Bài tập về Vị trí tương đối của hai đường tròn

Vị trí tương đối của hai đường tròn Kiến thức cơ bản 1. Tính chất đường nối tâm Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn . Từ đó suy ra : Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm . Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực cua dây chung . 2. Sự liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R , r * Hai đường tròn cắt nhau 2 R – r < d < R + r * Hai đường tròn tiếp xúc nhau - Tiếp xúc ngoài - Tiếp xúc trong 1 d = R + r d = R - r * Hai đường tròn không giao nhau - ở ngoài nhau - (O) đựng (O/) Đặc biệt (O) và (O/) đồng tâm 0 d > R + r d < R – r OO/ = 0 3. Giao điểm của hai tiếp tuyến chung ngoài , giao điểm của hai tiếp tuyến chung trong (nếu có) đều nằm trên đường nối tâm . Các dạng bài tập Dạng 1: Các bài toán cho hai đường tròn tiếp xúc nhau Dạng 2 :Các bài toán cho hai đường tròn cắt nhau Dạng 3 : Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn khi biết hệ thức giữa d với R , r và ngược lại Dạng 4: Chứng minh hai đoạn thẳng trên cùng một day cung bằng nhau . Luyện tập: Bài tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O/) tiếp xúc nhau tại A . Qua Avẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) tại B và đường tròn (O/) tại C. Từ B vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) . Từ C vẽ đgt uv //xy . Chứng minh rằng uv là tiếp tuyến của (O/). Chứng minh Nối OO/ theo tính chất đường nối tâm OO/ đi qua A Xét tam giác AOB và AO/C có OB = OA ( cùng bằng bán kính tâm O) O/A = O/C ( cùng bằng bán kính (O/) Suy ra tam giác AOB và AO/C cân A1= B1 A1 = C1 Suy ra B1 = C1 Do đó OB // O/C Mà xy OB ( t/c của tiếp tuyến ) Và xy // uv nên suy ra uv O/C . Vậy uv là tiếp tuyến của (O/). Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD . Vẽ đường tròn (D;DC ) và đường tròn (O) đường kính BC , chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M , tia BE cắt AD tại N . Chứng minh rằng N là trung điểm của AD M là trung điểm của AB Chứng minh : a)Gọi I là giao điểm của OD với CE , theo tính chất đường nối tâm OD ta có ODA B C D E M N I O 1 1 1 = = CE và IE = IC Ta có OI là đường trung bình của tam giác CEB Suy ra OI // BE Do đó B1 = D1 ( góc có cạnh tương ứng song song) ABN = CDO ( cgv – gn) => = AN = CO = BC = AD Vậy N là trung điểm của AD. b) Chứng minh M là trung điểm của AB Ta có D1 = C1 ( cùng phụ với góc IOC) nênDOC = CMB (cgv – gn) => BM = OC = BC = AB Vây M là trung điểm của AB. Bài tập 3: Cho hai đường tròn (O) và (O/) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d tiếp xúc với (O) và (O/) lần lượt tại B và C Chứng minh tam giác ABC vuông Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O/) Chứng minh OM O/M Chứng minh d A B C MN (1 2)) O O/ a) Chứng minh tam giác ABC vuông Giả sử tiếp tuyến chung tại A cắt BC tại N Khi đó theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có : NA = NB = NC Suy ra tam giác ABC vuông tại A (tính chất đường trung tuyến I trong tam giác vuông ) b)Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O/) Theo kết quả của câu a) ta có M trùng N Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn c) Chứng minh OM O/M Theo tính chất của hai tiép tuyến cắt nhau ta có OM AM và O/M AC Mà AB AC ( theo kq câu a tam giác ABC vuông ) Vậy OM O/M ( vì cùng vuông góc với hai đường thẳng // ). Cách 2: Sử dụng tính chất đường phân giác của hai góc kề bù