Chủ đề tự chọn Toán 9 hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

PHÒNG GD & ĐT ĐIỆN BÀN TRƯỜNG THCS VÕ NHƯ HƯNG CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN 9 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ LOẠI CHỦ ĐỀ : NÂNG CAO THỜI LƯỢNG: 4 TIẾT NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN 9 TRƯỜNG THCS VÕ NHƯ HƯNG Tháng 11 năm 2008 TÊN CHỦ ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ LOẠI CHỦ ĐỀ : NÂNG CAO THỜI LƯỢNG : 4 TIẾT PHẦN I MỤC TIÊU CHUNG CỦA CHỦ ĐỀ a.Về kiến thức : - HS biết giải các hệ phương trình hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số để giải. - HS biết giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo tham số . - HS biết giải dạng bài toán tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước. -HS biết vận dụng khéo léo hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải một số dạng toán khác. b.Về kĩ năng: - Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng quy tắc thế. - Rèn luyện kĩ năng biến đổi đại số, kĩ năng giải phương trình , bất phương trình. - Kĩ năng phân tích tìm kiếm lời giải trong các dạng toán có liên quan đến hệ phương trình c.Về thái độ: - HS được rèn luyện tính cẩn thận , chính xác trong biến đổi đại số. Rèn luyện tư duy phân tích và tổng hợp, tư duy sáng tạo. PHẦN II CÁC NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHỦ ĐỂ 1.Giải hệ phương trình hai ẩn quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 2.Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 3.Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước. 4.Vận dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải một số dạng toán khác. PHẦN III NỘI DUNG CỤ THỂ TỪNG TIẾT DẠY CỦA CHỦ ĐỀ Tiết 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I.Mục tiêu cần đạt: 1.Về kiến thức: -HS biết cách đặt ẩn phụ hợp lý để đưa một hệ phương trình hai ẩn về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . 2.Về kĩ năng: - Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. - Rèn luyện kĩ năng biến đổi tương đương hệ phương trình - Rèn luyện kĩ năng xác định điều kiện xác định của phương trình , hệ phương trình. 3.Về thái độ: -Rèn luyên cho HS óc quan sát, linh hoạt, sáng tạo. II.Nội dung cụ thể: 1.Nhắc lại các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn : a.Phương pháp thế: +Qui tắc thế: gồm hai bước Bước 1: từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn) Bước 2:Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1) +Cách giải hệ bằng phương pháp thế: 1) Dùng qui tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới , trong đó có 1 phương trình một ẩn 2)Giải phương trình một ẩn vừa có , rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. b.Phương pháp cộng: +Qui tắc cộng: gồm hai bước +Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới . +Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ ( và giữ nguyên phương trình kia) +Cách giải hệ bằng phương pháp cộng: 1)Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của mộ ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. 2)Áp dụng qui tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới , trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn) 3) Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho Lưu ý: Khi giải hệ phương trình mà đề bài không yêu cầu gì thêm thì ta sử dụng 1 trong hai cách trên tuỳ theo các hệ số của hai phương trình trong hệ. Trong thực hành giải toán , chúng ta gặp những hệ phương trình hai ẩn .Nếu ta khéo léo thì sẽ đưa hệ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và tìm được nghiệm của hệ. 2.Giải hệ phương trình qui về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số : Bài toán 1: Giải hệ phương trình: Hệ đã cho không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.Bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta đưa hệ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi tìm được nghiệm. Lời giải: Ta đặt : = u , = v ( ĐK : x- y + 2 0 , x + y -10) Hệ đã cho trở thành: (*) (*) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn u , v.Dùng một trong hai cách giải hệ nêu trên tìm được nghiệm: (u;v) = ( 1; ) Từ đó ta được hệ: Giải hệ này ta được : (x;y) =( 1; 2) KL: Hệ đã cho có một nghiệm : ( 1 ; 2) Bài toán 2: Giải hệ phương trình: (GV hướng dẫn HS thực hành giải tại lớp) Lời giải : Đặt u = ; v = ( ĐK : 2x - y 0 , 2x + y0 ) thì hệ đã cho trở thành : giải hệ này cho ta : u = ; v = Từ đó ta có : KL: Hệ có nghiệm: ( 2;1) Bài toán 3: Giải hệ phương trình: (GV hướng dẫn HS thực hành giải tại lớp) Lời giải: ĐK: x -1, y 1 Ta đặt : = u , = v ( u , v 0) Hệ đã cho trở thành : Giải hệ bậc nhất hai ẩn u , v này ta tìm được: u = 2 ; v = 1 (Thoả mãn) Từ đó ta có: (Thoả mãn) KL: Hệ có nghiệm ( x; y ) = (3 ; 2) Chú ý: Có những trường hợp ta phải biến đổi hệ một cách thích hợp rồi mới tiến hành đặt ẩn phụ. Bài toán 4: Cho hệ phương trình: Lời giải: Biến đổi hệ đã cho về dạng: Ta đặt : (x-3)2 = u , (y + 2)2 = v ( u, v 0) Hệ trở thành : Giải hệ này cho ta : u = 4 ; v = 9 (Thoả mãn) Từ đó ta có: KL: Vậy hệ có 4 nghiệm: ( 5; 1) , ( 5; -5) , (1;1) , ( 1; -5) 3.Bài tập về nhà: Giải các hệ phương trình sau: a) b) c) d) Tiết 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I.Mục tiêu cần đạt: 1.Về kiến thức: - HS biết thế nào là bài toán giải và biện luận một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo tham số. 2.Về kĩ năng: -Rèn luyện kĩ năng sử dụng qui tắc thế . -Rèn luyện kĩ năng biện luận số nghiệm phương trình dạng ax = b để suy ra số nghiệm của hệ. -Rèn luyện kĩ năng biến đổi đại số, biến đổi tương đương phương trình , hệ phương trình. 3.Về thái độ: - Rèn luyện tính cẩn thận , chính xác . II.Nội dung cụ thể: 1.Bài toán giải và biện luận hệ phương trình: +Bài toán: Cho hệ phương trình: với các hệ số của hệ phụ thuộc vào một tham số nào đó. Tuỳ theo giá trị của tham số, ta xem xét số nghiệm của hệ phương trình đó.Giải quyết bài toán đó gọi là bài toán giải và biện luận hệ phương trình. +Cách giải: -Biến đổi hệ đã cho tương đương với một hệ phương trình mới mà trong hệ đó có 1 phương trình có một ẩn số ( với phương pháp thường dùng là phương pháp thế) -Tuỳ theo giá trị của tham số biện luận số nghiệm của phương trình 1 ẩn trong hệ để suy ra số nghiệm của hệ. +Chú ý: Xét phương trình dạng: a . x = b (*) - Nếu a = 0 , b 0 thì (*) vô nghiệm - Nếu a = b = 0 thì (*) vô số nghiệm - Nếu a 0 thì (*) có nghiệm x = 2.Các bài toán minh hoạ : Bài toán 1: Giải và biện luận hệ: Lời giải: Để giải bài tập này, GV có thể chọn một trong hai phương pháp cộng hoặc thế.Chẳng hạn chọn phương pháp thế: Ta có (2) y = 3 - x .Thế vào (1) : mx + 2(3- x) = 2m(m-2)x = 2m - 6 (3) +Nếu m- 2 = 0 m= 2 thì (3) trở thành : 0.x = -2 : vô nghiệm ( chú ý : không được nói là phương trình …vô lý!) +Nếu m-2 0m 2 thì : ( 3) x = .Thay vào (2) suy ra: y = 3 - = Hệ có nghiệm duy nhất : (x = ; y = ) KL: m = 2 : Hệ vô nghiệm m 2 : Hệ có nghiệm duy nhất: (x = ; y = ) Bài toán 2: Giải và biện luận hệ : (GV hướng dẫn HS thực hành giải tại lớp) Lời giải: Ta có (1) y = x -2 .Thế vào (2) ta được: mx + x -2 = 3 (m+1) x = 5 (3) +Nếu m + 1 = 0 m = -1 thì (3) trở thành : 0.x = 5 : vô nghiệm +Nếu m +10m -1 thì : ( 3) x = . Thay vào (1) suy ra : y = -2 = Hệ có nghiệm duy nhất : ( x = ; y = ) KL: m = -1 : hệ vô nghiệm m -1 : Hệ có nghiệm duy nhất : ( x = ; y = ) Bài toán 3: Giải và biện luận hệ : (GV hướng dẫn HS thực hành giải tại lớp) Lời giải: Ta có (1) x = y - m , thay vào (2) ta được : y - m + m y = 1(m +1)y = m + 1 (3) +Nếu m + 1 = 0 m = -1 thì (3) trở thành : 0y = 0 : vô số nghiệm +Nếu m + 1 0 m -1 thì từ ( 3) suy ra y = = 1 .Thay vào (1) suy ra : x = 1- m KL: m = -1 : Hệ vô số nghiệm: ( x R ; y = m - x ) m -1 : Hệ có nghiệm duy nhất : ( x = 1- m ; y = 1) 3.Bài tập về nhà: Giải và biện luận các hệ phương trình sau : a) b) c) Tiết 3: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC I.Mục tiêu cần đạt: 1.Về kiến thức: -HS nắm được cách giải bài toán tìm tham số để hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm thoả mãn diều kiện cho trước 2.Về kĩ năng: -Rèn luyện kĩ năng giải và biện luận hệ theo tham số. -Rèn luyện kĩ năng biến đổi tương đương phương trình , bất phương trình , hệ bất phương trình. -Rèn luyện kĩ năng dùng qui tắc thế để tìm nghiệm của hệ theo tham số. 3.Về thái độ: -Rèn luyện tính cẩn thận , chính xác , sáng tạo . II.Nội dung cụ thể: 1.Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước: Trong chương trình toán 9, đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn , những yêu cầu về nghiệm thường gặp là: -Nghiệm của hệ thoả mãn những bất đẳng thức -Nghiệm của hệ thoả mãn 1 hệ thức -Nghiệm của hệ là những số nguyên -Một biểu thức phụ thuộc nghiệm đạt giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất 2.Các bài toán minh hoạ: Bài toán 1: Tìm m để hệ : ( m tham số) có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn x > 0 và y > 0. Lời giải: Nhân hai vế của (2) với -3 , ta có : (2) - 3x - 3my = -9 (3) Cộng từng vế của (1) và 3) dẫn đến : - 2y - 3my = m - 9 (2 + 3m)y = 9- m (4) + Nếu 2 + 3m = 0 m = thì (4) trở thành : 0.y = , vô nghiệm. + Nếu 2 + 3m 0 m thì (4) y = .Thế vào (1) ta có: 3x - 2() = m x = Khi đó x > 0 và y > 0 < m < 9 Tóm lại : Hệ có nghiệm thoả mãn : x > 0 và y > 0 < m < 9 Bài toán 2: Cho hệ phương trình : ( m tham số) a) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm x , y nguyên b) Tìm m sao cho nghiệm của hệ thoả mãn : x2 + y2 = 0,25 Lời giải: a) Vì (2) y = 4x + 2 nên thế vào (1) ta có : x + (m +1)(4x +2) = 1 (4m + 5) x = - 2m - 1 (3) +Nếu 4m + 5 = 0 m = thì (3) vô nghiệm. +Nếu 4m + 5 0 m (*) thì (3) x = . Thế vào (2) thì y = -4() + 2 = Trước hết ta thấy : vì m nguyên nên 4m + 5 là số nguyên lẻ Do đó y nguyên 4m + 5 là ước số lẻ của 6 4m + 5 { -1 ; 1 ; -3 ; 3} m { ; -1 ; -2 ; } Do m nguyên nên chọn m = -1 và m = -2 Với m = -1 thì x = 1 ; y = 6 thoả mãn Với m = -2 thì x = -1 ; y = -2 thoả mãn Tóm lại : Hệ có nghiệm x và y là số nguyên m = -1 hoặc m = - 2 b) Ta có x2 + y2 = 0, 25 4(2m + 1)2 + 4.36 = (4m + 5)2 m = ( Thoả mãn điều kiện (*)) Vậy m = là giá trị cần tìm. Bài toán 3: Cho hệ phương trình: Tìm các giá trị m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn x + y nhỏ nhất. Lời giải: Ta có (1) y = (m+1)x -(m + 1) nên thế vào (2) ta được : x + ( m2 -1) x - (m2 -1) = 2 m2 x = m2 +1 (3) +Nếu m = 0 thì (3) trở thành 0x = 1 , vô nghiệm +Nếu m 0 thì từ (3) suy ra x = .Thay vào (1) và tính được y = . Hệ có nghiệm ( x = ; y = ) Ta có x + y = + = = 1 + + Đặt = t , ta có x + y = 1 + t + 2t2 = 2(t + )2 + Suy ra min (x+ y ) = t + = 0 t = - m = -4 Vậy m = - 4 là giá trị cần tìm. 3.Bài tập về nhà: Bài 1: (Đề thi TS10 chuyên Tỉnh Quảng Nam năm 08-09) Cho hệ phương trình : ( m tham số ).Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) thoả mãn hệ thức : x + y = 1 - Bài 2: Cho hệ phương trình : ( m là tham số).Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn điều kiện : x + y > 0 Bài 3: Cho hệ phương trình: ( m là tham số ) a) Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm ( x; y) sao cho x , y là số nguyên. b) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) sao cho biểu thức P = x.y đạt giá trị lớn nhất.Tính giá trị lớn nhất đó. Tiết 4: VẬN DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC I.Mục tiêu cần đạt: 1.Về kiến thức: -HS biết vận dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải các bài toán mà trong khi giải chúng xuất hiện hai phương trình bậc nhất hai ẩn số. 2.Về kĩ năng: -Rèn luyện kĩ năng phân tích đề toán -Rèn luyện kĩ năng biến đổi đại số . -Rèn luyện kĩ năng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến bậc hai. 3.Về thái độ: -HS được rèn luyện tính cẩn thận , chính xác trong các phép biến đổi đại số. II.Nội dung cụ thể: Có khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức , giải phương trình hai biến ,bài toán viết phương trình đường thẳng , …….chúng ta phải sử dụng đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.Sau đây là các bài toán minh hoạ. Bài toán 1: Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui tại một điểm (d1) 5x + 11y = 8 (d2) 10x -7y = 74 (d3) 4mx + (2m -1)y = m + 2 Nhận xét: Để ba đường thẳng đồng qui thì đường thẳng (d3) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2). Lời giải: Gọi M là giao điểm của (d1) và (d2) Suy ra : Toạ độ (x;y) của M là nghiệm của hệ : Giải hệ ta được : (x; y) = ( 6 ; -2) M (d3) 4m.6 + (2m -1).(-2) = m + 2 (*) Giải (*) cho ta m = 0 Bài toán 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x + 3y -1)2 + (y -3)2 + 2008 Lời giải: Ta có : (x + 3y -1)2 0 với mọi x, y (y - 3)2 0 với mọi x, y Suy ra : A 2008 với mọi x,y Do đó Min A = 2008 Bài toán 3: Hãy xác định giá trị của x, y để có đẳng thức : 5x2 + 5 y2 + 8xy + 2y - 2x + 2 = 0 (1) Lời giải: Để giải dạng bài tập này ,ta biến đổi một vế của đẳng thức thành tổng các bình phương , còn vế kia bằng 0. (1) 25x2 + 25 y2 + 40xy + 10y - 10x + 10 = 0 (5x)2 + (4y)2 + 1 + 2 .5x .4y - 2. 5x - 2.4y + 9y2 + 18y + 9 = 0 (5x + 4y -1)2 + 9(y +1)2 = 0 *Chú ý : +Trong dạng bài tập này chú ý hằng đẳng thức : (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2 bc + 2ca + Có thể biến đổi (1) về dạng: ( 4x+5y +1)2 + 9(x -1)2 = 0 Bài toán 4: Tuỳ theo giá trị của m hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (mx + 2y -2m)2 + (x + y - 3)2 Lời giải: Nhận xét: Ta thấy P 0 với mọi x , y , m Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 có nghiệm. Theo bài toán 1 ở tiết 2 , ta có : (*) có nghiệm m 2 Do đó ta phải đi tìm giá trị nhỏ nhất của P khi m = 2 Với m = 2 thì P = ( 2x + 2y -4)2 + ( x + y - 3)2 Ta đặt : t = x + y -2 ta có P = (2t)2 + (t -1)2 = 5t2 - 2t + 1 = 5(t - )2 + . Khi đó P đạt giá trị nhỏ nhất là t - = 0 t = Tóm lại : Nếu m = 2 thì P đạt giá trị nhỏ nhất là Nếu m 2 thì P đạt giá trị nhỏ nhất là 0 Bài tập về nhà: Bài 1: Cho đa thức f(x) = mx3 + (m-2)x2 -(3n-5)x - 4n Hãy xác định m ,n sao cho f(x) chia hết cho x + 1 và x -3. Bài 2: Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui: (d1) (2m-5)x - y = 5m (d2) 2x + 3y = 7 (d3) 3x + 2y = 13 Bài 3: Tìm x , y thoả mãn : I x - 3y I + I 2x + y -1I = 0 Bài 4: Tuỳ theo giá trị m , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = (mx - 2y + 1)2 + ( 3x+y)2 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = x2 + 5y2 +6x +16y +4xy +12