Báo cáo Chuyên đề toạ độ phẳng

sở giáo dục và đào tạo tỉnh yên bái trờng trung học phổ thông trần nhật duật báo cáo chuyên đề toạ độ phẳng Ngời viết: Ma Đình Khải Tổ: Toán Trờng thpt trần nhật duật Năm học: 2007 - 2008 phần 1: phần mở đầu A. lý do chọn đề tài I, lý do pháp chế: - Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục thường xuyên của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học. - Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học tập bộ môn Hình giải tích. II, cơ sở lý luận: Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu. III, cơ sở thực tiễn Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Hình giải tích và nhất là toạ độ phẳng B. nhiệm vụ yêu cầu: I, nhiệm vụ: - Những nội dung chính của phần toạ độ phẳng: + Xác định toạ độ và mô đun của một véc tơ. + Tìm véc tơ tổng, véc tơ hiệu và véc tơ tích. + Điều kiện để hai véc tơ vuông góc. + Điểm chia đoạn thẳng theo một tỷ số. + Tìm góc giữa hai véc tơ. +Các bài toán về chọn hệ trục toạ độ. - Đề cập đến một số bài toán sử dụng toạ độ phẳng. II, yêu cầu: - Giúp học sinh nắm vững những kiến thức cơ bản của phần toạ độ phẳng và thành thạo trong việc tính toán toạ độ của một điểm, một véc tơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai véc tơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai véc tơ, ba điểm thẳng hàng. - Giúp học sinh sử dụng kiến thức toạ độ phẳng để giải một số bài toán: lập phương trình đường thẳng, lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn... C. giới hạn của đề tài: - Những kiến thức cơ bản của toạ độ phẳng trong chương trình phổ thông trung học: + Xác định toạ độ và mô đun của một véc tơ. + Tìm véc tơ tổng, véc tơ hiệu, véc tơ tích. + Điều kiện để hai véc tơ vuông góc. + Điểm chia đoạn thẳng theo một tỷ số. + Tìm góc giữa hai véc tơ. + Các bài toán về chọn hệ trục toạ độ. - Vận dụng toạ độ phẳng để giải một số bài toán: + Lập phương trình đường thẳng. + Chứng minh ba điểm thẳng hàng. +Tìm góc giữa hai đường thẳng. +Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn. D. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 12 bậc phổ thông trung học. E. Phương pháp nghiên cứu: - Tham khảo các tài liệu. - Tham gia đầy đủ các lớp học bồi dưỡng do sở giáo dục tổ chức, các buổi sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn. F. thời gian nghiên cứu: trong suốt quá trình được phân công giảng dạy khối 12 bậc phổ thông trung học. phần II: nội dung đề tài A. toạ độ phẳng * Vấn đề 1: Xác định toạ độ và mô đun của một véc tơ. I. Lý thuyết: Cho hai điểm A(x; y), B(x; y) Thì = ( x- x; y-y) (1) Véc tơ có mô đun: || = (2) Véc tơ = (a;a) thì || = (3) Điều kiện cần và đủ để = (a;a) cùng phương = (b;b) là ab- ab= 0 (4) Véc tơ đơn vị = (e;e) có || = = 1 (5) II. Bài tập: Cho 2 điểm A(1;2), B(3;4) a, Tìm toạ độ và mô đun của b, Tìm toạ độ của véc tơ đơn vị cùng phương với Giải: a, Ta có x= 1; y= 2; x= 3; y= 4 Theo công thức (1) thì toạ độ của véc tơ là: = (2;2) Theo công thức (2): || = b, Gọi = (e;e) là véc tơ cùng phương với Vì là véc tơ đơn vị nên từ (5): || = = 1 Vì cùng phương với nên theo (4): 2e- 2e= 0 Giải hệ phương trình Vậy có 2 véc tơ đơn vị cùng phương với véc tơ là: = () và = (- ) * Vấn đề 2: Tìm véc tơ tổng, véc tơ hiệu, véc tơ tích