Bất đẳng thức – tóm tắt lý thuyết – bài tập rèn luyện và nâng cao

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: FA, B là các số thực. Bất đẳng thức là các mệnh đề: A≥B, A>B,A≤B,A<B. F Chứng minh 1 bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng. Tính Chất: 1. A>B ⇔A-B>0 2. A>B và B>C⇔A>C 3. A>B ⇔A+C>B+C 4. Nếu C>0 thì A>B ⇔AC>BC Nếu CB⇔AC<BC Các Hệ Quả 1.A>B và C>D ⇒A+C>B+D 2.A>B≥0 và C>D≥0 ⇒AC>BD 3.Với AB>0 ta có:A>B⇔1A<1B 4.Với A,B≥0,n∈N*:A>B⇔A2n>B2n 5. n∈N*: A>B⇔A2n+1>B2n+1 6.A>B≥0⇔A>B 7.A>B⇔3A>3B ............ Bất Đẳng Thức Chứa Trị Tuyệt Đối 1. A≥0; A≥A; A≥-A 2.A+B≥A+B. Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi AB≥0 3. A-B≥A-B. Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi AB≥0 4. A-B≤A+B≤A+B 5. Với k>0:A≤k⇔-k≤A≤k 6. Với k>0:A≥k⇔A≤-k hay A≥k ............... Bất Đẳng Thức CauChy (Cô-si): 1. Bất đẳng thức Cô Si cho 2 số không âm: a,b≥0: a+b2 ≥ab hay: a+b≥2ab hay: a.b≤a+b22. Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b. Hệ quả 1: Khái niệm liên quan Nếu a > 0, b > 0 và S = a + b không đổi M là GTLN của hàm số y = f(x) trên txđ D ⇔fx≤M,∀x∈txđ D∃x0∈D/ fx0=M Thì tích ab lớn nhất bằng S24 khi a = b = S2 Hệ quả 2: Khái niệm liên quan Nếu a > 0 và b > 0 và P = ab không đổi m là GTNN của hàm số y = f(x) trên txđ D ⇔fx≥m,∀x∈txđ D∃x0∈D/ fx0=m Thì tổng a + b nhỏ nhất bằng 2Pkhi a=b=P 2. Bất đẳng thức Cô Si cho 3 số không âm: a,b,c≥0: a+b+c3 ≥3abc hay: a+b+c≥33abc hay: a.b.c ≤a+b+c3 3 Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b = c. 3. Bất đẳng thức Cô Si cho n số không âm (n≥2): a1,a2,…an≥0: a1+a2+…ann ≥na1a2…an hay: a1+a2+…an ≥nna1a2…an hay: a1a2…an≤ a1+a2+…annn Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a1=a2=…=an Bất Đẳng Thức Bunhiacốpxki: 1. Bất đẳng thức Svac-xơ: (Schwartz): Với 4 số a,b,x,y tùy ý: ax+by≤a2+b2.x2+y2. Dấu “=” xãy ra khi: ax=by hoặc x = y = 0 2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki (Bouniakowski): Với 4 số tùy ý a,b,x,y ta có: ax+by2≤a2+b2(x2+y2) Dấu “=” xãy ra khi: ax=by hoặc x = y = 0 Với 6 số a,b,c,x,y,z tùy ý ta có: ax+by+cz2≤a2+b2+c2(x2+y2+z2) Dấu “=” xãy ra khi: ax=by=cz hoặc x = y = z = 0 B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN:  Phương pháp biến đổi tương đương: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 2xyz≤x2+y2z2, với mọi x,y,z. Giải: Ta có 2xyz≤x2+y2z2⇔x-yz2≥0 Vậy: 2xyz≤x2+y2z2 Đẳng thức xãy ra khi x-yz=0⇔x=yz *Vận dụng: A2≥0 với mọi A * Nhận xét: nếu chuyển vế thì được 1 hằng đẳng thức? Đẳng thức xãy ra khi: x-yz2=0⇔x-yz=0 ⇔x=yz Ví dụ 2: Cho 3 số a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng: a2+b2+c2+3≥2(a+b+c) (1) Giải: Ta có: (1) ⇔a2-2a+1+b2-2b+1+c2-2c+1≥0 ⇔a-12+b-12+c-12≥0 luôn đúng Vậy a2+b2+c2+3≥2(a+b+c) * Nhận xét: Nếu tách và gộp nhóm hợp lý ta được các hằng đẳng thức và là các bình phương Ví dụ 3: Chứng minh với mọi a,b,c thuộc R, ta có:a+b+c2≤3(a2+b2+c2) (1) Giải: ta có:(1) ⇔a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3a2+b2+c2 ⇔a-b2+b-c2+c-a2≥0 ( luôn đúng với mọi a,b,c) Vậy: a+b+c2≤3(a2+b2+c2) Nhận xét: khi chuyển vế ta được biểu thức: 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca là 3 hằng đẳng thức a-b2….. Ví dụ 4: Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: ab-c2+bc-a2+ca+b2>a3+b3+c3 (1). Giải: Ta có: (1) Û ab-c2-a2+bc-a2-b2+ca+b2-c2>0 ⇔ab-c-ab-c+a+bc-a-bc-a+b+ca+b-ca+b+c>0 ⇔a+b-c[ab-c-a-bc-a+b+ca+b+c>0 ⇔a+b-cab-ac-a2-bc+ab-b2+ca+cb+c2>0 ⇔a+b-cc2-a-b2>0 ⇔a+b-cc+a-bc-a+b>0 ⇔a+b-cc+a-bb+c-a>0 ( luôn đúng) Vậy: ab-c2+bc-a2+ca+b2>a3+b3+c3 Nhận xét: sử dụng hằng đẳng thức phân tích thành thừa * Lưu ý: Bất đẳng thức trong tam giác. Bài tập cùng phương pháp: Bài tập 1: Chứng minh các số thực a,b,c,d tùy ý, ta có: a4+b4≥a3b+ab3 a2+b2+3a+b+3≥ab a4+b4+c2+1≥2aab2-a+c+1 a2+3b2+c2+d2≥2ab+c+d Bài tập 2: Chứng minh với 2 số thực a,b thỏa a+b≥0, ta có: a3+b3≥a2b+ab2 a3+b32≥a+b23 Bài tập 3: Cho các số thực a,b,c,d sao cho a≥b≥c≥d≥0. Chứng minh a2-b2+c2≥a-b+c2 a2-b2+c2-d2≥a-b+c-d2 Bài tập 4: Chứng minh rằng: a3+b3+c3-3abca+b+c ≥0 với mọ i a,b,c thỏa a + b + c ≠ 0 Bài tập 5: Chứng minh rằng: 5x2+5y2+8xy+2y-2x+2≥0 với mọi x,y ∈R x2+y2+1≥xy+x+y, với mọi x,y∈R Bài tập 6: Chứng minh với 2 số thực không âm a,b ta có: a+b2.a2+b22≤a3+b32 Bài tập 7: Cho a>b>0;m>n và m,n∈Z+. Chứng minh: am-bmam+bm>an-bnan+bn Bài tập 8: Cho a>b>0 và c=ab. Chứng minh rằng: c+ac2+a2≥c+bc2+b2 Bài tập 9: Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình: x+y+z+4=2x-2+4y-3+6z-5