Bất đẳng thức cauchy (cô si)

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (C¤ SI) I. GIỚI THIỆU 1/ Bđt Cauchy cho 2 số không âm Cho 2 số thực không âm a, b. Ta luôn có bđt:. Dấu bằng xảy ra a = b. 2/ Bđt Cauchy cho n số không âm Với n số thực không âm , ta có: . Dấu bằng xảy ra tất cả các số hạng đều bằng nhau. Chứng minh: * Cách 1: Quy nạp - n = 2: đúng. - Giả sử bđt đúng đến n. Ta chứng minh bđt đúng đến n + 1. Đặt: Theo giả thiết quy nạp ta có: => đpcm. Dấu bằng xảy ra a1 = a2 = … = an. * Cách 2: Quy nạp - n = 2: đúng. - Giả sử bđt đúng với n = k. Ta chứng minh bđt đúng với n = k + 1. Giả sử thì . Đặt thì ta có , và khi đó, Theo giả thiết quy nạp, ta có: . Ta có: => đpcm. Chú ý: Bđt (2) có được là do khai triển nhị thức Newton: * Cách 3: Quy nạp Cauchy - Bước 1: n = 2: đúng. - Bước 2: Bước quy nạp. Ta chứng minh 2 nhận xét sau: + Nhận xét 1: Nếu bđt đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số. Thật vậy, áp dụng Cauchy cho n số không âm: Vậy bđt đúng với 2n số, và do đó cũng đúng khi n là một luỹ thừa của 2. + Nhận xét 2: Nếu bđt đúng với n số thì nó cũng đúng với n - 1 số. Ta cm như sau: Ta đặt: Khi đó ta có: (đpcm). - Bước 3: Kết luận: Từ 2 nhận xét vừa chứng minh trên, ta thấy rằng với mọi số tự nhiên n tùy ý, bđt đều đúng với một số nào đó sao cho , và do đó bđt cũng đúng với các số: (điều này chứng tỏ nếu lấy một số n bất kỳ thì ta luôn cm được rằng bđt đúng với n). Vậy bđt cần phải cm đúng với mọi giá trị n. II. MỘT SỐ VÍ DỤ MỞ ĐẦU VD1: Cho a, b, c > 0. CMR: Gợi ý: Ta cmr: . Từ đó suy ra đpcm. (Lý do tại sao ta xét biểu thức sẽ được bàn sau). VD2: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. CMR: Gợi ý: Viết lại: VD3: CMR nếu x > y > 0 thì: Gợi ý: Xét biểu thức: VD4: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR: Gợi ý: Vậy chỉ cần cm là xong. VD5: Cho là n số dương và .CMR: a) b) c) VD6: Cho a, b, c > 0 thỏa . CMR: Gợi ý: Bđt trên tương đương với: Dễ thấy 0 < a, b, c < 1. Ta cm: Từ đó suy ra đpcm. VD7: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR: Gợi ý: - Cm : Theo Cauchy: và abc > 0. - Cm : Ta có bđt sau: (đpcm) Trên đây là một số ví dụ điển hình vể việc sử dụng bđt Cauchy. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét một số kỹ thuật sử dụng bđt Cauchy. III. CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CAUCHY 1/ Thêm bớt VD1: Cho a > b > 0. CMR: Giải: Dấu "=" không xảy ra. VD2: Cho . CMR: Giải: Ta tìm cách thêm bớt để khử mẫu của phân thức trên. Ta dự đoán sẽ dùng Cauchy cho các số (với x là một số thực nào đó mà ta cần tìm), khi đó mẫu thức sẽ bị khử. 2/ Dùng biểu thức phụ VD1: CMR với mọi a, b, c không âm, ta có: Giải: Ta xét các biểu thức phụ M, N sao cho: Trong trường hợp này, ta xét các biểu thức phụ sau: Khi đó ta có: VD2: CMR với mọi a, b, c, d