I, Lý thuyết: Cho = (a; a), = (b;b), k R = (6) = (ab; a) k = (ka;ka) + = (a+b; a+b) cùng phương = k (7) II, Bài tập: 1, Cho = (2;4), (-3;1), (5;-2). Tìm toạ độ của véc tơ a, = 2 + 3- 5 b, = 24+ 14 Giải: a, Gọi = (m; m) = 2 + 3- 5 m=- 30, m=21 Vậy = (- 30; 21) b, Gọi = (n; n) = 24+ 14 n= 118; n= 68 Vậy = (118; 68) 2, trong mặt phẳng oxy cho A(2;-1), B(0;3), C(4;2). Tìm toạ độ của M để 2+ 3- 4= Giải: Gọi điểm M(x;y) ta có: 2+ 3- 4= hay M(-12; -1) * Vấn đề 3: Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc Cho = (a; a), = (b;b) thế thì ab+ ab= 0 (8) Bài tập: Cho A(2;3), B(9;4), M(5;y), P(x;-2) a, Tìm y để tam giác AMB vuông tại M. b, Tìm x để 3 điểm A,P,B thẳng hàng. Giải: a, Ta có = (3;y-3), =(-4;y-4). Tam giác AMB vuông tại M = 0 y- y = 0 y = 0; y= 7 Vậy với y = 0; y= 7 thì tam giác AMB vuông tại M b, Để 3 điểm A,B,P thẳng hàng thì 2 véc tơ , cùng phương mà = (7;1), = (x-2;-5) theo công thức (4) ta có: , cùng phương -35 - x +2 = 0x= -33 Chú ý: Để chứng minh 3 điểm A,P,B thẳng hàng ta chứng minh: , cùng phương, hoặc , cùng phương, hoặc , cùng phương. Bài tập: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2;-1), B(0;3), C(4;2). Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC Giải: H là trực tâm tam giác ABC hay H(; ) * Vấn đề 4: Điểm chia trên đoạn thẳng theo một tỉ số. Cho 2 điểm A(x; y), B(x; y). Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng AB theo một tỉ số k-1. Tức là: Toạ độ của M là (9) Đặc biệt khi k = 1 thì M là trung điểm của AB và toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: (10) Bài tập: Bài 1: Cho 3 điểm A(2;1), B(2;-1), C(-2;-3) a, Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành. b, Tìm toạ độ tâm M của hình bình hành. Giải: a, Gọi D(x;y) khi ABCD là hình bình hành thì ta có: = Mà = (x-2;y-1), =(-4;-2) = Vậy: D(-2;-1) b, Tâm M của hình bình hành là giao điểm của hai đường chéo. Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Theo công thức (10) ta có: Vậy M(0;-1) Bài 2: Cho các điểm A(2;6), B9-3;-4), C(5;0) a, Tìm toạ độ trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tamgiác ABC b, Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng BC với hai đường phân giác trong và ngoài của góc A. c, Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Giải: a, + Gọi G(x;y) là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Trọng tâm G là giao điểm của các đường trung tuyến và là điểm chia trung tuyến thành hai đoạn thẳng theo tỷ số bằng 2 = 2 = 2 Gọi toạ độ của M(x;y) theo công thức (10) ta có: Theo công thức (9) ta tính toạ độ (x;y) của G: từ = 2 G() Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên + Ta có A(2;6). B(-3;-4), C(5;0) nên (-5;-10), (8;4), (3;-6) = 0. Vậy hay tam giác ABC vuông tại C. Do đó trực tâm của tam giác chính là C(5;0) + Tâm I của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền AB nên I(;0) b, Toạ độ giao điểm D của đường phân giác trong của góc A với cạnh BC. Điểm D là điểm chia cạnh BC thành 2 đoạn tỉ lệ với 2 cạnh bên nên Theo (1) ta có || = ; || = AC = = 3 Vậy áp dụng (9) ta có: Vậy D(2; Tương tự trên, nếu gọi E là giao của phân giác ngoài của góc A với cạnh BC thì: Ta có Vậy E(17;6) c, Tâm K của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác.Như vậy trong tam giác