Các bài toán về dãy số

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ I. Vớ dụ Cho dóy số với số hạng tổng quỏt được cho bởi cụng thức : với n = 1, 2, 3, ……, k, ….. Tớnh U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8 Lập cụng thức truy hồi tớnh Un+1 theo Un và Un-1 Lập quy trỡnh ấn phớm liờn tục tớnh Un+1 theo Un và Un-1 Hướng dẫn giải a) U1 = 1 U5 = 147884 U2 = 26 U6 = 2360280 U3 = 510 U7 = 36818536 U4 = 8944 U8 = 565475456 b) Đặt Un+1 = a.Un + b.Un-1 Theo kết quả tớnh được ở trờn, ta cú: Giải hệ phương trỡnh trờn ta được: a = 26,b = -166 Vậy ta cú cụng thức: Un+1 = 26Un – 166Un-1 c) Lập quy trỡnh bấm phớm trờn mỏy CASIO 500MS: Ấn phớm: 26 Shift STO A x 26 - 166 x 1 Shift STO B Lặp lại dóy phớm x 26 - 166 x Alpha A Shift STO A X 26 - 166 x Alpha B Shift STO B II.Bài tập Bài 1. Cho dóy số sắp thứ tự biết: 1.1 Tớnh 1.2 Viết qui trỡnh bấm phớm liờn tục để tớnh giỏ trị của với . 1.3 Sử dụng qui trỡnh trờn, tớnh giỏ trị của Qui trỡnh bấm phớm liờn tục để tớnh giỏ trị của un với Bài 2. u2 = u25 = u1 = Cho dóy số sắp thứ tự , biết và . Tớnh . Bài 3: Cho ( nếu n lẻ, nếu n chẵn, n là số nguyờn ). 3.1 Tớnh chớnh xỏc dưới dạng phõn số cỏc giỏ trị: . 3.2 Tớnh giỏ trị gần đỳng cỏc giỏ trị: . 3.3 Nờu qui trỡnh bấm phớm để tớnh giỏ trị của u4 = -------------------- u5 = -------------------- u6 = ---------------------- u20 ằ u25 ằ u30 ằ Qui trỡnh bấm phớm: , nếu n chẵn , nếu n lẻ Bài 4: Cho dóy số xỏc định bởi: 4.1 Qui trỡnh bấm phớm để tớnh un và Sn: 4.2 Tớnh giỏ trị của 4.3 Gọi là tổng của số hạng đầu tiờn của dóy số . Tớnh . u10 = u15 = u21= S10 = S15 = S20 = Bài 5 : Cho dóy số với Hóy chứng tỏ rằng , với N = 1000 , cú thể tỡm cặp hai chỉ số 1 , m lớn hơn N sao cho b) Với N = 1 000 000 điều núi trờn cũn đỳng khụng ? c) Với cỏc kết quả tớnh toỏn như trờn , Em cú dự đoỏn gỡ về giới hạn của dóy số đó cho ( khi ) Bài 6. Cho dóy số biết: 6.1 Tớnh 6.2 Viết qui trỡnh bấm phớm liờn tục để tớnh giỏ trị của với . 6.3 Sử dụng qui trỡnh trờn, tớnh giỏ trị của . Bài 7. Cho dóy số U1 = ; , n là số tự nhiờn và n Viết quy trỡnh bấm phớm để tớnh Un. Tớnh 5 số hạng đầu tờn của dóy số trờn Quy trỡnh bấm phớm Kết quả 2) Cho . Tớnh S2004 + S2005 + S2006 + S2007 Quy trỡnh bấm phớm Kết quả Bài 8. Cho 1 dóy số , n = 1, 2, 3... Hóy tớnh giỏ trị của số hạng Bài 9. Cho , n là số tự nhiờn. Tớnh và cho kết quả chớnh xỏc là một phõn số hoặc hỗn số. Tớnh giỏ trị gần đỳng với 6 chữ số thập phõn của Bài 10. Cho dóy số an được xỏc định như sau: với mọi Tớnh chớnh xỏc dưới dạng phõn số tổng của 10 số hạng đầu tiờn của dóy số đú. Bài 11. Cho dóy số un được xỏc định như sau: với mọi 11.1 Qui trỡnh bấm phớm để tớnh un 11.2 Tớnh giỏ trị của Bài 12. Cho dóy số un được xỏc định như sau: với mọi 12.1 Qui trỡnh bấm phớm để tớnh un, Sn 12.2 Tớnh giỏ trị của Bài 15. Cho với 15.1 Lập quy trỡnh bấm phớm để tớnh Sn 15.2 Tớnh giỏ trị gần đỳng với 6 chữ số thập phõn của S15 15.3 Tớnh giới hạn a Bài 16. Cho . Hóy tớnh gần đỳng với 5 chữ số thập phõn giỏ trị bộ nhất của an. Bài 17. Cho dóy số với n = 1, 2, 3, … 17.1 Tớnh 5 số hạng đầu tiờn của dóy số u1, u2, u3, u4, u5. 