Buổi 1+2: Chủ đề 1: Ôn tập về tam giác - Bất đẳng thức tam giác

Buæi 1+2: Chñ ®Ò 1: ¤n tËp vÒ tam gi¸c- BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c A. Mục tiêu: - Học sinh nắm được ba trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c); (c.g.c); (g.c.g). - Rèn kĩ năng vẽ hình của ba trường hợp bằng nhau của tam giác. - Rèn kĩ năng sử dụng thước kẻ, compa, thước đo độ để vẽ các trường hợp trên. - Biết sử dụng các điều kiện bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau. - Nắm được định lý Pitago về quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác vuông, định lý Pitago đảo. - Biết vận dụng định lý Pitago để tính độ dài của một cạnh tam giác vuông khi biết độ dài của hai cạnh kia. - Biết vận dụng định lý đảo của định lý Pitago để nhận biết một tam giác vuông. - Nắm được các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông, vận dụng định lý Pitago để chứng minh trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông của hai tam giác vuông. - Vận dụng để chứng minh các độan thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau. - Rèn luyện khả năng phân tích, tìm cách giải và trình bày bài toán chứng minh hình học. B. Chuẩn bị: C. Bài tập Bài 1: Cho tam giác EKH có E = 600, H = 500. Tia phân giác của góc K cắt EH tại D. Tính EDK; HDK. K Giải: GT: ; E = 600; H = 500 Tia phân giác của góc K Cắt EH tại D KL: EDK; HDK E D H Chứng minh: Xét tam giác EKH K = 1800 - (E + H) = 1800 - (600 + 500) = 700 Do KD là tia phân giác của góc K nên K1 = K = Góc KDE là góc ngoài ở đỉnh D của tam giác KDH Nên KDE = K2 + H = 350 + 500 = 850 Suy ra: KDH = 1800 - KED = 1800 Hay EDK = 850; HDK = 950 Bài 2: Cho tam giác ABC có B = C = 500, gọi Am là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A. Chứng minh Am // BC. GT: Có tam giác ABC; B = C = 500 Am là tia phân giác của góc ngoài đỉnh A A KL: Am // BC m Chứng minh: CAD là góc ngoài của tam giác ABC B C Nên CAD = B + C = 500 + 500 = 1000 Am là tia phân giác của góc CAD nên A1 = A2 = CAD = 100 : 2 = 500 hai đường thẳng Am và BC tạo với AC hai góc so le trong bằng nhau A1 = C = 500 nên Am // BC Bài 3: 3.1. Cho ; AB = DE; C = 460. Tìm F. 3.2. Cho ; A = D; BC = 15cm. Tìm cạnh EF 3.3. Cho có AD = DC; ABC = 800; BCD = 900 a. Tìm góc ABD b. Chứng minh rằng: BC DC GT: ; AB = DE; C = 460. A = D; BC = 15cm ; AD = DC; ABC = 800; BCD = 900 KL: 3.1: F = ? 3.2:EF = ? 3.3: a. ABD = ? b. BC DC Chứng minh: 3.1: thì các cạnh bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau nên C = F = 460 3.2. Tương tự BC = EF = 15cm 3.3: a. nên ABD = DBC mà ABC = ABD + DBC nên ABC = 2ABD = 800 ABD = 400 b. nên BAD = BCD = 900 vậy BC DC Bài 4: a. Trên hình bên có AB = CD Chứng minh: AOB = COD. A D B C b, Có: AB = CD và BC = AD Chứng minh: AB // CD và BC // AD Giải: a. Xét hai tam giác OAB và OCD có AO = OC; OB = OD (cùng là bán kính đường tròn tâm (O) và AB = CD (gt) Vậy (c.c.c) Suy ra: AOB = COD b. Nối AC với nhau ta có: và hai tam giác này có: AB = CD, BC = AD (gt); AC chung nên (c.c.c) BAC = ACD ở vị trí só le trong Vậy BC // AD Bài 5: Cho tam giác ABC vẽ cung tròn tâm A bán kính bằng BC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính bằng BA chúng cắt nhau ở D (D và B nằm khác phía đối với AC) Chứng minh: AD // BC Giải: (c.c.c) A D ACB = CAD (cặp góc tương ứng) (Hai đường thẳng AD, BC tạo với AC hai góc so le trong bằng nhau). B C ACB = CAD nên AD // BC. Bài 6: Dựa vào hình vẽ hãy nêu đề toán chứng minh theo trường hợp (c.g.c) B y Giải: Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. O C m Gọi C là một điểm thuộc tia phân giác Om của xOy. Chứng minh: A x Bài 7: Qua trung điểm M của đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB. Trên đường thẳng đó lấy điểm K. Chứng minh MK là tia phân giác của góc AKB. Giải: K AKM = BKM (cặp góc tương ứng) Do đó: KM là tia phân giác của góc AKB A M B Bài 8: Cho đường thẳng CD cắt đường thẳng AB và CA = CB, DA = DB. Chứng minh rằng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Giải: Xét hai tam giác ACD và BCD chúng có: CA = CB ; DA = DB (gt) cạnh DC chung nên (c.c.c) từ đó suy ra: ACD = BCD Gọi O là giao điểm của AB và CD. Xét hai tam giác OAC và OBD chúng có: ACD = BCD (c/m trên); CA = CB (gt) cạnh OC chung nên OA = OB và AOC = BOC Mà AOB + BOC = 1800 (c.g.c) AOC = BOC = 900 DC AB Do đó: CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Bài 9: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB. Trên tia BN lấy điểm B/ sao cho N là trung điểm của BB/. Trên tia CM lấy điểm C/ sao cho M là trung điểm của CC/. Chứng minh: a. B/C/ // BC b. A là trung điểm của B/C/ C/ Giải: a. Xét hai tam giác AB/N và CBN M N ta có: AN = NC; NB = NB/ (gt); ANB/ = BNC (đối đỉnh) Vậy suy ra AB/ = BC B C và B = B/ (so le trong) nên AB/ // BC Chứng minh tương tự ta có: AC/ = BC và AC/ // BC Từ nmột điểm A chỉ kẻ được một đường thẳng duy nhất song song với BC. Vậy AB/ và AC/ trùng nhau nên B/C/ // BC. b. Theo chứng minh trên AB/ = BC, AC/ = BC Suy ra AB/ = AC/ Hai điểm C/ và B/ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng AC Vậy A nằm giữa B/ và C/ nên A là trung điểm của B/C/ Bài 10: Cho tam giác ADE có D = E. Tia phân giác của góc D cắt AE ở điểm M, tia phân giác của góc E cắt AD ở điểm M. So sánh các độ dài DN và EM Hướng dẫn: Chứng minh: (g.c.g) Suy ra: DN = EM (cặp cạnh tương ứng) Bài 11: Cho hình vẽ bên A B trong đó AB // HK; AH // BK Chứng minh: AB = HK; AH = BK. Giải: Kẻ đoạn thẳng AK, AB // HK H K A1 = K1 (so le trong) AH // BK A2 = K2 (so le trong) Do đó: (g.c.g) Suy ra: AB = HK; BK = HK Bài 12: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC tại E, đường thẳng qua E song song với BC cắt BC ở F, Chứng minh rằng AD = EF AE = EC Giải: a.Nối D với F do DE // BF A EF // BD nên (g.c.g) Suy ra EF = DB Ta lại có: AD = DB suy ra AD = EF D E b.Ta có: AB // EF A = E (đồng vị) AD // EF; DE = FC nên D1 = F1 (cùng bằng B) Suy ra (g.c.g) B F C c. (theo câu b) suy ra AE = EC (cặp cạnh tương ứng) Bài 13: Cho tam giác ABC D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC vẽ F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh: A a. DB = CF b. D F E c. DE // BC và DE = BC Giải: B C a. AD = CF Do đó: DB = CF (= AD) b. (câu a) suy ra ADE = F AD // CF (hai góc bằng nhau ở vị trí so le) AB // CF BDC = FCD (so le trong) Do đó: (c.g.c) c. (câu b) Suy ra C1 = D1 DE // BC (so le trong) BC = DF Do đó: DE = DF nên DE = BC Bài 14: Cho góc tù xOy kẻ Oz vuông góc với Ox (Oz nằn giữa õ và Oy. Kẻ Ot nằm giữa Ox và Oy). Trên các tia Ox, Oy, Oz, Ot theo thứ tự lấy các điểm A, B, C, D sao cho OA = OC và OB = OD. Chứng minh hai đường thẳng AD và BC vuông góc với nhau. Giải: Xét tam giác OAD và OCB có t z OA = OC, O1 = O3 (cùng phụ với O2) OD = OB (gt) x C Vậy (c.g.c) A D F A = C mà E1 = E2 (đối đỉnh) Vậy CFE = AOE = 900 AD Bc O B y Bài 15: Cho tam giác ABC trung điểm của BC là M, kẻ AD // BM và AD = BM (M và D khác phía đối với AB) Trung điểm của AB là I. a. Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng b. Chứng minh: AM // DB c. Trên tia đối của tia AD lấy điểm AE = AD Chứng minh EC // DB Giải: D A E a. AD // Bm (gt) DAB = ABM có (AD = BM; DAM = ABM (IA = IB) Suy ra DIA = BIM mà DIA + DIB = 1800 nên BIM + DIB = 1800 B M C Suy ra DIM = 1800 Vậy ba điểm D, I, M thẳng hàng b. (IA = IB, DIB = MIB) ID = IM BDM = DMA AM // BD. c. AE // MC EAC = ACM; AE = MC (AC chung) Vậy (c.g.c) Suy ra MAC = ACE AM // CE mà AM // BD Vậy CE // BD Bài 16: ở hình bên có A1 = C1; A2 = C2. So sánh B và D chỉ ra những cặp đoạn thẳng bằng nhau. Giải: B C Xét tam giác ABC và tam giác CDA chúng có: A2 = C2; C1 = A1 cạnh Ac chung Vậy (g.c.g) A D Suy ra B = D; AB = CD Và BC = DA Bài 17: Cho tam giác ABC các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thức tự là D và E. Chứng minh rằng DE = BD. Giải: A DI // DC I1 = B1 (so le) BI là đường phân giác của góc B B1 = B2 D I E Suy ra I1 = B2 Tam giác DBI có: I1 = B2 Tam giác DBI cân BD = BI (1) B C Chứng minh tương tự CE = EI (2) Từ (1) và (2): BD + CE = DI + EI = DE Bài 18: Cho tam giác đều ABC lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều. Giải: A Ta có AB = BC = CA, AD = BE = CF Nên AB - AD = BC - BE = CA - CF D F Hay BD = CE = AF Tam giác ABC đều A = B = C = 600 B E C (c.g.c) thì DF = DE (cặp cạnh tương ứng) (c.g.c) thì DE = EF (cặp cạnh tương ứng) Do đó: DF = DE = EF Vậy tam giác DEF là tam giác đều. Bµi TËp vÒ nhµ Bài 1: Trên hình vẽ bên cho biết A D AD DC; DC BC; AB = 13cm AC = 15cm; DC = 12cm 13 15 12 Tính độ dài đoạn thẳng BC. Giải: Vì AH BC (H BC) B H C AH BC; DC BC (gt) AH // DC mà HAC và DCA so le trong. Do đó: HAC = DCA Chứng minh tương tự cũng có: ACH = DAC Xét tam giác AHC và tam giác CDA có HAC = DCA; AC cạnh chung; ACH = DAC Do đó: (g.c.g) AH = DC Mà DC = 12cm (gt) Do đó: AH = 12cm (1) Tam giác vuông HAB vuông ở H theo định lý Pitago ta có: AH2 +BH2 = AB2 BH2 = AB2 - AH2 = 132 - 122 = 55 = 25 BH = 5 (cm) (2) Tam giác vuông HAC vuông ở H theo định lý Pitago ta có: AH2 + HC2 = AC2 HC2 = AC2 - AH2 = 152 - 122 = 91 = 92 HC = 9 (cm) Do đó: BC = BH + HC = 5 + 9 = 14 (cm) Bài 2: Cho tam giác vuông cân tại đỉnh A. MA = 2 cm; MB = 3 cm; góc AMC = 1350. Tính độ dài đoạn thẳng MC. A Giải: Trên nửa mặt phẳng bời Am không chứa điểm D. Dựng tam giác ADM vuông cân taih đỉnh A. M Ta có: AD = MA = 2 cm AMD = 450; DMC = AMC - AMD = 900 B C Xét tam giác ADC và AMB có: AD = AM D DAC = MAB (hai góc cùng phụ nhau với A góc CAM); AC = AB (gt) Do đó: (c.g.c) DC = MB Tam giác vuông AMD vuông ở A D nên MD2 = MA2 + MC2 (pitago) Do đó: MD2 = 22 + 22 = 8 B C Tam giác MDC vuông ở M nên DC2 = MD2 + MC2 (Pitago) Do đó: 32 = 8 + MC2 MC2 = 9 - 8 = 1 MC = 1 Bài 3: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với a. 9; 12 và 15 b. 3; 2,4 và 1,8 c. 4; 6 và 7 d. 4 ; 4 và 4 Giải: a. AB2 + AC2 = 81k2 + 144k2 = 225k2 = BC2 Vậy tam giác ABC vuông ở A. b. AB2 + AC2 = 16k2 + 36k2 = 52k2 49k2 = BC2 Vậy tam giác ABC không là tam giác vuông. c. Tương tự tam giác ABC vuông ở C (C = 900) d. Làm tương tự tam giác ABC vuông cân (B = 900) Bài 4: Cho tam giác vuông ABC (A = 900), kẻ AH BC Chứng minh: AB2 + CH2 = AC2 + BH2 Giải: A áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông Tam giác ABH có H = 900 AB2 = AH2 + HB2 AB2 - HB2 = AH2 có H = 900 AC2 = AH2 + HC2 AC2 - HC2 = AH2 AB2 - HB2 = AC2 - HC2 B H C AB2 + CH2 = AC2 + BH2 Bài 5: Cho tam giác ABC có A là góc tù. Trong các cạnh của tam giác ABC thì cạnh nào là cạnh lớn nhất? A Giải: * Kẻ AD AB tia AD nằm giữa 2 tia AB và AC BD < BC (1) Xét tam giác ABD vuông ở A BD2 = AB2 + AD2 AB2 < BD2 AB < BD (2) B E D C Từ (1) và (2) suy ra: AB < BC * Kẻ AE AC tia AE nằm giữa hai tia AB và AC EC < BC (3) Xét tam giác AEC vuông ở A EC2 = AE2 + AC2 AC2 < EC2 hay AC < EC (4) Từ (3) và (4) suy ra: AC < BC Vậy cạnh lớn nhất là BC. Bài 6: Cho tam giác ABC, cạnh đáy BC. Từ B kẻ đường vuông góc với AB và từ C kẻ đường vuông góc với AC. Hai đường này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng a. b. AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Giải: A a. Hai tam giác vuông ABM và ACM bằng nhau vì cạnh huyền AM chung AB = AC (gt) b. Do A1 = A2 B C Gọi I là giao điểm của AM và BC Xét hai tam giác AIB và AIC M A1 = A2 (c/m trên); AB = AC (Vì tam giác ABc cân ở A); AI chung nên (c.c.c) Suy ra IB - IC; AIB = AIC mà AIB + AIC = 1800 (2 góc kề bù nhau) Suy ra AIB = AIC = 900 Vậy AM BC tại trung điểm I của đoạn thẳng BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Bài 7: a. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A. b. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A. Giải: A a. Xét hai tam giác vuông CDB và ADC có canh AD là cạnh chung; AB = AC (cạnh huyền - cạnh góc vuông) BAD = CAD (cặp góc tương ứng) Do đó: AD là tia phân giác của góc A B D C b. Hướng dẫn A Chứng minh (cạnh huyền - góc nhọn) AD = AE (cặp cạnh tương ứng) (cạnh huyền - cạnh góc vuông) E D A1 = A2 Do đó Ak là tia phan giác của góc K. B C Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK A Giải: Gọi M là trung điểm của BC ta có: K (c.g.c) B M Vì BM = CM; IM chung; M1 = M2 C IB = IC (cặp góc tương ứng) H (cạnh huyền - góc nhọn) I IH - IK (cạnh huyền - cạnh góc vuông) BH = CK. Bài 9: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có và BC = 15cm. Tìm các độ dài AB; AC B Giải: Theo đề ra ta có: Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau A C và định lý Pitago ta có: Suy ra: AB2 = 9.9 = 92 AB = 9 cm AC2 = 16.9 = (4.3)2 = 122 AC = 12 cm Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm; AC = 12cm Bài 10: Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy ô vuông ở hình bên là tam giác vuông cân. Giải: B Gọi độ dài cạnh của mỗi ô vuông là 1 Theo định lý Pitago ta có: AB2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5 C BC2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5 A AC2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10 Do AB2 = BC2 nên AC = AB Do AB2 + BC2 = AC2 nên ABC = 900 Vậy tam giác ABC vuông cân tại B. Bài 11: Cho tam giác vuông ABC (A = 900). Chứng minh rằng a. Nếu AB = BC thì C = 300 b. Nếu C = 300 thì AB = BC C Giải: Trên tia đối của tia AB đặt AD = AB Nối CD thì ta có: (c.g.c) CB = CD (1) B A D a. Nếu AB = BC và AB = AD = BD Thì BC = BD (2) Từ (1) và (2) suy ra CB = BD Vậy tam giác BCD đều BCA = ACD = BCD = b. CB = CD Tam giác CBD cân Nếu BCA = 300; BCD = 60=0 suy ra tam giác BCD đều BD = BC 2AB = BC AB = BC Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ BE AC và CF AB. Biết BE = CF = 8cm. độ dài các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5. a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân b. Tính độ dài cạnh đáy BC c. BE và CF cắt nhao tại O. Nối OA và EF. Chứng minh đường thẳng AO là trung trực của đoạn thẳng EF. A Giải: a. vì E = F = 900 BE = CF, Bc cạnh chung E F FBC = ECB tam giác ABC cân O b. Theo đề bài các đoạn thẳng BF và BC B C tỉ lệ với 3 và 5 Ta có: cm c. Tam giác ABC cân AB = AC mà BF = EC () AF = AE (cạnh huyền - cạnh góc vuông) FAO = EAO (Vì AF = AE ; FAI = EAI) IF = IE (1) và FIA = EIA mà FIA + EIA = 1800 nên FIA = EIA = 900 AI EF (2) Từ (1) và (2) suy ra AO là trung trực của đoạn thẳng EF. Buæi 2: Chñ ®Ò 2: quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong tam gi¸c- c¸c ®­êng ®ång quy trong tam gi¸c A. Mục tiêu: - Nắm vững nội dung hai định lý, vận dụng được chúng trong những tình huống cần thiết, hiểu được phép chứng minh của định lí 1. - Biết vẽ hình đúng yêu cầu và dự đoán nhận xét các tính chất qua hình vẽ. - Biết diễn đạt một định lí thành một bài toán với hình vẽ, giả thiết và kết luận. - Học sinh nắm được khai niêm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên. - Học sinh hiểu được định lí về quan hệ đường vuông góc và đường xiên, các đường xiên và hình chiếu của chúng. - Nắm vững quan hệ giữa độ dài các cạnh của một tam giác, từ đó biết được ba đoạn thẳng có độ dài như thế nào thì không thể là ba cạnh của một tam giác. - Nhằm củng cố lại các tính chất về đường trung tuyến , đường phân giác, đường trung trực, đường cao của tam giác về tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của