Các bài toán hình học trường THCS Đan Hà

CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ TOÁN HỌC CẦN NẮM 1. Tam giác vuông: * Hệ thức lượng trong tam giác vuông. b2 = ab’ ; c2 = ac’ h2 = b’.c’ ; ha = bc ; Diện tích: S = * Với góc nhọn a thì: a, 1<Sina + Cos a ; Đẳng thức xảy ra khi a = 450 b, Sử dụng các tỉ số lượng giác: 2. Tam giác thường: Các ký hiệu: ha: Đường cao kẻ từ A, la: Đường phân giác kẻ từ A, ma: Đường trung tuyến kẻ từ A. BC = a; AB = c; AC = b R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. r: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Chu vi: 2p = a + b + c => Định lý về hàm số cosin: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Định lý về hàm số sin: Định lý về hàm số tang: Định lý về hàm số costang: a = hA(cotgB + cotgC); b = hB(cotgC + cotgA); c = hC(cotgA + cotgB); 3. Các bán kính đường tròn: a) Ngoại tiếp: b) Nội tiếp: 4. Diện tích tam giác: ; vôùi Hệ thức tính các cạnh:AB2 + AC2 = 2AM2 + hA = ; 5. Đường cao: 6. Đoạn phân giác trong tam giác: 7. Trung tuyến: Tam giác đều: Diện tích, chiều cao: S= Định lý Ceva: AM, BN, CP đồng quy Định lý Mencleit: M, N, P thẳng hàng C. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC LỒI ABCD: ; với AB =a; BC =b; CD= c; DA= d A B d b c D a C I O * Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O) có công thức: * Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn ( I) có công thức: Từ (1) suy ra công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp : ( khi: a+c = b+d ) R O a A a 2. Đa giác, hình tròn: * Một số công thức: 1) Đa giác đều n cạnh, độ dài cạnh là a: + Góc ở tâm: (rad), hoặc: (độ) + Góc ở đỉnh: (rad), hoặc (độ) + Diện tích: . O 2) Hình tròn và các phần hình tròn: + Hình tròn bán kính R: - Chu vi: C = 2pR - Diện tích: S = pR2 r R . O + Hình vành khăn: d - Diện tích: S = p(R2 - r2) = p(2r + d)d + Hình quạt: - Độ dài cung: l = aR ; (a: rad) R . O - Diện tích: (a: rad) (a: độ) Diện tích hình quạt: Diện tích, thể tích: - Hình chóp: - Hình nón: - Hình chóp cụt: - Hình nón cụt: - Hình lăng trụ: V=Bh; Sxq=Chu vi thiết diện phẳng x l - Hình cầu: - Hình trụ: - Hình chỏm cầu: - Hình quạt cầu: Bài 1:Cho tam giác ABC; ; AB = 6(cm); BC = 12(cm); phân giác trong của góc B cắt AC tại D. Tính diện tích ABD. Giải: Ta có: Kẻ AK//BC cắt BD tại K. Khi đó: Xét ABK cân tại A, ABK = 600 nên ABK đều. Suy ra KB = 6(cm), đồng thời => BD = 4(cm). Kẻ đường cao AH của AHK ta có: AH = 6sin600 = 6. = 3(cm). Khi đó: SABD = .BD.AH = .4. 3 = 6(cm2). Vậy SABD = 6(cm2) Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB//CD; AB =3,767; CD = 7,668; ; . Hãy tính các cạnh: AD, BC; Đường cao của hình thang; Đường chéo của hình thang. Giải: Ta có: AH = BK; DH = cotg60045’.AH; KC = cotg29015’.BK; Suy ra: DH + KC = DC – AB = AH(cotg60045’ + cotg29015’) AH = => AH = 1,663075... Khi đó: AD = ; BC = Ta có: KC = => HC = KC + HK = 2,96963 + 3,767 = 6,73663 Suy ra: AC = => DK = DH + HK = 4,69838 => BD = . Vậy AD = 1,90612; BC = 3,403608; AH = BK = 1,663075; AC = 6,93888; BD = 4,98403 Bài 3: Cho ABC, có AM là đường trung tuyến và AB = 9cm; AC = 15cm; AM = 6cm Hãy tính diện tích ABC. Giải: Ta kẻ: CK//AB cắt AM tại K, Ta có ABM CKM => => CK = 9; MK = 6 => ABM = KCM(g.cg) => AK = 12cm Ta thấy trong tam giác AKC có: AC2 = AK2 + KC2 => 152 = 122 + 92 Suy ra: AKC vuông tại K; do vậy SABC = SAMC + SKMC = SAKC = AK.KC = .12.9 = 54(cm2). vậy SABC = 54(cm2) Bài 5.Cho tam giác ABC AB=9; AC=11;BC=12 a)Tính đường cao AH và diện tích tam giác ABC b)Tính (đến độ ,phút ,giây) GIẢI :a. Đặt HC=x HB=12-x ∆AHB vuông ta có h2 =92 –(12-x)2 (1) AHC vuông ta có h2 =112 –x2 (2) 92 –(12-x)2 =112 –x2 24x=184 x=7,666666667 Thế vào ( 1) h==7,888106377 b. Sin B = = Nhấn SHIFT SIN-1 0,8453860089 Kết quả: B=580 Sin C = Nhấn SHIFT SIN-1 0,8453860089 = Kết quả:=440 Bài 6:Cho tam giác ABC có =650 ;AB=10;AC=12 a)Tính độ dài 3 đươmg cao AH;BK;CL. b)Tính diện tích tam giác ABH Xét vuông Ta có SinA= * vuông Ta có : SinA= *xét vuông =5,07141915 Xét vuông Ta có : BC==Theo công thức tính diện tích tam giác S= *Xét vuông tại H ta có:HB= Bài 1.Cho có Đường phân giác của góc B cắt Ac tai D. Tính độ dài của đoạn thẳng BD. Tính tỉ số diện tích của các tam giác ABD và ABC. Tính diện tích tam giác ABD. B’ B C A D Giải: Qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt tia đối của tia BC tải B’ , nối BB’. đều. Vì AB’ // BD nên b)Ta có: và c) Bài 2. Cho vuông tại A. Biết BC = 8,916 cm và AD là phân giác trong của góc A. Biết BD = 3,178 cm. Tính AB, AC. Giải: Ta có:DC = BC – BD = 8,916 – 3,178 Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: Ví dụ 2: Cho ∆ ABC vuông ở A biết BC = 8,961 và AD là phân giác trong của A . Biết BD = 3,178. Tính AB, AC. Giải A B D C Ta có : AB2 + AC2 = BC2 (Pitago) Với BC = 8,916 ; BD = 3,178 thay vào trên được KQ: AB = 4,3198 AC = 7,7996 B Bài 1. Cho có các cạnh AB = 21 cm ; AC = 28 cm Chứng minh rằng vuông. Tính diện tích . Tính các góc B và C Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính BD, DC. Giải: S = 294 cm c) Bài 2. Cho vuông tại A. với AB = 4,6892 cm; BC = 5,8516 cm. Tính góc B, đường cao AH và phân giác CI. Giải: Tính Tính AH. Tính CI. Góc C Bài 3. Cho vuông tại B. Với AB = 15 AC = 26. Kẻ phân giác trong CI . Tính IA. Giải: Ta có : B A I Bài 4.Cho hình thang ABCD có , AB = 3cm, BC = 4cm Tính chu vi và diện tích của hình thang ABCD. B C D H A Ta kẻ CH vuông góc với AD tại H. Khi đó góc DCH = 300. Xét tam giác CHD 600 đặt HD = a è CD = 2a ( cạnh đối diện với góc 300). CH2 + HD2 = CD2 32 + a2 = 4a2 è a2 = 3 hay a = cm Suy ra CD = cm và AD = 4+ cm Vậy chu vi C = 3 + 4 + +(4+) = 11+ 3 cm Diện tích S = (4+4+).3/2 = (8+)3/2 cm2. Bài 7. Cho tam giác ABC có BC = 11,34; AC = 24,05; AB = 15,17 và phân giác AD. Tính độ dài BD và DC. Tia phân giác góc B cất AD tại I. Tính tỉ số Sử dụng tính chất đường phân giác trong. a) b) VD1: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác CDE theo tỷ số đồng dạng k=1,3. Tính diện tích tam giác CDE biết diện tích tam giác ABC là 112 cm2? Giải: Ta có thay số vào ta được → SCDE = 66,2722 cm2 Bài 9:Chovuong ABC (A=1v) có AB=14,568 cm và AC=13,245 cm. Kẻ AH vuông góc với BC. 1)Tính BC; AH; HC. 2)Kẻ phân giác BN của góc B. Tính NB. -Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính câu 1. -Theo t/c đường phân giác có: từ đây tính NA; sử dụng Pitago trong tam giác ABN tínhBN. A N B H C Bài 11.Cho tam giác ABC cân tại A có A=360. Tính giá trị của tỉ số (chính xác đến 0,0001). Vẽ tia phân giác trong BD. Ta có B1 ==360=A, D=A+B1=720=Cnên tam giác ABD cân tại D, tam giác CBD cân tại B suy ra DA = DB = BC. Theo tính chất của đường phân giác: Þ mặt khác DC = AC – AD = AB – BC = AB – BC (AB = BC ; AD = BD = BC) Nên Û AB.BC = AB2 – BC2 (*) Đặt x = > 0 từ (*) ta có x2 – x – 1 = 0.Tìm được x = và x = Do x > 0 nên lấy x = Viết quy trình ấn phím tính được x » 1,6180 Bài 12: Một tam giác vuông cân có cạnh a=12,122008 cm. Được quay đỉnh góc vuông một góc bằng 30. Gọi diện tích phần chung của hai tam giác đó là S. a, Lập công thức tính S. b, Tính S ( Với 4 chữ số thập phân ). a, Lập được công thức tính diện tích chung . HD: B B1 H E G D A F C C1 Kẻ , Đặt EH=x suy ra AH=a-x=x b, S39,3733 Bài 13:Cho tam giác ABC có =1200, AB = 4, AC = 6. M là trung điểm của BC. Tính độ dài đoạn thẳng AM chính xác đến 0,0001. Vẽ BH ^ AC và MK ^ AC. Áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông ABH: BH2 = AB2 - AH2 Û BH = Do A=1200 nên HAB=600 và suy ra AH = . Suy ra BH = Do MK là đường trung bình của tam giác BHC nên HK = HC =(AC + AH) = 4 Suy ra AK = HK – AH = 4 – 2 = 2 Lại có MK =BH = nên AM2 =AK2 + MK2 =4 + 3 =7ÞAM =.Tính được AM » 2,6458 Bài 14: Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D. Biết BD = 7, CD = 15. Tính độ dài đoạn thẳng AD. Vẽ DE ^ BC và lấy K đối xứng với D qua H là giao điểm của AE và BD. Do ABD = EBD (BD chung, ABD=EBD nên DA = DE, BA = BE. Suy ra tứ giác AKED là hình thoi. Đặt KE = ED = AD = AK = x, HD = HK = y Từ tam giác vuông EBD: ED2 = DH.DB hay x2 = 7y (1) Do EK //AC nên ta có: Û (2) Từ (1) và (2) suy ra được 30x2 + 49x – 735 = 0 (3) Giải được phương trình (3) cho x = 4 ; x = -5 (loại do x > 0).Nên AD = 4.2 Bài 15:Cho tam giác ABC có A=1350, BC = 5, đường cao AH = 1. Tính độ dài các cạnh AB và AC (chính xác đến 0,0001). Vẽ CK ^ AB ta có CAK=1800 -1350 = 450 nên tam giác CAK vuông cân tại K Đặt AB = x > 0, AK = CK = y > 0. HBA đồng dạng với KBC (gg) nên Þ (1) Áp dụng pitago cho tam giác vuông BKC: BK2 + KC2 = BC2 Û (x + y)2 + y2 = 25 Û x2 + 2xy + 2y2 = 25 (2) Từ (1) và (2) tìm được (x ;y) = hoặc (x ; y) = Từ đó suy ra AB = » 2,2361; AC= »3,1623 hoặc AB=»3,1623; AC= » 2,2361 . Bài 16:Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn. Các cung nhỏ AB, BC, CA có số đo lần lượt là x + 750, 2x + 250, 3x – 220. Tính các góc của tam giác ABC. Các cung nhỏ AB, BC, CA tạo thành đường tròn, do đó: (x + 750) + (2x + 250) + (3x – 220) = 3600 Û x = 470 .Do đó suy ra: Bài 17. Cho tam giác ABC có các đỉnh . Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. a) Ta có diện tích tam giác ABC là: . Ta có công thức: Bài 33: Cho tam giác AHM vuông tại H. Kẻ phân giác MN (NAH) .Vẽ tia AE MN tại E.AE cắt MH tại B. Biết AM = p ,AN = q . a/ Tính SABM ; SABH theo p,q b/ Áp dụng:p=10,05 cm ;q=4,12 cm.Tính SABM ; SABH HD: a/ Ta có: và EA = EB ; MA = MB Ta có :đồng dạng với (g.g) Ta lại có :đồng dạng với (g.g) Xét tam giác ABH vuông tại H ta có: AB2 = AH2+BH2 Vậy: AH = ; BH = Do đó: (ĐVDT) (ĐVDT) b/ Với p =10,05 cm ;q =4,12 cm thì ta có: Ví dụ 3:Cho ∆ ABC vuông ở A, cạnh AB=3,26cm, B=51o26’. Tính AC, BC và đường cao AH. Giải. Ta có: AC = AB . tgB = 3,26 tg 51o26’ = 4,0886 cm. CosB = BC = = 5,2292 (cm) AH = AB . SinB = 2,5489 (cm) (có thể tính BC từ công thức BC2 = AB2 + AC2 và AH từ công thức AH BC = AB AC) Bài 19: Cho hình thang ABCD (AB < CD, AB //CD). E và F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Gọi giao điểm của AD và BC là K , giao điểm của AC và BD là O, giao điểm của KO với CD là H, giao điểm của KO với AB là I. Cho biết EF = (cm), tính tổng các độ dài các đoạn thẳng IA và DH. (chính xác đến 0,0001) Theo định lí Ta let: (1) Do tam giác IOA đồng dạng với tam giác HOC nên: (2) Tam giác IOB đồng dạng với tam giác HOD nên: (3) Từ (2) và (3) suy ra (4) Chia từng vế của (1) và (4) với nhau cho: hay HC2 = HD2 Û HC = HD (5) Từ (1) và (5) suy ra IA = IB (6) Từ (5) và (6) và do tính chất đường trung bình của hình thang suy ra IA + DH = (AB + CD) = EF = » 3,1817. Bài 26: Cho hình thang ABCD ( AB//CD) ,cm, cm.Gọi M và N là hai điểm thuộc AD và BC sao cho và MN//CD.Tính MN (Với7chữ số thậpphân ). E A B M N D C F Qua M kẻ EF //BC suy ra MNCF là hbh suy ra MN=FC , DF=DC-FC=DC-MN .Mặt khác EBNM là hbh suy ra EB=MN, EA=EB-AB=MN-AB. Xét tam giác AME có DF//AE suy ra Ví dụ 1:Một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc nhau. Đáy nhỏ dài 13,724 (cm). Cạnh bên dài 21,867 (cm). Tính diện tích hình thang đó. Giải Cách 1: B A I D C DC = S = S = ( * ) Với AB = 13,724; AD = 21,867 thay vào ( * ) được KQ : S = 429,2461 (cm2) Cách 2 Lời giải: Vì ABCD là hình thang cân → OA = OB = a; OC = OD = b. Trong tam giác vuông AOB: 2a2 = 13,7242 → a2 = 13,7242 : 2. Trong tam giác vuông BOC: Diện tích hình thang có 2 đường chéo d1, d2 vuông góc nhau là Mà ABCD cân nên d1 = d2 = a+b → Xây dựng quy trình bấm máy để có kq chính xác nhất: 13,7242 : 2 → A → B X + B → C C2 : 2 = (Kết quả là 429,2460871) Bài 10:Cho hình thang ABCD; ; AB = 4 cm, CD = 8 cm, AD = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC và số đo các góc B và C của hình thang? * Hạ BH ∟DC → DH = AB = 4 cm. → HC = 8-4 = 4 cm → BC = 5 cm (Pytago) * Sin C = 3/5 → = 36052’12’’ * = 1800 – = 14307’48’’ () Bài 8. Cho hình thang ABCD có , AB = 6 cm, BC=8cm. Tính chu vi và diện tích của ABCD. B A C D H 300 Kẻ CH vuông góc với AD tại H. Ta có: BD=AB:Sin300=6:1/2=12 cm AD=AB:tg300=6:=cm HD = AD – BC= -8 cm CD2 = CH2 + HD2 = 62 + (-8)2 = 208 - 96 = 6,46 cm. Vậy chu vi C = 6 + 8 + 6,46 + = 30,85 cm. S = (8+ ).6/2 = 55,177 cm2 Bài 2. Hình thang ABCD ( AB// CD) có đường chéo BD hợp với tia BC một góc DAB. Biết rằng AB = 12,5 cm, DC = 28,5 cm. Tính độ dài x của đường cheo BD ( tính chính xác đến hai chữ số thập phân) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích và diện tích Giải:x C 12,5 D B A 28,5 Ta có ( so le trong) ( gt) Ta có: Bài 3. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC = a; BD = b, góc tạo bởi hai đường chéo là . Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, b,. Áp dụng a = 32,2478 cm; b = 41,1028 cm; = 47035’27” Giải: B A a) Ta kẻ DK AC, BI AC E D K I C H Ta có: mà (1) Trong DKE ( = 1v) (2) Trong BEI ( = 1v) (3) Thay (2), (3) vào (1) ta có b) Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có góc ổ đỉnh A là góc tù. Kẻ hai đường cao AH và AK (AHBC; AK DC). Biết và độ dài hai cạch của hình bình hành AB = 29,1945 cm; AD=198,2001cm. Tính AH và AK Tính tỉ số diện tích của hình bình hành ABCD và diện tích của tam giác HAK. Tính diện tích phần còn lại S của hình bình hành khi khoét đi tam giác. B A Giải Do K D H C b) c) Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=20,345 cm và AD=15,567 cm. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật. Kẻ AH vuông góc với DB; kéo dài AH cắt CD ở E. 1)Tính OH và AE. 2)Tính diện tích tứ giác OHEC. Nhớ AB và A; AD vào B 1/Tính được BD bằng định lý Pitgago rồi tìm OB và HB hoặc DH. Đsố: DB=25,61738695 nhớ vào C AH=12,36311165 nhớ vào D. DH=9,459649007 nhớ vào E. HO=OD-DH=3,349044467. -Tính AE:AD2=AH.AE Nên AE=19,6011729. nhớ vào F A B H O D E C 2/ Diện tích OHEC: =44,9428943. Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 40 cm, BC = 30 cm. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB, AD lần lượt tại E và F. Tính chính xác đến 0,0001 giá trị của biểu thức biết rằng EF = 99cm. Lời giải Theo định lý Ta let ta có (1) và (2) Cộng từng vế các đẳng thức (1) và (2) được (3) Nhân cả hai vế của đẳng thức (3) AE.AF được BE.AF + DF.AE = AE.AF Do AE. AF = 2dt= AC.EF nên BE.AF + DF.AE = AC.EF Mặt khác AF2 = CF.EF và AE2 = CE.EF nên ; nên suy ra BE. + DF.= AC.EF hay suy ra = AC.(4) Theo pitago, ta có AC =. Ấn phím: ( 40 x2 + 30 x2 ) = Kết quả AC = 50 Nên từ (4) cho = 50. » 497,4937 (cm) Bài 20: Tính diện tích phần gạch chéo(được giới hạn trong 4 cung tròn như hình vẽ), biết ABCD là hình vuông cạnh 5,35 cm; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. A N B P C Q D M Cách giải Kết quả Diện tích hình gạch chéo MNPQ bằng diện tích hình vuông ABCD trừ 4 lần diện tích của một phần tư hình trong bán kính a/2. =6,14cm2 Bài 21:Hình tròn tâm O và tâm I có bán kính lần lượt là 16 cm và 4 cm tiếp xúc ngoài với nhau tại K và cùng tiếp xúc với đường thẳng d theo thứ tự tại M và tại N. Tính diện tích của hình giới hạn bởi cung của đường tròn tâm O, cung của đường tròn tâm I và đường thẳng d (chính xác đến 0,0001). Vẽ IZ ^ Om ta có MZ = NI = 4; OZ = 12 và OI = 16 + 4 = 20 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác OIZ: IZ = Viết quy trình ấn phím tính được IZ = 16 (cm) sin= Trong hình thang OIMN: sđ = p - sin-1 Diện tích của hình thang OINM = Viết quy trình ấn phím tính được diện tích của hình thang OIMN bằng 160 cm2. Diện tích hình quạt OKM: S1 = (cm2) Viết quy trình ấn phím và tính được S1 » 118,6938 (cm2) (để máy tính bằng rad) Diện tích hình quạt IKN: S2 = Viết quy trình ấn phím và tính được S2 » 17,7144(cm2) (để máy tính bằng rad) Suy ra diện tích của hình cần tính là: S = diện tích OIMN – S1 – S2 » 160 - 118,6938 - 17,7144 » 23,5918 (cm2) Bài 22: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của đường chéo BD, F là điểm thuộc DA sao cho 3DF = DA. Tìm tỉ số diện tích của tam giác DFE và tứ giác ABEF. Do DE = nên SDEA = SDBA Do DF = AD nên SDEF = SDEA. Từ đó suy ra SDEF = SDBA Suy ra SABEF = SDBA Vậy Bài 23: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 3 cm. Vẽ đường tròn tâm D đường kính AC = 2 cm và đường tròn tâm E đường kính CB = 1 cm. Gọi 2r là độ dài đường kính của đường tròn tâm I tiếp xúc với cả ba đường tròn nói trên (xem hình vẽ). Tính r (chính xác đến 0,01 cm) Vẽ đường IH ^ DE. Ta có: HE2 – HO2 = (IE2 – IH2) – (IO2 – IH2) = Û (HE – HO)(HE + HO) = 4r – 2 Û HE – HO = 4r – 2 (1) (do HE + HO = OE = 1) Tương tự: HE2 – HD2 = IE2 – ID2 = = - r - Û HE – HD = (2) Trừ từng vế của (1) và (2) cho HD – HO = = OD = Þ r = » 0,43 (cm) Bài 24.Một miếng giấy hình chữ nhật có chiều dài 5cm. Miếng giấy được gấp lại sao cho hai đỉnh đối diện của nó trùng nhau. Nếu chiều dài của nếp gấp là cm thì chiều rộng của hình chữ nhật là bao nhiêu ? (tính chính xác đến 0,0001). Giả sử hình chữ nhật ABCD được gấp sao cho nếp gấp dọc theo EF và A trùng C. (xem hình vẽ). Gọi a là chiều rộng của hình chữ nhật .Đặt BE = x thì AE = EC = 5 – x (vì AE trùng với CE khi gấp) Trong tam giác vuông BCE: a2 = (5 – x)2 – x2 = 25 – 10x (1) Vì EF là trung trực của AC nên EF phải đi qua tâm O của hình chữ nhật. Theo tính chất đối xứng thì DF = BE = x. Kẻ FG ^ AB thì FG = a và GE = AE – AG = 5 – x – x = 5 – 2x Từ tam giác vuông EFG: a2 = 6 – (5 – 2x)2 = 20x – 19 – 4x2 (2) Từ (1) và (2): 4x2 – 30x + 44 = 0 Û x = 2 hay x = Vậy a2 = 25 – 10x = 25 – 10.2 = 5 Û a = » 2,2361 (cm) hoặc a2 = 25 – 10x = 25 – 10. = - 30 < 0 (loại) Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm . Từ đỉnh A vẽ đường cao AH, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM (các điểm H, D, M thuộc cạnh BC). Cho biết tính chất của đường phân giác trong tam giác: . 1) Tính diện tích tam giác ABC. Nêu sơ lược cách giải. 2) Tính độ dài của AH, AD, AM và diện tích tam giác ADM (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân). Đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm. BÀI GIẢI : 1) Ta có: Suy ra tam giác ABC vuông tại A. 2) Tam giác ABC vuông tại A nên: Suy ra: cm Ta có: cm , suy ra cm cm cm Bài 25: Từ đỉnh của một cái cây có treo một cái dây thả xuống đất thì thừa một đoạn có độ dài là 12,5 m. Nếu kéo căng dây ra thì đầu dây chạm đất ở một khoảng cách là 15,5 m so với gốc cây. Hãy tính độ dài của dây (chính xác đến cm). Gọi a là độ cao của cây thì độ dài của dây là c - cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a = c – 12,5 và 15,5. Áp dụng định lý Pitago: (c – 12,5)2 + 15,52 = c2 Tìm được c = Viết quy trình ấn phím đúng.Tính được c » 15,86 » 15,9 (m) C B D A I O r Ví dụ: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn và có các cạnh AB =5dm, BC = 6dm, CD = 8dm, DA = 7dm. Tính gần đúng bán kính đường tròn nội tiếp , bán kính đường tròn ngoại tiếp và góc lớn nhất ( độ ,phút, giây) của tứ giác đó. Tính diện tích của tứ giác ABCD. KQ: Các bài tập tam giác Loại1: Biết ba cạnh Bài 1:Cho tam giác ABC có AB = 4,71, BC=6,26, AC=7,62. Tính độ dài đường cao AD, phân giác BD và SBHD . Bài 2: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; BC = 4dm; CA=8dm tính các góc. ĐS: Bài 3.cho tam giác ABC có AB=1,05; BC=2,08; AC= 2,33. tính đường cao BH và SABC.(0,9373; 1,0920 Bài 4: Tam giác ABC có ba cạnh: AB = 4,123; BC=5,042; CA =7,415 Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho: BM =2,142 1) Tính độ dài AM? 2) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM 3) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACM. 4) Tính các góc của tam giác ABC Bài 5: Cho tam giác ABC với các đỉnh A(4,324; 7,549); B(12,542; 13,543); C(-5,768; 7,436) . Tính số đo(độ , phút , giây) của góc A . Tính giá trị gần đúng với ba chữ số thập phân của diện tích tam giác ABC . Bài 6: Tính diện tích tam giác ABC biết A(8; -3); B(-5; 2); C(5; 7). Tính diện tích tam giác. ĐS: S = 75,7 Bài7:Cho tam giác ABC có BC=8,876; AC=7,765; AB=6,654 a)Tính số đo(độ,phút,giây) của gócBAC. b) Gọi G, H lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC.Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân độ dài các đoạn GA và GH. Bài 8:Các cạnh của tam giác ABC là a=14;b=18;c=20. Tính diện tích tam giác ABCvà góc A Bài 9: Cho tam giác ABC có AB=3,14 ; BC=4,25; CA=4,67 . Tính diện tích tam giác có đỉnh là chân 3 đường cao của tam giác ABC Bài 10:Tính gần đúng (độ, phút, giây)gócA của tam giác, biết AB=15cm,AC=20cm, BC=24cm Bài 11. Cho tam giác ABC có đường cao AH, Biết AB=4cm BC=5cm; CA=6cm. tính độ dài AH và CH. Bài 12: Cho tam giác ABC có cm;BC = cm; AC = cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM và diện tích của tam giác ABC. Bài 13: Cho tam giác ABC với AB = 7,624 cm ; BC = 8,751 cm ; AC = 6,318 cm . Tính gần đúng với bảy chữ số thập phân độ dài của đường cao AH , đường phân giác trong AD và bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC . Bài 14: Cho vuông ở A, đường cao AH=20cm, HB=20cm, HC=45cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Kẽ các tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm khác H). Gọi K là giao điểm của CN và HA . Gọi I là giao điểm của AMvà BC. Tính S tứ giác BMNC. b.Tính độ dài AK , KN , IM và IB. Bài 15:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (0,R) có AB =8cm, AC=15cm, đường cao AH=5cm (Điểm H nằm ngoài cạnh BC ).Tính bán kính của đường tròn . Bài 16: Cho tam giác đều ABC có cạnh 8cm, Một tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam giác. Cắt các cạnh AB và AC ở M và N. Tính diện tích tam giác AMN biết MN =3cm. Bài 17: Cho ABC có đường trung tuyến CM, AN, BP cắt nhau tại G. Giả sử AB = 3,2 ; CM = 2,4 ; AN = 1,8 .Hãy tính: a/ Đường cao GH của tam giác AGM b/Diện tích tam giác ABC c/Tính độ dài đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC. d/Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác ABC. Bài 18:Cho tam giác ABC, BC = 40 cm, đường phân giác AD = 45 cm, đường cao AH=36 cm. Tính BD, CD. Bài 19:Cho D ABC cân tại C, cạnh AB =, đường cao CH =.Gọi M là trung điểm HB, N là trung điểm của BC , AN và CM cắt nhau tại K. Biết KM =5cm. Tính KA. KẾT QUẢ Bài 3. Tính gần đúng (độ, phút, giây) các góc nhọn của tam giác ABC nếu AB = 4cm, BC = 3cm, AC = 5cm. KQ: ; Â ≈ 360 52’12”; Ĉ ≈ 530 7’48”. Bài 4. Tính gần đúng (với 4 chữ số thập phân) diện tích của tam giác ABC có các cạnh AB = 7,5m; AC = 8,2m; BC = 10,4m. Giải: Sử dụng công thức Hê-rông:S = KQ: S = 30,5102m2. Bài 6. Tam giác ABC có cạnh AC = 3,85cm; AB = 3,25cm và đờng cao AH = 2,75cm. a) Tính gần đúng các góc A, B, C và cạnh BC của tam giác. b) Tính gần đúng độ dài trung tuyến AM (M thuộc BC). c) Tính gần đúng diện tích tam giác AHM. (Góc tính đến phút. Độ dài và diện tích lấy kết quả với 2 chữ số thập phân.) Xét các tam giác vuông và tỉ số lợng giác thích hợp. KQ: a) A ằ 760 37’; B ằ 570 48’; C ằ 450 35’. b) AM ằ 2,79cm; c) SAHM ằ 0,66cm2. Loại 2: Biết 2 cạnh và một góc Bài 7: Tam giác ABC có 90o < A < 180o và sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6. Tính: 1) Độ dài cạnh BC ? Trung tuyến AM ? 2) Góc B=? 3) Diện tích tam giác S = ? Bài 8:Tính cạnh BC, góc B, góc C của ABC,biết: AB =11,52; AC=19,67 và góc A=54o35’12’’ VD2: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; AC = 4dm; góc A=46034’25” 1. Tính chu vi. ĐS: 2p 12,67466dm 2. Tính gần đúng diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: S 20,10675dm2. Bài 7.Cho ABC biết AB =c; AC=b và BAC=. Gọi AM là đường phân giác của góc BAC 1)Hãy trình bày cách tính độ dài đoạn thẳng AM khi biết BC và .Áp dụng :b = 15cm;c = 18cm; = 600. Bài 9:Tam giác ABC có A=90o; AB=7cm ; AC=5 cm. Tính độ dài đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE ? Bài 10.cho tam giác ABCvuông ở A,BC =8,916cm đường phân giác trong AD biết BD=3,178cm .tính AB,AC. Bài 11:Cho tam giác ABC có AB= 32,25cm; AC= 35,75cm số đo góc A bằng 63025’. Tính diện tích tam giác ABC, độ dài cạnh BC và số đo các góc B và C. Bài 13:Cho tam giác ABC có góc B bằng 1200, BC=12 cm, AB=6 cm, đường phân giác góc B cắt cạnh AC tại D. a) Tính độ dài đường phân giác BD. b) Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ABC c) Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác BCD d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM BD Bµi 14.Cho tam giác ABC có Â = 1v kẻ đường cao AH. Treõn tia HC lấy điểm BH = HD. Từ C kẻ CK vuông góc với AD. Cho AB=10,45 cm; AC=15,768cm a.Tính AH b. Tính KC; HK c. GoI lµ trung ñieåm AC. Giao ñieåm cuûa HI vôùi AK laø E. tính AE vaø gãc HCK AH = 8,710701213 KC= 6,143911261 AE = 4,812044394 góc ACK = 67043’47’’ Bài 15.Cho tam giác ABC (vuông ở A) kẻ AH là đường cao cho AB = 8,1567; AC = 1,8956 1.Tính BC 2.Tính BH;HC Bài 9:Cho ABC có AB=7cm; AC=8 cm; BAC=700. Đường thắng a //BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại E và F; M là trung điểm của cạnh BC; trung tuyến AM cắt EF tại N a.TínhAEsaochoEF=BE+CF; b.VớiđiểmEđượcxácđịnhởtrên,tính: DiệntíchtamgiácAEF. Diện tích hình thang BENM(ghi kết quả với 5 chữ số thập phân) Bài 7: Tam giác ABC cân có góc A =100°. Điểm D thuộc nữa mặt phẳng không chứa A có bờ BC sao cho góc CBD =15° , và góc BCD =35°. Tính số đo góc ADB. Bài 6. Cho tam giác ABC ( góc C=900) . Trong tam giác vẽ đường tròn tiếp