Chủ đề Phương trình đường thẳng hình học 10 - Nguyễn Văn A -THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

VẤN ĐỀ I . PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I VÉCTƠ PHÁP TUYẾN VÀ VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu 2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa: vectơ , gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu có giá của song song hoặc trùng Chú ý : II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1) Phương trình tham số của đường thẳng : đi qua điểm I(x0; y0) có VTCP . : , t. Chú ý: Với mỗi giá trị của tham số t có một điểm M(x0 + at; y0 + bt) và ngược lại. 2) Phương trình chính tắc cuÛa đươØng thẳng: đi qua điểm I(x0; y0) có VTCP . : với III PHƯƠNG TRÌNH TÔåNG QUÁT CỦûA ĐƯỜøNG THẲNG 1. Phương trình đường thẳng qua M0(x0; y0) có vtpt . 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng với a2 +b2 Chú ý : nhận *Trường hợp đặc biệt 3. Phương trình theo đoạn chắn Với cắt Ox tại (a; 0) và cắt Oy tại (0; b) 4. Phương trình đường thẳng có hệ số góc k a) Hệ số góc của đường thẳng : là góc hợp bởi y = kx + b với Ox. là hệ số góc của đường thẳng b) Phương trình đường thẳng qua M0(x0; y0) có hệ số góc k III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG *Cho hai đường thẳng a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 1) a1 = a2 = 0 hoặc b1 = b2 = 0 : 2) a2; b2; c2 đều khác 0 a), cắt nhau b) //ø c) Chú ý : Vị trí tương đối củay = k1x + b1 và y = k2x + b2 a), cắt nhau k1 k2 b) //ø k1 k2 và b1 b2 c) k1 k2 và b1 b2 Chú ý:1) PTĐT qua hai điểm phân biệt A(xA; yA) và B(xB; yB) . Là ĐT qua A (hoặc B) có VTCP 2) Sơ đồ chuyển dạng PTĐT PTTS : , t. * PTCT : PTTQ: * a= 0 , PTTQ: * b = 0 , PTTQ: PTTQ: C1) * Tìm M(x0: y0) VTCP *Viết PTTS PTTS : , t. C2) Nếu *Đặt 1 ẩn làm tham số t *Giải ẩn còn lại theo t *Viết PTTS Hoặc VẤN ĐỀ II. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG 1/ Bài toán: Trong mặt phẳng cho hệ tọa độ Oxy. Cho điểm M0(x0; y0) và đường thẳng : Ax + By + C = 0. Tìm khoảng cách từ M0 đến đường thẳng Sơ lược lời giải: Khoảng cách từ M0 đến 2/ Chú ý Đặt có gốc nằm trên () là nửa mặt phẳng có bờ là và chứa M0 (). Ta có Vậy () = 3/. ÁP DỤNG Nhận xét : Đường thẳng : Ax + By + C = 0 Đặt F(x,y) = Ax + By + C M(x,y), đặt F(M) = F(x,y). Đi đến các bài toán áp dụng sau đây: 3.1/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M0(x0; y0) trên đường thẳng Mệnh đề1: Tọa độ điểm H là hình chiếu của M0(x0; y0) trên đường thẳng được xác định bởi biểu thức 3.2/ Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M0(x0; y0) qua đường thẳng Mệnh đề2: Tọa độ điểm M đối xứng với điểm M0(x0; y0) qua đường thẳng được xác định bởi biểu thức 3.3/ Hai điểm A, B nằm cùng một phía, khác phía đối với đường thẳng Mệnh đề 3 : Hai điểm A, B cùng nằm một phía đối với đường thẳng Hai điểm A, B nằm khác phía đối với đường thẳng II/ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1/ Định nghĩa: * Số đo nhỏ nhất tạo bởi a, b cắt nhau gọi là góc giữa hai đt a và b * a//b.Qui ước góc giữa hai đt