Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 - Trường THBC Trần Quốc Tuấn

Đại số: Căn bậc hai Bài 1: Chứng minh rằng các số sau đây là số vô tỉ: ệ3 - ệ2 ; b) 2ệ2+3; c) ệ5; d) ệ2 + ệ4. Bài 2: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: Bài 3: Tìm các giá trị của x sao cho: a) ệx2 -3 Ê x2 -3 ; Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: Bài 5: Cho biểu thức : Tìm điều kiện xác định của A Rút gọn A c) Tìm x để A <2. Bài 6 : a) Rút gọn biểu thức sau : Với a> 0. Tính tổng : Bài 7: a) Nêu cách tính nhẩm 9972 . Tính tổng các chữ số của A biết : ệA = 999..96 ( có 100 chữ số 9) Bài 8: Cho biểu thức: Rút gọn A Tìm x nguyên để A nguyên . Bài 1: Ôn tập biển đổi căn bậc hai Dạng 1: Chứng minh một số là số vô tỉ Hình học : Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông Bài 1: Cho Tứ giác ABCD có góc D +C = 900 Chứng minh rằng: AB2 + CB2 = AC2 + BD2. Bài 2: Cho hình thoi ABCD có góc A= 1200 . Tia A x tạo với tia AB 1 góc BA x = 150 và cắt cạnh BC tại M , cắt cạnh CD tại N. Chứng minh : Bài 3 : Cho tam giác vuông ABC vuông tại A; AH là đường cao, cho biết BH = a; HC = b. Chứng minh rằng: Bài 4: Cho tam giác cân ABC có A = 200 và AB = AC = b, BC = a. Chứng minh: a3 +b3 = 3ab2 . Bài 5: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = 2a; AH là đường cao của tam giác. D và E là hình chiếu H trên AC và AB. Tìm giá trị lớn nhất của: Độ dài DE. Diện tích tam giác ADHE. Bài 6: Cho tam giác cân ABC cân tại A; đường cao AD; H là trực tâm .Tính độ dài AD biết AH = 14 cm; BH = HC = 30 cm. Bài 7: Cho tam giác ABC có BC = 40cm, đường phân giác AD dài 45cm; đường cao AH dài 36 cm. Tính độ dài BD và DC. Ôn tập hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Bài 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A. Đờng cao AH ; biết BH = 9cm; CH = 16cm. a. Tính AB; AC b. Tính AH. Bài 2: Cho tam giác ABC biết BC = 7,5 cm; AC = 4,5 cm; AB = 6cm. a. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính đờng cao AH của tamgiác. b. Tính HB và HC. Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A = 900 ; AB : AC = 5: 7 và AH = 15 cm . Tính BH và HC. Bài 4: Cho hình thang cân ABCD có (AB//DC); AB = 26cm; AD = 10cm và đờng chéo AC vuông góc cạnh bên BC. Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 5: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đờng phân giác AD và đờng cao AH. Cho AB = 12 cm; AC = 16 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng HD; HB; HC. Bài 6: Cho hình thang vuông ABCD có góc A = D = 900; AB = 15cm; AD = 20 cm; các đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O. Tính độ dài các đoạn thẳng OB; OD. Tính độ dài đờng chéo AC. Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 7: Cho hình vuông ABCD . Lấy E thuộc BC. Tia AE cắt đờng thẳng CD tại G. Trên 1/ 2 mặt phẳng bờ là AE chứa tia AD, kẻ AF vuông góc AE và AF = AE. Chứng minh 3 điểm F; D; C thẳng hàng. Biết AD = 13 cm; AF: AG = 10:13 tính FG. Bài 8: Cho tam giác cân ABC cân tại A. Tia phân giác Ax của góc BAC cắt BC tại H. Trên AB lấy M , trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Nối M với N cắt BC tại I . Chứng minh I là trung điểm của MN. Trung trực MN cắt Ax tại O. Chứng minh OC vuông góc AC. Chứng minh: Cho AB = 6cm; OB = 4,5 cm . Tính diện tích ABC. Bài tập 1: Hãy tính giá trị của biểu thức sau: : Bài 2: Cho biểu thức: a. Rút gọn P b. Với giá trị nào của a thì P – a đạt giá trị lớn nhất. Bài 3: Cho biểu thức: Rút gọn B. Tìm x nguyên để B < 0. Với giá tị nào của x thì 1/ B đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4: a. Chứng tỏ rằng: là nghiệm của phương trình: x2-7x+6= 0. b. Số m dưới