Chủ đề 6 - Các loại phương trình - Buổi 1: phương trình bậc nhất, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 9 Ngày soạn : 26/09/11 Ngày dạy : 30/09/11 Chủ đề 6 Các loại Ph−ơng trình Buổi 1 Ph−ơng trình bậc nhất, ph−ơng trình tích, ph−ơng trình chứa ẩn ở mẫu, Ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Học sinh đ−ợc hệ thống và nâng cao cách giải các loại ph−ơng trình (ph−ơng trình bậc nhất, ph−ơng trình tích, ph−ơng trình chứa ẩn ở mẫu, ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối).  Kĩ năng - Rèn kĩ năng giải ph−ơng trình  Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức - sĩ số II. Kiểm tra bài cũ III. Bài mới (179 phút) A – Ph−ơng trình bậc nhất (30 phút) I – Lí thuyết - Ph−ơng trình bậc nhất là ph−ơng trình có dạng ax + b = 0 (a 0≠ ) - Ph−ơng trình có nghiệm duy nhất x = b a − - Chú ý: Nếu ph−ơng trình chứa tham số ta chuyển về dạng Ax = B và xét các tr−ờng hợp sau:
Nếu A 0≠ ph−ơng trình có nghiệm x = B A −
Nếu A = 0 , B 0≠ ph−ơng trình trở thành 0.x = B => vô nghiệm
Nếu A = 0, B = 0 ph−ơng trình vô số nghiệm II – Bài tập *) Bài tập : Giải các ph−ơng trình sau (với m và n là các tham số) a) 2x + m = 0 b) (-2m - 1)x – 7 = 0 c) (m - 1)x – 6m = 0 d) (- 4m + 1)x – 2m = m - 2 e) (m - 1)x + n = 2 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu H−ớng dẫn: e) Ta có: (m - 1) = 2 – n
Nếu m – 1 0≠ m 1≠ , ph−ơng trình có nghiệm duy nhất 2 nx m 1 − = −
Nếu m = 1 , ph−ơng trình đã cho có dạng 0.x = 2 – n (*)  Nếu 2 – n 0≠ n 2≠ , ph−ơng trình (*) vô nghiệm do đó ph−ơng trình đã cho cũng vô nghiệm  Nếu 2 – n = 0 n = 2, ph−ơng trình có dạng 0.x = 0, ph−ơng trình (*) vô số nghiệm do đó ph−ơng trình đã cho cũng vô số nghiệm Kết luận:  m 1≠ , n R∀ ∈ => ph−ơng trình có nghiệm duy nhất 2 nx m 1 − = −  m = 1, n 2≠ => ph−ơng trình vô nghiệm  m = 1, n = 2 => ph−ơng trình vô số nghiệm - Các câu khác học sinh làm t−ơng tự, GV cho HS tự luyện tại lớp B – Ph−ơng trình tích (40 phút) I - Lí thuyết - Ph−ơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0 - Cách giải: A(x).B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 - Trình bày gọn : A(x).B(x) = 0 A(x) 0 B(x) 0 =  = *) Mở rộng: A(x) 0 B(x) 0 A(x).B(x).C(x) . . . Z(x) 0 C(x) 0 . . . Z(x) 0 =  = =  =   = II – Bài tập *) Bài tập 1: Giải các ph−ơng trình sau: a) ( ) ( )2 21 3x 5x 2− = + b) 3 22x 9x 7x 6 0+ + − = H−ớng dẫn: a) Chuyển vế đổi dấu, dùng hằng đẳng thức đ−a về ph−ơng trình tích - KQ: S = { }3 1;2 8− − b) Biến đổi ph−ơng trình về dạng ( ) ( ) ( )x 2 x 3 2x 1 0+ + − = - Vậy S = { }13; 2; 2− − *) Bài tập 2: Giải các ph−ơng trình sau: a) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 33 x 1 2 x 3 2 x 3 x 5 x 5 3 x 1 0     + − + + + − + + − − + =      Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 9 b) ( ) ( ) ( )2x 2 x 2 x 10 72− + − = c) (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 d) ( )2 2 2(2x 3x 1) 5 2x 3x 3 24 0+ − − + + + = H−ớng dẫn: a) Sử dụng bài toán phụ, nếu a + b + c = 0 thì 3 3 3a b c 3abc+ + = KQ: S = { }11; 4;3− − b) ( ) ( ) ( )2x 2 x 2 x 10 72− + − = ( )2 2(x 4) x 10 72− − = Đặt 2t x (t 0)= ≥ , ph−ơng trình trở thành 2t 14t 32 0− − = t = 16 KQ: S = { }4;4− *) Cách khác : Đặt y = x2 – 7 c) (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40  [ ][ ](x 1)(x 5) (x 2)(x 4) 40+ + + + = ( ) ( )2 2x 6x 5 x 6x 8 40 + + + + = . Tiếp theo dùng ph−ơng pháp đặt ẩn phụ KQ: S = { }6;0− d) Đặt 2y 2x 3x 1= + − và đ−a ph−ơng trình đã cho về ph−ơng trình ẩn y, ta tìm y sau đó tìm x => S = { }51 ; 2; ;12 2− − C – Ph−ơng trình chứa ẩn ở mẫu (50 phút) I - Lí thuyết - Giải ph−ơng trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện theo 4 b−ớc:  B−ớc 1: Tìm ĐKXĐ của ph−ơng trình  B−ớc 2: Quy đồng mẫu hai vế của ph−ơng trình rồi khử mẫu  B−ớc 3: Giải ph−ơng trình vừa nhận đ−ợc  B−ớc 4: (kết luận) . Trong các giá trị của ẩn tìm đ−ợc ở b−ớc 3, các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ chính là nghiệm của ph−ơng trình đã cho, giá trị của x không thuộc ĐKXĐ là nghiệm ngoại lai (loại đi) II – Bài tập *) Bài tập 1: Giải các ph−ơng trình sau: a) ( ) 2 2 1 8x 32x4x 0 4 8x 12x 6 3 4 16x + − + = + − − b) 62 1 3x 1x x 11 x 2 = −+ −+ − H−ớng dẫn: a) ĐKXĐ: 1x 2 ≠ ± , quy đồng và biến đổi đ−a ph−ơng trình trở thành: 26x + 3 = 0. KQ: x = 3 26 − b) Đặt điều kiện cho các mẫu khác 0. Thu gọn vế trái và sau đó quy đồng Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu hai vế . Kết quả: x = 1, 8 *) Bài tập 2: Giải các ph−ơng trình sau: a) x1 x 3 3 x1 x 3 + + = − + b) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 8x 5x 6 x 7x 12 x 9x 20 x 11x 30 + + + = + + + + + + + + c) ( )2 2 91 1x x 7 02 xx+ − + + = H−ớng dẫn: a) Đặt điều kiện cho các mẫu khác 0 và quy đồng, kết quả: x = 3 b) Biến đổi các mẫu d−ới dạng tích nh− sau: ( ) ( )2x 5x 6 x 2 x 3+ + = + + => ( ) ( )2 1 1 1 1 x 2 x 3x 2 x 3x 5x 6 = = − + ++ ++ + T−ơng tự đối với các tr−ờng hợp còn lại. KQ: x = 2 hoặc x = - 10 c) Điều kiện x 0≠ , sau đó đặt 2 2 2 1 1x t(điều kiện t 2) x t 2 x x + = ≥ => + = − Đ−a ph−ơng trình đã cho về ph−ơng trình với ẩn là t D – Ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (59 phút) I - Lí thuyết - Định nghĩa: A nếu A 0 A A nếu A < 0 ≥ =  − - Các dạng ph−ơng trình  f (x ) 0 f (x ) 0= =  f (x ) K(K 0) f (x ) K= > = ±  f (x) g(x ) f (x ) g(x) f (x ) g(x ) = =  = − Hay [ ] [ ]2 2f (x ) g(x) f (x ) g(x )= = , đ−a về ph−ơng trình tích  f (x ) g(x)= f (x ) 0 f (x) g(x ) f (x ) 0 f (x ) g(x )  ≥  =  ≤  = − hoặc g(x) 0 f (x ) g(x ) g(x ) 0 f (x ) g(x )  ≥  =  ≥  = − Hoặc g(x) 0 f (x ) g(x ) hoặc f (x ) g(x ) ≥  = = − Hoặc [ ] [ ]2 2 g(x) 0 f (x ) g(x) ≥  = Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 9 - Chú ý: 2 2A A= ; A A≥ ± và A B A B A B− ≤ ± ≤ + II – Bài tập *) Bài tập 1: Giải các ph−ơng trình sau a) x 1 x 1 10+ + − = b) 2x 2x 4 2 3 x x 