 4 số đó. Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165. Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140. Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25. Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80.Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó. Bài 9. Hỏi ba số 1 , 3 , 3có cùng thuộc một cấp số cộng nào không ? 19) Cho hệ: 2 3 2 2 cos cos 1 cos cos 1 70 x x x tg x x x          Tìm tổng các nghiệm của hệ. 20) Ba số: 2, 3, 5 có thể là 3 số hạng cùng có mặt trong 1 cấp số cộng được không? D¹ng : Chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña cÊp sè céng Bài 1. Cho 3 số a, b ,c theo thứ tự đó lập thành CSC . Chứng minh rằng : 2 22 2a bc c ab   Bài 2. Cho 3 số a, b ,c theo thứ tự đó lập thành CSC . Chứng minh rằng :  22 8 2a bc b c   Bài 3. Cho 3 số a, b ,c theo thứ tự đó lập thành CSC . Chứng minh : 2 2 2 2 23( ) 6( ) ( )a b c a b a b c       Bài 4. Cho 3 số a, b ,c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng . Chứng minh rằng      2 2 2 2 2 2; ;a ab b a ac c b bc c      theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng . Bài 5. Cho CSC (un) và các số nguyên dương m , k với m < k . Chứng minh rằng 2 k m k m k u u u     Bài 6. Cho cấp số cộng (un) . Chứng minh rằng *( , , , ; )p q m ku u u u p q m k p q m k       Bài 7. Cho cấp số cộng (un) . Chứng minh rằng *1 1 ( , ; )p q p qu u u u p q q p      3 bµi tËp CÊp sè céng  Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ Bài 8. Cho cấp số cộng (un) . Chứng minh rằng *( ) ( ) ( ) 0 ( , , )p q rq r u r p u p q u p q r       Bµi 9 Mét cÊp sè céng cã tÝnh chÊt víi mäi sè nguyªn d­¬ng m,n c¸c tæng Sm ,Sn tho¶ m·n c¸c hÖ thøc 2 2 m n S m S n  . Chøng minh c¸c sè h¹ng cña cÊp sè céng Êy tho¶ m·n hÖ thøc 2 1 2 1 m n u m u n    Bµi 10 Mét cÊp sè céng cã tÝnh chÊt víi mäi sè nguyªn d­¬ng m, n c¸c tæng Sm ,Sn tho¶ m·n c¸c hÖ thøc ( )m nS S m n  . Chøng minh rằng 0m nS   với 1 2 ...n nS u u u    Bài 11. Cho 3 số dương a , b , c . Chứng minh rằng , ,a b c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 1 1 1 , , b c c a a b   theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng . Bài 12. Cho 3 số dương a , b , c . Chứng minh rằng 2 2 2, ,a b c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 1 1 1, , b c a c a b   theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng . Bài 13. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng tan , tan , tan 2 2 2 A B C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi cos ,cos ,cosA B C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng . Bài 14. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng cot , cot , cot 2 2 2 A B C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi sin ,sin ,sinA B C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng . Bài 14. Cho ABC có: 2 2 2cot ,cot ,cot . CMR: , ,A g C a b c  Bài 15. Cho tam giác ABC có ba cạnh a , b , c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng với công sai d. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC . Chứng minh rằng 3 cot cot 2 2 2 A C d r       . Bài 16. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. CMR: ) sin sin 2sin 1 ) tan .tan 2 2 3 a A C B A C b    Bài 17. Tam giác ABC có số đo 3 góc lập thành cấp số cộng và thoả mãn: 3 3 sin sin sin 2 A B C    a) Tính các góc của tam giác ABC? b) Cho nửa chu vi p = 50. Tính các cạnh của tam giác? Bµi 16 C¸c sè kh¸c kh«ng 1 2, ,.... na a a lËp thµnh mét cÊp sè céng .CMR 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 .... .n n n n a a a a a a a a      Bµi 17 C¸c sè kh¸c kh«ng 1 2, ,.... na a a lËp thµnh mét cÊp sè céng Chøng minh : 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 .... ... n n n n na a a a a a a a a a            Bµi 18 C¸c sè dương 1 2, ,...., nu u u lËp thµnh mét cÊp sè céng Chøng minh rằng : 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 ... n n n n u u u u u u u u          Bµi 19 C¸c sè dương 1 2, ,...., ( 4)nu u u n  lËp thµnh mét cÊp sè céng . 