Bài tập về nguyên hàm

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 1 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân NGUYÊN HÀM VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA: ĐN1: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ĐN2: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] x a x b F'(x) f(x); x (a;b) F(x) F(a)F' (a) lim f(a) x a F(x) F(b)F' (b) lim f(b) x b + − + → − → ⎧⎪ = ∀ ∈⎪ −⎪⇔ = =⎨ −⎪ −⎪ = =⎪ −⎩ Ký hiệu hình thức gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) hay tích phân bất định của hàm f(x). f(x)dx = F(x) +C∫ VẤN ĐỀ 2: BỔ SUNG VI PHÂN - DẠNG VI PHÂN HÀM HỢP: y = f(x) ⇒ dy = d[f(x)] = f’(x)dx (1) Giả sử tồn tại y = f(t) mà trong đó t = g(x); để cho hàm hợp y = f[g(x)] có vi phân được viết: dy = d[f(t)] = f’(t)dt (2) NHÓM HÀM LŨY THỪA NHÓM HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC d(xn)=nxn-1dx *Các trường hợp đặc biệt: d(ax+b) = adx 2 1 dd = - x x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ x ( ) dxd x = 2 x 2 dxd(arc sinx) = 1- x 2 dxd(arc cosx) = - 1- x 2 dxd(arc tgx) = 1+ x 2 dxd(arc cotgx) = - 1+ x NHÓM HÀM LƯỢNG GIÁC NHÓM HÀM MŨ & LOGARITHM d(sinx) = cosxdx d(cosx) = -sinxdx 2 2 dxd(tgx) = = (1+ tg x)dx cos x 2 dxd(cotgx) = - sin x dxd(lnx) = x a dxd(log x) = xlna d(ex) = exdx d(ax) = axlnadx A. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN: NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA 1/ ( )n+1n xx dx = + C n ¹ -1 n +1∫ Trường hợp đặc biệt của nhóm I 3/ dx = x +C∫ 2/ ( )-1 dxx dx = = ln x +C x 0 x ≠∫ ∫ 4/ 2 dx 1= - +C x x∫ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 5/ m m+ n nnx dx = x + C m + n∫ n 7/ n n+1n nxdx = x + C n +1∫ 6/ ( )n n-1 dx -1= + x n -1 x∫ C 8/ n n-1 n dx n= x + n -1x∫ C NHÓM II: DẠNG HÀM LƯỢNG GIÁC 9/ sinxdx = -cosx +C∫ 11/ 2 dx = tgx + C cos x∫ 13/ tgxdx = -ln cosx +C ∫ 10/ cosxdx = sinx +C∫ 12/ 2 dx = -cotgx + C sin x∫ 14/ cotgxdx = ln sinx +C∫ NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ – LOGARITHM 15/ x xe dx = e +C∫ 17/ ( )xx aa = + C 1 a > 0 lna ≠∫ 16/ -x -xe dx = -e +C∫ 18/ ( ) (lnxdx = x lnx -1 +C x > 0)∫ NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC (a > 0) 19/ 2 dx = arctgx +C x +1∫ 21/ 2 2 dx 1 x= arctg + C x + a a a∫ 20/ 2 dx 1 x -1= ln + C x -1 2 x +1∫ 22/ 2 2 dx 1 x - a= ln + x - a 2a x + a∫ C NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC (a > 0) 23/ 2 dx = arcsinx + C 1- x∫ 24/ 2 2 dx x= arcsin +C aa - x∫ 25/ 2 2 dx = ln x + x ±1 +C x ±1∫ 26/ 2 22 2 dx = ln x + x ± a +C x ± a∫ 27/ 2 2 2 2 2x a xa - x dx = a - x + arcsin + C 2 2 a∫ 28/ 2 2 2 2 2 2 2x ax ± a dx = x ± a ± ln x + x ± a + C 2 2∫ B. BẢNG THAM KHẢO CÁC TÍCH PHÂN MỞ RỘNG: NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA MỞ RỘNG (α ≠ 0) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 3 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 1/ n+1 n (ax + b)(ax + b) dx = + C (n -1) a(n +1) ≠∫ 2/ -1 dx 1(ax + b) dx = = ln (ax + b) + C (ax + b 0) (ax + b) a ≠∫ ∫ Các trường hợp