d) Hỏi thêm : Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO/. Gọi I là trung điểm của OO/ Ta có IM là đường trung bình của hình thang BOO/C nên IM // OB => OMd và IM = (OB + O/C) =OO/ ( OO/ = tổng hai bk ) Do đó M thuộc đường tròn đường kính OO/ Lại có OMd Vậy d là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO/ . Bài tập 4: Dựng đường tròn tiếp xúc với một đường tròn cho trước tại một điểm cho trước và tiếp xúc với một đgt cho truớc không cắt đường tròn đã cho . Phân tích : Giả sử đường tròn cho trước là (O;R) có điểm A trên nó và đường thẳng d không cắt (O). Giả sử đã dựng được đường tròn (I) thoả mãn các đk O A I d t Của đề bài Ta thấy có hai trường hợp xảy ra TH1 : t // d TH2 : t cắt d Xét TH 1: Vì (I) tiếp xúc với (O) tại A thuộc (O) Nên OI t ( t/c đường nối tâm ) Mà t // d Do đó OI d tại B Vậy I là trung điểm của AB * TH 2 t cắt d ở E O I A d E t Ta thấy OI t tại A ( t/c đường nối tâm ) Lại có IB d (vì d tiếp xúc (I) ) Và IA = IB ( cùng bằng bán kính của (I)) Do đó I nằm trên tia phân giác của góc E Vậy I là giao của tia phân giác góc E với đường OA vuông góc với đgt t tại A. Cách dựng Dựng tiếp tuyến At với đường trìn (O) Nếu At // d thì lấy giao B của OA với đgt d rồi lấy trung điểm I của AB và vẽ đường tròn tâm I bk AI Nếu At cắt đgt d tại E ta kẻ phân giác của góc tEd cắt OA tại I . Vẽ đường tròn tâm I bk AI Bài tập 5: Cho hai đường tròn (O) và (O/) cắt nhau tại hai điểm A và B . Gọi I là trung điểm của OO/ . Đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt (O) tại C và cắt (O/) tại D Gọi H , K là các hình chiếu vuông góc của O và O/ xuống CD . Chứng minh AC = AD = HK Giải Tứ giác HKO/O là hình thang vuông . có AI là đường trung bình nên AH = AK Mặt khác AH = HC và AK = KD ( theo t/c đgk và dây cung ) Từ đó suy ra : CH = HA = AK = KD => AC = AD = KD . Cho hai đường tròn đồng tâm (O;R) và (O;R/) . Đường tròn tâm I cắt (O;R) tại A , B . Chứng minh rằng Nếu (I) cắt (O; R/) tại C , D thì CD // AB Nếu (I) tiếp xúc với (O;R/) tại E thì tam giác EAB cân . Giải a)Vì (I) cắt (O;R) tại A , B => OI AB ( t/c đường nối tâm ) Vì (I) cắt (O; R/) tại C, D => OI CD ( t/c đường nối tâm ) Suy ra AB // CD ( cùng vuông góc với OI ) b) Vì (I) tiếp xúc (O;R/) tại E nên ba điểm O , E , I thẳng hàng Mặt khác do (I)cắt (O;R) tại A , B nên IO trung trực của đoạn thẳng AB ; E thuộc IO suy ra EA = EB dẫn đến tam giác EAB cân tại E. Bài tập 6: Xét ram giác ABC có các góc B,C nhọn . Các đường tròn đgk AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai H . Một đgt d bất kì qua A và cắt hai đường tròn nói trên lần lượt tại M và N . Chứng minh H thuộc cạnh BC Tứ giác BCNM là hình gì Gọi P , Q lần lượt trung điểm BC , MN. Chứng minh bốn điểm A , H , P , Q thuộc một dường tròn Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất . Giải // // / / C a)Chứng minh H , B , C thẳng hàng H thuộc đường tròn đường kính AB => AHB = 900 H thuộc đường tròn đường kính AC => AHC = 900 Suy ra H , B , C thẳng hàng b) Tứ giác BCNM là hình gì ? BCNM là hình thang vuông c)Chứng minh A , H , P , Q cùng nằm trên một đường tròn AHP = 900 => A , H , P nằm trên đường tròn đgk AP AQP = 900 => A , Q , P nằm trên đường tròn đgk AP Vậy A , H , P , Q cùng nằm trên đường tròn đgk AP d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất Xét tam giác ABC có OO/ là đường trung bình nên OO/ = BC hay BC = 2 OO/ = không đổi Trong hình