1+ − + + − = + H−ớng dẫn: a) Lập bảng x -1 1 x 1+ - x - 1 0 x + 1 2 x+1 x 1− - x + 1 2 - x + 1 0 x - 1 x 1 x 1 10+ + − = - 2x = 10 2 = 10 2 = 10 2 10= 2x = 10 - Khi 1 x 1− ≤ ≤ , Ph−ơng trình vô nghiệm - Khi x < -1, ph−ơng trình có nghiệm x = - 5 - Khi x > 1, ph−ơng trình có nghiệm x = 5 - Vậy S = { }5;5− b) S = ∅ *) Bài tập 2: Giải các ph−ơng trình sau a) 2x 2x 1 25− + = b) 2 2x 6x 9 4x 4x 1+ + = − + H−ớng dẫn: Đ−a về dạng ph−ơng trình chứa dấu giá trị truyệt đối a) 2x 2x 1 25− + = 2( x 1) 25 − = x 1 25 x 26 x 1 25 x 1 25 x 24 − = =  − =   − = − = −  Vậy tập nghiệm của ph−ơng trình là S = { }24;26− b) T−ơng tự : Tập nghiệm là S = { }2 ;43− IV. H−ớng dẫn về nhà (1 phút) - Xem lại các bài đã chữa. Giải tiếp các bài tập sau: *) Bài tập 1: Giải các ph−ơng trình sau a) 5 x 2 x− = b) x 1 2x 4 3− + − = KQ: a) S = { }1 ;0,53− b) S = { }82 ;3 3 *) Bài tập 2: Giải các ph−ơng trình. a) 34 1 2 ++ xx + 5 1 6316 1 3512 1 158 1 222 = ++ + ++ + ++ xxxxxx b) 12611246 =+−+++−+ xxxx H−ớng dẫn: x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3) x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5) x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7) x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9) Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu ⇒ ĐKXĐ : x ≠ -1; x ≠ -3; x ≠ -5; x ≠ -7; x ≠ -9 PT ⇔ 5 1 )9)(7( 1 )7)(5( 1 )5)(3( 1 )3)(1( 1 = ++ + ++ + ++ + ++ xxxxxxxx ⇔ 5 1) 9 1 7 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 1( 2 1 = + − + + + − + + + − + + + − + xxxxxxxx ⇔ 5 1) 9 1 1 1( 2 1 = + − + xx ⇒ 5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9) ⇔ 2x2 + 20x + 18 - 40 = 0 ⇔ x2 + 10x - 11 = 0 Ph−ơng trình có dạng a + b + c = 0 ⇒ x1 = 1; x2 = -11. x1; x2 thỏa mn ĐKXĐ. Vậy tập nghiệm của ph−ơng trình là : S = { }11;1− b) ĐKXĐ: x ≥ -2. Pt ⇔ 1)32()22( 22 =−++−+ xx ⇔ | |22 −+x + | 2+x -3| = 1 ⇔ | |22 −+x + | 3 - 2+x | = 1 áp dụng BĐT |A|+ |B| ≥| A + B| ta có : | |22 −+x + | 3 - 2+x | ≥ 1 Dấu "=" xảy ra khi : ( 22 −+x )( 3 - 2+x ) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ 2+x ≤ 3 ⇔ 2≤ x ≤ 7 Vậy tập nghiệm của ph−ơng trình là : S = { }72/ ≤≤ xx *) Bài tập 3: Giải các ph−ơng trình sau a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + 2 = 0 b, 122122 +−+++++ xxxx = 2 H−ớng dẫn: a, PT đ cho (x-1)(x-2)(x2+1) = 0 Do x2+1 > 0 với mọi x => x-1 =0 và x-2 = 0 ⇔ x = 1; x = 2 b, 11 ++x + 11 −+x =2 (ĐKXĐ : x≥ -1) ⇔ 11 ++x + 11 −+x = 2 (1) Nếu 1+x - 1 ≥ 0 ⇔ x + 1 ≥ 1 ⇔ x≥0 thì (1)  2 1+x = 2 ⇔ 1+x =1 ⇔ x = 0 Nếu x < 0 thì 2 = 2 (luôn đúng). Vậy -1 ≤ x ≤ 0 là nghiệm của PT . *) Bài tập 4: Giải ph−ơng trình: 145 3 3 5 x x x − − − = + − H−ớng dẫn: ĐK: 5x ≥ Đặt 5 0x t− = ≥ 2 5x t⇔ = + 2 9(1) 3 3 t t t − ⇔ − = + 2 23 9 3 9 0 0t t t t t⇔ + − + = + ⇔ = do đó ph−ơng trình có vô số nghiệm Với 0t∀ ≥ . Vậy ph−ơng trình (1) có vô số nghiệm với 5x∀ ≥ D/Bổ sung Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 9 Ngày soạn : 03/10/11 Ngày dạy : 07/10/11 Chủ đề 6 Các loại Ph−ơng trình Buổi 2 Ph−ơng trình vô tỉ A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Học sinh đ−ợc học cách giải các dạng ph−ơng trình vô tỉ và giải thành thạo một số dạng ph−ơng trình đó  Kĩ năng - Rèn kĩ năng giải ph−ơng trình vô tỉ  Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức - sĩ số II. Kiểm tra bài cũ (10 phút) - HS1: Giải ph−ơng trình 5 x 2 x− = - HS2: Giải ph−ơng trình x 1 2x 4 3− + − = III. Bài mới (80 phút) E – Ph−ơng trình vô tỉ 1. Dạng 1: 2 f (x ) 0 f (x) A( A 0) f (x) A ≥ = ≥  = *)L−u ý chung : Khi giải ph−ơng trình chứa ẩn trong căn, ta cần xác định điều kiện có nghĩa của ph−ơng trình và các điều kiện t−ơng đ−ơng. Nếu không có thể thử lại trực tiếp. Ví dụ 1: Giải các ph−ơng trình sau: a) 4x 5 2− = b) 2x 3 2 x 1 − = − H−ớng dẫn: a) Điều kiện: 5x 4 ≥ Bình ph−ơng hai vế, ta có: 9 54x 5 4 4x 9 x 4 4 − = = = > Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Vậy nghiệm của ph−ơng trình là x = 9 4 b) ĐKXĐ: 2x 3 x 10 x 1 3xx 1 0 2 − < ≥  −  ≥ − ≠  Bình ph−ơng hai vế tìm đ−ợc 1x 2 = (thỏa mãn ĐKXĐ) 2. Dạng 2: [ ]2 f (x) 0 g(x) 0f (x ) g(x) f (x ) g(x) ≥  ≥ =   = Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình: 5−x = x - 7 (1) Giải Ph−ơng trình (1)  2 2 x 5 0 x 7 (2) x 7 0 x 5 (x 7) (*) x 5 (x 7) (*)  − ≥ ≥ − ≥   − = − − = − Giải ph−ơng trình (*) : x - 5 = x2 -14x + 49  x2 -15x + 54 = 0  (x - 6)(x - 9) = 0 => x = 6 hoặc x = 9 Đối chiếu với ĐK (2) ta thấy x = 9 thoả mãn Vậy ph−ơng trình đã cho có nghiệm là : x = 9 Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình: 5+x = 1 - x H−ớng dẫn: Giải t−ơng tự ví dụ 1, ta có x = - 1 là nghiệm của ph−ơng trình 3. Dạng 3: f (x) 0 f (x ) g(x ) g(x ) 0 f (x ) g(x ) ≥  = ≥  = Ví dụ 1: Giải các ph−ơng trình sau: a) 3x 1 2 2 x+ = − b) 2x 1 3 5 x− = − H−ớng dẫn: a) Ph−ơng trình đã cho  3x 1 0 1 x 2 32 x 0 x 1 x 13x 1 8 4x + ≥ − ≤ ≤  − ≥ =    =+ = − b) T−ơng tự: x = 46 11 4. Dạng 4: ƒ(x) + h(x) = g(x) (1). Sơ đồ cách giải. - Tìm điều kiện có nghĩa của ph−ơng trình: f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 (2). h(x) ≥ 0 - Với điều kiện (2) thì hai vế của ph−ơng trình không âm nên ta bình ph−ơng hai vế, ta có: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 9 f (x ).h(x) = 2 1 [ [g(x)] 2 - ƒ(x) - h(x) ] (3) - Ph−ơng trình (3) có điều kiện mới: [ [g(x)]2 - f(x) - h(x) ]≥ 0 (4) - Bình ph−ơng hai vế của ph−ơng trình (3) đ−ợc ph−ơng trình mới đã biết cách giải. - Đối chiếu nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) rồi kết luận. Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình: 3+x + x−1 = 2 (1) Giải - Điều kiện có nghĩa: x + 3 ≥ 0  x ≥ - 3  - 3 ≤ x ≤ 1 (*) 1 - x ≥ 0 x ≤ 1 - Với điều kiện (*) ph−ơng trình có hai vế không âm nên bình ph−ơng hai vế ta có: x + 3 + 1 - x + 2 3+x . x−1 = 4 3+x . x−1 = 0 => x = 1 hoặc x = - 3 - Cả giá trị 1 và - 3 đều thoả mãn ĐK (*) - Vậy ph−ơng trình đã cho có hai nghiệm là : x1 = - 3 và x2 = 1 Ví dụ 2 : Giải ph−ơng trình: 3+x = 5 - 2−x 3+x + 2−x = 5 (1) Giải - Điều kiện : x + 3 ≥ 0 x ≥ - 3 x ≥ 2 (*) x – 2 ≥ 0 x ≥ 2 - Với điều kiện (*) bình ph−ơng cả hai vế của ph−ơng trình (1) ta có : 2x + 1 + 2 3+x . 2−x = 25 ⇔ 2 3+x . 2−x = 24 - 2x 3+x . 2−x = 12 - x (2) - Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 12 (**) - Bình ph−ơng hai vế của (2) ta có: (x + 3)(x - 2) = (12 - x)2  x2 + x - 6 = 144 - 24x + x2 ⇔ 25 x = 150 ⇔ x = 6 , thoả mãn điều kiện (*) và (**) - Vậy nghiệm của ph−ơng trình là x = 6. 5. Dạng 5: ƒ(x) + h(x) = g(x) (1) Dạng 5 chỉ khác dạng 4 ở vế phải là g(x) nên cách giải hoàn toàn t−ơng tự nh− cách giải ở dạng 4. Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình 1+x = x−12 + 7−x (1) Giải: Điều kiện: x + 1 ≥ 0 12 - x ≥ 0  x - 7 ≥ 0 Với điều kiện (*) ph−ơng trình (1) có hai vế không âm nên ta bình ph−ơng 7 ≤ x ≤ 12 (*) Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu hai vế, ta đ−ợc : ( 1+x )2 = ( x−12 + 7−x )2  x + 1 = 12 - x + x - 7 + 2. x−12 . 7−x ⇔ 2 x−12 . 7−x = x - 4 (2) Với (*) thì hai vế của ph−ơng trình (2) không âm ta bình ph−ơng hai vế của (2) ta đ−ợc: 4 (- x2 + 19x - 84) = x2 - 8x + 16 ⇔ 5x2 - 84x + 352 = 0 (3) Ta có : ∆' = 1764 - 1760 = 4 > 0 ⇒ ∆' = 2 Ph−ơng trình (3) có hai nghiệm: x1 = 8,8 ; x2 = 8 đều thoả mãn ĐK (*) Vậy ph−ơng trình đã cho có 2 nghiệm : x1 = 8,8 ; x2 = 8 Ví dụ 2 : Giải ph−ơng trình 15 −x - 23 −x = 1−x (1) Giải Điều kiện: 5x - 1 ≥ 0 x ≥ 5 1 3x - 2 ≥ 0 x ≥ 3 2 x ≥ 1 (*) x - 1 ≥ 0 x ≥ 1 - Ph−ơng trình (1) có dạng : 15 −x = 23 −x + 1−x - Với ĐK (*) bình ph−ơng 2 vế của ph−ơng trình (1) ta có : 5x - 1 = x - 1 + 3x - 2 + 2 23 −x . 1−x x + 2 = 2. 23 −x . 1−x - Với x ≥ 1 cả hai vế của ph−ơng trình này không âm, bình ph−ơng 2 vế của ph−ơng trình ta đ−ợc: (x + 2)2 = 4.(x - 1)(3x - 2)  x2 + 4x + 4 = 12x2 - 20x + 8 11x2 - 24x + 4 = 0 (x - 2)(11x - 2) = 0 x = 2 hoặc x = 11 2 - Theo ĐK (*) thì ph−ơng trình chỉ có nghiệm x = 2 - Vậy x = 2 là nghiệm của ph−ơng trình 6. Dạng 6: ƒ(x) + h(x) = g(x) + k(x) (1) *) Sơ đồ lời giải: Điều kiện: f(x) ≥ 0; h(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0; k(x) ≥ 0 Bình ph−ơng hai vế ta có: f(x) + h(x) + 2 ƒ(x).h(x) = g(x) + k(x) + 2 g(x).k(x) - Tùy theo từng bài mà ta có ph−ơng pháp giải tiếp theo … Ví dụ : Giải ph−ơng trình : 1+x + 10+x = 2+x + 5+x (1) Giải: Điều kiện: x + 1 ≥0 x ≥ - 1 x + 10 ≥0 x ≥ - 10 x ≥ - 1 (*) x + 2 ≥0 x ≥ - 2 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 9 x + 5 ≥0 x ≥ - 5 Bình ph−ơng 2 vế của ph−ơng trình (1) ta có : x + 1 + x +10 + 2. 1+x 10+x = x + 2 + x + 5 + 2 2+x . 5+x 2 + 1+x . 10+x = 2+x . 5+x Với ĐK : x ≥ -1 cả hai vế của ph−ơng trình là không âm tiếp tục bình ph−ơng ta có : 4 + (x + 1)(x + 10) + 4 1+x . 10+x = (x + 2)(x + 5) 4 + x2 + 11x + 10 + 4 1+x . 10+x = x2 + 7x + 10 - x - 1 = 1+x . 