4 bµi tËp CÊp sè céng  Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ Chøng minh rằng : 33 3 1 1 2 2 3 4 3 4 5 1 2 31 2 2 ... ... n nnn n n n u u uu u n u u u u u u u u uu u u            D¹ng : Chøng minh d·y sè lµ cÊp sè céng Bµi 1 Cho dãy số (un) với un = 2 5 3 7 n  . Chứng minh rằng dãy số đã cho là cấp số cộng . Bài 3 Cho tam giác ABC có 3 góc A,B,C thoả mãn: 23sin sin .sin 2(1 cos ) C A B C   . CMR độ dài 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng Bµi 2 Cho dãy số *1 2, ,.... , ... ( 0 )n nu u u u n   thỏa mãn   1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 .... 3, .         k k k k k k u u u u u u u u . Chứng minh rằng dãy số đã cho là cấp số cộng Bµi 3 Cho dãy số *1 2, ,.... , ... ( 0 )n nu u u u n   thỏa mãn   1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 ... 3, k k k k k k u u u u u u u u              . Chứng minh rằng dãy số đã cho là CSC Bµi 4 Cho dãy số (un) xác định bởi :   1 1 2 1 1 n n n u u u n u        và dãy số (vn) với vn = 1n n u u  a, Chứng minh rằng un < 0 *n  b, Chứng minh rằng vn là một cấp số cộng . c, Tìm công thức của số hạng tổng quát un và vn Bµi 5 Cho dãy số (un) xác định bởi :   1 2 1 1 1 , 2 2 1 2n n n u u u u u n         và dãy số (vn) với vn = *1 ( )n nu u n   a, Chứng minh rằng vn là một cấp số cộng . b, Tính tổng 1 2 3 ...n nS v v v v     c, Tìm công thức của số hạng tổng quát un . Bµi 6 Cho dãy số (un) xác định bởi :   1 1 1 1n n u u u n n      và dãy số (vn) với vn = * 1 ( )n nu u n   a, Chứng minh rằng vn là một cấp số cộng . Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó b, Tính tổng 1 2 3 ...n nS v v v v     c, Tìm công thức của số hạng tổng quát un . Bµi 7 Cho dãy số (un) xác định bởi :   1 1 1 2 1 1n n u u u n n       và dãy số (vn) với vn = * 1 ( )n nu u n   a, Chứng minh rằng vn là một cấp số cộng . Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó b, Tính tổng 1 2 3 ...n nS v v v v     5 bµi tËp CÊp sè céng  Lª Thanh B×nh – THPT NguyÔn HuÖ c, Tìm công thức của số hạng tổng quát un . Bµi 8 Cho dãy số (un) xác định bởi :   1 2 1 1 2 1n n u u u n      và dãy số (vn) với vn = 2 *( )nu n a, Chứng minh rằng vn là một cấp số cộng . Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó b, Tìm công thức của số hạng tổng quát un . c, Tính tổng 2 2 21 2 101...S u u u    Bài 9. Cho ABC có: 1. CMR: cot ,cot ,cotb c mc B A C b m    Bµi 10 Cho dãy số (un) mà tổng n số hạng đầu tiên của nó , kí hiệu là nS được xác định bởi :  7 3 2n n n S   a, Tính 1 2 3; ;u u u b, Tìm công thức của số hạng tổng quát un . ĐS : 1 5 3n n nu S S n    c, Chứng minh rằng un là một cấp số cộng . Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó D¹ng : nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lËp thµnh cÊp sè céng Bài 15: Xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng: 4 2 4 2 4 2 )2 2 0 ) 2( 1) 2 1 0 ) 2( 1) 1 0 a x mx b x m x m c mx m x m              Bµi 13: Cho pt: 2 23 2 2 0x mx m    . T×m m ®Ó pt cã 2 nghiÖm a,b vµ 6,a,b lËp thµnh cÊp sè céng. Bµi 14: X¸c ®Þnh m ®Ó pt sau cã 3 nghiÖm lËp thµnh cÊp sè céng: 3 2 3 2 2 ) 3 2 0 ) 3 2 ( 4) 9 0 a x x mx m b x mx m m x m m           