thang vuông BCNM có MN ≤ BC . do đó MN lớn nhất bằng BC lúc này BC // NM Vậy khi d // OO/ thì dộ dài NM lớn nhất Bài tập 6: Cho đường tròn tâm O dây cung AB . Trên đoạn AB lấy điểm P tuỳ ý vẽ các đường tròn (C) và (D) đi qua P tiếp xúc với đương tròn (O) theo thứ tự là A , B . Hai dường tròn â và (D) cắt nhau tại điểm thứ hai N. Chứng minh a) tứ giác OCPD là hình bình hành b) PNO = 900 c) Khi P di động trên AB thì N chạy trên đường nào ? Giải a)Theo t/c đường nối tâm Vì (C) tiếp xúc (O) nên A, C , O thẳng hàng Vì (D) tiễp xúc (O) nên B , D , O thẳng hàng Tam giác ACP và AOB cân => CAP = CPA CAP = OBA Suy ra CPA = OBA => CP // OB C/m tương tự PD // OA Vậy tứ giác CODP là hình bình hành . b)C/m PNO = 900 Do (C) cắt (D) tại N và P nên theo t/c dường nối tâm ta có CD NP và HN = HP xét tam giác PON có HK là đường trung bình => HK // NO mà HK NP vậy NO NP c) Khi P di động trên AB thì N chạy trên đường nào ? Bốn điểm N , O , A , B cùng nằm trên một đường tròn Vậy N nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB. Bài tập 7: ( đề 1 ôn tập và kiểm tra ) Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ các đường tròn (B; BA) và (C ;CA) chứng minh rằng hai đường tròn (B) và (C) cắt nhau Gọi D là giao điểm thứ hai của đưòng tròn (B) và (C) . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (B) Vẽ đường kính DCE của (C). Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại E cắt BA ở K . Chứng minh rằng CK vuông góc với BC Chứng minh rằng AD // DK Tính diện tích tứ giác BDEK , biết AB = 4 cm , AC = 6cm . Giải a) Chứng minh hai đường tròn (B) và (C) cắt nhau Giả sử tam giác ABC có CA > BA . Đặt CA = R , BA = r ta có CA – BA < BC < CA + BA tức là R – r < BC < R + r Vậy hai đường tròn cắt nhau . b)C/m CD là tiếp tuyến của (B) Xét tam giác ABC và tam giác DBC có : BA = BD CA = CD BC cạnh chung Suy ra ABC = DBC ( c.c.c ) suy ra BAC = BDC Ta có BAC = 900 nên BDC = 900 Đường thẳng CD đi qua điểm D của đường tròn tâm B và CD vuông góc với BD nên CD là tiếp tuyến của đường tròn (B). c) Chứng minh CK vuông góc với BC. ABC = DBC ( cmt) => C1=C2 KA và KE là hai tiếp tuyến cắt nhau của (C) nên C3 = C4 (t/c tt) Ta có CB , CK là các tia phân giác của hai góc kề bù ACD và ACE nên CK CB. d) Chứng minh AD // DK Hai đường tròn (B) va (C) cắt nhau nên AD BC Ta lại có CK BC ( câu c) . Suy ra AD // CK ( cùng vuông góc với BC ) e) Tính diện tích tứ giác BDEK Tam giác BCK vuông tại C , đường cao CA nên CA2 = AB . AK ( HTL trong tam giác vuông ) Suy ra AK = (cm) Do đó KE = AK = 9 cm Tứ giác BDEK có BD // EK ( cùng vuông góc với DE ) nên là hình thang , có diện tích bằng (cm2) Bài tập 8(4/172 – ÔTVTKTĐG) Cho tam giác ABC cân tại A , góc A tù , điểm D thuộc cạnh BC , BD < DC. nêu cách dựng đường tròn (O) đi qua B , D và có tâm nằm trên cạnh AB. Nêu cách dựng đường trond (O/) di qua C , D và có tâm nằm trên cạnh AC. Tứ giác AODO/ là hình gì ? Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (O/) cắt nhau Gọi E là giao điểm thứ hai của (O) và (O/). Chứng minh rằng EA // OO/ Tính số đo góc AED. Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì AD là tiếp tuyến của (O). Giải a) cách dựng đường tròn (O) đi qua B , D và có tâm nằm trên cạnh AB. Dựng đường trung trực của đạn thẳng BD cắt AB ở O . Dựng đường tròn (O; OB) b) cách dựng đường trond (O/) di qua C , D và có tâm nằm trên cạnh AC. Dựng đường trung trực của đoạn thẳng DC , cắt AC ở O/ .Dựng đường tròn (O/; DC). c) Tứ giác AODO/ là hình gì Ta có ODB = B ( tam giác OBD cân ) C = B ( tam giác ABC cân ) Suy ra ODB = C nên OD // AC Tương tự O/D // AB Tứ giác AODO/ có OD // AC O/D // AB Nên là hình bình hành . d)Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (O/) cắt nhau Đặt O/D = R , OD = r , ta có : O/D –OD < OO/ < O/D + OD ( BĐT tam giác ) Suy ra R –r < OO/ < R + r Vậy hai đường tròn (O) và (O/) cá nhau e)Chứng minh rằng EA // OO/ Gọi I , K lần lượt là giao điểm của DE , DA với OO/ Theo tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau thì DI = IE Theo câu c) AODO/ nên KD = KA ( t/c đường chéo hbh) Do đó IK là đường trung bình của tam giác DEA, suy ra IK // AE . Vậy EA // OO/ f)Tính số đo góc AED. Theo tính chất hai đường tròn cắt nhau ta có OO/ ED Mà EA // OO/ ( theo câu d) Do đó DE EA . Vậy AED = 900. h) Tìm vị trí của điểm D AD là tiếp tuyến của (O) ú AD OD ú AD AC ( vì OD // AC ). Vậy D ở vị trí trên BC sao cho DA vuông góc với AC. Bài tập 9: Cho tamgiác ABC vuông tại A . Trên nửa mf chứa điểm A bờ BC, vẽ các tia Bx , Cy vuông góc với BC . Gọi M là trung điểm của BC . Qua M kẻ đường vuông góc với AB , cắt Bx ở O . Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) Nêu cách dựng đường tròn đi qua A tiếp xúc với BC tại C Chưíg minh rằng ba điểm O , A , O/ thẳng hàng Tính số đo góc OMO/ Cho BC = 2a . Tính tích OB. O/C. Giải a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) Tam giác ABC vuông tại .Tam giác AMB cân tại M , OM AB nên MO là đường trung trực của AB , suy ra OA = OB , do đó B thuộc đường tròn (O; OA). Đường thẳng BC đi qua đi qua điểm B của (O) và BC vuông góc với OB nên nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) b)Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) OAM = OBM ( c.c.c) nên OAM = OBM = 900 hay MAOA Suy ra MA là tiếp tuyến của (O). c) Nêu cách dựng đường tròn đi qua A tiếp xúc với BC tại C Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AC , Cy tại O/ . Đường tròn (O/;O/A) đi qua A tiếp xúc với BC tại C. d) Chưíg minh rằng ba điểm O , A , O/ thẳng hàng Chưng minh tương tự câu b), ta có O/AM = 900 Ta có MAO + MAO/ = 900 + 900 = 1800 .Vậy ba điểm O , A , O/ thẳng hàng . e) Tính số đo góc OMO/ MO và MO/ là tia phân giác của hai góc kề bù AMB và AMC nênOMO/ = 900 f)Cho BC = 2a . Tính tích OB. O/C. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có OB = OA ; O/C = O/A suy ra : OB . O/C = OA. O/A Mà OA. O/A = MA2 ( htl trong tam giác vuông OMO/ ) MA = BC = a .Vậy OB . O/C = a2 Bài tập 10: ( 2/171 - ÔTVKTĐGT9) Cho hai đường tròn (O;2cm)và (O/;1cm)tiếp xúc ngoài tại A .Kẻ tiếp tuyến chung BC , B thuộc (O), C thuộc (O/) . Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắtBC ở I Tính số đo góc OIO/ Tính độ dài BC Chứng minh OO/ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC Gọi K là giao điểm của BC và OO/ . Tính độ dài OK? Giải a)Tính số đo góc OIO IO và IO/ là hai tia phân giá của hai góc kề bù AIB và AIC nên OIO/ = 900 b)Tính độ dài BC Tam giác OIO/ vuông tại I , IAOO/ nên IA2=OA. O/A= 2.1 = 2 Suy ra IA = (cm) BC = 2IA = 2 (cm) c)Chứng minh OO/ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC Đường tròn đgk BC tâmI , bán kính IA . Đường thẳng OO/ đi qua điểm A của (I) và OO/ IA nên OO/ là tiếp tuyến của đường tròn tâm I d)Tính độ dài OK? Ta có:OB // O/C =>( ĐL Talet) => => => KO = 2OO/ = 2.3 = 6(cm)