10+x (2) Ph−ơng trình (2) có ĐK: x ≤ -1 (**) Từ (*) và (**) ta có x = -1 là nghiệm của ph−ơng trình 7. Dạng 7: ƒ(x) + h(x) + n ƒ(x).h(x) = g(x) (1) Sơ đồ cách giải. Điều kiện: f(x), h(x) ≥ 0. Đặt t = ƒ(x) + h(x) (t ≥ 0) => t2 = f(x) + h(x) + 2 ƒ(x) h(x) từ đó ta giải tiếp => ƒ(x) h(x) = [ t2 - f(x) - h(x) ]: 2 Ta biến đổi ph−ơng trình (1) về ph−ơng trình ẩn t, sau đó tìm t => x = ? Ví dụ : Giải ph−ơng trình 1+x + x−3 - 1+x . x−3 = 2 (1) Giải Điều kiện : x + 1≥0 3 - x ≥0 -1 ≤ x ≤ 3 (*) Đặt t = 1+x + x−3 ( t > 0) , ta có : t2 = x + 1 + 3 - x+ 2 1+x . x−3 => 2 1+x . x−3 = t2 - 4 (**). Khi đó ph−ơng trình (1) có dạng: 2t - ( t2 - 4 ) = 4 ⇔ t2 - 2t = 0 ⇔ t( t - 2) = 0 (2) Ph−ơng trình (2) có hai nghiệm là t1 = 0; t2 = 2. Nghiệm t = 2 thoả mãn ĐK : t > 0 Khi t = 2 theo (**), ta có : 2 1+x . x−3 = 22 - 4 1+x . x−3 = 0 = > x = -1 hoặc x = 3 Cả 2 nghiệm này đều thoả mãn điều kiện (*) Vậy ph−ơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = 3 IV. Luyện tập - Giải đề thi (80 phút) *) Bài tập 1: Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2010 - 2011 Giải phương trỡnh : 2 2x 4x 7 (x 4) x 7+ + = + + H−ớng dẫn: Đặt t = 2 7x + , phương trỡnh đó cho thành : 2 4 ( 4)t x x t+ = + ⇔ 2 ( 4) 4 0t x t x− + + = ⇔ ( )( 4) 0t x t− − = ⇔ t = x hay t = 4, Do đú phương trỡnh đó cho ⇔ 2 27 4 7x hay x x+ = + = ⇔ x2 + 7 = 16 hay 2 27 7 x x x  + =  ≥ ⇔ x2 = 9 ⇔ x = 3± Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Cỏch khỏc : 2 24 7 ( 4) 7x x x x+ + = + + ⇔ 2 27 4( 4) 16 ( 4) 7 0x x x x+ + + − − + + = ⇔ 2 2 2( 4)(4 7) ( 7 4)( 7 4) 0x x x x+ − + + + − + + = ⇔ 2 27 4 0 ( 4) 7 4 0x hay x x+ − = − + + + + = ⇔ 2 27 4 7x hay x x+ = + = ⇔ x2 = 9 ⇔ x = 3± *) Bài tập 2: Đề thi vào THPT tỉnh Thái Bình năm học 2009 - 2010 Giải phương trỡnh: 1 1 1 13 x 2x 3 4x 3 5x 6   + = +  − − −  . H−ớng dẫn: Ta chứng minh: 1 1 1 1 1 13 a b c a 2b b 2c c 2a   + + ≥ + +  + + +  (*) với a > 0; b > 0; c > 0 + Với a > 0; b > 0 ta cú: ( )a 2 b 3 a 2b+ ≤ + (1) + Do ( )1 2 a 2 b 9 a b   + + ≥    nờn 1 2 9 a b a 2 b + ≥ + (2) + Từ (1) và (2) ta cú: 1 2 3 3 a b a 2b + ≥ + (3) (Với a > 0; b> 0; c > 0) + Áp dụng (3) ta cú: 1 1 1 1 1 13 a b c a 2b b 2c c 2a   + + ≥ + +  + + +  với a > 0; b> 0; c > 0 Phương trỡnh 1 1 1 13 x 2x 3 4x 3 5x 6   + = +  − − −  cú ĐK: 3x 2 > Áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x; b = x; c = 2x - 3 ta cú: 1 1 1 1 1 13 x x 2x 3 3x 5x 6 4x 3   + + ≥ + +  − − −  1 1 1 13 x 2x 3 5x 6 4x 3   ⇒ + ≥ +  − − −  với 3x 2 > Dấu “ = ” xảy ra x 2x 3 x 3⇔ = − ⇔ = Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 3. *) Bài tập 3: Đề thi vào THPT tỉnh Nam Định năm học 2011 - 2012 1) Giải phương trỡnh : ( )( ) ( )22x x 9 x 9 22 x 1+ + = − 2) Chứng minh rằng : Với mọi 2 32 3 1 1 x 1, ta luụn cú 3 x 2 x x x     > − < −        . H−ớng dẫn: 1) Giải phương trỡnh : ( )( ) ( )22x x 9 x 9 22 x 1+ + = − ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2x 9 x 9x 22 x 1 x 9 x 9 9 x 1 22 