a và b bằng 00 Nhận xét: Gọi Ta có b) = hoặc = 1800 -. Vậy cos = |cos| c) = hoặc = 1800 -. Vậy cos = |cos| Chú ý: a) a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 b) y = k1x + b1 và y =k2x + b2 2) Đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 cắt nhau có dạng: B. BÀI TẬP I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DAïNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜøNG THẲNG ĐI QUA 1 ĐIÊåM VAø BIẾT VTCP HOAëC VTPT Nhận xét: *Thông thường đường thẳng đi qua 1 điểm thỏa thêm một điều kiện K Điều kiện K là một trong các trường hợp sau: - Một điểm - Quan hệ với một véc tơ - Hệ số góc Cách viết: * Phương trình đường thẳng qua M0(x0; y0) có vtpt . * Phương trình tham số của đường thẳng : đi qua điểm I(x0; y0) có VTCP . : , t. * Phương trình chính tắc cuÛa đươØng thẳng: đi qua điểm I(x0; y0) có VTCP . : với Bài tập áp dụng Bài 1. Viết phương trình tổng quát của 1) Đường thẳng Ox; đường thẳng Oy 2) Đường thẳng qua điểm M(1; -2) và song song với trục Oy; 3) Đường thẳng qua điểm M(-1; -1) và song song với trục Ox; 4) Đường thẳng OM, với M(x0; y0) khác gốc tọa độ O. Bài 2. Cho điểm A(1; 2). Viết phương trình đường thẳng dạng tham số, chính tắc và tổng quát biết 1) Qua điểm A và song song đt a: 2x+y-2=0 2) Qua điểm A và vuông góc đt b: -x+3y+5=0 3) Qua điểm A và có hệ số góc k = -2 Bài 3. Cho đường thẳng : 1) Hãy chỉ ra một vtcp của . Và viết phương trình đường thẳng dạng phương trình tổng quát 2) Tìm các điểm trên ứng với các giá trị t = 0; t = -4; t = . 3) Trong các điểm sau A(-1; 3), A(2; - 3), C(0; 1), D(-1; 0) điểm nào thuộc ? 4) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Bài 4. Viết phương trình đường thẳng biết 1) Qua 2 điểm cho trước A(0; 1) và B(3; 5) 2) Qua gốc tọa độ có vectơ pháp tuyến hợp với vectơ 1 góc 450 Bài 5. Cho 3 điểm A(-3; 2), B(4; 3), C(1,2). 1) Tìm trọng tâm G và viết phương trình đường trung tuyến vẽ từ đỉnh B của tam giác ABC 2) Tìm diện tích tam giác ABC . Suy ra độ dài chiều cao vẽ từ đỉnh B 3)Tìm trên Ox điểm I sao cho tam giác IAB vuông tại I Bài 6. ChoA(1;-1); B(5;-3).Đỉnh C trên Oy và trọng tâm G của tam giác ABC trên Ox. 1) Tìm tọa độ (O là gốc tọa độ) 2) Viết phương trình đt qua C song song đt OA 3) Viết phương trình đt qua đường cao vẽ từ O của tam giác OAB Bài 7. Cho A(-1;-6), B(-1;-4) , C(2;0) 1) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC 2) Tìm tọa độ đỉnh của tam giác biết các trung điểm của 3 cạnh của tam giác đó lần lượt là A, B, C Bài 8. Cho A(-1;-0), B(0;-4) , C(2;0) 1) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC 2) Viết phương trình đường trung trực của tam giác , biết các trung điểm của 3 cạnh lần lượt là A, B, C 3) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác , biết các trung điểm của 3 cạnh lần lượt là A, B, C. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác đó DAïNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THEO ĐOAïN CHẮN Nhận xét: Thường đường thẳng qua một điểm và thỏa thêm một điều kiện K *Điều kiện K là một trong các trường hợp sau: Cắt các trục tại các điểm có tọa độ của chúng thỏa mãn hệ thức nào đó Cách viết: * Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn ( qua A(a; 0)và B(0; b)) Với Bài tập áp dụng Bài 1. Cho P(1; 2) ; Cho M(8; 6) 1) Viết ptđt qua P chắn hai trục tọa độ một tam giác vuông cân 2) Viết ptđt ;qua P chắn hai trục tọa độ một tam giác OAB vuông có góc A = 300 và A Ox 3) Viết ptđt qua M chắn hai trục tọa độ một tam giác vuông có diện tích bằng 12 đvdt Bài 2. viết phương trình đường thẳng d 1) Đường thẳng d // a: 3x-4y+2= 0 và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho AB = 5 2) Đường thẳng d vuông góc với b: 2x+y-6= 0 và hợp với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1 3) Đường thẳng d qua I(3; 1) và cắt hai trục tọa độ Ox ,Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác CAB cân tại C với C(2; -2) DAïNG 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CUûA HAI ĐƯỜøNG THẲNG Nhận xét a) * Cho hai đường thẳng a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 1) a1 = a2 = 0 hoặc b1 = b2 = 0 : 2) a2; b2; c2 đều khác 0 a), cắt nhau b) //ø c) b) * Hoặc căn cứ VTPT (hoặc VTCP); xét thêm điểm chung hay không (nếu cần) - , cắt nhau Hai VTPT không cùng phương -// cắt nhau Hai VTPT cùng phương va øcó M0 - cắt nhau Hai VTPT cùng phương va øcó M0 Bài tập áp dụng Bài 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau: 1) d1: 2x – y + 3 = 0 và d2 : x + 3y – 2 = 0 2) d1: x – y + 3 = 0 và d2 : 3) d1: và d2 : Bài 2. Cho các đường thẳng d1: 2x – y + 3 = 0 ; d2 : x + 3y – 2 = 0 ; d3 : 1) Cho M(1-2) , N(-2; -4) điểm nào thuộc d3 . Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d3 với các trục tọa độ Ox, Oy 2) Tam giác ABC có các cạnh AB, BC, CA lần lượt nằm trên các đường thẳng :d1; d2 vàd3 . Viết phương trình đường cao vẽ từ đỉnh B của tam giác ABC II. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC DAïNG 1: BÀøI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Nhận xét *Khoảng cách từ M0(x0; y0) đến: Ax + By + C = 0 Bài tập áp dụng Bài 1. Cho d: và M(0;1) 1) Viết phương trình tổng quát của d 2) Tìm A thuộc d và cách M một khoảng bằng 5 3) Tính khoảng cách từ tọa độ giao điểm d và l: 2x-3y+1=0 đến trục hoành Bài 2: Tìm M thuộc d và cách A(-1; 1) một khoảng bằng 4 1) d: 2) d: 3) d: 2x + 3y -5 = 0 Bài 3: Cho đường tròn (C) có tâm I(1; -1) có bán kính R = 2 1) Biện luận theo m vị trí tương đối của d: 3x - 4y -m = 0 đối với (C ) 2) Tìm m để ĐT 4x + 3y +1 -m = 0 tiếp xúc (C) Bài 4: Cho d: và M(2;5) 1) Tìm A thuộc d và cách M một khoảng bằng 3 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cách đều hai điểm A(-1; 2) và B(5; 4) 3) Viết phương trình đường thẳng song song và cách d một khoảng cách bằng 3 DAïNG 2: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜøNG THẲNG Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng: Ta có = hoặc = 1800 -. Vậy cos = |cos| Bài tập áp dụng Bài 1. Viết phương trình đường thẳng quaA(2; 1) và tạo với d: 2x + 3y + 4 = 0 một góc 450 Bài 2. Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng 2x + y + 3 = 0 và x-2y+1=0 đồng thời tạo với đường thẳng y-1= 0 một góc 450 Bài 3. Viết phương trình đường thẳng qua A(2; -1) sao cho đường thẳûng đó cùng với các đường thẳng a:2x – y + 5 = 0 , b: 3x + 6y – 1 = 0 ; tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của a và b 2) Tam giác ABC đều có BC: 2x + 3y = 0. Đỉnh A(2;6).Viết phương trình các cạnh còn lại DAïNG 3 : HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIÊåM M0 LÊN 1 ĐƯỜøNG THẲNG d ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM M0 LÊN 1 ĐƯỜøNG THẲNG d Nhận xét: a)*H(x; y) hình chiếu vuông góc của 1 điểm M0(x0; y0)  lên 1 đường thẳng d: Ax + By + C = 0 Cách 1: H(x; y) hình chiếu vuông góc của 1 điểm M0(x0; y0)  lên 1 đường thẳng d ĩ Cách 2: b)* M đối xứng với M0(x0; y0)  qua đường thẳng d: Ax + By + C = 0 Cách 1: Cách 2 : Tìm H hình chiếu vuông góc của điểm M0(x0; y0)  lên 1 đường thẳng d. H trung điểm của MM0 . Vận dụng công thức xác định tọa độ điểm M Bài tập áp dụng Bài 1: Trong mặt phẳng cho hệ tọa độ Oxy. Cho M0(1; 2) và đường thẳng : x + y -5 = 0 1) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M0 lên đường thẳng 2) Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M0 qua đường thẳng HD: 1.Cách 1; ; H(2; 3) Cách 2 : 2. Bài 2: Trong mặt phẳng cho hệ tọa độ Oxy. Cho M0(6; 1) và đường thẳng : 1) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M0 lên đường thẳng 2) Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M0 qua đường thẳng Bài 3. Cho A(1; 0), B(1;-4) , C(2;1) Tìm tọa độ điểm K đối xứng với trực tâm của tam giác ABC qua cạnh BC Bài 4. Cho tam giác ABC biết A(2; -1) và các đường phân giác là x -2y + 1 =0 , x + y + 3 = 0. Viết phương trình cạnh BC DAïNG 4 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜøNG THẲNG ĐỐI XỨNG VỚI MÔäT ĐƯỜøNG THẲNG QUA MỘT ĐIỂM VÀ MỘT ĐƯỜNG THẲNG Nhận xét: *d đối xứng với : Ax + By + C = 0 qua M0(x0; y0) có dạng d : Ax + By + m = 0 Tìm A thuộc Tìm A/ đối xứng A qua M0(x0; y0) Ta có A/ thuộc d. Từ đó xác định m * đối xứng với : Ax + By + C = 0 qua d : ax + by + c = 0 Có hai trường hợp a) //d khi đó : x + By + m = 0 và song song và cách đều d. Từ đó xá định m b) cắt d Tìm giao điểm I của và d Tìm A thuộc . Từ đó xác định. Tìm A/ đối xứng A qua d Viết phương trình đường thẳng qua I và A/ Bài tập áp dụng Bài 1: Trong mặt phẳng cho hệ tọa độ Oxy, điểm M0(1; 1) và đường thẳng : 2x + y = 0. Viết phương trình đường thẳng đối xứng thẳng qua M0 Bài 2. Cho hình bình hành có phương trình hai cạnh là 2x + y = 0 và x – y + 1 = 0. và tâm I( -1; 1). Viết phương trình các cạnh còn lại Bài 3. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua đường thẳng d biết: 1) : 3x – 6y – 4 = 0 và d: 2x – 4y – 3 = 0 2) : -4x + y -3 = 0 và d: y = x DAïNG 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦûA HAI ĐIỂM ĐỐI VỚI MÔäT ĐƯỜNG THẲNG Nhận xét: Đường thẳng : Ax + By + C = 0, Đặt F(x,y) = Ax + By + C M(x,y), đặt F(M) = F(x,y). *Hai điểm A, B cùng nằm một phía đối với đường thẳng *Hai điểm A, B nằm khác phía đối với đường thẳng Bài tập áp dụng