Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

D¹ng I: rót gän biÓu thøc Cã chøa c¨n thøc bËc hai Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) 20) . Bµi 2: Cho biÓu thøc Rót gän biÓu thøc A; T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6. Bµi 3: Cho biÓu thøc Rót gän biÓu thøc B; T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0. Bµi 4: Cho biÓu thøc Rót gän biÓu thøc C; T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1. Bµi 5: Rót gän biÓu thøc : a) ; b) ; c) ; d) Bµi 6: Cho biÓu thøc Rót gän biÓu thøc M; So s¸nh M víi 1. Bµi 7: Cho c¸c biÓu thøc vµ Rót gän biÓu thøc P vµ Q; T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q. Bµi 8: Cho biÓu thøc Rót gän biÓu thøc P So s¸nh P víi 5. Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc chØ nhËn ®óng mét gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 9: Cho biÓu thøc T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P; T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó lµ sè tù nhiªn; TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2. Bµi 10: Cho biÓu thøc : Rót gän biÓu thøc P; T×m x ®Ó . D¹ng II CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm. Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) ⟺ yA = f(xA). Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4). Giải: Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22 ⟺ a = 1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không? Giải: Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d) II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên. III.Quan hệ giữa hai đường thẳng. Xét hai đường thẳng : (d1) : y = a1x + b1. (d2) : y = a2x + b2. (d1) cắt (d2) ⟺ a1 ≠ a2. d1) // (d2) ⟺ a1=a2b1≠b2 d1) ≡ (d2) ⟺ a1=a2b1=b2 (d1) ⊥ (d2) ⟺ a1 .a2 = -1 IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui. Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y). Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số . V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx2 (c≠0). 1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: cx2= ax + b (V) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx2 để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P). 2.Tìm điều kiện để (d) và (P). a) (d) và (P) cắt nhau ⟺ phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt. b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau ⟺ phương trình (V) có nghiệm kép. c) (d) và (P) không giao nhau ⟺ phương trình (V) vô nghiệm . VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết. 1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x0;y0) Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a. Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b. 2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2). Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình: ax1+b=y1ax2+ b=y2 Giải hệ phương trình tìm a,b. 3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = cx2 (c≠0). +) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình : y0 = ax0 + b (3.1) +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c≠0) nên: Pt: cx2 = ax + b có nghiệm kép ⟺ Δ=0 (3.2) +) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b. VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m). +) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m. +) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0. VIII.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số. 1.Ứng dụng vào phương trình. 2.Ứng dụng vào bài toán cực trị. bµi tËp vÒ hµm sè. Bµi tËp 1. cho parabol y= 2x2. (p) a. t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña (p) víi ®­êng th¼ng y= 3x-1. b. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (p) víi ®­êng th¼ng y=6x-9/2. c. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®­êng th¼ng y=ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2). d. t×m ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2). e. biÖn luËn sè giao ®iÓm cña (p) víi ®­êng th¼ng y=2m+1. ( b»ng hai ph­¬ng ph¸p ®å thÞ vµ ®¹i sè). f. cho ®­êng th¼ng (d): y=mx-2. T×m m ®Ó +(p) kh«ng c¾t (d). +(p)tiÕp xóc víi (d). t×m to¹ ®é ®iÓm tiÕp xóc ®ã? + (p) c¾t (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. +(p) c¾t (d). Bµi tËp 2. cho hµm sè (p): y=x2 vµ hai ®iÓm A(0;1) ; B(1;3). a. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB. t×m to¹ ®é giao ®iÓm AB víi (P) ®· cho. b. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P). c. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d1 vu«ng gãc víi AB vµ tiÕp xóc víi (P). d. chøng tá r»ng qua ®iÓm A chØ cã duy nhÊt mét ®­êng th¼ng c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt C,D sao cho CD=2. Bµi tËp 3. Cho (P): y=x2 vµ hai ®­êng th¼ng a,b cã ph­¬ng tr×nh lÇn l­ît lµ y= 2x-5 y=2x+m a. chøng tá r»ng ®­êng th¼ng a kh«ng c¾t (P). b. t×m m ®Ó ®­êng th¼ng b tiÕp xóc víi (P), víi m t×m ®­îc h·y: + Chøng minh c¸c ®­êng th¼ng a,b song song víi nhau. + t×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm A cña (P) víi b. + lËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) ®i qua A vµ cã hÖ sè gãc b»ng -1/2. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (a) vµ (d). Bµi tËp 4. cho hµm sè (P) a. vÏ ®å thÞ hµm sè (P). b. víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®­êng th¼ng y=2x+m (d) c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A,B. khi ®ã h·y t×m to¹ ®é hai ®iÓm A vµ B. c. tÝnh tæng tung ®é cña c¸c hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) theo m. Bµi tËp5. cho hµm sè y=2x2 (P) vµ y=3x+m (d) khi m=1, t×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (P) vµ (d). tÝnh tæng b×nh ph­¬ng c¸c hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) theo m. t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) ®éc lËp víi m. Bµi tËp 6. cho hµm sè y=-x2 (P) vµ ®­êng th¼ng (d) ®I qua N(-1;-2) cã hÖ sè gãc k. a. chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña k th× ®­êng th¼ng (d) lu«n c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm A,B. t×m k cho A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung. b. gäi (x1;y1); (x2;y2) lµ to¹ ®é cña c¸c ®iÓm A,B nãi trªn, t×m k cho tæng S=x1+y1+x2+y2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi tËp7. cho hµm sè y= t×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè. t×m y biÕt: + x=4 + x=(1- )2 + x=m2-m+1 + x=(m-n)2 c¸c ®iÓm A(16;4) vµ B(16;-4), ®iÓm nµo thuéc ®å thÞ hµm sè, ®iÓm nµo kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè? t¹i sao. kh«ng vÏ ®å thÞ h·y t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè ®· cho víi ®å thÞ hµm sè y= x-6 Bµi tËp 8. cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=2mx-m2+4 (d) a.t×m hoµnh ®é cña c¸c ®iÓm thuéc (P) biÕt tung ®é cña chóng y=(1- )2. b.chøng minh r»ng (P) víi (d) lu«n c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña chóng. víi gi¸ trÞ nµo cña m th× tæng c¸c tung ®é cña chóng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi tËp 9. cho hµm sè y= mx-m+1 (d). chøng tá r»ng khi m thay ®æi th× ®­êng th¼ng (d) lu«n ®I qua ®iÓm cè ®Þnh. t×m ®iÓm cè ®Þnh Êy. t×m m ®Ó (d) c¾t (P) y=x2 t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A vµ B, sao cho AB= . Bµi tËp 10. trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho c¸c ®iÓm M(2;1); N(5;-1/2) vµ ®­êng th¼ng (d) y=ax+b. t×m a vµ b ®Ó ®­êng th¼ng (d) ®I qua c¸c ®iÓm M, N. x¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng MN víi c¸c trôc Ox, Oy. Bµi tËp 11. cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=3x+m2 (d). chøng minh víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña m ®­êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. gäi y1, y2 kµ c¸c tung ®é giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng (d) vµ (P) t×m m ®Ó cã biÓu thøc y1+y2= 11y1.y2 bµi tËp 12. cho hµm sè y=x2 (P). vÏ ®å thÞ hµm sè (P). trªn (P) lÊy 2 ®iÓm A, B cã hoµnh ®é lÇn l­ît lµ 1 vµ 3. h·y viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB. lËp ph­¬ng tr×nh ®­êng trung trùc (d) cña ®o¹n th¼ng AB. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P). Bµi tËp 13.. a. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi (P) y=2x2 t¹i ®iÓm A(-1;2). b. cho hµm sè y=x2 (P) vµ B(3;0), t×m ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tiÕp xóc víi (P) vµ ®i qua B. c. cho (P) y=x2. lËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A(1;0) vµ tiÕp xóc víi (P). d. cho (P) y=x2 . lËp ph­¬ng tr×nh d song song víi ®­êng th¼ng y=2x vµ tiÕp xóc víi (P). e. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng song song víi ®­êng th¼ng y=-x+2 vµ c¾t (P) y=x2 t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng (-1). f. viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (d) y=x+1 vµ c¾t (P) y=x2 t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 9. D¹ng III: HÖ ph­¬ng tr×nh Baøi 1: : Gi¶i c¸c HPT sau: 1.1. a. b. Gi¶i: a. Dïng PP thÕ: Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: Dïng PP céng: Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: §Ó gi¶I lo¹i HPT nµy ta th­êng sö dông PP céng cho thuËn lîi. Vaäy HPT cã nghiÖm lµ §èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thÓ sö dông hai c¸ch gi¶I sau ®©y: 1.2. + C¸ch 1: Sö dông PP céng. §K: . Vaäy HPT cã nghiÖm lµ + C¸ch 2: Sö dông PP ®Æt Èn phô. §K: . §Æt ; . HPT ®· cho trë thµnh: (TM§K) Vaäy HPT cã nghiÖm lµ L­u ý: - NhiÒu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy. - Cã thÓ thö l¹i nghiÖm cña HPT võa gi¶i. Baøi 2: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp theá) 1.1: 1.2. Baøi 3: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp coäng ñaïi soá) 2.1. 