đặc biệt của nhóm I 3/ 4/d(ax + b) = ax + b +C∫ 2dx -1= +(ax + b) a(ax + b)∫ C 5/ m m n nn(ax + b) dx = (ax + b) +C a(m + n)∫ +n 6/ n n dx -1= + (ax + b) a(n -1)(ax + b)∫ -1 C 7/ n+1nn n(ax + b)dx = (ax + b) + C a(n +1)∫ 8/ n-1nn dx n= (ax + b)a(n -1)(ax + b)∫ + C NHÓM II: DẠNG HÀM LƯỢNG GIÁC MỞ RỘNG (α ≠ 0) 9/ 1sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C a∫ 10/ 1cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + Ca∫ 11/ 2 dx 1= tg(ax + b) + C cos (ax + b) a∫ 12/ 2 dx 1= - cotg(ax + b) + Csin (ax + b) a∫ 13/ 1tg(ax + b)dx = - ln cos(ax + b) + C a∫ 14/ 1cotg(ax + b)dx = ln sin(ax + b) + Ca∫ NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ - LOGARITHM MỞ RỘNG (α ≠ 0) 15/ (ax+b) (ax+b)1e dx = e + a∫ C 16/ (ax+b) (ax+b) aa dx = + C (1 a > 0 alna ≠∫ ) 17/ 1ln(ax + b)dx = (ax + b)[ln(ax + b) -1]+C (ax + b > 0) a∫ NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC MỞ RỘNG (α ≠ 0; a > 0) 18/ 2 2 dx 1 ax + b= arctg + (ax + b) + a aa a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ C 19/ 2 2 dx 1 (ax + b) - a= ln + (ax + b) - a 2aa (ax + b) + a∫ C NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC MỞ RỘNG ((α ≠ 0; a > 0) 20/ 2 2 dx 1 (ax + b)= arcsin + C a aa - (ax + b)∫ 21/ 2 2 2 2 dx 1= ln (ax + b) + (ax + b) ± a + C a(ax + b) ± a∫ 22/ 2 2 2 2 2(ax + b) a (ax + b)a - (ax + b) dx = a - (ax + b) + arcsin + C 2a 2a a∫ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 4 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 23/ 2 2 2 2 2 2(ax + b)(ax + b) ± a dx = (ax + b) ± a ± ln (ax + b) + (ax + b) ± a + C 2a∫ VẤN ĐỀ 3: THUẬT PHÂN TÍCH HÀM TRONG DẤU TÍCH PHÂN VỀ DẠNG CHUẨN TRONG BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN: Biến đổi hàm tích phân về dạng: [Af(x) ± Bf(x) + ...]dx = A f(x)dx ± B g(x)dx + ...∫ ∫ ∫ BB1: Cụ thể phải 1/ Nhân phân phối: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd 2/ Khai triển các hằng đẳng thức: 2 2 2 3 3 2 2 3 (A ± B) = A ± 2AB+ B (A ± B) = A ± 3A B+ 3AB ± B ;... 3/ Thêm bớt hạng tử: XbX = (X + B) - B;X = (b 0);... b ≠ 4/ Nhân lượng liên hợp: llhA ± B A m B;...←⎯→ 5/ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 sinx cosx1 = sin x + cos x; tgx = ; cotgx = ; cosx sinx 1 1= 1 + tg x; = 1+ cotg x; tgxcotgx = 1; cos x sin x 1- cos2x 1 + cos2xsin x = ; cos x = ; 2 2 3sinx - sin3x 3cosx + cos3xsin x = ; cos x = ;v.v... 4 4 BB2: Mục đích là hàm số trong dấu tích phân được biến đổi: • Tích thành tổng; đặc biệt một hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích. • Căn thức thành lũy thừa; ở đây ta áp dụng các tính chất lũy thừa sau: ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ xm x n-m m m n mn x x xn m x 1 A= A ; A = A ;(A ) = A ;A B = (AB) ; = A B A B BB3: Một việc quan trọng là sử dụng được công thức tích phân hàm hợp f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+C∫ với F là một nguyên hàm của f thì bài toán giải quyết nhanh và gọn. Ghi chú: Khi tính toán ta dùng hàm y = f(x) = sgn(x) để thay dấu (±) cho gọn. Ta có định nghĩa: mở rộng1 khi x > 0 1 khi f(x) > 0sgn(x) = sgn[f(x)]= -1 khi x < 0 -1 khi f(x) < 0 ⎡ ⎡⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎢⎣ ⎣ VẤN ĐỀ 4: HẰNG SỐ C TRONG HÀM NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH: Dạng 1: Tìm hằng số C trong hàm nguyên hàm Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên [a;b] khi nó thỏa một giả thiết nào đó tại x0∈[a;b]. ( ) 0 0tại x f(x)dx = F(x ) + C∫ (1) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 5 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Ghi chú: Thực tế ta viết một họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = f(x)dx∫ mà vẫn không mất tính tổng quát của nguyên hàm so với định nghĩa họ nguyên hàm. Dạng 2: Phân tích biểu thức thành tích Dùng định nghĩa nguyên hàm và ứng dụng cách xác định hằng số C qua 4 bước: • Xem biểu thức A(x, a, b, c,...) đã cho là một đa thức một biến (giả sử biến đó là x) và đặt f(x) = A(x, a, b, c,...). • Tính f’(x) và đưa nó về dạng thừa số. • Tính f(x) là một nguyên hàm của f’(x). • Tìm hằng số C bằng cách thay x = x0 là giá trị cụ thể nào đó vào nguyên hàm ở trên, lúc đó xuất hiện các nhân tử và ta kết thúc bài toán bằng cách đặt nhân tử chung. Ghi chú: Hằng số C ở bước 4 không phụ thuộc vào x nên viết C = g(a; b; c...). Dạng 3: Tính tổng hữu hạn BB1: Xét một tổng f(x) có nguyên hàm là tổng liên tiếp các hạng tử của một cấp số nhân mà số hạng đầu là a1, có n hạng tử và công bội q thì: n 1 1- qF(x) = a 1- q . BB2: So sánh f(x) = F’(x) ta được tổng cần tìm. VẤN ĐỀ 5: THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ: f(x)dx = f[ (t)] '(t)dtϕ ϕ∫ ∫ ∫ . Với x = ϕ(t) f[ (x)] '(x)dx = f(t)dtϕ ϕ∫ . Với t = ϕ(x) là biến mới. A. BIẾN ĐỔI NGHỊCH ĐẶT t = ϕ(x) DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI 1. f(ax + b)dx∫ Đặt t = ax + b ⇒ dt = dx 2. n+1 nf(x )x dx∫ Đặt t = xn+1 ⇒ dt = (n + 1)xndx 3. dxf( x) x∫ Đặt dxt = x dt = 2 x⇒ 4. f(cosx)sinxdx∫ Đặt t = cosx ⇒ dt = -sinxdx 5. f(sinx)cosxdx∫ Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx 6. 2 dxf(tgx) cos x∫ Đặt t = tgx ⇒ 2dxdt = cos x 7. 2 dxf(cotgx) sin x∫ Đặt t = cotgx ⇒ 2-dxdt = sin x 8. x xf(e )e dx∫ Đặt t = ex ⇒ dt = exdx 9. dxf(lnx) x∫ Đặt t = lnx ⇒ dxdt = x Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 6 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 10. 2 2 1f(arc tgx) dx 1 + x 1f(arc cotgx) dx 1 + x ⎡⎢⎢⎢⎢⎣ ∫ Đặt 2t = arc tgx dx dt = ±t = arc cotgx 1 + x⎡ ⇒⎢⎣ 11. 2 2 1f(arc sinx) dx 1- x 1f(arc cosx) dx 1- x ⎡⎢⎢⎢⎢⎣ ∫ Đặt 2t = arc sinx dx dt = ±t = arc cosx 1 + x ⎡ ⇒⎢⎣ 12. 2 1 1f x ± 1 dx x x ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∓ Đặt 2 1 1t = x ± dt = 1 dx x x ⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠∓ B. ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t) DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI 1. ( )2 2f x, x + a dx∫ 2ax = atgt dx = dtcos t⇒ 2. ( )2 2f x, a - x dx∫ x = asint dx = acostdt⇒ 3. ( )2 2f x, x - a dx∫ 2a asix = dx = dtcost cos t⇒ nt VẤN ĐỀ 6: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN RIÊNG PHẦN: udv = uv - vdu∫ ∫ ⎥⎥ (*) hay uv'dx = uv - u'vdx∫ ∫ Các dạng tích phân từng phần: Dạng 1: n (ax+b) sin(ax + b) cos(ax + b) P (x) dx e ... ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ . Trong đó Pn(x) là đa thức bậc n. Ta đặt u = Pn(x) và (ax+b) sin(ax + b) cos(ax + b) dv = dx e ... ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Chỉ số (n): cho ta số lần tính tích phân từng phân phải thực hiện cho dạng này. Dạng 2: n ln(ax + b) arcsin(ax + b);arccos(ax + b) I = P (x) dx arctg(ax + b);arccotg(ax + b) ... ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 7 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Ta đặt và dv = P ln(ax + b) arcsin(ax + b);arccos(ax + b) u = arctg(ax + b);arccotg(ax + b) ... ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ n(x)dx TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 1: ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH: I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN: 1. Định nghĩa: y x a b A A' B B' y=f(x) O Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm xác định trên đoạn [a;b]. Khi đó hình phẳng giới hạn bở trục hoành, đường cong y = f(x) và các đường thẳng có phươngtrình x = a vµ x = b được gọi là hình thang cong (Hình thang hỗn tuyến AA’B’B). 2. Diện tích hình thang cong: Định lý: Nếu hàm số y = f(x) xác định, liên tục, không âm trên đoạn [a;b], thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a vµ x = b có giá trị là: . Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên [a;b]. b aS = F(b) - F(a) = S II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH: III. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] chia đoạn [a;b] thành n phần tùy ý bởi các điểm chia: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Trên mỗi đoạn [xk-1;xk] với 1 ≤ k ≤ n lấy một điểm ξk bất kỳ. Ký hiệu: Δxk = xk - xk-1. Nghĩa là: Δx1 = x1 - x0, Δx2 = x2 - x1, ... Lập tổng Được gọi là tổng tích phân của hàm số y = f(x) trên [a;b]. n k k 1 1 2 2 n k 1 f( ) x f( ) x f( ) x ... f( ) x = ξ Δ = ξ Δ + ξ Δ + + ξ Δ∑ n Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 8 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Ta gọi tích phân xác định của hàm số y = f(x) trên [a;b] là giới hạn (nếu có) của tổng tích phân khi maxΔxk → 0. Giới hạn này không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b] và việc chọn ξk. Ký hiệu: k b n k k0 k 1a f(x)dx lim f( ) xΔ → = = ξ∑∫ Δ Lúc đó ta bảo hàm f khả tích theo Riemann hay khả tích. Chú ý: • a được gọi là cận dưới và b được gọi là cận trên. • Ý nghĩa hình học của tích phân xác định: Nếu f(x) > 0 trên [a;b] thì chính là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường:y = f(x), trục hoành, x = a, và b a f(x)dx∫ x = b. • Từ trên ta có công thức Niutơn - Lépnit (Newton - Leibnitz): b b a a f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)∫ . Trong đó: F’(x) = f(x). VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA (PHÂN HOẠCH) VÀ SỰ KHẢ TÍCH: Dạng 1: Tính tích phân ∫ bằng phép phân hoạch và bài toán ngược b a dx)x(f 1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì nó bị chặn trên đoạn [a;b] đó. 2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đoạn [a;b] đó. • Khi tính tích phân bằng định nghĩa cần thực hiện: BB1: Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia k b - ax = a + k n . Với k = 0, 1, 2, ..., n. BB2: Chọn ξk bằng xk (hoặc xk-1) trong đoạn [xk-1,xk]. BB k3: Lập tổng tích phân n n k k-1 k=1 S = (x - x ).f(x )∑ BB4: Ta có b nn a xf(x)dx lim S→∞=∫ Cần nhớ một số kết quả: 1) n(n +1)1+ 2 + 3 + ... + n = 2 2) 2 2 2 2 n(n +1)(2n +1)1 + 2 + 3 + ... + n = 6 3) 2 3 3 3 3 n(n +1)1 + 2 + 3 + ... + n = 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 9 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 4) x ∈ [a;b], hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và F’(x) = f(x). ∫= b a dt).t(f)x(F Dạng 2: Nhận biết hàm khả tích Riemann ĐL1: (Điều kiện cần: suy ra từ định nghĩa ) ∫b a dx)x(f Mọi hàm f không bị chặn trên đoạn [a;b] thì f không khả tích trên đoạn [a;b] đó. ĐL2: (Đk đủ) Mọi hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó. ĐL3:Mọi hàm f bị chặn trên đoạn [a;b] và gián đoạn tại hữu hạn các điểm x0 ∈ [a;b] mà (*) thì f vẫn khả tích trên đoạn [a;b] đó. 0 0 x x x x lim f(x) R − + ⎧⎪ →⎨ →⎪⎩ ∈ Cần nhớ: f liên tục trên đoạn [a;b] thì f bị chặn trên đoạn [a;b]. ĐL4:Mọi hàm f bị chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó. Dạng 3: Sử dụng đúng đắn công thức Newton – Leibnitz. Công thức Newton - Leibnitz: khi nó thỏa đồng thời hai điều kiện: b a f(x)dx = F(b) - F(a)∫ • Hàm dưới dấu tích phân f(x) liên tục trên [a;b]. • Hàm nguyên hàm của F(x) cũng liên tục trên [a;b]. Ghi chú: Trong một số trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] ta chưa áp dụng ngay công thức Newton - Leibnitz trên [a;b] mà cần xử lý cận trung gian c ∈ (a;b) để xét dấu f(x) và dễ dàng tìm F(x) chẳng hạn: b c b a a c f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx∫ ∫ ∫ (*) .(*) còn sử dụng khi x0 = c là điểm gián đoạn của f(x) và F(x) trên đoạn [a;b] (tích phân suy rộng). Thuật đổi biến số: Khi đã quan sát và thấy hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]: b a f(x)dx∫ • PP1 - ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN: là sử dụng công thức ( ) ( ) f[ (x)] '(x)dx f(t)dt β ϕ α ϕ ϕ ϕ =∫ ∫ β α ) ) • Với các ghi nhớ: ) Đặt t = ϕ(x); với t là biến đổi số mới. ) Trong đó: và t = ϕ(x) là hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm trên [α;β]. x t ( x t ( = α⇒ = ϕ α⎧⎨ = β⇒ = ϕ β⎩ • PP2 - ĐỔI BIẾN SỐ NGHỊCH: là sử dụng công thức (2) 1 1 (b)b a (a) f(x)dx f[ (t)] '(t)dt − − ϕ ϕ = ϕ ϕ∫ ∫ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 10 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Với các ghi nhớ: ) Đặt x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); với t là biến mới. ) Trong đó: và t làm hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm trên [a;b]. 