một đoạn thẳng. - Rèn luyện kĩ năng vẽ hình dùng thước, êke, compa. - Biết vận dụng các kiến thức lí thuyết vào giải các bài toán chứng minh. - Có kĩ năng vận dụng các kiến thức trên để giải toán hình học. - Rèn luyện kĩ năng vẽ hình và chứng minh hình học. B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài. C. Bài tập Bài 1: a. So s¸nh c¸c gãc cña tam gi¸c PQR biÕt r»ng PQ = 7cm; QR = 7cm; PR = 5cm b. So sánh các cạnh của tam giác HIK biết rằng H = 750; K = 350 Giải: a. Từ hình vẽ bên ta có: PQ = RP P cân tại Q R = P QR > PR P > Q 7 5 (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện) vậy R = P > Q Q R b. I = 1800 - (750 + 350) = 1800 - 1100 = 700 H > I > K IK > HK > HI (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện) Bài 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng AB + AC > BC Giải: Trên tia đới của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC Ta có: AD = AC cân đỉnh D ADC = ACD (1) A Tia CA nằm giữa hai tia CB và CD Do đó: BCD > ACD (2) Từ (1) và (2) ta có: BCD > ADC B C Xét tam giác DBC có BCD > BDC suy ra DB > BC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (3) mà DB = AB + AD = AB + AC (4) Từ (3) và (4) ta có: AB + AC > BC Bài 3: Cho tam giác ABC, A = 900. Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD BD B Giải: Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD Ta có: AE < AC (Vì AD < AC) Nên E nằm giữa A và C Mà BA DE và DA = AE D A E C cân đỉnh B BDE = BEA Ta có: BEA > BCE (BEA là góc ngoài của tam giác BEC) Do đó: BDC > BCD Xét tam giác BDC có: BDC > BCD Suy ra: BC > BD (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác) Bài 4: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của cạnh BC. So sánh BAM và MAC A Giải: Vẽ tia đối của tia MA và trên đó lấy điểm D sao cho MD = MA Xét tam giác MAB và tam giác MDC có: B M C MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC (M là TĐ của cạnh BC) Do đó: (c.g.c) D Suy ra: AB = CD; BAM = MDC Ta có: AB = CD; AB < AC CD < CA Xét tam giác ADC có: CD < AC MAC < MDC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) Mà MAC < MDC và BAM = MDC Suy ra: MAC < BAM Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài AD, DC. B Giải: Kẻ DH BC H (cạnh huyền - góc nhọn) A D C AD = DH vuông tại H DH < DC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) suy ra: AD < DC Bài 6: Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 300 thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền. Giải: Xét tam giác ABC có A = 900; B = 300 Cần chứng minh: AC = BC B Trên BC lấy điểm D sao cho CD = CA Tam giác ACD còn có: C = 600, AD = AC = CD D Tam giác ABD có B = 300; A2 = 300 nên là tam giác đều suy ra AD = BE. Do đó: AC = BC A C Bài 7: Cho tam giác ABC có A = 850, B = 400 a. So sánh các cạnh của tam giác ABC A. AB < BC < AC C. AB < AC < BC B. BC < AC < AB D. AC < AB < BC b. Trên tia đối của yia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC. So sánh độ dài các đoạn CD; CB; CE A. CE < CB < CD C. CD < CE < CB B. CB < CE < CD D. CD < CB < CE Giải: a. Chọn D Vì C = 1800 - (A + B) = 1800 - (85 + 40) = 55 Khi đó nhận thấy rằng B < C < A Ac < AB < BC b. Chọn D Bài 8: Cho tam giác ABC tia phân giác của góc D cắt AC tại D. So sánh độ dài của AB và BC, biết BDC tù. Giải: Để so sánh độ dài của AB và BC ta cần đi so sánh hai góc C và A. Theo giả thiết ta có: BDC tù D1 > 900 2D1 > 1800 Trong tam giác ABD ta có: D1 = A + B2 (1) B Trong tam giác BCD ta có: D1 + B1 + C1 = 1800 (2) Công theo vế (1) và (2) ta được: 2D1 + B1 + C = A + B2 + 1800 A - C = 2D1 - 1800 > 0 A > C BC > AB A D C Bài 9: Cho góc xOy = 600, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm D sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trùng trực của AC. a. Khẳng định OB = OC là đúng hay sai? A. Đúng B. Sai b. Tính số đo góc BOC A. 600; B. 900; C. 1200; D. 1500 Giải: a. Chọn A Vì OA = OB (vì Ox là đường trung trực của AB) OA = OC (vì Oy là đường trung trực của AC) Do đó: OB = OC b. Chọn C vì tam giác OAB cân ở O nên O1 = O2 Tam giác OAC cân ở O nên O3 = O4 Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 + O3) = 2(xOy) = 2. 600 = 1200 Vậy ta có: BOC = 1200 Bài 10: a. Cho tam giác ABC và tam giác A1B1C1 có AB = A1B1. AC = A1C1 và BC > B1C1. So sánh số đo của hai góc A và A1 Giải: Theo giả thiết ta có: AB = A1B1; AC = A1C1 và BC > B1C1 Thì A > A1 (quan hệ giữa các cạnh đối diện trong tam giác) b. Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có AB = A1B1. AC = A1C1 và A > A1. Chứng minh rằng BC > B1C1 Giải: Xét tam giác ABC và tam giác A1B1C1 Có AB = A1B1; AC = A1C1 và A > A1 (gt) Suy ra: BC > B1C1 (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong 1 tam giác) Bài 11: Cho tam giác ABC trung tuyến AM. Lấy điểm M bất kì trên tia đối của tia MA. So sánh độ dài CD và BD. A Giải: Ta lần lượt nhận thấy Với hai tam giác ABM và ACM có: MB = MC (vì M là trung điểm BC) M AM chung; AB < AC B C Do đó: M1 < M2 M3 < M4 Với hai tam giác BDM và CDM có MB = MC (M là trung điểm của BC) D DM chung; M3 < M4 Do đó: CD < BD Bài 12: Cho tam giác ABC với BC > AB. Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D. Chứng minh CD > DA Giải: Lấy K trên cạnh BC sao cho BK = BA. Có và B Cạnh DB chung; B1 = B2 (Vì BD là tia phân giác ABC) BK = BA (theo cách lấy điểm K) K Vậy = (c.g.c) Suy ra: D1 = D2; DK = DA Mặt khác: CKD là góc ngoài tam A D C giác KDB nên CKD > D1 (1) D2 là góc ngoài tam giác DBC nên D2 > BCD (2) Vì D1 = D2 ; từ (1) và (2) suy ra CKD > BCD Trong tam giác KCD vì K > C nên CD > DK hay CD > DA Bài 13: Cho tam giác ABC (AC > AB) A tù, đường cao AH (đường AH BC) và trung tuyến AM (đường AM đi qua trung điểm M của cạnh BC). Chứng minh: a. BAM > MAC b. H nằm giữa B và M Giải: A a. Trên tia AM lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD, dễ dàng chứng minh được (c.g.c) Suy ra BAM = D (1) AB = DC Trong có : AC > DC do AC > AB (gt) B H M C Và AB = DC (c/m trên) Nên D > MAC (2) Từ (1) và (2) suy ra BAM > MAC D b. AC > AB HC > HB (H thuộc đoạn thẳng BC do A là góc tù và MB = MC) suy ra: BM > BH. Vậy H nằm giữa hai điểm B và M. Bài 14: Cho tam giác MNP biết MP > MN, MD là đường trung tuyến thuộc cạnh NP. Trên tia MD lấy điểm E sao cho D là trung điểm của ME. Chứng minh MEP > EMP Giải: (c.g.c) DN = DP Dm = DE M MDN = EDP (đối đỉnh) Suy ra: MN = EP Mà MP > MN MP > EP Trong tam giác MEP, MP đối diện với MEP N D P EP đối diện với EMP Do đó: MEP > EMP E Bài 15: Tính chu vi của tam giác cân ABC biết a. AB = 5cm; AC = 12cm b. AB = 7cm; AC = 13cm Giải: Tam giác ABC cân có AB = 5cm; AC = 12cm thì cạnh đáy là Ab. Thật vậy nếu cạnh bên AB = 5cm thì cạnh bên BC = 5cm Như vậy ta có: AB + BC = 10cm < CA = 12cm đó là điều vô lí (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh thứ ba) Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 5 + 2.12 = 29 cm b. Có thể xảy ra hai trường hợp - Nếu AB = 7cm là cạnh đáy thì AB = BC = 13cm là cạnh bên - Nếu chu vi tam giác ABC bằng: 7 + 2.13 = 33 cm - Nếu AB = BC = 7cm là các cạnh bên thì AC = 13cm là cạnh đáy. Chu vi của tam giác ABC là: 13 + 2.7 = 27 cm. Bài 16: Cho tam giác ABC biết C = a. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A và tính số đo góc B, góc C. b. Kẻ đường cao AH. Chứng minh B = HAC; C = BAH Giải: a. (áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Vậy nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A. b. Vì AH BC nên H = 1v suy ra B + BAH = 1v Vì BAH + HAC = 1v suy ra B = HAC (2 góc phụ nhau) Tương tự ta cũng chứng minh được C = BAH. Bµi tËp vÒ nhµ Bài 1: Cho tam giác ABC có A = 900. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm D và E. Chứng minh rằng DE < BC. Giải: B Nối D và C ta có: AE, AC lần lượt là hình chiếu của các hình xiên DE, DC trên D đường thẳng AC mà AE < AE (Vì E thuộc cạnh AC) Suy ra: DE < DC (quan hệ giữa đường xiên A E C và hình chiếu của nó) Mặt khác: AD; AB lần lượt là hình chiếu của các đường xiên DC, BC trên đường thẳng AB mà AD < AB (D thuộc cạnh AB) Suy ra: DC < BC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó) Ta có: DE < DC; DC < BC DE < BC Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 900) vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Chứng minh rằng AH + BC > AB + AC B Giải: Trên tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB H Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AH (Vì AB < BC nên D nằm giữa B và C, D AH < AC nên E nằm giữa A và C) Tam giác ABD cân đỉnh B (Vì BD = AB) A E C BAD = BDA Ta có: BAD + DAE = BAD + HAD = 900 Do đó: DAE = HAD Xét tam giác HAD và tam giác EAD có: AH = AE; HAD = DAE; Ad cạnh chung Do đó: (c.g.c) AHD = AED mà AHD = 900 nên AED = 900 Ta có: DE AC DC > EC (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc) Do đó: AH + BD + DC > AE + AB + EC = AB + AC Vậy AH + BC > AB + AC. Bài 3: Cho tam giác ABC, AB > AC vẽ BD AC; CE AB (D AC; E AB). Chứng minh rằng AB - AC > BD - CE Giải: A Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho AF = AC, E Vì AB > AC nên E nằm giữa A và B. G Vẽ FG AC, FH BD (G A