Bài tập về tam giác đồng dạng và tứ giác nội tiếp

BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP Câu 1 : Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC . Chứng minh : Tứ giác CBMD nội tiếp . b) Khi điểm D di động trên trên đường tròn thì không đổi c) DB . DC = DN . AC Chửựng minh : a) Ta coự : AD // BC (gt) ADB = 900 (Goực noọi tieỏp chaộn nửỷa ủửụứng troứn) Maứ : DBC = ADB (So le trong) DBC = 900 Maởt khaực : DMC = 900 (gt) Vaọy tửự giaực CBMD noọi tieỏp ủửụứng troứn ủửụứng kớnh DC (ủpcm). H.1 Khi ủieồm D di ủoọng treõn ủửụứng troứn ủửụứn Kớnh AB thỡ tửự giaực CBMD luoõn noọi tieỏp ủửụứng troứn ủửụứng kớnh DC = 2v = const. Ta coự : NDB = NAB (Goực noọi tieỏp chaộn cung NB) = DCA ( So le trong) hay NDB = DCA. Maởt khaực : DBN = DAC. Suy ra : DNB = CDA (g – g) hay DB . DC = DN . AC (ủpcm) Cõu2 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD , còn M là trung điểm của cạnh CD. Nối MI kéo dài cắt cạnh AB ở N . Từ B kẻ đường thẳng song song với MN , đường thẳng đó cắt các đường thẳng AC ở E . Qua E kẻ đường thẳng song song với CD , đường thẳng này cắt đường thẳng BD ở F . Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp . Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng BF và AI . IE = IB2 . c) Chứng minh Chửựng minh : a) Ta coự : ABF = ACD (Goực noọi tieỏp chaộn cung AD) = AEF ( So le trong của FE // DC) Hay : ABF = AEF Vậy tứ giác ABEF nội tiếp được (đpcm). b) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng BF : Gọi K là giao điểm của IM với FE. Suy ra : K là trung điểm của FE. Mà KI // BE . Vậy I là trung điểm của BF. Chứng minh AI . IE = IB2 : Ta có : AIB = FIE (G – G) Ta có tỉ số : . Hay AI . IE = IB2 (đpcm). Ta có : IN // BE. Suy ra : , Mà AI . IE = IB2 Vậy (đpcm). Câu 3: Cho đường tròn tâm O. A là một điểm ở ngoài đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn , cát tuyến từ A cắt đường tròn tại B và C ( B nằm giữa A và C ) . Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh rằng 5 điểm A , M , I , O , N nằm trên một đường tròn . Một đường thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC lần lượt tại E và F . Chứng minh tứ giác BENI là tứ giác nội tiếp và E là trung điểm của BF . Câu 4 : Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a .E là điểm đi chuyển trên đoạn CD ( E khác D ) , đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F , đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K . Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ đó suy ra tam giác AFK vuông cân . Gọi I là trung điểm của FK , Chứng minh I là tâm đường tròn đi qua A , C, F , K . Tính số đo góc AIF , suy ra 4 điểm A , B , F , I cùng nằm trên một đường tròn . Câu 5 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính bằng R cắt nhau tại A và B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đường tròn (O) và (O’) thứ tự tại E và F . Một cát tuyến qua A và vuông góc với AB cắt (O) và (O’) lần lượt tại C,D, đường thẳng EC , DF cắt nhau tại P . Chứng minh rằng : BE = BF . Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp và BP vuông góc với EF . Tính diện tích phần giao nhau của hai đường tròn khi AB = R.