x 1 ⇔ + + = − ⇔ + + + − = −  Đặt x – 1 = t; 2x 9+ = m ta cú: 2 2 2 2m 9mt 22t 22t 9mt m 0+ = ⇔ − − = Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 9 Giải phương trỡnh này ta được m mt ;t 2 11 − = =  Với 2 2m x 9t ta cú : x 1 x 2x 11 0 vụ nghiờm 2 2 + = − = ⇔ − + =  Với 2 2m x 9t ta cú : x 1 x 11x 2 0 11 11 − − − = − = ⇔ + − = 121 8 129∆ = + = > 0 phương trỡnh cú hai nghiệm 1,2 11 129 x 2 − ± = Vậy phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm phõn biệt 1,2 11 129 x 2 − ± = 2) Chứng minh rằng : Với mọi 2 32 3 1 1 x 1, ta luụn cú 3 x 2 x x x     > − < −        (1) 2 3 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 13 x 2 x 3 x x 2 x x 1 x x x x x x 1 1 13 x 2 x 1 (vỡ x 1 nờn x 0) (2) x x x           − < − ⇔ − + < − + +                        ⇔ + − >        Đặt 2 22 1 1 x t thỡ x t 2 x x + = + = − , ta cú (2) ( )( )22t 3t 2 0 t 2 2t 1 0⇔ − − > ⇔ − + > (3) Vỡ ( )2 2 1x 1 nờn x 1 0 x 1 2x x 2 hay t 2 x > − > ⇔ + > ⇔ + > > => (3) đỳng Vậy ta cú đpcm *) Bài tập 4: Đề thi vào THPT tỉnh Nam Định năm học 2011 - 2012 Giải ph−ơng trình 3 23 2 2 3 1x x x x x x− + − = + + + . H−ớng dẫn: + Điều kiên xác định: 2 3 3 2 x≤ ≤ + Với các cặp số ( a;b) và (c; d) ta có 2 2 2 2 2( ) ( )( )ab cd a c b d+ ≤ + + ( tự chứng minh) + áp dụng với a = x, b = 3 2x − , c = 1, d = 3 2x− ta có 2 2 2( 3 2 2 3) ( 1)(3 2 2 3) 3 2 2 3 ( 1)( 1)x x x x x x x x x x x− + − ≤ + − + − ⇒ − + − ≤ + + hay 3 23 2 2 3 1x x x x x x− + − ≤ + + + Do đó dấu "=" ở ph−ơng trình đ cho chỉ xảy ra khi và chỉ khi 3 2 1 3 2 x x x − = − (*) Giải (*) và đối chiếu điều kiện ta đ−ợc x = 1 là nghiệm của ph−ơng trình đ cho. *) Bài tập 5: Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 - 2011 1. Giải ph−ơng trình 8 x 3 5 x 3 5+ − + − − = 2. Cho x + y + z = 0 và xyz ≠ 0 . Tính P = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 y z x x y z x z y + + + − + − + − H−ớng dẫn: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 1. ĐK: x 3.Đặt x 3 y 0≥ − = ≥ . Ph−ơng trình trở thành 8 y 5 y 5 (ĐK : 0 y 5)+ + − = ≤ ≤ Bình ph−ơng hai vế thu đ−ợc (8 y)(5 y) 6+ − = Tiếp tục bình ph−ơng hai vế thu đ−ợc ph−ơng trình: 2y 3y 4 0 y 1(nhận) hoặc y = - 4 (loại)+ − = = Với y = 1 tìm đ−ợc x = 4 (nhận). Vậy x = 4 2. Từ x + y + z = 0 => x = - (y + z) => 2 2 2 2 2 2x y z 2yz y z x 2yz= + + => + − = − T−ơng tự ta có: 2 2 2 2 2 2y x z 2xy;x z y 2xz+ − = − + − = − Vậy P = (x y z)1 1 1 0 2yz 2xy 2xz 2xyz − + + + + = = − − − *) Bài tập 6: Tìm x biết a) 2 3 1 2x + = + b) 2 9 3 3 0x x− − − = H−ớng dẫn: a) ĐKXĐ: x 3 2 ≥ − 2 3 1 2x + = + ( )22 3 1 2x⇔ + = + Giải ph−ơng trình có x = 2 Thoả mn ĐKXĐ. Vậy ph−ơng trình có nghiệm x = 2 b) 2 9 3 3 0x x− − − = ĐKXĐ: ( )( )2 3 3 09 0 3 3 0 3 0 x xx x x x  − + ≥ − ≥  ⇔ ⇔ ≥  − ≥ − ≥  2 9 3 3 0x x− − − = ( )( )3 3 3 3 0x x x⇔ − + − − = ( )3. 