2.2. Baøi 4: Giaûi heä phöông trình trong moãi tröôøng hôïp sau a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1 Baøi 5: a) Xaùc ñònh heä soá avaøb, bieát raèng heä phöông trìnhcoù nghieäm laø (1; -2) b) Cuõng hoûi nhö vaäy neáu heä phöông trình coù nghieäm Baøi 6: Giaûi heä phöông trình sau: Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa heä phöông trình Baøi 7: Giaûi caùc heä phöông trình sau: ; ; ; ; ; ; ; ; ; Bµi 8: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh Gi¶i hÖ khi a=3 ; b=-2 T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y)=( Bµi 9: Gi¶I c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau a) b) c) (®k x;y2 ) ; ; ; ; ; ; . ; ; ; ; ; Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph­¬ng tr×nh. I, Môc tiªu: * KiÕn thøc: HS gi¶i ®­îc c¸c bµi to¸n thùc tÕ b»ng c¸ch lËp HPT. * KÜ n¨ng: - HS ®­îc cñng cè kÜ n¨ng ph©n tÝch t×m lêi gi¶i, tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp HPT. * Th¸i ®é: RÌn tÝnh cÈn thËn, chÝnh x¸c, l« gÝc chÆt chÏ, râ rµng. II, LÝ thuyÕt cÇn nhí: * B­íc 1: + LËp HPT - Chän Èn, t×m ®¬n vÞ vµ §K cho Èn. - BiÓu diÔn mèi quan hÖ cßn l¹i qua Èn vµ c¸c ®¹i l­îng ®· biÕt. - LËp HPT. * B­íc 2: Gi¶i HPT. * B­íc 3: §èi chiÕu víi §K ®Ó tr¶ lêi. III, Bµi tËp vµ h­íng dÉn: Bµi 1. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc tõ hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 160 km, ®i ng­îc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 2 giê. T×m vËn tèc cña mçi « t« biÕt r»ng nÕu « t« ®i tõ A t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h sÏ b»ng hai lÇn vËn tèc «t« ®i tõ B. Bµi 2. Mét ng­êi ®i xe m¸y ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian dù ®Þnh. NÕu vËn tèc t¨ng14 km/h th× ®Õn B sím h¬n 2 giê. nÕu vËn tèc gi¶m 2 km/h th× ®Õn B muén 1 giê. TÝnh qu·ng ®­êng AB, vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh. Bµi 3. Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch nhau 85 km , ®i ng­îc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 1 giê 40 phót.TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« biÕt r»ng vËn tèc cña ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc cña ca n« ng­îc dßng lµ 9 km/h (cã c¶ vËn tèc dßng n­íc) vµ vËn tèc dßng n­íc lµ 3 km/h. Bµi 4. Mét ca n« xu«i dßng 108 km vµ ng­îc dßng 63 km hÕt 7 giê. Mét lÇn kh¸c ca n« xu«i dßng 81 km vµ ng­îc dßng 84 km còng hÕt 7 giê. TÝnh vËn tèc cña dßng n­íc vµ vËn tèc thËt cña ca n«. Bµi 5. Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B dµi 120 km. §i ®­îc nöa qu·ng ®­êng xe nghØ 30 phót nªn ®Ó ®Õn n¬i ®óng giê xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h n÷a trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i. TÝnh thêi gian xe ch¹y. Bµi 6. Hai ng­êi ®i ng­îc chiÒu vÒ phÝa nhau.M ®i tõ A lóc 6 giê s¸ng vÒ phÝa B. N ®i tõ B lóc 7 giê s¸ng vÒ phÝa A. Hä gÆp nhau lóc 8 giê s¸ng. TÝnh thêi gian mçi ng­êi ®i hÕt qu·ng ®­êng AB. BiÕt M ®Õn B tr­íc N ®Õn A lµ 1 giê 20 phót. HPT: Bµi 7. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B ng­îc chiÒu vÒ phÝa nhau. TÝnh qu·ng ®­êng AB vµ vËn tèc cña mçi xe. BiÕt r»ng sau 2 giê hai xe gÆp nhau t¹i mét ®iÓm c¸ch chÝnh gi÷a qu·ng ®­êng AB lµ 10 km vµ xe ®i chËm t¨ng vËn tèc gÊp ®«i th× hai xe gÆp nhau sau 1 giê 24 phót. HPT: Bµi 8. Hai líp 9A vµ 9B cã tæng céng 70 HS. nÕu chuyÓn 5 HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè HS ë hai líp b»ng nhau. TÝnh sè HS mçi líp. Bµi 9. Hai tr­êng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tuyÓn. TÝnh riªng tØ lÖ ®ç th× tr­êng A ®¹t 80%, tr­êng B ®¹t 90%. Hái mçi tr­êng cã bao nhiªu HS líp 9 dù thi vµo líp 10. Bµi 10. Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã n­íc sau 2 giê 55 phót th× ®Çy bÓ. NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt cÇn Ýt thêi gian h¬n vßi thø hai lµ 2 giê. TÝnh thêi gian ®Ó mçi vßi ch¶y riªng th× ®Çy bÓ. Bµi 11. Hai tæ cïng lµm chung mét c«ng viÖc hoµn thµnh sau 15 giê. nÕu tæ mét lµm trong 5 giê, tæ hai lµm trong 3 giê th× ®­îc 30% c«ng viÖc. Hái nÕu lµm riªng th× mçi tæ hoµn thµnh trong bao l©u. Bµi 12. Mét thöa ruéng cã chu vi 200m . nÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 5m, gi¶m chiÒu réng ®i 5m th× diÖn tÝch gi¶m ®i 75 . TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng ®ã. Bµi 13. Mét phßng häp cã 360 ghÕ ®­îc xÕp thµnh tõng hµng vµ mçi hµng cã sè ghÕ ngåi b»ng nhau. Nh­ng do sè ng­êi ®Õn häp lµ 400 nªn ph¶i kª thªm 1 hµng vµ mçi hµng ph¶i kª thªm 1 ghÕ míi ®ñ chç. TÝnh xem lóc ®Çu phßng häp cã bao nhiªu hµng ghÕ vµ mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ. D¹ngIV Ph­¬ng tr×nh bËc hai+hÖ thøc vi-Ðt Tãm t¾t lÝ thuyÕt: C¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) = b2 - 4ac * NÕu > 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 = ; x2 = * NÕu = 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = * NÕu < 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm Chó ý 1: Trong tr­êng hîp hÖ sè b lµ sè ch½n th× gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn b»ng c«ng thøc nghiªm thu gän. ' = b'2 - ac * NÕu ' > 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 = ; x2 = * NÕu ' = 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = * NÕu ' < 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. Chó ý 2: * NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1 vµ x2 = Chó ý 3: * NÕu a - b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 vµ x2 = Chó ý 4: * HÖ thøc viÐt trong tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai sau TT C¸c ph­¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo TT C¸c ph­¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo ' 6 x2 - 25x - 25 = 0 x2 - 4x + 2 = 0 6x2 - 5x + 1 = 0 9x2 - 6x + 1 = 0 7x2 - 13x + 2 = 0 -3x2 + 2x + 8 = 0 3x2 + 5x + 60 = 0 x2 - 6x + 5 = 0 2x2 + 5x + 1 = 0 3x2 - 6x + 5 = 0 5x2 - x + 2 = 0 3x2 - 12x + 1 = 0 x2 - 3x -7 = 0 5x2 - 6x - 1 = 0 x2 - 3 x - 10 = 0 3x2 + 14x + 8 = 0 4x2 - 5x - 9 = 0 -7x2 + 6x = - 6 2x2 - x - 21 = 0 x2 - 12x + 32 = 0 6x2 + 13x - 5 = 0 x2 - 6x + 8 = 0 56x2 + 9x - 2 = 0 9x2 - 38x - 35 = 0 10x2 + 17x + 3 = 0 x2 - x + 2 = 0 7x2 + 5x - 3 = 0 4x2 - 6x - = 0 x2 + 17x + 3 = 0 2x2 - x + 1 = 0 Bµi tËp 2: BiÕn ®æi c¸c ph­¬ng tr×nh sau thµnh ph­¬ng tr×nh bËc hai råi gi¶i a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15 b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1 c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2 e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5 g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1 h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7 i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1 Bµi tËp 3: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m lÇn l­ît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m = - 4 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn l­ît b»ng x = 3; x = -3; x = 2; x = 5; x = 6; x = -1 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 4: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m lÇn l­ît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn l­ît b»ng x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 5: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m lÇn l­ît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn l­ît b»ng x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 6: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -1vµ m = 3 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 4 c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = x2 Bµi tËp 7: Cho ph­¬ng tr×nh : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -2 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 2x2 Bµi tËp 8: Cho ph­¬ng tr×nh : 2x2 - 6x + (m +7) = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -3 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 4 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt d) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm e) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = - 2x2 Bµi tËp 9: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 4 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 3x2 Bµi tËp 10: BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 11: BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = -1 . T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 12: BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - (6m + 1 )x - 3m2 + 7 m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 13: BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 - 3m + 3 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = -1. T×m nghiÖm cßn l¹i. Bµi tËp 14: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - mx + 2m - 3 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 5 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu d)T×m hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m e) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Bµi tËp 15: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 3 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2 c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m e) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt f) Khi ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 t×m gi¸ trÞ cña m vµ t×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 16:Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 2 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2. T×m nghiÖm cßn l¹i c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 th¶o m·n: x12 + x22 = 8 e) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x12 + x22 Bµi tËp 17: Cho ph­¬ng tr×nh: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hiÖu hai nghiÖm b»ng 2 d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1vµ x2 kh«ng phô thuéc m Bµi tËp 