Bài tập về hình thang và đường trung bình dựng hình

BÀI TẬP VỀ HÌNH THANG VÀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH ; DỰNG HÌNH Bài 1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD). a) Chứng minh rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng đi qua trung điểm F của cạnh bên BC thì cạnh bên AD bằng tổng hai đáy. b) Chứng minh rằng nếu AD = AB + CD thì hai tia phân giác của hai góc A và D cắt nhau tại trung điểm của cạnh bên BC. Bài 2: Cho đều. Trên tia đối của tia AB; AC lần lượt lấy các điểm D; E sao cho AD = AE.Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD; AB. Chứng minh: a) BCDE là hình thang cân. b) MCNE là hình thang. c) Gọi I; J lần lượt là trung điểm của BE; AC. Chứng minh : đều Bài 3: Cho . Kẻ đường cao AH. Gọi D; E theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm H qua AB; AC. Đường thẳng DE cắt AB; AC lần lượt tại M; N. Chứng minh: a) cân b) HA là phân giác của . c) Ba đường thẳng BN; CM và AH đồng quy tại 1 điểm. Bài 4: Dựng , biết AC= 14cm; đường cao AH = 10cm;trung tuyếnAM =12cm Bài 5: a) Dựng hình thang biết : AD = 12cm; ; BC = 2,8 cm. b) Dựng hình thang cân biết : AD = a; AB = b; BC = c ( a > c) ĐÁP ÁN Bài 1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD). a) Chứng minh rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng đi qua trung điểm F của cạnh bên BC thì cạnh bên AD bằng tổng hai đáy. b) Chứng minh rằng nếu AD = AB + CD thì hai tia phân giác của hai góc A và D cắt nhau tại trung điểm của cạnh bên BC. Giải : a) Gọi E là điểm thuộc AD sao cho : AE = AB (1) Suy ra : ( c-g-c) BF = EF Mà BF = FC nên EF = FC Mặt khác : ( Cùng phụ với hai góc bằng nhau và ) Vậy (c-g-c) (2) Từ (1) và (2). Ta có : AB + CD = AD. b) Gọi E thuộc cạnh AD : AE = AB ; L là trung điểm của AD. Ta có : LF = ( Đường trung bình của hình thang) Mà AD = AB + CD nên Vậy . cân tại L nên mà ( cặp góc soletrong) hay AF là tia phân giác của góc A. Chứng minh tương tự, ta có DF là tia phân giác của góc D hay hai tia phân giác của và cắt nhau tại trung điểm F của cạnh BC. Bài 2: Cho đều. Trên tia đối của tia AB; AC lần lượt lấy các điểm D; E sao cho AD = AE.Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD; AB. Chứng minh: a) BCDE là hình thang cân. b) MCNE là hình thang. c) Gọi I; J lần lượt là trung điểm của BE; AC. Chứng minh : đều. Giải : a) Xét nên đều ( cặp góc soletrong) Nên DE // BC Mặt khác : BD = BA + AD = CA + CE = CE nên BCDE là hình thang cân. b) Vì EM là đường trung tuyến của đều nên EM cũng là đường cao hay . Tương tự : CN Suy ra : MCNE là hình thang. c) Vì MI là đường trung tuyến của nên MJ là đường trung bình của nên Mặt khác: IJ là đường trung tuyến của nên mà BE = CD nên MI = MJ = IJ hay đều. Bài 3: Cho . Kẻ đường cao AH. Gọi D; E theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm H qua AB; AC. Đường thẳng DE cắt AB; AC lần lượt tại M; N. Chứng minh: a) cân b) HA là phân giác của . c) Ba đường thẳng BN; CM và AH đồng quy tại 1 điểm. d) BN và CM là các đường cao của . Giải : a) Vì D và H; E và H đối xứng qua AB và AC. Ta có : AD = AH; AE = AH Nên AD = AE hay cân tại A. b) Hạ AI; AJ và AK lần lượt vuông góc với HM; MN và HN. Ta có : * Vì D và H đối xứng qua AB nên AB là đường phân giác của nên AI = AJ * Tương tự : AJ = AK ( Vì AC là phân giác của . nên HA là phân giác của . c) Xét . Ta có : HA là phân giác trong. * BM và CN là 2 đường phân giác ngoài của và nên AH, BM và CN đồng qui tại 1 điểm. Bài 4: Dựng , biết AC= 14cm; đường cao AH = 10cm;trung tuyếnAM =12cm Giải: 1) Phân tích : Giả sử dựng được thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có : dựng được. + C là giao điểm của tia HM và ( A; 12) + B là điểm đối xứng của C qua M. 2) Cách dựng: + Dựng . + Dựng tia HM và đường tròn ( A, 12) Gọi + Dựng ( M; MC) cắt HM tại B ( ) Ta có : là tam giác cần dựng. 3) Chứng minh : Xét : + AH BC ( vì ) + AM = 12 ; AC = 14 ; AH = 10 (Cách dựng) + MB = MC ( bán kính đường tròn ( M; MC) hay AM là đường trung tuyến. Vậy dựng được thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4) Biện luận : có AM > AH nên luôn dựng được. + Điểm C là giao điểm của tia HM và (A; 14) luôn dựng được. + Điểm B là điểm đối xứng của M qua C luôn dựng được và duy nhất nên bài toán luôn có nghiệm và có 1 nghiệm.