đây có là nghiệm của phương trình : x3 +12x – 8 = 0: Bài 5: Chứng minh rằng: là số nguyên. Bài 6: Cho: Bài 7: Cho : Tìm x để A= 4; Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 8 : Tính giá trị của biểu thức : Bài 1: Tìm đa thức f(x) sao cho f(x) Chia cho (x+3) dư 1; chia cho (x-4 ) dư 8 và chia cho tích (x+3)(x -4) được thương 3x và còn dư . Bài 2: Cho biểu thức: Rút gọn A; b. Biểu thức A có thuộc số hũư tỉ không ? tại sao?. Bài 3: Giải các phương trình sau: a. Bài 4: Xác định số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) F(x) = 1+x+x9+ x25+x49+x81 và g(x) = x3 –x. Bài 5: Số sau đây là vô tỉ hay hữu tỉ : A= ( 4+ệ15).( ệ10 -ệ6) . ệ4-ệ15. Bài 6: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 và các số: A = 444 ( 2n chữ số 4) B = 22.2 ( n+1 chữ số 2) C = 88.8( n chữ số 8) Chứng minh : A+ B + C + 7 là số chính phương. Gợi ý: 111 (n thừa số 1) bằng thương của 99.9 (n thừa số 9) chia cho 9 Viết A+B+C+7 thành bình phương của một tổng. Bài 7: Xác định x; y sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: A= x4 - 8xy –x3 y +x2y2 –xy3 +y4 +1997. Bài 8 : Viết liên tiếp 9999 số 2003 ta được A= 20032003.2003 Tìm số dư của phép chia A cho 9999. Gợi ý : A= 2003(100009998 +100009997 +10000+1) và 10000n chia cho 9999 dư 1. Bài 9 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : Gý: Bài 1: Tìm phần nguyên của các số: ( có n dấu căn) Gợi ý: Xem sách nâng cao và phát triến toán 9 Bài 2: Chứng minh rằng: n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6 ( n thuộc tập số tự nhiên). n3 + 6n2 +8n chia hết cho 48 ( n là chẵn) n4 -10n2 +9 chia hết cho 384 ( trong đó n là số lẻ) Gý: a) phân tích n thành tích của 3 số tự nhiên liên tiếp b)Phân tích đa thức sau đó thay n = 2k. Bài 3: a. Viết 1998 thành tổng của 3 sô tự nhiên tuỳ ý. Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số tự nhiên đó chia hết cho 6. Viết 19951995 thành tổng của nhiều số tự nhiên . Tổng lập phương của các số tự nhiên đó chia cho 6 dư bao nhiêu. Gý: a3 –a chia hết cho 6 . đặt : 19951995 = a+a1+ a2+ .+an xét tổng: S = (a13 +a23 +..+an3 ) – (a+a1+ a2+ .+an) Bài 4: Chứng minh rằng với các số tự nhiên a; b; c thoả mãn điều kiện a2 +b2 =c2 thì abc chia hết cho 60. Gý : Chứng minh chia hết cho 4. 3.5 và xét các số dư. Bài 5 : Các số sau đây có là số chính phương không : A= 2224 ( có 50 chữ số 2) B = 19947 +7 C= 144.44 ( có 99 chữ số 4) Bài 6: Chứng minh rằng: A= 12 + 22 + 32 ++ 992 +1002 không là số chính phương. B = 12+ 22 + 32 ++ 562 không là số chính phương. C= 1+3+5+7+..+n là số chính phương lẻ. Bài 7: a. Chứng minh rằng tích cuả 3 số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương b.Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không là số chính phưong. Bài 8: a)Chứng minh rằng: 2n+1 và 3n+1 (n thuộc tập tự nhiên) đều là số chính phương thì n chia hết cho 40. b) Chứng minh rằng n+1 và 2n+1 là số chính phương thì n chia hết cho 40 (n thuộc tập tự nhiên) Gý: a. 2n+1 và 3n+1 là số chính phương lẻ nên tận cùng là 1,5,9 cm nó chia hết cho 5 và 8. Bài 9: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố: a. 12n2 - 5n -25; b> 8n2 +10n +3. Gý: phân tích các biểu thức ra thừa số rồi lập luận tìm n. Bài 10: Cho chín số tự nhiên 1-9 xếp theo thứ tự tuỳ ý. Lấy số thứ nhất trừ đi 1; số thứ 2 trừ đi 2; số thứ 3 trừ đi 3.lấy số thứ 9 trừ đi 9. Chứng minh rằng tích của 9 số mới đó là số chẵn. Gý: để cm tích của 9 số mới là chẵn ta cần cm tồn tại 1 số mới là số chẵn: Xét tổng chín số mới (a1-1) + (a2 -2) + .(a9 -9) cần chứng minh tổng trên là số chẵn. Bài 11: Tìm n sao cho; n3 – n2 +2n+7 chia hết cho n2 +1 ( n ẻZ) 3n – 1 chia hét cho 8 ( n ẻ N) ệ ẻ