3 3 0x x⇔ − + − = 33 0 3 63 33 3 0 xx x xxx  =− = = ⇔ ⇔ ⇔   =+ =+ − =   (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy ph−ơng trình có nghiệm x = 3; x = 6. *) Bài tập 7: Giải phương trỡnh : 12428 1 4 2 36 −−−−= − + − yx yx H−ớng dẫn: Phương trỡnh 12428 1 4 2 36 −−−−= − + − yx yx (1) cú ĐKXĐ là : x > 2, y > 1 *) Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta cú : + Phương trỡnh (1) ⇔ 028 1 )1(4 2 )2(436 22 =− − −+ + − −+ y y x x ⇔ 0 1 )12( 2 )226( 22 = − −− + − −− y y x x (2) Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 9 + Với x > 2, y > 1 ⇒        >− >− ≥−− ≥−− 01 02 0)12( 0)226( 2 2 y x y x (3) Từ (2) và (3) ⇒     =−− =−− 0)12( 0)226( 2 2 y x ⇔     =−− =−− 012 0226 y x ⇔     −= −= 12 226 y x ⇔    = = 5 11 y x Thử lại ta thấy (x = 11 và y = 5) là nghiệm của hệ phương trỡnh Vậy phương trỡnh cú 1 nghiệm duy nhất (x; y) = (11; 5) *) Bài tập 8: Giải phương trỡnh: 2x - 2 + 6 - x = x - 8x + 24 H−ớng dẫn: PT: 22 6 8 24x x x x− + − = − + (1) ĐKXĐ: 2 6x≤ ≤ Chứng minh được: 2 6 2 2x x− + − ≤ Dấu “=” xảy ra ⇔ x – 2 = 6 – x ⇔ x = 4 2 28 24 ( 4) 8 8 2 2x x x− + = − + ≥ = Dấu “=” xảy ra ⇔ (x – 4)2 = 0⇔ x - 4 = 0 ⇔ x = 4 Phương trỡnh (1) xảy ra ⇔ x = 4 Giỏ trị x = 4 : thỏa món ĐKXĐ. Vậy: { }S = 4 *) Bài tập 9: Giải phương trỡnh: x12x3 2x3 x2 −=−− − H−ớng dẫn: ĐKXĐ: 3x – 2 > 0 ⇔ x > 3 2 . Phương trỡnh tương đương với: x 2 – (3x – 2) = (1 – x). 2x3 − ⇔ (x – 1)(x – 2) = (1 – x) 2x3 − ⇔(x – 1)(x – 2 + 2x3 − ) = 0 ⇔    =−+− =− 02x32x 01x ⇔    −=− = (*)x22x3 1x Giải (*) ⇔    −=− ≤ 2)x2(2x3 2x ⇔         = = ≤ )loaùi(6x 1x 2x ⇔ x = 1 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = { }1 *) Bài tập 10: Giải ph−ơng trình: 2 24 3 4x x x x− + = − (2) H−ớng dẫn: ( ) 2 2 2 22 2 4 0 4 3 4 4 3 4 x x x x x x x x x x  − ≥ − + = − ⇔  − + = − (2) ( ) 2 2 2 2 4 0 0 4 4 2 4 3 0 3 t x x t t x t t t t  = − ≥  ≤ ≤ ⇔ = − − ≤ ⇔  + − = − = (3) Giải phương trỡnh theo t, ta cú: 1 1 13 0 2 t − − = < (loại); 2 1 13 0 2 t − + = > Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 2 2 13 94 0 4 2 t t − − = < ⇔ < . Suy ra nghiệm của (3) là 2t . Giải ph−ơng trình 1 2 2 2 2 2 9 132 24 4 0 9 132 2 x x x t x x t x  −  = −  − = ⇔ − + = ⇔  − = +  Vậy: ph−ơng trình đ cho có hai nghiệm phân biệt: 1,2 9 132 2 x − = ± *) Bài tập 11: Tìm x biết: a) 2 3 1 2x + = + b) 2 9 3 3 0x x− − − = H−ớng dẫn: a) ĐKXĐ x 3 2 ≥ − 2 3 1 2x + = + ( )22 3 1 2x⇔ + = + Giải ph−ơng trình có x = 2 Thoả mn ĐKXĐ. Vậy ph−ơng trình có nghiệm x = 2 b) 2 9 3 3 0x x− − − = ĐKXĐ: ( )( )2 3 3 09 0 3 3 0 3 0 x xx x x x  − + ≥ − ≥  ⇔ ⇔ ≥  − ≥ − ≥  2 9 3 3 0x x− − − = ( )( )3 3 3 3 0x x x⇔ − + − − = ( )3. 3 3 0x x⇔ − + − = 33 0 3 63 33 3 0 xx x xxx  =− = = ⇔ ⇔ ⇔   =+ =+ − =   (TMĐKXĐ) Vậy ph−ơng trình có hai nghiệm x = 3; x = 6. *) Bài tập 12: Giải các ph−ơng trình sau 2 3 1 1 1 1) 21 2 11 2 1) = − + − + − =−−+−+ x x x xb xxxxa H−ớng dẫn: a) Tìm ĐKXĐ : x≥1 - Biến đổi đ−a về ph−ơng trình dạng: ( )11 +−x 2 + ( )11 −−x 2 = 2 - Biến đổi t−ơng đ−ơng đ−a ph−ơng trình về : 11 +−x + 11 −−x = 2 - áp dụng