17.2 Chứng minh rằng un+2 = 6un+1 – 7un 17.3 Lập quy trỡnh bấm phớ liờn tục để tớnh un+2. ------------------------------------------- Liên phân số Liên phân số là số có dạng: *Các dạng toán về liên phân số: 1. Tính giá trị của liên phân số. 2. Tìm số trong liên phân số. 3. Giải phơng trình có liên quan đến liên phân số. Ví dụ: Bài1: Tính và Bài 2 Tìm a, b, c, d, e biết Bài 3. a)Tính giá trị của x từ phương trình sau: b)Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng: Bài 4Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e biết Bài 5. Vieỏt keỏt quaỷ cuỷa caực bieồu thửực sau dửụựi daùng phaõn soỏ Bài 6Thụứi gian maứ quaỷ ủaỏt quay moọt voứng quanh maởt trụứi ủửụùc vieỏt dửụựi daùng : Dửùa vaứo lieõn phaõn soỏ naứy, ngửụứi ta coự theồ tỡm ra soỏ naờm nhuaọn. Thớ duù, duứng lieõn phaõn soỏ thỡ cửự 4 naờm laùi coự 1 naờm nhuaàn, coứn neỏu duứng lieõn phaõn soỏ thỡ cửự 29 naờm seừ coự 7 naờm nhuaàn 1. haừy tớnh giaự trũ cuỷa lieõn phaõn soỏ (dửụựi daùng phaõn soỏ) a. b. 2. Keỏt luaọn veà soỏ naờm nhuaọn theo caực phaõn soỏ nhaọn ủửụùc Bài 7 Tỡm a vaứ b thuoọc soỏ tửù nhieõn thoaỷ Bài 8Tớnh giaự trũ bieồu thửực Bài 9 Tớnh giaự trũ cuỷa caực bieồu thửực sau vaứ chổ bieồu dieón keỏt quaỷ dửụựi daùng phaõn soỏ vaứ ủieàn keỏt quaỷ vaứo oõ vuoõng . Tỡm caực soỏ tửù nhieõn a vaứ b vaứ ủieàn keỏt quaỷ vaứo oõ vuoõng , bieỏt Các bài toán về đa thức 1.Xét đa thức P(x). Ta có các dạng toán sau: Tính P(a). Xét xem một số có là nghiệm của đa thức không. P(x)= G(x).(x-a)+r. Do đó r=P(a) là số d của phép chia P(x) cho a. Tìm điều kiện của tham số để P(x) thỏa mãn một số điều kiện nào đó. 2. Bài tập Bài 1. Xỏc định cỏc hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) cú số dư là 2 và chia cho (x – 14) cú số dư là 3. Bài 2. Xỏc định cỏc hệ số a, b, c, d và tớnh giỏ trị của đa thức. Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại cỏc giỏ trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45. Biết rằng khi x nhận cỏc giỏ trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thỡ Q(x) cú cỏc giỏ trị tương ứng là 9, 21, 33, 45 Hướng dẫn: Bài 1 Ta cú : P(x) = Q(x)(x – a) + r ị P(a) = r Vậy P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = 1 P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = 2 P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = 3 Tớnh trờn mỏy và rỳt gọn ta được hệ ba phương trỡnh : Tớnh trờn mỏy được :a = 3,693672994 ằ 3,69 b = –110,6192807 ằ –110,62 c = 968,2814519 ằ 968,28 Bài 2 Tớnh giỏ trị của P(x) tại x = 1, 2, 3, 4 ta được kết quả là : Lấy hai vế của phương trỡnh (1) lần lượt nhõn với 2, 3, 4 rồi trừ lần lượt vế đối vế với phương trỡnh (2), phương trỡnh (3), phương trỡnh (4), ta được hệ phương trỡnh bậc nhất 3 ẩn : Tớnh trờn mỏy được a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 và d = 4211 Ta cú P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007 Q(1,15) = 66,15927281 ằ 66,16 Q(1,25) = 86,21777344 ằ 86,22 Q(1,35) = 94,91819906 ằ 94,92 Q(1,45) = 94,66489969 ằ 94,66 Bài 3 Cho P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x - 50. Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x - 2 và r2 là phần dư của phép chia P(x) cho x - 3. Viết quy trình tính r1 và r2 sau đó tìm BCNN(r1;r2) ? Bài 4. Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9. Hãy viết quy trình để tính P(9) và P(10) ? Bài 5 Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x – 4 ? b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ? Bài 6 Cho các đa thức F(x)= x4+5x3-4x2+3x+a G(x)=-3x4+4x3-3x2+2x+b; H(x)=5x5-x4-6x3+27x2-54x+32 a)Tìm a, b để F(x) và G(x) có nghiệm chung là x=0,25 b)Sử dụng các phím nhớ, lập quy trình bấm phím tìm số dư trong phép chia Q(x) cho 2x+3. Bài 7 a)Cho f(x) = 2x6-4x5+7x4-11x3-8x2+5x-2007. Gọi r1 và r2 lần lượt là số dư của phép chia f(x) cho x-1,12357 và x+0,94578. Tính B=0,(2006)r1-3,(2007)r2. b)Cho f(x) = x5+x2+1 có 5 nghiệm là x1, x2, x3, x4, x5 và P(x) = x2-7. Tính P(x1)P(x2)P(x3)P(x4)P(x5). Bài 8 Cho ủa thửực Tỡm soỏ dử r trong pheựp chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005 Tỡm giaự trũ m1 ủeồ ủa thửực P(x) chia heỏt cho x – 3,5 Tỡm giaự trũ m2 ủeồ ủa thửực P(x) coự nghieọm x = 3 Bài 9 Cho ủa thửực vaứ cho bieỏt P(1) = - 15 , P(2) = - 15 , P(3) = - 9 Tỡm caực heọ soỏ b, c , d cuỷa ủa thửực P(x) . Tỡm soỏ dử r1 trong pheựp chia P(x) cho (x – 4) Tỡm soỏ dử r2 trong pheựp chia P(x) cho (2x + 3) ( chớnh xaực ủeỏn 2 chửừ soỏ ụỷ phaàn thaọp phaõn ) Bài 10 Cho ủa thửực vaứ cho bieỏt P(1) = - 5 , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = 1 Tỡm caực heọ soỏ a , b, c , d cuỷa ủa thửực P(x) . Tớnh caực giaự trũ cuỷa P(22) , P(23) , P(24) , P(25) . Vieỏt laùi P(x) vụựi heọ soỏ laứ caực soỏ nguyeõn Tỡm soỏ dử r1 trong pheựp chia P(x) cho (7x -5) ( chớnh xaực ủeỏn 5 chửừ soỏ ụỷ phaàn thaọp phaõn ) . Bài 11 a) Cho ủa thửực vaứ cho bieỏt P(1) = 0 , P(2) = 4 , P(3) = 18 , P(4) = 48 . Tớnh P(2007) ? b) Cho ủa thửực . Goùi r1 laứ phaàn dử cuỷa pheựp chia P(x) cho x – 2 vaứ r2 laứ phaàn dử cuỷa pheựp chia P(x) cho x – 3 . Tỡm BCNN ( r1 , r2 ) ? Bài 12 Cho ủa thửực P(x) = x3 + ax2 + bx + c Tỡm a , b , c bieỏt raống khi x laàn lửụùt nhaọn caực giaự trũ 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thỡ P(x) coự giaự trũ tửụng ửựng laứ 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 Tỡm soỏ dử r cuỷa pheựp chia ủa thửực P(x) cho 12x – 1 Tỡm giaự trũ cuỷa x khi P(x) coự giaự trũ laứ 1989 Các bài tập về phân số và số thập phân 1.Giải phương trình: 2. Tìm x biết: 3. Tính 4. Tìm x biết a) b) 5.Tính giá trị của các biểu thức sau a) A = b) C = 6.Tính : 7.Tính 2,5% của và 7,5% của 8.Tính giá trị của biểu thức a) A = b) B = c) C = 9.Tìm x biết: a) b) 10.Tính giá trị của các biểu thức sau a) A = b) B = (6492 + 13x1802)2 - 13x(2x649x180)2 c) D = d) C = ( Chính xác đến 6 chữ số thập phân) 11. Tớnh giỏ trị của biểu thức(chỉ ghi kết quả): Với x = 0,987654321; y = 0,123456789 12. Tớnh giỏ trị của x từ phương trỡnh sau 13.Tớnh S = chớnh xỏc đến 4 chữ số thập phõn. 14.Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực M = chớnh xaực ủeỏn 0,0001 vụựi: 15. Tớnh gaàn ủuựng giaự trũ cuỷa bieồu thửực : N = 16.Tỡm x bieỏt 17. Tỡm y bieỏt 18.Tỡm x bieỏt 19.Tỡm x : Tớnh 20. Thực hiện phép tính. a) . 