ABD, BK là đường phân giác của góc B Vậy K là điểm chia đoạn AD theo tỷ số bằng tỷ số của các cạnh AB, DB. Ta có: BD = , AB = 5 Vậy 2 áp dụng công thức (9) ta được Vậy K(2;1) * Vấn đề5: Tìm góc giữa hai véc tơ Cho hai véc tơ = (a;a), =(b;b), ta có cos(,) = (11) Bài tập: Bài1: Tìm góc giữa 2 véc tơ trong trư\ờng hợp a, = (4;3), = (1;7) b, = (2;5), = (3;-7) c, = (6;-8), = (12;9) d, = (2;6), = (-3;9) Giải: a, cos(,) = góc giữa (,) là 45 b, cos(,) = góc giữa (,) là 135 c, Ta có . = 0 góc giữa (,) là 90 d, cos(,) = góc giữa (,) là 180 hay 2 véc tơ ,cùng phương Bài 2: Cho các điểm A(2;1), B(7;6), C(5;-6). Tìm góc của tam giác ABC Giải: Ta có = (5;5), =(3;-7) cosA = cos(,) = = 0,37 vì cosA 90 ta có = 111 * Vấn đề 6: Các bài toán về chọn hệ trục toạ độ Trong các bài toán không có những yếu tố về lượng mà chỉ đòi hỏi ta chứng minh các tính chất, ta có thể chọn một hệ trục toạ độ thích hợp để cho việc giải toán được đơn giản. Bài tập Bài1: Cho hình bình hành ABCD. Trên các đoạn BA và BD lấy lần lượt cá điểm E và F thoả mãn và với n là một số tự nhiên tuỳ ý. Bằng cách chọn hệ trục toạ độ thích hợp hãy chứng minh rằng: a, AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. b, Khi n thay đổi thì EF luôn luôn đi qua một điểm cố định. Giải: Ta chọn hệ toạ độ xiên (A,) Có gốc là đỉnh A, các véc tơ đơn vị trên trục toạ độ là . Như vậy ta có A(0;0), B(0;1), C(1;1), D(1;0) Trung điểm M của AC có toạ độ là M(-), trung điểm N của đoạn thẳng BD có toạ độ là: N(-) Vậy M trùng N hay AC và BD cắt nhau tại trung điểm b, Ta xét 2 trường hợp sau + n = 0 khi đó B trùng A E trùng B và trùng D,F,C trùng nhau Vậy EF đi qua điểm cố định C + n0: Do || > || nên E thuộc đoạn thẳng AB || > || nên F thuộc đoạn thẳng BD Trong trường hợp này, ta cũng chứng minh đường thẳng EF đi qua điểm C. Muốn vậy, ta chứng minh hai véc tơ cùng phương. Ta có (0;1), = n = cho ta (0; ) (1;-1), =(n+1) = cho ta =(;-) Vậy =(1; ) = (;) = (1; ) = chứng tỏ cùng phương. Bài 2: Từ một điểm P trong đường tròn ta kẻ 2 dây vuông góc APB và CPD. Chứng minh rằng đường chéo PQ của hình chữ nhật APCQ vuông góc với đường thẳng BD. Giải: Ta chọn hệ trục toạ độ như sau: + Gốc là điểm P + Trục hoành là đường thẳng AB hướng từ A đến B + Trục tung là đường thẳng CD hướng từ C đến D Trong hệ trục toạ độ này ta có P(0;0), A(x;0), B(x;0), C(0;y), D(0;y), Q(x; y) Như vậy = (x; y), =(x;- y) = x x- y y (1) Điểm P ở trong hình tròn nên: PP/(I) = = x x= y y x x- y y= 0 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra = 0 B. Một số ứng dụng toạ độ phẳng trong hình học phẳng trong chương trình phổ thông trung học Toạ độ phẳng có rất nhiều ứng dụng trong chương trình hình học lớp 12, ở đây tôi chỉ nêu lên một số bài toán sử dụng kiến thức của toạ độ phẳng để giải quyết vấn đề. Ví dụ như: bài toán đường và phương trình đường, lập phương trình đường thẳng, lập phương trình đường tròn, lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn, tìm góc giữa hai đường thẳng... * Bài toán xác định quĩ tích các điểm trong mặt phẳng: Bài 1: Lập phương trình quĩ tích tâm của những đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua điểm A(1;2) Giải: Gọi (L) là quĩ tích những tâm đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua điểm A(1;2) I(x; y) (L) I