không âm, ta có: Giải: Ta xét các biểu thức phụ sau: Khi đó ta có: Từ đó suy ra đpcm. VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: Xét biểu thức phụ sau: Dễ thấy Giải (1) ta được: Do (2) nên ta suy ra: Vậy Bây giờ, xét hiệu A - B ta được: A - B = 3. Vậy 3/ Hạ bậc VD1: CMR với mọi số nguyên dương m, n, ta có: Giải: Ta để ý tới vế nhỏ hơn. Ta sẽ sử dụng bđt Cauchy với những nhận xét sau: - Để tạo ra căn bậc m + n, ta cần dùng m + n số. - Để tạo ra , ta cần dùng n số . - Để tạo ra , ta cần dùng m số . Từ đó, ta dùng bđt Cauchy như sau: Ta có: (đpcm). VD2: CMR với mọi số tự nhiên n, ta có: Gợi ý: Ta có: Ta cm (1) bằng cách dùng bđt Cauchy cho n số và 1 số . Sau đó ta cmr dấu bằng không xảy ra. Từ đây suy ra đpcm. VD3: CMR nếu a, b, c là các số nguyên dương thì ta có: Gợi ý: Viết lại: Dùng Cauchy cho a số VD4: CMR: Gợi ý: VD5: CMR: Gợi ý: Viết lại: Dùng Cauchy cho n số và 1 số 1. VD6: CMR: Gợi ý: Viết lại thành: VD7: Cho . CMR: Gợi ý: Để hạ xuống thành , ta dùng 1 số 1. * Tổng quát: Cho . CMR với mọi số tự nhiên n > 0: VD8: Cho . CMR: Gợi ý: Xét một số a bất kỳ. Đầu tiên, ta tìm mối liên hệ giữa và (hạ bậc từ xuống . - Khử mũ k => dùng Cauchy cho k số nào đó (trong đó có chứa số ). - Lại tăng lên mũ k - 1 => dùng k - 1 số . - Còn lại 1 số, ta sẽ dùng số 1. Cụ thể, ta sẽ dùng bđt Cauchy như sau: Thay a bởi ta được: Tức là ta chỉ còn phải chứng minh: Lại sử dụng kỹ thuật hạ bậc như trên ta được: => đpcm. * Mở rộng: 1/ Cho k số thực dương (i = 1, 2, …, k) thỏa: . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n (m > n) ta luôn có: 2/ Cho k số thực dương (i = 1, 2, …, k) thỏa: (c là hằng số). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n (m > n) ta luôn có: 3/ Cho k số thực dương (i = 1, 2, …, k). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n ta luôn có: 4/ Trọng số (Điểm rơi) VD1: Cho . Tìm min Giải: Rõ ràng ta không thể dùng Cauchy trực tiếp cho a và (tại sao? Chú ý đk dấu bằng xảy ra). Thay vào đó, ta sẽ dùng Cauchy cho biểu thức có dạng và : Dấu bằng xảy ra Dự đoán S đạt GTNN a = 3, ta suy ra x = 9. Vậy ta dùng Cauchy như sau: VD2: Cho . Tìm min Giải: Điểm rơi: VD3: Cho Tìm min Gợi ý: Đặt Bài toán trở thành: Cho . Tìm min VD4: Cho a, b > 0. Tìm min Gợi ý: Điểm rơi: VD5: Cho a, b, c, d > 0. Tìm min: Gợi ý: Điểm rơi: VD6: Cho . CMR: Giải: Điểm rơi: a = 2, b = 3, c = 4. Ta dùng bđt Cauchy như sau: Lại có Cộng (1) và (2) vế theo vế => đpcm. VD7: Cho . CMR: Gợi ý: Ta cần khử mẫu, đồng thời hạ bậc tử. Ta dự đoán sẽ dùng Cauchy với các số sau: Khi đó, ta có điểm rơi là: VD8: Cho x, y, z dương thoả: . Chứng minh: Giải: Đầu tiên ta tìm liên hệ giữa và x. Ta dự đoán sẽ dùng bđt Cauchy cho biểu thức dưới căn, tức Giả sử ta dùng Cauchy cho các số dạng Khi đó, dấu bằng xảy ra Dự đoán dấu bằng trong (1) xảy ra Thay