21.Thực hiện phép tính. a) . b) và c) d) Các bài toán số học Số nguyên tố: để kiểm tra một số a nguyên dơng không ta chia a cho các số nguyên tố từ 2 đến . Nếu các phép chia đều dư thì a là số nguyên tố. Ví dụ: để kiểm tra 647 có là số nguyên tố không ta chia 647 lần lợt cho 2,3,5, Số nguyên tố: để kiểm tra một số a nguyên dơng không ta chia a cho các số nguyên tố từ 2 đến . Nếu các phép chia đều d thì a là số nguyên tố. Ví dụ: để kiểm tra 647 có là số nguyên tố không ta chia 647 lần lợt cho 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29. Các phép chia đều có d. Do đó 647 là số nguyên tố. 2.ƯCLN, BCNN: Để tìm ƯCLN, BCNN của A,B ta rút gọn phân số: . Từ đó : ƯCLN(A;B)=A:a, BCNN(A;B)=A.b. Ví dụ : tìm ƯCLN, BCNN của A= 209865, B=283935. Đáp số: (A;B)=12345, [A,B]=4826895 3.Tìm số d của phép chia A cho B: Số dư của phép chia A cho B là Ví dụ: Tìm số d của phép chia 22031234 :4567(đáp số:26) 7,11,13,17,19,23,29. Các phép chia đều có d. Do đó 647 là số nguyên tố. 4. Ước và bội Ví dụ: Tìm tất cả các ớc của 120 Trên máy Casio 500MS: 1 Shift sto A/120:A=/A+1 Shift sto A/ =/ =/… chọn các kết quả là số nguyên Trên máy Casio 570MS: 1 Shift sto A/ ghi lên màn hình A=A+1: 120:A. ấn = liên tiếp chọn các kết quả là số nguyên. Kết quả : Ư(120)= 5. Tính chính xác giá trị của biểu thức số Ví dụ:Tớnh kết quả đỳng (khụng sai số) của cỏc tớch sau : Kết hợp tớnh trờn giấy ta sẽ được kết quả. Bài tập 1.Tỡm ệCLN vaứ BCNN cuỷa hai soỏ A = 1234566 vaứ B = 9876546 (ệCLN = 18; BCNN = 677402660502) 2. Tính chính xác giá trị của biểu thức và 3. Tính chính xác giá trị của 1234567892(đáp số 15241578749590521) (đáp số: A=402283444622030) 4. Cho số tự nhiên a=. Số nào sau đây là ước nguyên tố của số đã cho: 2; 3; 5; 7 ; 11.(đáp số: A=1111=11.101) 5. Lập quy trình để tìm các phần tử của tập hợp A. Biết A là tập hợp các ước số dương của 60 . Các khẳng định sau đây đúng hay sai: a) 7ẻA b) 15ẻA c) 30ẽA 6. Vieỏt quy trỡnh aỏn phớm ủeồ tỡm soỏ dử khi chia 20052006 cho 2005105 Tỡm soỏ dử khi chia 20052006 cho 2005105 Vieỏt quy trỡnh aỏn phớm ủeồ tỡm soỏ dử khi chia 3523127 cho 2047 Tỡm soỏ dử khi chia 3523127 cho 2047 7. Cho hai soỏ A = 2419580247 vaứ B = 3802197531 Tỡm ệCLN(A, B) ? Tỡm BCNN(A,B) ? 8. Tớnh keỏt quaỷ ủuựng cuỷa tớch A = Tớnh . Tỡm soỏ dử r khi chia 39267735657 cho 4321 9. Cho hai soỏ A = 1234566 vaứ B = 9876546 a) Tỡm ệCLN(A, B) vaứ BCNN(A,B) ? b)Goùi D = BCNN(A,B) .Tớnh giaự trũ ủuựng cuỷa D3 10. a) Tớnh giỏ trị của biểu thức lấy kết quả với 2 chữ số ở phần thập phõn : b) Tớnh kết quả đỳng (khụng sai số) của cỏc tớch sau : P = 13032006 x 13032007; Q = 3333355555 x 3333377777 (H.D: a) Tớnh trờn mỏy được :N = 567,8659014 ằ 567,87 b) Đặt x = 1303 ; y = 2006 ta cú P = (x .104 + y)(x .104 + y + 1)Vậy P = x2.108 + 2xy .104 + x .104 + y2 + y Tớnh trờn mỏy rồi làm tớnh, ta cú : x.10 8 = 169780900000000 2xy.104 = 52276360000 x.104 = 13030000 y2 = 4024036 y = 2006 P = 169833193416042 Đặt A = 33333, B = 55555, C = 77777 ta cú : Q = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC Tớnh trờn mỏy rồi làm tớnh, ta cú : A2.10 10 = 11110888890000000000 AB.105 = 185181481500000 AC.105 = 259254074100000 B.C = 4320901235 Q = 11111333329876501235