1 1 x a t (a) x b t (b) − − ⎧ = ⇒ = ϕ⎪⎨ = ⇒ = ϕ⎪⎩ Ghi chú: Tính đơn điệu của hàm t = ϕ(x) là quan trọng như tính liên tục và khả đạo hàm của t trên [α;β] . Chẳng hạn trong (1), ta giả sử t = ϕ(x) không đơn điệu trên [α;β] thì sẽ có trường hợp ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β mà . Lúc đó (1) không còn đúng! (1) (1) VP 0 VT 0 =⎧⎪⎨ ≠⎪⎩ VẤN ĐỀ 2 : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC Dạng 1: Các dạng tích phân hàm phân thức cơ bản thứ nhất Tính tích phân b 1 2 a dxI ( x x = αα + β + γ∫ 0)≠ Ta làm 2 bước: BB1: Kiểm tra tính khả tích của 2 dxf(x) x x = α + β + γ trên [a;b]. BB2: Đưa về dạng chuẩn để sử dụng một trong ba công thức sau với và sau khi đặt 2 4Δ = β − αγ 1 α ra ngoài dấu tích phân: 1) bb 2 2 aa dX 1 X= arctg X + A A A ⎡⎢⎣ ⎦∫ ⎤⎥ Nếu Δ < 0 2) bb 2 2 a a dX 1 X - A= ln X - A 2A X + A ⎡⎢⎣ ⎦∫ ⎤⎥ Nếu Δ > 0 3) bb 2 aa dX 1= - X X ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ Nếu Δ = 0 bb aa dx 1= ln ax + b ax + b a ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ Dạng 2: Các dạng tích phân hàm phân thức thứ hai Tính tích phân b 2 2 a mx nI dx ( 0 x x += αα + β + γ∫ ;m 0)≠ ≠ Ta làm 2 bước: BB1: Kiểm tra tính khả tích của hàm dưới dấu tích phân và đưa tích phân về dạng: b b 2 2 2 a a m 2 x m 2 n dxI dx 2 x x 2 x x α + β β − α⎛ ⎞= − ⎜ ⎟α α + β + γ α α + β + γ⎝ ⎠∫ ∫ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 11 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân BB2: Tính I2 và I2 phụ thuộc vào 3 trường hợp của I1. b2 2 1a m mI ln x x 2 2 β − α⎛ ⎞⎡ ⎤= α +β + γ − ⎜ ⎟⎣ ⎦α α⎝ ⎠ 2 n I Dạng 3: Bài toán tích phân hàm phân thức tổng quát Tính tích phân b a P(x)I = dx Q(x)∫ ; trong đó P(x) và Q(x) là những đa thức. Ta để ý hai trường hợp: TH1: Bậc P(x) ≥ bậc Q(x) thì đem chia P(x) : Q(x) để đưa về trường hợp 2. TH2: Bậc P(x) < bậc Q(x) thì ta đã có 2 phương pháp nhân tích thành tổng các tích phân phân thức thành phần mà phép giải khả thi như sau: • Phân tích theo yêu cầu đề bài hướng dẫn. • Phân tích theo định lý Taylor. TH1: Q(x) = 0 có các nghiệm đơn x1; x2; x3... thì phân tích 31 2 i 1 2 3 AA AP(x) ...;A ; i 1;n Q(x) x x x x x x = + + + ∀ ∈− − − là hằng số. Tìm Ai bằng phương pháp thế giá trị riêng (nghiệm mẫu). TH2: Q(x) = 0 có các nghiệm bội x1; x2. Thì ta phân tích, thí dụ: 31 2 1 2 2 3 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 BA A B BP(x) P(x) ... Q(x) (x x ) (x x ) (x x ) x x (x x ) (x x ) x x = = + + + +− − − − − − − + Tìm Ai; Bj bằng phương pháp giá trị riêng (nghiệm mẫu) và phương pháp giá trị tùy ý; j 1, 3 và i 1,2∀ ∈ ∀ ∈ TH3: Q(x) chứa các tam thức bậc hai α1x2 + β1x + γ1 có nghiệm x1; x2 hay có nghiệm kép hay α2x2 + β2x + γ2 (vô nghiệm) thì ta phân tích, thí dụ: 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 A AP(x) P(x) Bx C Q(x) (x x )(x x )( x x ) x x x x x x += = +α − − α +β + γ − − α +β + γ 2 + 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A AP(x) P(x) Bx C Ex F Q(x) (x X) ( x x ) (x X) x X x x ( x x ) + += = + + +α − α + β + γ − − α + β + γ α + β + γ 2 CHUYÊN ĐỀ 2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG I. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1: • Cho hàm f xác định trên [a;+∞) và khả tích trên đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞. Ta định nghĩa: . Khi giới hạn ở vế phải hữu hạn ta nói hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ. b b a a f(x)dx lim f(x)dx +∞ →+∞=∫ ∫ a f(x)dx +∞∫ a f(x)dx +∞∫ • Tương tự { b b b ba a aa f(x)dx lim f(x)dx ; f(x)dx lim f(x)dx +∞ →+∞→−∞−∞ −∞ →−∞ = =∫ ∫ ∫ ∫ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 12 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Hay c c f(x)dx f(x)dx f(x)dx; c R +∞ +∞ −∞ −∞ = + ∀∫ ∫ ∫ ∈ ∈ ∈ • Việc sử dụng công thức Newton - Leibnitz cũng không khác mấy khi gọi F(x) là nguyên hàm của f(x), ta có: b b a a f(x)dx lim F(b) F(a) f(x)dx F(b) lim F(a) +∞ →+∞ →−∞−∞ = − = −∫ ∫ II. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2: Cho hàm f giới nội và khả tích trong đoạn [a + ε; b] nhưng không giới nội hoặc không khả tích trong toàn bộ [a; b] ta định nghĩa: khi . b b 0 a a f(x)dx lim f(x)dxε→ +ε =∫ ∫ x alim f(x)→ = ∞ Hay: b b c a a c f(x)dx lim f(x)dx; c (a;b] → = ∀∫ ∫ Tương tự trên [a;b) ta có: b b 0 a a f(x)dx lim f(x)dx+ −ε ε→ =∫ ∫ Hay: khi b c c b a a f(x)dx lim f(x)dx; c [a;b)−→= ∀∫ ∫ x blim f(x)→ = ∞ Ghi chú: Có loại tích phân vừa là tích phân suy rộng loại 1 vừa là tích phân suy rộng loại 2. Chẳng hạn: 1 2 2 0 0 1 SRL2 SRL1 ln x ln x ln xI dx dx 1 x 1 x 1 x +∞ +∞ = = ++ + +∫ ∫ ∫    2 dx . Và ta chứng minh được I = 0. III. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: Dạng 1: b m n a sin x cos xdx∫ 1) Nếu ít nhất một trong 2 số m hay n lẻ: • m lẻ (⇒) Đặt t = cosx • n lẻ (⇒) Đặt t = sinx • m; n đều lẻ m n ( ) Đặt t sinx m n ( ) Đặt t cosx m n ( ) Hạ bậc nâng cung ≥ ⇒ =⎡⎢ ≤ ⇒ =⎢⎢ = ⇒⎣ 2) m; n chẵn (m; n > 0) ⇒ Dùng công thức hạ bậc nâng cung. 2 2 3 3 1 cos 2x 1 cos 2xsin x cos x 2 2 3 sin x sin 3x 3 cos x cos 3xsin x cos x 4 4 − += = − += = 3) m; n chẵn (m;n < 0) ⇒ Đặt t = tgx. Dạng 2: (Trong đó R là 1 hàm hữu tỷ) b a R(sin x;cos x)dx∫ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 13 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Sử dụng các phép thế sau: 1) Phép thế tổng quát (Phép thế vạn năng): Đặt 2 2 2 2 2dtdx x 1 tt tg 2 2t 1 tsin x và cos x 1 t 1 t ⎧ =⎪⎪ += ⇒ ⎨ −⎪ = =⎪ + +⎩ 2) Ba phép thế đặc biệt: • R(-sinx; cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = cosx • R(sinx; -cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = sinx • R(-sinx; -cosx) = R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = tgx Dạng 3: Các dạng khác 1) b a sin( x ) cos( x ) Công thức biến đổi sin( x ) sin( x ) dx tích thành tổngcos( x ) cos( x ) α +β γ + δ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥α + β γ + δ ⇒ ⎢⎢ ⎥ ⎣⎢ ⎥α + β γ + δ⎣ ⎦ ∫ 2) Biến đổi tổng thành tích. 3) Các dạng khác trên ... IV. TÍCH PHÂN HÀM CHỨA CĂN THỨC: Dạng 1: pb rm q sn a R(x;x ;x ;...;x )dx∫ 1) Đặt kkt x t= ⇒ = x với k = MSC (n; q; ...; s). Nhớ để ý tính khả tích của f trên [a;b]. 2) Phương pháp vẫn khả thi khi gặp các hàm hợp của hàm: p rm q snf(x) R(x;x ;x ; ...;x )dx= • kf( x ) Đặt t xα +β ⇒ = α +β • kx xf Đặt t x x ⎛ ⎞α + β α + β⇒ =⎜ ⎟γ + δ γ + δ⎝ ⎠ Dạng 2: b b 2 2 a a dx Ax B( 0) và d x x x x +α ≠α + β + γ α + β + γ∫ ∫ x BB1: Kiểm tra tính khả tích và biến đổi 2 2x x x k 2 ⎡ ⎤β⎛ ⎞α + β + γ = α + +⎢ ⎥⎜ ⎟α⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ BB2: Phân biệt ba trường hợp sau khi đưa 1 α ra ngoài dấu tích phân và đặt X x 2 β⎛ ⎞= +⎜ ⎟α⎝ ⎠ 1) b b 2 2 aa 0 dXÁp dụng: ln X X k k 0 X k α >⎧ ⇒ = +⎨ ≠ +⎩ ∫ + 2) bb a a 0 dXÁp dụng: sgn x ln X k 0 2 2x 2 α >⎧ β β⎛ ⎞⇒ = +⎨ ⎜ ⎟β= α⎝ ⎠⎩ + α ∫ + α Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 14 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 3) bb 2 2 aa 0 dX XÁp dụng: arcsin (H 0) k 0 HH X α >⎧ ⇒ =⎨ Ghi chú: Bằng phép phân tích thêm bớt ta có thể tính được b 2 2 a Ax BI d x x += α + β + γ∫ x với dạng nền là b 1 2 a dxI x x = α + β + γ∫ sau khi đặt 2t x x= α + β + γ . Dạng 3: b 2 a I x x= α + β + γ∫ dx a) Phương pháp 1: BB1: Biến đổi 2 2x x x k 2 ⎡ β⎛ ⎞α + β + γ = α + +⎢⎜ ⎟α⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎤⎥ ; đưa α ra ngoài dấu tích phân và xem X x 2 β= + α . BB2: Ta chia làm ba trường hợp: TH1: b bb 2 2 2 a aa 0 X kÁp dụng công thức: X k X k ln X X k k 0 2 2 α >⎧ ⇒ + = + +⎨ ≠⎩ ∫ + + TH2: bb 2 a a 0 x xÁp dụng công thức : x dx sgn x k 0 2 2 2 2 α > ⎛ ⎞⎧ β β⎛ ⎞⇒ + = +⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟= α ⎝ ⎠⎩ ⎝ ⎠∫ β+α α TH3: bb 2b 2 2 2 2 aa a 0 X HÁp dụng công thức: H X H X arcsin k 0 2 2 H α >⎧ ⇒ + = + +⎨ <⎩ ∫ X b) Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt 2u x x dv dx ⎧ = α + β + γ⎪⎨ =⎪⎩ Dạng 4: Giới thiệu phép thế lượng giác tính ( )b 2 a I R x; x x d= α + β + γ∫ x Sử dụng một trong 3 phép thế sau khi biến đổi và quan sát điều kiện khả tích: TH1: ( )b 2 2 a I R x; (kx h) m dx (m 0)= + +∫ > Đặt kx ht arctg kx h m tgt m +⎛ ⎞= ⇔ +⎜ ⎟⎝ ⎠ = TH2: ( )b 2 2 a I x; m (kx h) dx (m 0)= − +∫ > Đặt kx ht arcsin kx h m sin t m +⎛ ⎞= ⇔ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ TH3: ( )b 2 2 a I R x; (kx h) m dx (m 0)= + −∫ > Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 15 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Đặt m mt arccos kx h kx h cos t ⎛ ⎞= ⇔ +⎜ ⎟+⎝ ⎠ = Dạng 5: Giới thiệu phép thế Euler tính ( )b 2 a I R x; x x d= α + β + γ∫ x Một cách khác phép thế Euler như sau tỏ ra tiện lợi: • Đặt 2x x x t nếu α + β + γ = ± α + α > 0 • Đặt 2x x xt c nếu c 0α + β + γ = ± ≥ • Đặt 2 1 2 1x x (x x )(x x ) t(x x ) ( 0)α +β + γ = α − − = − Δ > Dạng 6: Giới thiệu các dạng chuẩn và các thuật đổi biến đặc trưng Xử lý đúng thuật đổi biến đặc trưng cho từng dạng chuẩn được giới thiệu ở sau: ta luôn được cách giải quyết tích phân bằng phương pháp tích phân đặc trưng cho các hàm căn thức đã biết (chú ý điều kiện khả tích). 1) Dạng b 1 2 a dxI (x ) x x = + δ α + β + γ∫ Đặt 1t x = + δ 2) Dạng b 2 2 2 a Ax dxI ( x ) x = ω +