là tâm đường tròn đi qua A(1;2) và tiếp xúc với Ox tại M. x² - 2x - 4y +5 = 0 I(x; y) có toạ độ thoả mãn phương trình F(x;y) = x² - 2x - 4y +5 = 0. Đó là phương trình quĩ tích phải tìm (Parabol) Bài 2: Cho hai điểm A(3cost; 0) và B(0; 2sint). Tìm tập hợp điểm M(x;y) sao cho: (Khi t thay đổi) Giải: Gọi (L) là tập hợp các điểm cần tìm M(x; y) (L) M(x;y) có toạ độ thoả mãn phương trình: Vậy tập hợp các điểm M phải tìm là là đương (L) có phương trình: (Elíp) *Bài toán về tìm góc giữa 2 đường thẳng: Cho (d): Ax + By + C = 0 (d): Ax + By + C = 0 (d) có véc tơ pháp tuyến ; (d) có véc tơ pháp tuyến Để xác định góc giữa hai đường thẳng ta đi xác định góc giữa hai véc tơ và . Do đó Cos = Bài tập: Cho 2 đường thẳng: (d): 4x - 2y - 6 = 0 (d): x - 3y + 1 = 0 Tìm số đo các góc tạo bởi 2 đường thẳng d và d. Giải: áp dụng công thức: Cos = Ta có: cos = . Vậy ta có 2 góc = 45° *Bài toán lập trình đường thẳng chứa đường cao của tam giác ABC khi biết toạ độ các đỉnh của tam giác: - Xác định đường cao của tam giác. - Tìm tọa độ véc tơ pháp tuyến của đường thẳng chứa đường cao - Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm biết pháp véc tơ của đường thẳng đó Bài tập: Cho 3 điểm A(1,-1) ; B(-2,1) ; C(3,5). Viết phương trình đường cao thuộc cạnh BC Giải: Đường thẳng đi qua A(1,-1) vuông góc với đường thẳng BC sẽ nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến Ta có = (5,4) nên phương trình đường thẳng là: 5( x - 1) + 4( y + 1) = 05x + 4y - 1 = 0 *Bài toán xác định điểm A nằm trong, ngoài hoặc trên đường tròn có tâm I(x;y), bán kính R - Tính toạ độ véc tơ - Tính độ dài véc tơ theo công thức IA = - So sánh IA với R: + Nếu IA > R điểm A nằm ngoài đường tròn + Nếu IA < R điểm A nằm trong đường tròn + Nếu IA = R điểm A nằm trên đường tròn + Nếu IA = 0 điểm A trùng với tâm đường tròn Bài tập: Cho đường tròn tâm I(1;-2) bán kính 2. Trong số những điểm nào sau đây, điểm nào nằm trong đường tròn, thuộc đường tròn, nằm ngoài đường tròn. B(1 - ), C( - 1; -1), D(2; - 2), E(3; - 1) Giải: * = (-;1)IB = = < 2 = R Điểm B nằm trong đường tròn * =(-2;1)IC= = < 2= RĐiểm C nằm trong đường tròn * =(1;) ID = = 2 Điểm D nằm trên đường tròn * =(2;1) IE = = > 2 Điểm E nằm ngoài đường tròn *Bài toán lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn tâm I , bán kính R tại tiếp điểm M(x;y) thuộc đường tròn đó: -Tính tọa độ tâm I của đường tròn -Tính tọa độ véc tơ - Lập phương trình đi qua điểm M(x;y) nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến Bài tập: Cho 3 điểm A(2;2) , B(-5;1) , C(3;-5). Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC tại điểm A(2;-2) Giải : Gọi I(x;y) là tâm đường tròn Ta có IA = IB = IC I(-1;-2) = (3;4) Phương trình đường thẳng đi qua A(2;2) nhận làm pháp véc tơ 3(x-2) + 4(y-2) = 0 3x + 4y - 18 = 0 là phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại A. Chú ý: Nếu bài toán đã cho toạ độ tâm đường tròn ta chỉ cần lập phương trình đường thẳng đi qua A nhận lầm véc tơ pháp tuyến. * Bài toán lập phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến của tam giác ABC. - Xác định đường trung tuyến của tam giác ABC. - Tìm toạ độ trung điểm đoạn thẳng mà trung tuyến đi qua theo công thức (10) - Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm trong đó 1 điểm là đỉnh của tam giác ABC còn điểm kia là trung điểm của cạnh đối diện. Bài tập: Cho A(1;-1), B (-2;1), C(3;5). Lập phương trình đường thẳng chứa trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Giải: Trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC sẽ đi qua M là trung điểm cạnh BC. Ta có Phương trình đương thẳng AM: 8x + y - 7 = 0 *ứng dụng toạ độ phẳng để tính diện tích tam giác ABC Với A(x; y), B(x; y), C(x; y) . Tính = Diện tích ABC được tính bằng công thức: S = Bài tập: Tính diện tích của tam giác ABC với: A(2;-3), B(3;2), C(-2;5). Giải: Gọi = = = = 1(8) - 5(-4) = 28 Diện tích tam giác ABC là: S = = = . 28 = 14 đơn vị diện tích *Bài toán lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A(x; y), B(x; y) có tâm nằm trên đường thẳng (): ax + by + c = 0 - Gọi I(x;y) là tâm đường tròn - I (): ax + by + c = 0 - Tính ; , IA²; IB² - Giải hệ phương trình Tìm x, yI(x, y) - Tính R = IA -Phương trình đường tròn: (x - x)+ (y - y)= R Trong mặt phẳng 0xy cho đường thẳng (): 2x + y + 3 = 0 và A(-5;1), B(-2;4). Lập phương trình đường tròn (C) qua A và B có tâm nằm trên đường thẳng (). Giải: Gọi I(x;y) là tâm đường tròn vì I(x;y) (): 2 x + y+3 = 0 || = IA² = (5 + x)² + (1 - y)² || = IB² = (2 + x)² + (4 - y)² Ta có hệ phương trình Tâm đường tròn I(-2;1) Bán kính R = IA = Phương trình đường tròn: (x + 2)² + (y -1)² = 9 * Bài toán xét vị trí tương đối của hai đường tròn (C): (x - a)² + (y - b)² = R² (C'): (x - a)² + (y - b)² = R² - (C) có tâm I (a; b), R = R (C') có tâm I' (a; b), R' = R - Tính I I' = R + R' = R + R - So sánh I I' và R + R' xảy ra: a, Nếu I I' < R + R' thì (C) cắt (C') b, Nếu I I' > R + R' thì (C) không cắt (C') c, Nếu I I' = R + R' thì (C) và (C') tiếp xúc ngoài d, Nếu I I' = | R + R' | thì (C) và (C') tiếp xúc trong Bài tập: Trên mặt phẳng xoy cho 2 đường tròn (C): (x - 1)+ (y + 2) = 16 (C'): (x + 3)+ (y - 1) = 36 Chứng tỏ 2 đường tròn cắt nhau: Giải: Gọi (C) có tâm I(1;-2); R = (C') có tâm I' (-3;1); R' = 6 Ta có I I' = = 5 R + R' = + 6 Xét thấy I I' < R + R' nên (C) cắt (C') Bài tập: Cho các đường tròn: (C) x + y - 1 = 0 (Cm) [x - (1 - m)] + (y - 2m) = 5m - 2m + 6 Tìm các giá trị thực của m để đường tròn (Cm) tiếp xúc với đường tròn (C) Giải: (C) Tâm I(0;0), R = 1 (Cm) Tâm I'(1 - m; 2m), Rm = Ta có: I I' = = 5m - 2m + 1 R + Rm = 1 + a, Nếu (Cm) và (C) tiếp xúc ngoài thì: R + R' = I I' 1 + = 5m - 2m + 1 Phương trình vô nghiệm. Vậy không tìm được m để (C) và (Cm) tiếp xúc ngoài b, Nếu (Cm) và (C) tiếp xúc trong thì | Rm - R | = I I' (*) Đặt 5m - 2m + 1 = y > 0 (vì = -16 0) phương trình (*) trở thành: = 3 y+ 5 = 9 y = 4 .Do đó ta có: 5m - 2m + 1 = 45m - 2m - 3 = 0 Với m= 1 ta có phương trình đường tròn: x+ (y - 2)= 9 Vói m = - ta có phương trình đường tròn: (x - )+ (y + )= 9 Bài toán nhận dạng tam giác: * Tam giác vuông: Trong hệ toạ độ trực chuẩn xoy cho A(x;y), B(x;y), C(x;y). Chứng minh tamgiác ABC vuông + Tính toạ độ các véc tơ . Xảy ra: ABC vuông tại A .= 0 ABC vuông tại B .= 0 ABC vuông tại C.= 0 Bài tập: Trong hệ toạ độ trực chuẩn xoy cho: A(3;8), B(-2;-2), C(6;2). Chứng minh ABC vuông tại C Giải: ABC vuông tại C.= 0 Ta có (- 3;6), (- 8;- 4) .