18: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0 a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña a b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo a c) T×m gi¸ trÞ nhá nhËt cña biÓu thøc A = x12 + x22 Bµi tËp 19: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0 a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x1. x2 - x12 - x22 Bµi tËp 20: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) T×m m ®Ó A = x12 + x22 - x1 - x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt c) T×m m ®Ó B = x1 + x2 - 3x1x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt d) T×m m ®Ó C = x12 + x22 - x1x2 Bµi tËp 21: Cho ph­¬ng tr×nh: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 4 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 tho¶ m·n: A = x12 x2 + x22x1 d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m Bµi tËp 22: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph­¬ng tr×nh mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Bµi tËp 23: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt tho¶ m·n Bµi tËp 24: Cho ph­¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè). a) X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c nghiÖm x1; x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n x1 + 4x2 = 3 b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi tËp 25: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã (1) cã nghiÖm x1 = 2x2. Bµi tËp 26: Cho ph­¬ng tr×nh mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. Khi ®ã trong hai nghiÖm, nghiÖm nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n? c) X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c nghiÖm x1; x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n: x1 + 4x2 = 3. d) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m. Bµi tËp 27: a) Víi gi¸ trÞ nµo m th× hai ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiÖm chung. T×m nghiÖm chung ®ã? x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2) vµ ng­îc l¹i. Bµi tËp 28: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0 T×m m ®Ó cã gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi tËp 29: Gäi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A =½x1x2 - 2x1 - 2x2½ Bµi tËp 30: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 T×m m ®Ó cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi tËp 31: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - m + (m - 2)2 = 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bµi tËp 32: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m lµ tham sè). T×m m sao cho 2 nghiÖm x1; x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n 10x1x2 + ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã. D¹ng V Bµi tËp H×nh tæng hîp Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®­êng trßn (O) lÇn l­ît t¹i M,N,P. Chøng minh r»ng: Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. X¸c ®Þnh t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: Ð CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao) Ð CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao) => Ð CEH + Ð CDH = 1800 Mµ Ð CEH vµ Ð CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao => BE ^ AC => ÐBEC = 900. CF lµ ®­êng cao => CF ^ AB => ÐBFC = 900. Nh­ vËy E vµ F cïng nh×n BC d­íi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC. VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: Ð AEH = Ð ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung => D AEH ~ DADC => => AE.AC = AH.AD. * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: Ð BEC = Ð ADC = 900 ; ÐC lµ gãc chung => D BEC ~ DADC => => AD.BC = BE.AC. 4. Ta cã ÐC1 = ÐA1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) ÐC2 = ÐA1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => ÐC1 = Ð C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB ^ HM => D CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®­¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn => ÐC1 = ÐE1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp ÐC1 = ÐE2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) ÐE1 = ÐE2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®­êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. Chøng minh ED = BC. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: Ð CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao) Ð CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao) => Ð CEH + Ð CDH = 1800 Mµ Ð CEH vµ Ð CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao => BE ^ AC => ÐBEA = 900. AD lµ ®­êng cao => AD ^ BC => ÐBDA = 900. Nh­ vËy E vµ D cïng nh×n AB d­íi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®­êng cao nªn còng lµ ®­êng trung tuyÕn => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã ÐBEC = 900 . VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn =>