Chủ đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

Chủ đề : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Loại: NÂNG CAO Thời lượng: 9 TIẾT Nội dung: Phần 1. Đa thức một biến, dạng. anxn + an-1xn-1 + ...+ a1x + a0 (ai € Z) Phương pháp tách hạng tử (2t). Phương pháp hệ số bất định (1t). Phương pháp thêm bớt hạng tử (1t). Phương pháp đổi biến (1t). Khi nào đa thức không phân tích được (1t). Phần 2. Đa thức nhiều biến. Phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, đổi biến. (1t) Phương pháp xét giá trị riêng (1t). Gợi ý kiểm tra (1t). Mục tiêu : Sau khi học xong chủ đề này, học sinh đạt được: .Về kiến thức: Nắm được nội dung định lý Bezout và hệ quả của nó. Xác định được nghiệm x=a (a€Q) của đa thức (nếu có). Sử dụng hệ quả định lý Bezout xác định được nhân tử x-a (a€Q) của đa thức, từ đó biết cách tách hạng tử thích hợp. Biết đồng nhất hai đa thức để xác định các hệ số chưa biết. Phân tích được thành nhân tử đa thức bậc cao thường gặp dạng x3m +2 + x3n+1 + 1 (m,n€N). Biết cách đổi biến để đưa đa thức “phức tạp” về dạng đa thức “đơn giản”(dạng chuẩn). Biết khi nào một đa thức không phân tích được. Biết chứng minh một đa thức không phân tích được. Biết sử dụng phương pháp xét giá trị riêng. .Về kĩ năng: Tách hạng tử. Thêm bớt hạng tử. Đồng nhất hai đa thức, xác lập đẳng thức để tính giá trị riêng. Đổi biến hợp lý để đưa đa thức về dạng chuẩn. Với mỗi bài toán cụ thể, xác định, sử dụng phương pháp thích hợp. .Về phương pháp dạy học: Giáo viên cần tổ chức các hoạt động nhận thức của học sinh trong tiết dạy trên lớp. Thông qua những ví dụ cụ thể, giáo viên dẫn dắt học sinh nắm bắt được mục tiêu từng tiết học. Nên quan tâm đến việc hướng dẫn HS phân tích, tìm tòi, phát hiện ra phương pháp phân tích thành nhân tử thích hợp ứng với từng bài toán cụ thể. .Về kiểm tra đánh giá: -Tổ chức kiểm tra viết, bài làm theo hình thức tự luận. . Ghi chú và hướng dẫn: -Để HS nắm được một cách vững vàng mục tiêu của chuyên đề, mạch kiến thức của chuyên đề được viết như sau: Phần 1: Đa thức một biến f(x)= anxn + an-1xn-1 + ... + a0. (ai€Z) (1) 1. Định lý Bezout và hệ quả. 2. f(x) có nghiệm hữu tỉ => f(x)=(x-a)Q(x). Giới thiệu phương pháp tách hạng tử. f(x) không có nghiệm hữu tỉ và f(x) có bậc 4,5. Giới thiệu phương pháp đồng nhất (hệ số bất định). f(x) không có nghiệm hữu tỉ và f(x) có bật đủ lớn. Giới thiệu phương pháp thêm bớt hạng tử. Chú trọng f(x) có dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 (m,n€N) 5. f(x) chưa có dạng (1). Giới thiệu phương pháp đổi biến. 6. Dấu hiệu nhận biết đa thức f(x) không phân tích được và cách chứng minh. Phần 2: Đa thức nhiều biến Phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, đổi biến. Phương pháp xét giá trị riêng. Kiểm tra. Phần 1: ĐA THỨC MỘT BIẾN DẠNG f(x)=anxn+an-1xn-1 + ...+ a0 (ai€Z).(1) Tiết 1: PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ A.Mục tiêu: Sau khi học xong học sinh có khả năng. Biết: -Định lý Bezout và hệ quả của nó. -Xác định được nghiệm x=a (a€Q) nếu có của đa thức. -Xác định được nhân tử của đa thức. Hiểu: Dựa vào nhân tử của đa thức được xác định, để tách hạng tử thích hợp. Kĩ năng vận dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử các đa thức dạng (1) với trường hợp f(x).có nghiệm hữu tỉ, bằng phương pháp tách hạng tử. B.Tài liệu hỗ trợ Để học tốt toán 9 _ Hoàng Chúng _ NXB Giáo dục. C.Noäi dung 1. Các hoạt động. Hỏi. Cho đa thức f(x) =x3+4x2+4x+3. Hãy dự đoán một nhân tử x-a (a€Q) của f(x). □ Nhân tử x+3 Hỏi:Có định lý nào giúp ta xác định được nhân tử x-a của f(x) hay không? □ Định lý Bezout. Định lý: Dư trong phép chia f(x) cho nhị thức g(x) =x-a là một hằng số f(a). Chứng minh: Ta có f(x)=(x-a) p(x)+r => f(a)= (a-a) p(a)+r => r=f(a) (dpcm) Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x-a Hỏi: Xác định được nhân tử x+3 của f(x), giúp chúng ta điều gì? □ Giúp chúng ta dự đoán và tách hạng tử thích hợp. Ví dụ 1: f(x)=x3+4x2+4x+3 f(x)=x3+3x2+x2+3x+x+3 (4x2 được tách thành 3x2+x2, lúc đó x3+3x2 có chứa nhân tử x+3 4x được tách thành 3x+x, lúc đó x2+3x có chứa nhân tử x+3) f(x)= x2(x+3)+x(x+3)+(x+3) f(x)=(x+3)( x2+x+1) Ví dụ 2: f(x)=x3-7x – 6 Nhận xét f(-1)=0 => f(x) có chứa nhân tử x+1 f(x)=(x3-x)-(6x+6) (-7x được tách thành –x-6x lúc đó x3-x có chứa nhân tử x+1 và 6x+6 có chứa nhân tử x+1) f(x)=x(x2-1)-6(x+1)=(x+1)(x2-x-6). Hỏi: Thường thì việc xác định nghiệm của f(x) không dễ dàng, có định lý nào giúp ta định hướng và hạn chế được các giá trị x cần lựa chọn. □ Định lý 1: Cho đa thức với các hệ số nguyên f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a0 (ai€Z) -Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước số của hạng tử độc lập a0. -Nếu f(x) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải có dạng p/q với p là ước của a0, q là ước của an. Ví dụ: f(x)= x3+4x2+4x+3 Ta chỉ cần xét các giá trị x=±1, x=±3 f(1)=12, f(-1)=2, f(3)=78, f(-3)=0,=> x=-3 là nghiệm của f(x) Chú ý: -Nếu an+an-1+...+a0=0 => x=1 -Nếu tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn thì đa thức có nghiệm x=-1. Hỏi: Sau khi xác định nhân tử của f(x), ngoài việc giúp ta dự đoán để tách hạng tử thích hợp, còn có cách nào khác để tìm nhân tử còn lại hay không? □ Có: Ta có f(x)=(x+3) Q(x) => Q(x)=f(x)/(x+3) Lấy Q(x): (x+3) ta được x2+x+1 Vậy: f(x)=(x+3)(x2+x+1) 2.Tóm tắt: Cho f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a0 (ai€Z) Nếu f(x) có nghiệm hữu tỉ, thì nghiệm đó phải có dạng p/q với p là ước của a0, q là ước của an. 3.Phụ lục, hướng dẫn thêm: -Học sinh công nhận định lý 1, giáo viên có thể cho một vài ví dụ minh hoạ tính đúng đắn của định lý. -Nếu không sợ làm phức tạp vấn đề, giáo viên có thể thay định lý 1 bởi tập nghiệm hữu tỉ của đa thức là:T={r/s; r│a0, s│an; f(1)/(s-r)€Z; f(-1)/(s+r)€Z} Tiết 2: LUYỆN TẬP A. Mục tiêu: Sau khi học xong HS có khả năng : Biết: phân tích đa thức thành nhân tử các đa thức dạng f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a0 (1) với trường hợp f(x) có nghiệm hữu tỉ. Hiểu: Các bước thực hiện để tách hạng tử thích hợp. Kĩ năng vận dụng: Sử dụng thành thạo phương pháp tách hạng tử các đa thức dạng (1) với trường hợp f(x) có nghiệm hữu tỉ. B. Tài liệu hỗ trợ: Các bài toán đại số nâng cao 8_ Phạm Thành Luân_NXB Giáo dục Đại học QG Tp Hồ Chí Minh. C. Nội dung: 1. Tóm tắt phương pháp giải: -Nếu đa thức có một nghiệm hữu tỉ là a, thì nó chứa một nhân tử là x-a. -Ta thường đoán nghiệm hữu tỉ x=a của đa thức có hệ số nguyên như sau: .Tìm các ước số p của hạng tử tự do a0. .Tìm các ước số dương q của hệ số của hạng tử bậc cao nhất an. .Giá trị a nếu có là p/q. .Ta thử để chọn nghiệm. Nhận xét này giúp ta tách hạng tử để tạo ra nhân tử chung. 2.Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a) x3-19x -30 b) a3-6a2+11a-6 c) a4-6a3+27a2-54a+32 d) 3x3-7x2+17x-5 e) 2x4+7x3-2x2-13x+6 HD Giải: a) x3-19x-30=x3-4x-15x-30 =x(x2-4)-15(x+2) =(x+2) [x(x-2)-15] =(x+2)(x2-2x-15) =(x+2)(x2-5x+3x-15) =(x+2) [x(x-5)+3(x-5) ] =(x+2)(x+3)(x-5) b) a3-6a2+11a-6=a3-a2-5a2+5a+6a-6 =a2(a-1)-5a(a-1)+6(a-1) =(a-1)(a2-5a+6) =(a-1)(a-2)(a-3) c) a4-6a3+27a2-54a+32 =a4-a3-5a3+5a2+22a2-22a-32a+32 =a3(a-1)-5a2(a-1)+22a(a-1)-32(a-1) =(a-1)(a3-5a2+22a-32) =(a-1)(a3-2a2-3a2+6a+16a-32) =(a-1) [a2(a-2)-3a(a-2)+16(a-2) ] =(a-1)(a-2)(a2-3a+16) d) 3x3-7x2+17x-5 =3x3-x2-6x2+2x+15x-5 =x2(3x-1)-2x(3x-1)+5(3x-1) =(3x-1)(x2-2x+5) e) 2x4+7x3-2x2-13x+6 =2x4-x3+8x3-4x2+2x2-x-12x+6 =x3(2x-1)+4x2(2x-1)+x(2x-1)-6(2x-1) =(2x-1)(x3+4x2+x-6) = (2x-1)(x-1)(x+2)(x+3) 3.Hướng dẫn các việc làm tiếp: Trong các bài tập đã cho ở trên, các đa thức đều phân tích được thành nhân tử, trong đó có chứa một nhân tử bậc nhất, điều này giúp ta xác định được nhân tử bậc nhất này (nhờ Bezout). Trong trường hợp đa thức không phân tích được thành nhân tử bậc nhất (f(x) không có nghiệm hữu tỉ). Lúc đó ta giải quyết vấn đề như thế nào ? Tiết 3. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH A.Mục tiêu: Sau khi học xong HS có khả năng: -Biết: Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định. -Hiểu: Cách đồng nhất hai đa thức và xác định các hệ số chưa biết. -Kĩ năng vận dụng:Phân tích thành nhân tử các đa thức dạng: f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a0. với trường hợp f(x) có nghiệm hữu tỉ hoặc không có nghiệm hữu tỉ bằng phương pháp hệ số bất định. B.Tài liệu hỗ trợ: Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm đại số 8. -TS Nguyễn Văn Lộc_NXB Giáo dục. C. Nội dung: Hỏi: Phân tích đa thức sau bằng phương pháp tách hạng tử: x4+6x3+7x2+6x+1. □ Đa thức trên không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Điều này chứng tỏ đa thức trên không phân tích được thành nhân tử bậc nhất x-a. Như vậy việc dự đoán để tách các hạng tử gặp nhiều khó khăn. Để giải quyết vấn đề này ta nghiên cứu một phương pháp mới: Phương pháp hệ số bất định. Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử. x4+6x3+7x2+6x+1 Giải: Dể thấy rằng ±1 không là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu đa thức đã cho phân tích được thành nhân tử phải có dạng (x2+ax+b) (x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: x4+6x+7x2+6x+1=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd. a+c=6 => ac+b+d=7 =>a=b=d=1, c=5 ad+bc=6 bd=1 => x4+6x3+7x2+6x+1=(x2+x+1)(x2+5x+1) Bài toán 2: Phân tích thành nhân tử. f(x)=2x4-3x3-7x2+6x+8 Giải: Ta có f(2)=0 => f(x) có chứa thừa số x-2. Do đó: 2x4-3x3-7x2+6x+8=(x-2)(2x3+ax2+bx+c) 2x4-3x3-7x2+6x+8=2x4+(a-4)x3+(b-2a)x2+(c-2b)x-2c a-4=-3 => b-2a=-7 =>a=1, b=-5,c=-4 c-2b=6 -2c=8 => 2x4-3x3-7x2+6x+8=(x-2)(2x3+x2-5x-4) Vì: 2x3+x2-5x-4=(x+1)(2x2-x-4) Nên: f(x)=(x-2)(x+1)(2x2-x-4) Bài tập:Dùng phương pháp hệ số bất định phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4+3x2-2x+3 b) x4+2x3+3x2+2x+1 c) x3-x2-4 HD Giải: a) x4+3x2-2x+3=(x2+ax+3)(x2+bx+1) =x4+(a+b)x3+(ab+4)x2+(a+3b)x+3 a+b=0 => ab+4=3 => a=1, b=-1 a+3b=-2 =>x4+3x2-2x+3=(x2+x+3)(x2-x+1) b) x4+2x3+3x2+2x+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1) = x4+(a+b)x3+(ab+2)x2+(a+b)x+1 a+b=2 => ab+2=3 => a=b=1 a+b=2 => x4+2x3+3x2+2x+1=(x2+x+1)2 c) x3-x2-4=(x+a)(x2+bx+c) = x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac a+b=-1 => ab+c=0 =>a=-2, b=1, c=2 ac=-4 => x3-x2-4=(x-2)(x2+x+2) 3. Hướng dẫn các việc làm tiếp: Nếu đa thức đã cho có bậc quá lớn (bậc 6 chẳng hạn) thì việc sử dụng phương pháp hệ số bất định gặp nhiều khó khăn. Thật vậy: Giả sử f(x)=g(x).h(x) Ta phải xét lần lượt các trường hợp xảy ra (nếu có). . g(x) có bậc 1, h(x) có bậc 5 . g(x) có bậc 2, h(x) có bậc 4 . g(x) có bậc 3, h(x) có bậc 3 Hơn nữa các hệ số cần tìm quá nhiều. Ta giải quyết vấn đề này như thế nào ? Liệu có phương pháp nào để giải không ? Tiết 4: PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT HẠNG TỬ A.Mục tiêu: Sau khi học xong HS có khả năng: Biết: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử. Hiểu: Thêm bớt hạng tử thích hợp để xuất hiện nhân tử chung, hằng đẳng thức. -Dự đoán được nhân tử của một số đa thức đặc biệt, từ đó thêm bớt hạng tử thích hợp. Kĩ năng vận dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử các đa thức dạng f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a0 (ai€Z) Đặc biệt f(x) có dạng x3n+2+x3m+1+1 (m,n€N) B.Tài liệu hỗ trợ: Chuyên đề bồi dưỡng HC giỏi toán 8_Võ Đại Mau & Võ Đại Hoài Đức. NXB Trẻ C.Nội dung: 1/Hỏi: Phân tích đa thức sau bằng phương pháp tách tử hoặc phương pháp hệ số bất định: f(x)=x5+x4+1 □ f(x)không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không có nhân tử x-a Suy ra khó sử dụng phương pháp tách hạng tử. . f(x) có bậc là 5 nên sử dụng phương pháp hệ số bất định sẽ quá dài dòng. . Để giải quyết vấn đề này, ta nghiên cứu một phương pháp mới: phương pháp thêm bớt hạng tử. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a4+64 a4+64=(a2)2+82+2.82-2.8a2 =(a2+8)2-(4a)2 =(a2+4a+8)(a2-4a+8) Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử: f(x)=x5+x4+1 Giải: Cách 1: f(x)=x5+x4+x3-x3+1 =(x5+x4+x3)-(x3-1) =x3(x2+x+1)-(x-1)(x2+x+1) =(x2+x+1)(x3-x+1) Cách 2: f(x)=x5+x4+x3-x3-x2-x+x2+x+1 =x3(x2+x+1)-x(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)(x3-x+1) Cách 3: f(x)=x5-x2+x4-x+x2+x+1 =x2(x3-1)+x(x3-1)+(x2+x+1) =x2(x-1)(x2+x+1)+x(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)(x3-x2+x2-x+1) =(x2+x+1)(x3-x+1) Hỏi: Việc thêm bớt hạng tử thích hợp ở trên, có phải là ta đã sử dụng hàng loạt phép thử sai phải không ? □ Không. Nó hoàn toàn có căn cứ, vì ta đã biết được x5+x4+1 có chứa nhân tử x2+x+1. Thật vậy, Ta chứng minh trường hợp tổng quát đa thức (x3m+2+x3n+1+1) chia hết cho (x2+x+1) với m,n€N. x3m+2+x3n+1+1 =(x3m+2-x2)+(x3n+1-x)+(x2+x+1) =x2(x3m-1)+x(x3n-1)+(x2+x+1) =x2[(x3)m-1]+x[(x3)n-1]+(x2+x+1) Vì (x3)m-1chia hết cho x3-1 nên cũng chia hết cho x2+x+1 Và (x3)n-1chia hết cho x3-1 nên cũng chia hết cho x2+x+1 => x3m+2+x3n+1+1chia hết cho x2 +x+1 (đpcm) Đa thức x5+x4+1 có dạng x3m+2+x3n+1+1 (m=1,n=1) nên x5+x4+1 có chứa nhân tử x2+x+1 Như vậy cách giải 1 và 2, nhờ xác định được f(x) có chứa nhân tử x2+x+1, từ đó ta thêm bớt hạng tử thích hợp. Cách giải thứ 3 là cách giải của bài toán tổng quát. 2/Bài tập: Phân tích thành nhân tử. x4+4 4x8+1 x8+x+1 x8+x7+1 x10+x5+1 HD Giải: x4+4=x4+4x2+4-4x2 =(x2+2)2-4x2 =(x2+2x+2)(x2-2x+2) 4x8+1=4x8+4x4+1-4x4 =(2x4+1)2-4x4 =(2x4+2x2+1)(2x4-2x2+1) x8+x+1=(x8-x2)+(x2+x+1) =x2(x6-1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)(x6-x5+x3-x2+1) x8+x7+1=(x8-x2)+(x7-x)+(x2+x+1) =x2(x6-1)+x(x6-1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)(x6-x4+x3-x+1) x10+x5+1=(x10-x)+(x5-x2)+(x2+x+1) =x(x9-1)+x2(x3-1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)(x8-x7+x5-x4+x3-x+1) Chú ý: 3 bài toán c,d,e đều có dạng x3m+2+x3n+1+1 nên chúng đều có nhiều cách giải như bài toán mẫu. 3/ Hướng dẫn việc làm tiếp: Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử trong trường hợp bậc của f(x) quá lớn, việc dự đoán nhân tử của f(x), để thêm bớt hạng tử thích hợp là rất quan trọng. HS chứng minh thêm dạng đặc biệt thường gặp sau: x2n+xn+1có chứa nhân tử x2+x+1 khi n=3k+1 hoặc n=3k+2 (k€N) Tiết 5: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN PHỤ A.Mục tiêu: Sau khi học xong HS có khả năng: Biết: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt biến phụ. Hiểu: Cách chọn biến phụ thích hợp. Kĩ năng vận dụng: Biến đổi đa thức “phức tạp”thành đa thức “đơn giản”bằng việc đổi biến để phân tích thành nhân tử. B.Tài liệu hỗ trợ:Các bài toán đại số nâng cao 8 _ Phạm Thành Luân _ NXB ĐH Quốc Gia TP Hồ Chí Minh. C.Nội dung: 1/Hỏi: Cho f(x)=(x2+x)2+4x2+4x-12 Ngoài việc khai triển rồi thu gọn f(x), sau đó phân tích thành nhân tử. Ta còn có cách phân tích khác đơn giản hay không ? □ Có: Phương pháp đặt biến phụ: f(x)=(x2+x)2+4x2+4x-12 =(x2+x)2+4(x2+x)-12 Đặt y=x2+x.Ta được: y2+4y-12=y2+4y+4-16 =(y+2)2-16=(y+6)(y-2) =(x2+x+6)(x2+x-2)=(x2+x+6)(x-1)(x+2) 2/ Bài tập: Phân tích thành nhân tử: (x2+x+1)(x2+x-2)-12 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24 x(x+1)(x2+x+1)-42 (x-2)(x+2)(x2-10)-72 HD Giải: Đặt y=x2+x+1 f(x)=y(y+1)-12=y2+y-12 f(x)= [(x+1)(x+4) ] [(x+2)(x+3) ]-24 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)-24 Đặt y=x2+5x+4 f(x)=x(x+1)(x2+x+1)-42=(x2+x)(x2+x+1)-42 Đặt y=x2+x f(x)=(x-2)(x+2)(x2-10)-72=(x2-4)(x2-10)-72 Đặt y=x2-4 3/ HD Các việc làm tiếp:Sau khi phân tích f(x)=g(x).h(x).Khi nào ta dừng lại và không tiếp tục phân tích được ? Tiết 6: KHI NÀO ĐA THỨC KHÔNG PHÂN TÍCH ĐƯỢC ? Mục tiêu: Sau khi học xong HS có khả năng : Biết: Khi nào một đa thức f(x) không phân tích được thành nhân tử: Hiểu: Cách Chứng minh một đa thức không phân tích được. Kĩ năng vận dụng:Chứng minh, nhìn nhận một đa thức không phân tich được. B.Tài liệu hỗ trợ: Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS_Vũ Dương Thụy_ Trương Công Thành _ Nguyễn Ngọc Đạm_NXB Giáo dục. C. Nội dung: 1/ Hỏi: Tam thức bậc 2: f(x)= ax2+bx+c (a≠0) không phân tích được khi nào ? □ Nếu f(x) phân tích được thì: f(x)=(mx+n)(px+q) (m,n≠0). Điều đó chứng tỏ rằng f(x) có nghiệm hữu tỉ. Vậy f(x) không phân tích được khi f(x) không có nghiệm hữu tỉ. Hỏi: Đa thức bậc 3: f(x)= ax3+bx2+cx+d (a≠0) không phân tích được khi nào? □ Nếu f(x) phân tích được thì f(x)=(mx+n)( px2+qx+r) (m,p≠0). Điều đó chứng tỏ rằng f(x) có nghiệm hữu tỉ. Vậy đa thức bậc 3 không phân tích được khi f(x) không có nghiệm hữu tỉ. Hỏi: đa thức bậc 4: không phân tích được khi nào ? □ Nếu f(x) phân tích được thì f(x)=Q(x).R(x) Trong đó Q(x) bậc 1 và R(x) bậc 3 (1) Q(x) bậc 2 và R(x) bậc 2 (2) Từ (2) => chưa xác định được điều kiện. Nói chung kể từ đa thức bậc 4 trở lên, ta chưa có dấu hiệu nhận biết đa thức không phân tích được. Hỏi: Để chứng minh một đa thức không phận tích được, ta thường sử dụng phương pháp gì ? □ Thường sử dụng phương pháp đồng nhất (hệ số bất định). Ví dụ: Chứng minh đa thức. f(x)=x5-3x4+6x3-3x2+9x-6 Không thể viết được dưới dạng tích của hai đa thức bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên. Giải: Nếu f(x) phân tích được thì f(x)=(x+a)Q(x) (Q(x) là đa thức bậc 4) hoặc f(x)=Q(x).R(x) (Q(x)bậc 2, R(x) bậc 3) -Giả sử : x5-3x4+6x3-3x2+9x-6=(x+a).Q(x) Thay x=-a, ta được -a5-3a4-6a3-3a2-9a-6=0 Đẳng thức này không thể xảy ra. Thật vậy nếu: . a chia hết cho 3 thì số nguyên được biểu diễn ở vế trái của đẳng thức không chia hết cho 9 và do đó cũng không thể bằng không. . a chia hết cho 3 thì số nguyên này không chia hết cho 3 do đó f(x)không thể viết được dưới dạng tích. -Giả sử x5-3x4+6x3-3x2+9x-6 =(x2+a1x+a2)(x3+b1x2+b2x+b3) a1+b1=-3 (1) a1b1+a2+b2=6 (2)‌ => a1b2+a2b1+b3=-3 (3) a1b3+a2b2=9 (4) a2b3=-6 (5) . Từ (5) => Hoặc a2 chia hết cho 3 hoặc b3chia hết cho 3 -Nếu a2 chia hết cho 3, b2 không chia hết cho 3. Từ (4) => a1 chia hết cho 3. Nhưng khi đó (3) cho phép khẳng định b3 chia hết cho 3 (mâu thuẩn). -Nếu a2 không chia hết cho 3, b3 chia hết cho 3. Từ (4) => b2 chia hết cho 3. Nhưng khi đó (3)cho phép khẳng định b1 chia hết cho 3 và theo (2) a2 chia hết cho 3 (mâu thuẩn). . Tới đây bài toán được giải quyết hoàn toàn. 2/ Bài tập: HS chứng minh các bài tập ở các tiết trước không thể phân tích được nữa. 3/ Phụ lục: Nếu HS đã học giải phương trình bậc 2. GV có thể khẳng định f(x)= ax2+bx+c (a≠0, a,b,c€Z). Không phân tích được khi ∆<0 hoặc ∆ không chính phương. Phần 2 ĐA THỨC NHIỀU BIẾN Tiết 7: PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ_THÊM BỚT HẠNG TỬ ĐỔI BIẾN A. Mục tiêu: Sau khi học xong HS có khả năng: .Biết: Phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, đổi biến trong trường hợp đa thức nhiều biến. .Hiểu: Xác định được nhân tử của đa thức nhờ định lý Bezout. Thêm bớt hạng tử, tách hạng tử, đổi biến thích hợp để xuất hiện nhân tử chung, hằng đẳng thức. .Kĩ năng vận dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử trường hợp đa thức nhiều biến. B. Tài liệu hỗ trợ: Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8. Vũ Dương Thụy_Nguyễn Ngọc Đạm_ NXB Giáo Dục. C. Nội dung: . Hỏi: Cho đa thức A=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) Ở tiết 1,2 ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử, nhờ định lý Bezout để xác định nhân tử. Sau đó dự đoán và tách hạng tử thích hợp. Trong trường hợp đa thức nhiều biến có thể vận dụng hệ quả của định lý Bezout được không ? □ Được: Nếu ta xem a là biến, b,c là hằng thì f(a)=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a). Ta thấy f(b)=bc(b-c)+bc(c-b)=0, nên A chứa nhân tử a-b. Tương tự ta xác định được A có chứa nhân tử b-c, c-a Ví dụ 1: A=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) Nhờ xác định a-b, c-a là hai nhân tử của đa thức, nên ta tách b-c=(b-a)+(a-c) A=ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c) ]+ac(c-a) =ab(a-b)-bc(a-b)-bc(c-a)+ac(c-a) =(a-b)(ab-bc)-(c-a)(bc-ac) =b(a-b)(a-c)-c(c-a)(b-a) =(a-b)(c-a)(c-b) Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử: a4+4b4 =(a2)2+(2b2)2+2a2(2b2)-2a2(2b2) =(a2+2b2)2-(2ab)2 =(a2+2b2+2ab)(a2+2b2-2ab) Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử. B=x2-4xy+4y2-2x+4y-35 Đặt x-2y=a B=a2-2a-35=(a+5)(a-7) =(x-2y+5)(x-2y-7) 2/ Bài tập: Phân tích thành nhân tử. S=a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2) P=(a+b+c)3-a3-b3-c3 P=x3(z-y2)+y3(x-z2)+z3(y-x2)+xyz(xyz-1) Hướng dẫn giải: Thay a bởi b => S=0 => S chia hết cho (a-b) Tương tự S chia hết cho b-c ; S chia hết cho c-a S=a(b2-c2)+b[(c2-b2)+(b2-a2) ]+c(a2-b2) S=a(b2-c2)-b(b2-c2)-b(a2-b2)+c(a2-b2) =(b2-c2)(a-b)-(a2-b2)(b-c) =(a-b)(b-c)(b+c-a-b) =(a-b)(b-c)(c-a) P=(a+b+c)3-a3-b3-c3 Thay b=-c thì P=0 => P có nhân tử b+c P=[(a+b+c)3-a3]-(b3+c3) =(b+c) [(a+b+c) a+a2]-(b+c)(b2-bc+c2) =(b+c)(3a2+b2+c2+3ab+3ac+2bc)-(b+c)(b2-bc+a2) =3(b+c)(a2+ab+ac+bc) =3(b+c)(a+b)(a+c) x3(z-y2)+y3(x-z2)+z3(y-x2)+xyz(xyz-1) =(x2-y)(y2-z)(z2-x) 3/ Hướng dẫn các việc làm tiếp: Ở ví dụ 1. Ta xác định được 3 nhân tử, a-b,b-c,c-a của đa thức A. Nhưng để tách hạng tử ta chỉ sử dụng (cần biết) 2 nhân tử a-b và c-a. Có phương pháp nào sử dụng cả 3 nhân tử đã biết ? Tiết 8: PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG Mục tiêu: Sau khi học xong HS có khả năng: . Biết: Phân tích đa thức thức thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng. . Hiểu: Xác định các nhân tử (nhờ định lý Bezout). Xác lập được đẳng thức để tìm hệ số chưa biết. . Kĩ năng vận dụng: Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng. Tài liệu hỗ trợ: Để học tốt toán 9_Hoàng Chúng_NXB Giáo dục. Nội dung: 1/ Hỏi: Cho A=ab(a-b)+bc(b-c)+ac(c-a) Ta đã biết A có 3 nhân tử, làm thế nào để tìm kết quả bài toán? □ Ta sử dụng phương pháp xét giá trị riêng. Ví dụ 1: A=ab(a-b)+bc(b-c)+ac(c-a) Có 3 nhân tử a-b, b-c, c-a (nhờ Bezout), vì A là đa thức bậc 2 đối với a nên, A phải có dạng: A=k(a-b)(b-c)(c-a) Cho a,b,c một giá trị cụ thể, ta tìm được k. Ví dụ cho a=2, b=1, c=0 => k=-1 Vậy A=(a-b)(c-b)(c-a) Ví dụ 2: P=a(b+c)(b2-c2)+b(c+a)(c2-a2)+c(a-b)(a2-b2) Coi P là một đa thức bậc 3 đối với a. Cho a=b => P=0 => P chia hết cho a-b a,b,c có vai trò như nhau => P chia hết cho b-c, c-a => P=(a-b)(b-c)(c-a) Q. Q Là đa thức bậc nhất đối với a,b,c, và trong Q hệ số của a,b,c phải bằng nhau, nghĩa là Q=k(a+b+c) =>P=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) Cho a=2, b=1, c=0, ta được: -6=-6k =>k=1 P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) 2/ Bài tập: Phân tích thành nhân tử. B= (z-x)y3-(z-y)x3+(x-y)z3 C=(x+y+z)3-x3-y3-x3 Hướng dẫn: B=(x-z)(z-y)(y-z)(x+y+z) C=3(x+y)(y+z)(z+x) Tiết 9 KIỂM TRA Gợi ý nội dung: Câu 1: Cho f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a0 (1) f(x) có bậc là 5. Sau khi HS phân tích được có kết quả. f(x)=(x-a).h(x).g(x) (h(x), g(x) có bậc là 2) - HS chứng minh f(x) chỉ phân tích được 3 nhân tử Câu 2: Cho f(x) ở dạng “phức tạp” HS biến đổi về dạng (1) (phương pháp đổi biến), rồi phân tích f(x) thành nhân tử. Câu 3: Phân tích thành nhân tử, f(x) có dạng: x3m+1+x3n+2+1 (cho m,n đủ lớn) Câu 4: Cho f(x,y). HS sử dụng phương pháp xét giá trị riêng hoặc phương pháp tách hạng tử để phân tích thành nhân tử. Người thực hiện. Nguyễn Đình Quang GV Trường THCS Tịnh Long Sơn Tịnh.