= 0 Vậy ABC vuông tại C Bài tập: Trong hệ toạ độ trực chuẩn xoy cho: A(3;1), B(-1;2) và đường thẳng (d): x - 2y +1 = 0 Tìm toạ độ điểm C trên đường thẳng (d) sao cho ABC vuông tại C Giải: Mỗi điểm C thuộc đường thẳng (d) có toạ độ thoả mãn phương trình x - 2y + 1 = 0 Ta có C( 2y - 1; y), với y là tham số (2y - 4; y- 1), (2y; y - 2) ABC vuông tại C.= 0 5y- 11y + 2 = 0 Vậy có 2 điểm C thoả mãn là C(3;2), C(- * Tam giác cân: Trong mặt phẳng toạ độ xoy cho A(x;y), B(x;y), C(x;y). Chứng minh tamgiác ABC cân + Tính , , + Tính AC, BC, AB Xảy ra: NếuABC cân đáy là cạnh AB thì AC = BC NếuABC cân đáy là cạnh BC thì AB = AC NếuABC cân đáy là cạnh AC thì BA = BC Bài tập: Trong mặt phẳng toạ độ xoy cho A(3;1), B(-1;2) và đường thẳng (d) x - 2y + 1 = 0. Tìm toạ độ điểm C trên đường thẳng (d) sao cho ABC cân. Giải: Vì C thuộc (d) nên C(2y - 1; y), y là tham số Khi đó: (2y - 4; y- 1), (2y; y - 2), AB(- 4; 1) a, Nếu ABC cân đáy là cạnh AB thì AC = BC AC = BChay (2y - 4)+(y - 1) =(2y)+ (y - 2) 14y = 13y = , ta có C( b, Nếu ABC cân đáy là cạnh BC thì AC = AB AC = AB hay (2y - 4)+(y - 1)=4+ 1 5y- 18y = 0y = 0, hoặc y = , ta có 2 điểm C là: C (, C( c, Nếu ABC cân đáy là cạnh AC thì BC = AB BC = AB hay (2y)+(y - 2)=4+ 15y- 4y - 13 = 0y = Vậy có 2 điểm C thoả mãn là: C(3;2), C(- * Tam giác đều: Trong mặt phẳng toạ độ xoy cho A(x;y), B(x;y), C(x;y). Chứng minh tamgiác ABC đều. Xảy ra các trường hợp: a,ABC đều b,ABC đều ( M là trung điểm của AC) c,ABC đều Bài tập: Trong măt phẳng toạ độ xoy cho A(1;1), B(1 - ; 3), C(1 - ; 0). Chứng tỏABC đều Giải: Ta có =(- ; 2) AB == =(- ; - 1) AC == =(- ; -3) BC = = Nhận thấy AB = AC = BC ABC đều Bài tập: Trong mặt phẳng toạ độ cho A(1;1). Tìm điểm B trên đường thẳng y = 3 và điiểm C trên trục hoành sao cho ABC đều. Giải: B thuộc đường thẳng y = 3 nên: B(x;3), A(1;1), C(x;0), AC không song song với trục oxAC có hệ số góc là: hay C(1- Gọi M là trung điểm của AC. Ta có M ABC đều Các điểm B, C phải tìm để ABC đều là: B và C Hay B và C * Tam giác có ba góc nhọn: Trong mặt phẳng toạ độ xoy cho A(x;y), B(x;y), C(x;y). Chứng tỏ tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Xảy ra các trường hợp: a, ABC đều (là góc nhọn) b, ABC cân đáy AB, nhọn nhọn c, ABC cân đáy BC, nhọn nhọn d, ABC cân đáy BC, nhọn nhọn Bài tập : Trong mặt phẳng toạ độ xoy cho: A(;3), B(-2;0), C(3;0). Chứng tỏ ABC có ba góc đều nhọn. Giải: = (- 2 - ; 0 - 3) = (- ; -3) = ( 3 - ; 0 - 3) = (; -3) AB = AC = AB = AC ABC cân nên = Cos (,) = > 0 nhọn Vậy ABC cân có góc nhọn nên , cũng nhọn * Tam giác có một góc tù Trong mặt phẳng toạ độ xoy cho A(x;y), B(x;y), C(x;y). Chứng tỏ ABC có một góc tù - ABC có tù -1 < Cos (,) < 0 - ABC có tù -1 < Cos (,) < 0 - ABC có tù -1 < Cos (,) < 0 Bài tập: Trong mặt phẳng toạ độ xoy cho A(2;0), B(5;6), C(-2;0). Chứng tỏ ABC có tù Giải: = (5 - 2; 6 - 0) = (3; 6) (-2 -2; 0 - 0) = (-4; 0) Ta có Cos (,) = Rõ ràng: -1 < Cos (,) < 0. Vậy tam giác ABC có góc A tù. Kết luận: Đối với các bài toán có liên quan đến kiến thức toạ độ phẳng. Trong khi giảng dạy thầy giáo cần đưa ra phương pháp chung để giải từng loại bài tập trong các giờ bài tập giúp cho học sinh nhận kiến thức tốt hơn. C. Kiến nghị: * Thời gian phân phối còn ít cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh * Cần bổ sung bài tập về chọn hệ trục toạ độ * Cần bổ sung tài liệu tham khảo cho thầy.