Bồi dưỡng Casio lớp 9

NỘI DUNG ÔN TẬP CASIO LỚP 9 1. Tính toán trên máy kết hợp trên giấy: Bài 1: a) Nêu một phương pháp (kết hợp trên máy và trên giấy) tính chính xác kết quả của phép tính sau: A = 12578963 x 14375 b) Tính chính xác A c) Tính chính xác của số: B = 1234567892 d) Tính chính xác của số: C = 10234563 Giải: a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm như sau: A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375 * Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750 Þ 12578.103.14375 = 180808750000 * Tính trên máy: 963.14375 = 13843125 Từ đó ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 (Tính trên máy) Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 và cộng trên máy: 808750000 + 13843125 = 822593125 Þ A = 180822593125 b) Giá trị chính xác của A là: 180822593125 c) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892 Tính trên máy: 123452 = 152399025 2x12345x6789 = 167620410 67892 = 46090521 Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521 = 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521= 15241578750190521 d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563 Tính trên máy: 10233 = 1070599167 3.10232.456 = 1431651672 3.1023.4562 = 638155584 4563 = 94818816 Vậy (tính trên giấy): C = 1070599167000000000 + 1431651672000000 + + 638155584000 + 94818816 = 1072031456922402816 Bài 2 (Thi giải Toán trên MTBT khu vực - Năm học 2003-2004) Tính kết quả đúng của các tích sau: a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004 Đáp số: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012 Bài 3: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tính kết quả đúng của các phép tính sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 Đáp số: a) A = b) B = Bài 4: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tính kết quả đúng của phép tính sau: A = 52906279178,48 : 565,432 Đáp số: A = Bài 5: Tính chính xác của số A = Giải: - Dùng máy tính, tính một số kết quả: và và và Nhận xét: là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4 là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng là 6 * Ta dễ dàng chứng minh được nhận xét trên là đúng và do đó: A = 111111111111555555555556 Ví dụ 1: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005- Hải Dương) Bài 5(2, 0 điểm) Tìm giá trị chính xác của 10384713. Giải: Đặt ; Khi đó D = Lập bảng giá trị ta có: 1 1 1 8 3 8 6 8 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 2 2 4 2 8 3 7 2 0 0 0 0 0 0 6 9 0 8 1 2 8 7 4 0 0 0 1 0 4 4 8 7 1 1 1 D 1 1 1 9 9 0 9 9 9 1 2 8 9 3 6 1 1 1 1 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: D = 10384713 =1119909991289361111 1. Bài 1: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau: a) ; b) Giải: a) Ta có: = b) = 2. Bài 2: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau a) P = 13032006 × 13032007 b) Q = 3333355555 × 3333377777 Giải: a) Đặt ; , Khi đó ta có: = = Lập bảng giá trị ta có: 1 6 9 7 8 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 5 2 2 8 9 3 9 0 0 0 0 4 0 2 6 0 4 2 P 1 6 9 8 3 3 1 9 3 4 1 6 0 4 2 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042 b) Đặt ; , Khi đó ta có: = Lập bảng giá trị ta có: 1 1 1 1 0 8 8 8 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 3 5 5 5 5 6 0 0 0 0 0 4 3 2 0 9 0 1 2 3 5 P 1 1 1 1 1 3 3 3 3 2 9 8 7 6 5 0 1 2 3 5 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042 Q = 11111333329876501235 3. Bài 3: Tính S = chính xác đến 4 chữ số thập phân. Giải: Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X, B, C. Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1 X : B = B + A : C = C . B rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ số thập phân của S là: 1871,4353 4. Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau: và A = B = a- Tính kết quả đúng của các tích sau: M = 3333355555 3333366666 N = 20052005 20062006 b) Tính C = 11! + 22! + 33! + + 1616! c) Tính kết quả đúng của tích A = Tính kết quả đúng của tích A = Tính . 5. Bài 5: So sánh các cặp số sau: a) và b) và . c) và B = 1 6. Bài 6: Tính tổng các phân số sau: a) . b) c) . Dạng 2: Tìm tích ab( tích một số có 5 chữ số với một số nhiều hơn 5 chữ số) Ví dụ: Tìm tích a= 123456789123456789 với b= 56789 -Ghép a thành các nhóm: + Từ phải qua trái, mỗi nhóm có 5 chữ số. + Nhóm cuối cùng có thể ít hơn 5 chữ số. -Lấy nhóm 1 nhân với b được kết quả, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi ra giấy. Ghi ra giấy 90521 -Lấy các số còn lại của KQ ở bước 1 cộng với nhóm 2 nhân b: KQ được bao nhiêu, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi vào phía trước đã ghi ở bước 1. Ghi ra giấy 19875 90521 -Tiếp tục là như vậy đến hết. Đáp số : 7010987597531987590521 KQ: 1963075 90521 Ví dụ 2: a=34 56789 ; b=56789 Buớc 1: 5678956789=32249 90521 Bước 2: 32249+3456789=1963075 Cơ sở lý luận: Khi tách 5 chữ số cuối của số a ta có a=(34 00000+56789) Lúc này ab=(34 00000+56789)56789. Aùp dụng tính chất PP ta được cách làm trên. Bài tập áp dụng: 1/ Tìm tích ab biết : a/ a= 112233445566778899987654321; b= 24068 b/ a= 147689245; b= 12567 2/ Tìm 7 chữ số cuối cùng của tích a= 23455432 với b= 78998 3/ Tìm xem tích ab có bao nhiêu chữ số 5 biết a=5678998765; b= 55667 .CÁC BÀI TOÁN VỀ : “ PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH ” Bài 1: Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!. Giải: Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên: S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!) S = 17! – 1!. Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình). Nên ta tính theo cách sau: Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không bị tràn, cho kết quả chính xác. Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120 Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1 = 35568624 . 107 + 1188096 . 103 – 1 = 355687428096000 – 1 = 355687428095999. Bài 2: Tính kết quả đúng của các tích sau: M = 2222255555 . 2222266666. N = 20032003 . 20042004. Giải: Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666. Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC Tính trên máy: A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630 Tính trên giấy: A2.1010 4 9 3 8 1 7 2 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AB.105 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 AC.105 1 4 8 1 4 5 1 8 5 2 0 0 0 0 0 BC 3 7 0 3 6 2 9 6 3 0 M 4 9 3 8 4 4 4 4 4 3 2 0 9 8 2 9 6 3 0 Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có: N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a) Kết quả: M = 4938444443209829630. N = 401481484254012. Bài tập tương tự: Tính chính xác các phép tính sau: A = 20!. B = 5555566666 . 6666677777 C = 20072007 . 20082008 10384713 201220032 Ví dụ 2: Tính A = 999 999 9993 -- Giải -- Ta có: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999. Từ đó ta có quy luật: Vậy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999. . TÍNH CHÍNH XÁC GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ Ví dụ:Tính kết quả đúng (không sai số) của các tích sau : Kết hợp tính trên giấy ta sẽ được kết quả. Bài tập 1.Tìm ƯCLN và BCNN của hai số A = 1234566 và B = 9876546 (ƯCLN = 18; BCNN = 677402660502) 2. Tính chính xác giá trị của biểu thức và 3. Tính chính xác giá trị của 1234567892(đáp số 15241578749590521) (đáp số: A=4022834 Câu 7(5đ) Hãy tính chính xác số 22220083 6. Tìm số tự nhiên theo các điều kiện cho trước: Bài 19: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng: chia hết cho 7. Giải: - Số lớn nhất dạng chia hết cho 7 sẽ phải có dạng: với z Î{0, 1, 2,...,8, 9} lần lượt thử với z = 9; 8; 7; 6; 5... đến z = 5, ta có: 1929354 7 (275622) Vậy số lớn nhất dạng chia hết cho 7 là 1929354, thương là 275622 - Số nhỏ nhất dạng chia hết cho 7 sẽ phải có dạng: với z Î{0, 1, 2,...,8, 9} lần lượt thử với z = 0; 1; 2; 3... đến z = 3, ta có: 1020334 7 (145762) Vậy số nhỏ nhất dạng chia hết cho 7 là 1020334, thương là 145762 Bài 20: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng: chia hết cho 13. Đáp số: - Số lớn nhất dạng chia hết cho 13 là 1929304 - Số nhỏ nhất dạng chia hết cho 13 là 1020344 Bài 21: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004) Tìm tất cả các số n dạng: chia hết cho 24. H.Dẫn: - Vì N 24 Þ N 3 ; N 8 Þ (37 + x + y) 3 ; 8. Þ y chỉ có thể là 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8. Dùng máy tính, thử các giá trị x thoả mãn: (x + y + 1) 3 và 8, ta có: N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840 Bài 22: Tìm các số khi bình phương sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. Có hay không các số khi bình phương có tận cùng là bốn chữ số 4 ? H.Dẫn: - Chữ số cuối cùng của x2 là 4 thì chữ số cuối cùng của x là 2 hoặc 8. Tính trên máy bình phương của số: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 ta chỉ có các số: 12, 62, 38, 88 khi bình phương có tận cùng là hai chữ số 4. - Tính trên máy bình phương của các số: 12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta được: 462, 962, 38, 538 khi bình phương có tận cùng là 444. * Tương tự cách làm trên, ta có kết luận: không có N nào để N2 kết thúc bởi 4444. Bài 23: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoã mãn: 1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị 2) Là số chính phương. H. Dẫn: - Gọi số cần tìm là: . - Đặt . Khi ấy và n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2 hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x. Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ước của một trong hai thừa số của vế trái và số còn lại phải là ước của thừa số còn lại của vế trái. Dùng máy tính, xét các khả năng đi đến đáp số: n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716. Bài 24: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393 cũng như 655 đều có số dư là 210. H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 Þ x -210 chia hết cho 393 x = 655.q2 + 210 Þ x -210 chia hết cho 655 Þ x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965 Þ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210 - Từ giả thiết 10000 < x < 15000 Þ 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 Þ 5 £ k < 8. Tính trên máy: Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035 Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000 Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965 Bài 25: Tìm các chữ số x, y, z để chia hết cho 5, 7 và 9. Giải: - Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số x, y, z sao cho chia hết cho 5.7.9 = 315. Ta có = 579000 + = 1838.315 + 30 + Þ 30 + chia hết cho 315. Vì 30 £ 30 + < 1029 nên (Dùng máy tính tìm các bội của 315 trong khoảng (30 ; 1029): - Nếu 30 + = 315 thì = 315 - 30 = 285 - Nếu 30 + = 630 thì = 630 - 30 = 600 - Nếu 30 + = 945 thì = 945 - 30 = 915 Vậy ta có đáp số sau: x y z 2 8 5 6 0 0 9 1 5 Bài 26: (Thi Quốc tế IMO 1962): Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất sau: 1) Viết dưới dạng thập phân a có tận cùng là số 6. 2) Nếu bỏ chữ số 6 cuối cùng và đặt chữ số 6 lên trước các chữ số còn lại sẽ được một số gấp 4 lần chữ số ban đầu. Giải: - Giả sử số cần tìm có n + 1 chữ số. - Từ điều kiện 1) số đó dạng: - Từ điều kiện 2), ta có: = 4. (*) - Đặt , thì: = 10a + 6 = 6.10n + a - Khi đó (*) trở thành: 6.10n + a = 4.(10a + 6) Û 2.(10n - 4) = 13a (**) Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13. Vì (2 ; 13) = 1 nên: 10n - 4 chia hết cho 13. Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để (10n - 4) chia hết cho 13, khi đó tìm ra số a và số cần tìm có dạng: 10a + 6. Thử lần lượt trên máy các giá trị n = 1; 2;... thì (10n - 4) lần lượt là: 6, 96, 996, 9996, 99996,... và số đầu tiên chia hết cho 13 là: 99996. Khi đó a = 15384 Þ Số cần tìm là: 153846. Bài 27: Tìm số tự nhiên n sao cho: a) 2n + 7 chia hết cho n + 1 b) n + 2 chia hết cho 7 - n H.Dẫn: a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần lượt n = 0, 1, 2,... ta được n = 0 và n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n + 1. Chứng minh với mọi n ³ 5, ta đều có 2n + 7 không chia hết cho n + 1, thật vậy: (2n + 7) (n + 1) Þ [(2n + 7) - 2(n + 1)] (n + 1) Þ 5 (n + 1) Þ n £ 5. Vậy số n cần tìm là 0 hoặc 4. b) Tương tự ta có: n = 4 hoặc n = 6. Bài 28: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều là số 1. Giải: Nhận xét: 1) Để n3 có tận cùng là 11 thì n có tận cùng là số 1. Thử trên máy các số: 11, 21, 31,...81, 91 được duy nhất số 71 khi luỹ thừa bậc ba có tận cùng là 11. 2) Để n3 có tận cùng là 111 thì n có phải tận cùng là số 471. (Thử trên máy với các số: 171, 271, 371,...871, 971 ) 3) Để n3 có tận cùng là 1111 thì n phải có tận cùng là số 8471. (Thử trên máy với các số: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 ) - Giả sử m là số chữ số đứng giữa các số 111 và 1111: + Nếu m = 3k, k ÎZ+, thì: 111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4 () Þ Tính trên máy: 10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1 Do đó, với k ³ 1. Cho k = 1 ta được n bắt đầu bằng số 103, nghĩa là: n = 103...8471 Þ Số nhỏ nhất trong các số đó là: n = 1038471 + Nếu m = 3k + 1 và m = 3k + 2, ta được các số này đều vượt quá số 1038471 Kết luận: Số nhỏ nhất thoã mãn yêu cầu bài toán là: n = 1038471 khi đó: (tính kết hợp trên máy và trên giấy): n3 = 1119909991289361111 Bài 29: a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà n2 bắt đầu bởi số 19 và kết thúc bằng số 89 b) Tìm số tự nhiên n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong đó xxxxxx là 6 số có thể khác nhau). Giải: a) Trước hết ta tìm số n2 có tận cùng là 89: - Vì n2 có tận cùng là 9 nên n chỉ có thể có tận cùng là 3 hoặc 7. - Thử trên máy các số: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta tìm được: để n2 có tận cùng là 89 thì n phải có 2 số tận cùng là một trong các số sau: 17, 33, 67, 83 (*) * Bây giờ ta tìm số n2 bắt đầu bởi số 19: - Để n2 bắt đầu bởi số 19 thì nó phải có dạng: 19 x 10k £ n2 < 20 x 10k Û (1) + Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành: Û 4,3588989.10m £ n < 4,472135955.10m (2) Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy): ta được n có thể là: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447 + Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành: Û 13,78404875.10m £ n < 14,14213562.10m (3) Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy): ta được n có thể là: 14, 138, 139, ... , 141 1379, 1380, 1381, ... , 1414 Tóm lại để n bắt đầu bởi số 19 thì n có thể là: 14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**) Từ (*) và (**) ta nhận thấy trong các số trên chỉ có số 1383 thoả mãn bài toán. b) Ta có: 2525 x 108 £ x2 < 2526 x 108 Û 50,24937811 x 104 £ x < 50,25932749 x 104 Vậy : 502493 < x < 502593 Số x tận cùng phải là: 17, 33, 67, 83 (theo câu a), do đó các số thoả mãn là: 502517, 502533, 502567, 502583. Bài 30: Với giá trị tự nhiên nào của n thì: 1,01n - 1 n. Giải: - Ta có: 1,01512 » 163,133... < 512 1,011024 » 26612,56.. > 1024 Vậy: 512 < n < 1024 Thu hẹp khoảng cách chứa n bằng phương pháp chia đôi: - Chia đôi đoạn [512 ; 1024], ta có: Vậy lại có: 512 < n < 768 Sau một số bước chia đôi như thế đi đến: 650 < n < 652 Cuối cùng ta có: 1,01651 = 650,45... < 651 1,01652 = 656,95.. > 652 Þ n = 652 Ta hoàn toàn giải bài toán trên bằng một quy trình trên MTBT: (Thuật toán: Xét hiệu 1,01A - A , gán cho A các giá trị tự nhiên: 0, 1, 2,... dừng lại khi hiệu trên chuyển từ (-) sang (+)) - Gán cho ô nhớ giá trị tự nhiên đầu tiên: 0 - Lập công thức tính hiệu 1,01A - A và gán giá trị ô nhớ bởi số tự nhiên kế tiếp: 1,01 1 - Lặp lại công thức trên: ... Bài toán kết thúc khi chuyển từ n = 651 sang n = 652. 2. Tìm số dư trong phép chia số a cho số b: Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b ¹ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho: a = bq + r và 0 £ r < |b| * Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm dư trong phép chia a cho b: + Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ , số b vào ô nhớ + Bước 2: Thực hiện phép chia cho {ghi nhớ phần nguyên q} + Bước 3: Thực hiện q = r Bài 5: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975 b) Tính số dư c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047. Tìm số dư đó. Giải: a) Quy trình ấn phím: 18901969 3041975 (6,213716089) 6 (650119) b) Số dư là: r = 650119 c) Tương tự quy trình ở câu a), ta được kết quả là: r = 240 Bài 6: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003) Tìm thương và số dư trong phép chia: 123456789 cho 23456 Đáp số: q = 5263; r = 7861 Bài 7: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tìm số dư trong phép chia: a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004 H.Dẫn: a) Số dư là: r = 9 b) Ta phân tích: 815 = 88.87 - Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là r1 = 1732 - Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là r2 = 968 Þ Số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia 1732 x 968 cho 2004 Þ Số dư là: r = 1232 4. Một số bài toán sử dụng tính tuần hoàn của các số dư khi nâng lên luỹ thừa: Định lí: Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số dư của phép chia a, a2, a3, a4... cho m lặp lại một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu). Chứng minh. Ta lấy m + 1 luỹ thừa đầu tiên: a, a2, a3, a4..., am, am+1 và xét các số dư của chúng khi chia cho m. Vì khi chia cho m chỉ có thể có các số dư {0, 1, 2, ..., m - 2, m - 1}, mà lại có m + 1 số, nên trong các số trên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho m. Chẳng hạn hai số đó là ak và ak + l, trong đó l > 0. Khi đó: ak º ak + l (mod m) (1) Với mọi n ³ k nhân cả hai vế của phép đồng dư (1) với an - k sẽ được: an º an + l (mod m) Điều này chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí tương ứng với ak các số dư lặp lại tuần hoàn. Số l được gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của a cho m. Sau đây ta xét một số dạng bài tập sử dụng định lí trên: Bài toán: Xét các luỹ thừa liên tiếp của số 2: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,... Tìm xem khi chia các luỹ thừa này cho 5 nhận được các loại số dư nào ? Giải: Ta có: 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 º 3 (mod 5), 24 = 16 º 1 (mod 5) (1) Để tìm số dư khi chia 25 cho 5 ta nhân cả hai vế phép đồng dư (1) với 2 sẽ được: 25 = 24.2 º 1x2 º 2 (mod 5) 26 = 25.2 º 2x2 º 4 (mod 5) 27 = 26.2 º 4x2 º 3 (mod 5) ... Ta viết kết quả vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng dưới ghi số dư tương ứng khi chia các luỹ thừa này cho 5: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 ... (2 4 3 1) (2 4 3 1) (2 4 3 ... Þ hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lập lại một cách tuần hoàn: sau 4 số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo đúng thứ tự trên. Bài 10: Tìm số dư khi chia 22005 cho 5 Giải: * Áp dụng kết quả trên: ta có 2005 º 1 (mod 4) Þ số dư khi chia 22005 cho 5 là 2 Bài 11: Tìm chữ số cuối cùng của số: Giải: - Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện theo quy trình sau: 1 2 1 ...) ta được kết quả sau: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 ... (2 4 8 6) (2 4 8 6) (2 4 8 ... Þ hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số (2, 4, 8, 6) ta có 34 = 81 º 1 (mod 4) Þ số dư khi chia cho 10 là 2 Vậy chữ số cuối cùng của số là 2. Bài 12: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: A = 21999 + 22000 + 22001 Giải: Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, thực hiện theo quy trình như bài 11), ta được kết quả sau: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 2 (4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 8 16 Þ các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số 4 đến số 52). Ta có: 1999 º 19 (mod 20) Þ số dư khi chia 21999 cho 100 là 88 2000 º 0 (mod 20) Þ số dư khi chia 22000 cho 100 là 76 2001 º 1 (mod 20) Þ số dư khi chia 22001 cho 100 là 52 88 + 76 + 52 = 216 º 16 (mod 100) Þ số dư của A = 21999 + 22000 + 22001 khi chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng của số A là 16. Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia cho . Lời giải: Ta có: . Suy ra: . Vậy số dư của phép chia cho là: . Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho . Lời giải: Ta tìm số dư của phép chia cho . Kết quả là . Tiếp tục tìm số dư của phép chia cho . Kết quả là . Vậy số dư của phép chia cho là . Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia cho . Lời giải: Vì là số nguyên tố và . Nên ta có: . Suy ra: . Suy ra: . Vậy số dư của phép chia cho là . Ví dụ 4: Tìm số dư của phép chia cho . Lời giải: Cách 1: Ta có: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Vậy số dư của phép chia cho là . Cách 2: Ta có: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Vậy số dư của phép chia cho là . Bài 13: Chứng minh rằng +10 chia hết cho 11 Giải: - Ta có: 14 º 3 (mod 11) Þ º (mod 11) Do 38 = 6561 º 5 (mod 11), nên = 65612004 º 52004 (mod 11) Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 5 cho 11: 51 52 53 54 55 56 57 58 ... (5 4 9 1) (5 4 9 1) ... Þ 52004 = (54)501 º 1501 (mod 11) º 1 (mod 11) (1) Mặt khác: 10 º 10 (mod 11) (2) Cộng vế với vế phép đồng dư (1) và (2) có: +10 º 11 (mod 11) º 0 (mod 11) Þ +10 chia hết cho 11. Bài 14: Chứng minh rằng số 222555 + 555222 chia hết cho 7. Giải: 1) Trước hết tìm số dư của phép chia 222555 cho 7: - Vì 222 = 7 x 31 + 5, nên 222 º 5 (mod 7) Þ 222555 º 5555 (mod 7) - Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 5 cho 7: 51 52 53 54 55 56 57 58 ... (5 4 6 2 3 1) (5 4 ... Þ 5555 = 56.92 + 3 = (56)92.53 º 53 º 6 (mod 7) (1) Vậy số dư khi chia 222555 cho 7 là 6. 2) Tương tự, tìm số dư của phép chia 555222 cho 7: - Vì 555 = 7 x 79 + 2, nên 555 º 2 (mod 7) Þ 555222 º 2222 (mod 7) - Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 2 cho 7: 21 22 23 24 25 26 27 28 ... (2 4 1 2 4) (2 4 1 ... Þ 2222 = 23.74 = (23)74 º 174 º 1 (mod 7) (2) Vậy số dư khi chia 555222 cho 7 là 1. Cộng vế với vế các phép đồng dư (1) và (2), ta được: 222555 + 555222 º 6 + 1 º 0 (mod 7) Vậy số 222555 + 555222 chia hết cho 7. 7.1 Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa: 1) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (có đuôi bất biến). 2) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến). 3) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến). 4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến). ... Bài 31: Tìm số dư khi chia số 133762005! cho 2000 (TH & TT T3/ 317) Giải: - Giả sử A, B là hai số tự nhiên có tận cùng là 376, thì: A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762 = 2000t + 1376; với a, b t Î N Þ A.B chia 2000 có số dư là 1376. Với k > 1 khi chia 13376k cho 2000 (thực hiện (k - 1) lần phép nhân 2 số đều có tận cùng là 376 rồi chia cho 2000) thì được dư là 1376. Đề bài ứng với k = 2005! Bài 32: Tìm 2 chữ số tận cùng của số: A = 21999 + 22000 + 22001 H.Dẫn: - Ta có: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 22) = 7 x 29 x 210 x 21980 = 7 x 29 x 210 x (220)99 - Ta có (dùng máy): 29 = 512 210 = 1024 ; 220 = 1048576 Nhận xét: số có 2 chữ số tận cùng là 76, luỹ thừa bậc bất kỳ cũng có 2 chữ số tận cùng là 76. Vậy (220)99 cũng có 2 số tận cùng là 76. Þ 21999 + 22000 + 22001 = 7 x 512 x 1024 x (...76) = .....16. Vậy 2 chữ số cuối cùng của A là 16 (Xem cách giải khác ở bài 12) Bài 33: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994. Giải: - Ta có: 54 = 625 - Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625 - Do đó: 51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25(...625) = ...5625. Vậy bốn chữ số tận cùng của số 51994 là 5625. 7.2 Khai triển nhị thức Newton và bài toán chia hết: -Ta có khai triển: - Khi chứng minh về tính chia hết của các luỹ thừa, cần nhớ một số kết quả sau: 1) an - bn chia hết cho a - b (a ¹ b) 2) a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b (a ¹ -b) 3) (a + b)n = BS a + bn (BS a: bội số của a) Đặc biệt: (a + 1)n = BS a + 1 (a - 1)2n = BS a + 1 (a - 1)2n + 1 = BS a - 1 Bài 34: Tìm số dư khi chia 2100 cho: a) 9 b) 5 c) 125 Giải: a) Luỹ thừa của 2 sát vớ