Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 - Dạng 1: Rút gọn tính giá trị của biểu thức

DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC. Bài 1: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tìm Min P. Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x Tính giá trị biểu thức : P = Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0 Bài 4: Cho biểu thức P = a) Tìm các giá trị của x sao cho P = b) Chứng minh P ≤ Bài 5: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên. Bài 6: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên. Bài 7: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0. Bài 8: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tính x để P = -1 c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( - 3)P > x + 1. Bài 9: Cho biểu thức P = a) Tìm x, y để P có nghĩa. b) Rút gọn P. c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 Bài 10: Cho biểu thức P = a) Tìm x để P xác định. b) Rút gọn P. c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. Bài 11: Rút gọn P. P = Với | a | >| b | > 0 Bài 12: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 0. c) Tìm GTLN của P. Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức P = Không phụ thuộc vào biến số x. Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức P = Không phụ thuộc vào biến số x. Bài 15: Cho biểu thức P = Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 . Bài 16: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tìm GTNN của P c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên. Bài 17: Cho biểu thức P = a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó. Bài 18: Rút gọn biểu thức P = Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = b) B = c) C = Bài 20: Tính giá trị biểu thức P = Với ≤ x ≤ 5. Bài 21: Chứng minh rằng: P = là một số nguyên. Bài 22: Chứng minh đẳng thức: Bài 23: Cho x = Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x Bài 24: Cho E = Tính giá trị của E biết: x = y = Bài 25: Tính P = Bài 26: Rút gọn biểu thức sau: P = + + ... + Bài 27: Tính giá trị của biểu thức: P = x3 + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng x = y = Bài 28: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A. b) Tính A với a = (4 + )(-) Bài 29: Cho biểu thức A = a) x = ? thì A có nghĩa. b) Rút gọn A. Bài 30: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) So sánh P với . Bài 31: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1. Bài 32: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) a = ? thì P < 1 c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên. Bài 33: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bài 34: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bài 35: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Cho xy = 16. Tìm Min P. DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT. Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức: P = Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy Tính giá trị biểu thức E = Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 Tính giá trị biểu thức: M = Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức: P = Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3 b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 . Tính giá trị của biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007 Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007 Bài 8: Cho và . Tính Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức P = Bài 10: Cho ; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng: a) bx2 = ay2; b) Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì: = 1 Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức: P = Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều. Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì: Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p Chứng minh rằng: Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh : Bài 18: Cho và Tính giá trị biểu thức A = Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và Tính giá trị của P = Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0. Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd Chứng minh: c = d. Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2. Tính giá trị biểu thức: A = Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy. Tính giá trị của phân thức A = Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007. Tính giá trị của biểu thức: P = Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008. Tính giá trị biểu thức: P = Bài 27: Cho Tính giá trị của biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 . Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức: P = Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0. Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z. Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003) Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = Tính giá trị biểu thức: Q = Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2. So sánh a và b + c. So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0 2) Tính A = (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1) Giải phương trình khi m = 2. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m. Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện + 10. Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm. Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm. Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0 Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm nếu Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: -= Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN B = x12 + x22 - đạt GTNN. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức: S = Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức: A = Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a. Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = 6. 3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < 1 < x2. Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . Tìm GTNN của M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0. Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m. Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó. Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m. Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN. Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m. 2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 10. 3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN. Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. CMR: a2 + b2 là một hợp số. DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. Giải phương trình: Bài 1: x3 + 2x2 + 2x + 2. Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0 b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0 Bài 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 Bài 10: Bài 11: Bài 12: x2 + Bài 13: 20 Bài 14: a) b) c) Bài 15: a) x2 + b) x2 + Bài 16: a) b) c) x. Bài 17: x2 + = 8( Đề thi HSG V1 2004) Bài 18: Bài 19: Bài 20: Bài 21: 3x2 + 21x + 18 + 2 Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003) Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 Bài 25: a) x3 - 6x + 4 = 0 b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 Bài 27: Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 ( Đề thi HSG 1998) Bài 29: Bài 30: x4 - 4x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000) Bài 31: ( Đề thi HSG V2 2003) Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 Bài 33: (x + 3 + 2)(x + 9 +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) Bài 34: a) x2 + 4x + 5 = 2 b) 3 = 2x2 - 6x + 4 c) Bài 35: Bài 36: Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình khi m = 5. b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm. Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0 Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0. Bài 40: x2 + 9x + 20 = 2 Bài 41: x2 + 3x + 1 = (x + 3) Bài 42: x2 + =2006 DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1) Với a, b > 0 thì . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có: (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: Bài 4) CM bất đẳng thức: Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức: Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì: Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b 2. Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = 2 (2) CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn khi biễu diễn trên trục số. Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5. CMR: 2a2 + 3b2 5. Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1. CM: a2 + 4b2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003). Bài 11) Chứng minh: (Đề thi HSG 2001). Bài 12) Chứng minh: a) (ax + by)2 b) Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm: Bài 14) Cho . CMR: S không là số tự nhiên. Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR: . Dấu bằng xảy ra khi nào? b) Tam giác ABC có chu vi . Cm: Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? Bài 16) a) CM x > 1 ta có: b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì . Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2. CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005). Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b 10. Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab. CMR: . Dấu bằng xảy ra khi nào? Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT: Bài 24) CMR nếu: a) thì b) a + b thì Bài 25) Cho biểu thức CMR: với . Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: < 2. Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh rằng: (Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0: ( Đề thi HSG V2 2006 - 2007) DẠNG 6: CỰC TRỊ Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y. Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P = Bài 3) Cho P = . Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x. Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y 0, x + y = Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = Bài 8) Tìm GTLN của A = x + Bài 9) Tìm GTLN của P = với x, y, z > 0. Bài 10) Tìm GTLN của P = Bài 11) Cho M = Tìm điều kiện của a để M được xác định. Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng. Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: . Tìm GTNN của P = x.y.z. Bài 13) Tìm GTNN của P = Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x + 2y. Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2. Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y 1. Tìm GTNN của biểu thức P = + + 4xy Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = với x bất kỳ. Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y 1. Tìm GTNN của biểu thức A = Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) + Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4. Tìm GTNN của biểu thức P = Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức: E = Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của: P = a3 + b3 Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1. Tìm GTNN của P = Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P = Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của P = 8(x4 + y4) + Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1 Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y biết + = 1 Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =