Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS - Thử tìm nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán thcs Thử tìm nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán Phạm Ngọc Thanh - Trường THCS Tây Đô Huyện Vĩnh Lộc, Tỉnh Thanh Hoá Trong chương trình Hình học THCS, nhiều bài toán trong SGK và trong các đề thi học sinh giỏi các cấp là những bài toán hay cả về nội dung, phương pháp và thuật toán giải. Việc tìm ra các cách giải khác nhau cho mỗi bài toán ấy là điều có ý nghĩa quan trọng; vì qua đó chẳng những rèn luyện cho học sinh phương pháp học tập, kỹ năng cơ bản mà còn góp phần bồi dưỡng năng lực tư duy, tính sáng tạo cho học sinh, từ đó tạo cho học sinh niềm tin và sự say mê tìm tòi nghiên cứu. Đối với các bài toán như vậy thì các cách dựng khác nhau có thể cho các cách giải khác nhau. Xin giới thiệu với bạn đọc một bài toán trong chùm các bài toán ấy. * Ví dụ : Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, AC = 3.AB. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Tính tổng ADB + ACB. Hướng dẫn: 1/ Cách 1: - Yêu cầu học sinh vẽ hình với chú ý: Tam giác ABC vuông tại A và AC = 3.AB - Bài toán đã cho thuộc loại toán nào ? - Trong bài toán có yếu tố nào thể hiện cho điều ấy không ? - Vậy dự kiến tổng cần tính có giá trị là bao nhiêu ? - Nói đến tổng số đo hai góc thì nghĩ gì ? - Với hai góc bằng nhau thì nghĩ gì ? - Tam giác nào chứa góc ADB ? - Làm thế nào để có tam giác chứa góc ACx và bằng tam giác ADB ? Từ đó học sinh suy nghĩ vẽ hình phụ và đề xuất chứng minh tam giác BNC vuông cân. Chứng minh: Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ là đường thẳng AC, kẻ tia Cx sao cho ACx =BDA, ta có BCx =BDA +BCA. ( 1 ) Gọi K là trung điểm của AD. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt Cx tại N. Lấy điểm I sao cho BI KN, ta có: NKC = BAD suy ra NK = AB = AK = KD ; NC = BD. Ta cũng có: AB = IK ; BI = AK = AB suy ra BIN = NKC suy ra BN = NC, BNI = NCK, suy ra tam giác BNC vuông cân tại N suy ra BCN = 450 ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra ADB + ACB = 450 ( ĐPCM ) 2/ Cách 2: + Hướng dẫn học sinh suy nghĩ đến vai trò gần như nhau của hai điểm K và D để có cách giải thứ hai suy ra từ cách giải thứ nhất. Hướng chứng minh: Vẽ DK vuông góc với AC và DK = CD; Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh cho tam giác AIK vuông cân. 3/ Cách 3: + Hướng dẫn học sinh suy nghĩ đến việc tạo ra các góc bằng nhau nhờ các đường thẳng song song để có cách giải thứ ba. Hướng chứng minh: Kẻ Cx vuông góc với AC. Trên tia Cx lấy điểm I sao cho CI = 2.CD = 2.AB. Kẻ BK vuông góc với CI . Chứng minh cho tam giác BDI vuông cân. 4/ Cách 4: + Từ cách giải thứ ba, bằng cách đổi vai trò của B và K ta có cách giải thứ tư. Hướng chứng minh: Vẽ hình chữ nhật ABKC, lấy điểm N sao cho B là trung điểm của AN. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh cho tam giác MNK vuông cân. 5/ Cách 5 : Hướng chứng minh: Trên tia AB lấy điểm N sao cho AN = AC. Vẽ hình chữ nhật ADKN. Gọi I là trung điểm của NK. Chứng minh cho tam giác BID vuông cân. 6/ Cách 6: Hướng chứng minh: Trên tia AB lấy điểm N sao cho B là trung điểm của AN. Gọi M là trung điểm của AD. Vẽ hình chữ nhật AMKN. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh cho các tam giác KMC, KIA vuông cân. 7/ Cách 7: Hướng chứng minh: Vẽ DK vuông góc với AC và DK = AC. Gọi M và I thứ tự là trung điểm của AD và KM. Chứng minh cho các tam giác BNK, BID vuông cân. 8/ Cách 8: + Sử dụng yếu tố tam giác vuông, cho phép học sinh suy nghĩ đến việc sử dụng tỷ số lượng giác của các góc nhọn. Bằng việc tính tang của góc nhọn ta có cách giải thứ 8. Hướng chứng minh: Ta có Tg ADB = ; Tg ACB = và Tg ( ADB + ACB ) = 1 Suy ra Tg ( ADB + ACB ) = Tg 450 suy ra ADB + ACB = 450 . * Chú ý : Bài toán này có thể sử dụng để giảng dạy, bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi ở cả các lớp 7; 8; 9. Đối với các lớp 8, 9 có thể sử dụng kiến thức về tam giác đồng dạng và tứ giác nội tiếp để chứng minh, nhưng việc vẽ thêm các hình phụ nêu trên là bắt buộc. * Sau đây xin giới thiệu với bạn đọc một số bài toán trong chùm các bài toán có thể giải bằng nhiều cách khác nhau: - Bài toán 1 ( lớp 7; 8 ): Cho tam giác cân ABC với đáy BC. Trên hai tia AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM + AN = 2.AB. Chứng minh rằng: a ) Trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đáy BC . b ) MN > BC. - Bài toán 2 ( lớp 7; 8 ): Cho tam giác vuông cân ABC ( C = 900 ). Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm A1 , B1 , C1 sao cho AC1 = AB, BA1 = BC, CB1 = CA. Chứng minh rằng CC1 A1B1 và CC1 = A1B1 . - Bài toán 3 ( Lớp 7; 8 ): Cho tam giác vuông cân ABC ( AB = AC ). Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với CD kẻ từ A và E cắt BC tại I và K. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng BK. - Bài toán 4 ( Lớp 7; 8 ): Cho góc xOy. Trên cạnh Ox lấy hai điểm A và B, trên cạnh Oy lấy hai điểm C và D sao cho AB = CD. Gọi I và K thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Chứng minh rằng đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định khi A, B, C, D di chuyển trên Ox và Oy. - Bài toán 5 ( Lớp 9 ): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. Chứng minh rằng ta luôn có MA = MB + MC. ---------------- Phạm Ngọc Thanh