Bài 1. Trong mp Oxy. Cho A(0; 1); B(-1; 3) ; C(1; -3) và đường thẳng : 2x + 3y -1 = 0 1) Chứng minh rằng : Hai điểm A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng 2) Chứng minh rằng : Hai điểm A, C nằm khác phía đối với đường thẳng Bài 2. Cho A(2;-2); B(1;-4) 1)Tìm M thuộc Ox sao cho MA +MB ngắn nhất 2)Tìm M thuộc Ox sao cho ngắn nhất DAïNG 6: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜøNG THẲNG PHÂN GIÁC CỦûA MÔäT GÓC Nhận xét: Đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 cắt nhau có dạng: Bài tập áp dụng Bài 1. Trong mặt phẳng cho hệ tọa độ Oxy. Cho A(0; 1); B(-1; 2) ; C(2; 3) 1) Chứng tỏ tam giác ABC vuông tại A 2) Viết đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC Bài 2. Cho A(1;-1); B(0;4); C(-1;2) 1) Chứng minh A,B,C là đỉnh một tam giác 2) Viết phương trình đường phân giác ngoài phát xuất từ A của tam giác ABC Bài 3 Tam giác ABC cân tại C có BC: 2x + 3y = 0 ,AB: 5x-12y = 0 viết AC biết nó qua điểm (2;6) Bài 4. Cho tam giác ABC biết phân giác trong của góc A có phương trình a: x+ y +2 = 0 ; đường cao vẽ từ B có phương trình b: 2x – y + 1 = 0 cạnh AB qua M(1; -1) Viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1. Viết phương trình đường thẳng qua P(1; 2) cắt các đường thẳng a: x-1 = 0 , b : y – 1 = 0 lần lượt tại M, N. Gọi H giao điểm của a vàb sao cho tam giác HMN vuông cân Bài 2 Cho A(4; 1) .Viết ptđt qua A cắt hai trục tọa độ Ox; Oy tại M(m;0) , N(0; n) với m > 0 và n > 0 sao cho OM + ON nhỏ nhất b. nhỏ nhất Bài 3. Cho tam giác ABC có S = 3/2 đvdt có đỉnh A(2;-3), B(3;-2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ điểm C Bài 15 Cho tam giác ABC biết B(-4; 5) các đường cao 5x+3y-4=0; 3x+8y+13=0 Tìm pt cạnh AC, BC và AB Bài 4. Cho tam giác ABC có AB: 5x-3y+2=0 các đường cao AH:4x-3y+1=0, BH:7x+2y-22=0Tìm pt cạnh AC, BC và đường cao CH Bài 5. Cho tam giác ABC biết C(4; -1) có đường cao và trung tuyếnkẻ từ một đỉnh có pt lần lượt là a: 2x-3y=12=0 ; b: 2x+3y=0 Viết phươngtrình các cạnh tam giác Bài 6. Phương trình hai cạnh của một tam giác là AB: 5x-2y+6=0; AC: 4x+7y-21=0. Viết phương trình cạnh thứ ba biết rằng trực tâm của tam giác trùng gốc tọa độ Bài7. Cho tam giác ABC biết A(1;3) và hai đường trung tuyến x-2y + 1 = 0 và Viết phương trình các cạnh tam giác Bài 8. Cho tam giác ABC biết phân giác trong của góc A có pt a: x+ y +2 = 0 ; đường cao vẽ từ B có pt b: 2x – y + 1 = 0 cạnh AB qua M(1; -1) Viết pt cạnh AC của tam giác ABC Bài 9. Một cạnh của tam giác có pt x-2y+7 = 0 Hai đường trung tuyến ứng hai cạnh còn lại có pt x+y-5 = 0 và 2x+y-11 = 0 Hãy viết pt hai cạnh còn lại của tam giác Bài 10. Cho tam giác ABC cạnh BC: 4x-y=3=0 và hai đường phân trong của góc B, C có pt x-2y+1=0; x+y+3=0 . Viết pt cạnh AB, AC Bài 11. Cho hình bình hành ABCD biết AB:3x+4y-12 = 0, AD: 5x-12y -6 = 0 . Trung điểm cạnh BC là B(-2;13/6). Viết phương trình các cạnh còn lại Bài 12. Cho ABCD hình bình hành có đường thẳng AB: 3x-y-8= 0; đỉnh C(6;4) và tâm I thuộc Ox đường thẳng AD qua gốc O. Viết phương trình đường thẳng BC