vào (*) Vậy ta dùng Cauchy như sau: Dấu bằng trong tất cả các đánh giá trên xảy ra đồng thời 5/ Cauchy ngược dấu: VD1: Cho a, b, c dương thỏa a + b + c = 3. Chứng minh rằng: Giải: Ta nhận thấy rằng nếu dùng Cauchy cho mẫu mỗi phân thức thì sẽ nhận được một biểu thức rất đẹp, tuy nhiên lại gặp phải một vấn đề là bị ngược chiều. Vậy ta sẽ giải quyết vấn đề này bằng cách biến đổi biểu thức sao cho xuất hiện dấu trừ trước mỗi phân thức, rồi sau đó mới sử dụng Cauchy. Ở bài này, ta sẽ biến đổi như sau: Xây dựng 2 bđt tương tự với b, c rồi cộng lại ta được: VD2: Cho a, b, c, d dương thỏa a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng: VD3: Cho a, b, c, d dương thỏa a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng: Giải: Dễ chứng minh rằng: VD4: CMR với mọi a, b, c, d > 0 ta luôn có: Gợi ý: VD5: Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3. Chứng minh rằng: Gợi ý: Tiếp theo, ta cm: nhờ vào nhận xét sau: VD6: Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3. Chứng minh rằng: Gợi ý: Biến đổi về: Lại có: Từ đây suy ra đpcm. VD7: Cho a, b, c dương thỏa a + b + c = 3. Chứng minh rằng: Gợi ý: VD8: Cho a, b, c, d dương thỏa a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng: VD9: Cho a, b, c, d dương thỏa a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng: V. MỘT SỐ BÀI TẬP 1) Cho x, y > 0, 2x > y. CMR: 2) Cho a, b, c > 0, a + b + c = 3. CMR: (Hướng dẫn: Dùng điểm rơi -> Cauchy cho 3) Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa ab + bc + cd + da = 1. CMR: (Hướng dẫn: Dùng điểm rơi -> Cauchy cho 4 số: 4) CMR với mọi a, b, c dương: (Hướng dẫn: Cauchy trực tiếp cho VT). 5) CMR với mọi a, b, c > 0: (Hướng dẫn: Dựa vào nhận xét: 6) Cho x, y, z > 0, xyz = 1. CMR: (Hướng dẫn: Dựa vào nhận xét: rồi đưa về bài 5. 7) CMR với mọi x, y, z dương ta có: Hướng dẫn: 8) CMR với mọi x, y, z dương ta có: (Hướng dẫn: Đưa về bài 7). 9) CMR với mọi x, y, z dương: 10) CMR với mọi a, b, c, d > 0 ta có: 11) CMR với n là số tự nhiên ta có: 12) Cho . CMR nếu x, y, z là 3 số không âm thì: Hướng dẫn: 13) Cho a, b, c, d là các số thực duơng thỏa abcd = 1. CMR: (Hướng dẫn: Ta phải cm 2 bđt sau: (1) được cm bằng cách hạ bậc. (2) được cm bằng cách dùng Cauchy trực tiếp cho 3 số. 14) Cho a, b, c > 0 thỏa: . CMR: 15) Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1. CMR: 16) CMR với n là số tự nhiên khác không thì: 17) Cho x, y, z > 0; n, m là các số nguyên dương. CMR: 18) . CMR: 19) Cho a, b, c > 0. CMR: 20) Cho a, b, c > 0. CMR: 21) Cho a, b, c > 0. CMR: 22) Cho 3 số dương a, b, c không lớn hơn 1. CMR: 23) CMR: 24) Cho x, y, z là các số không âm. CMR: 25) Cho x, y, z thỏa: CMR: 26) Cho a, b, c thỏa . CMR: 27) Cho x, y, z dương thỏa: . CMR: 28) Cho các số thực dương thỏa: CMR: 29) Cho a, b, c > 0, a + b + c = 3. CMR: