Chuẩn kiến thức lớp 10 thi vào đại học cao đẳng năm 2009

KIẾN THỨC CHUẨN LỚP 10 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các phép biến đổi tương đương của phương trình a. Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất trong từng vế nhưng không làm thay đổi tập xác định của phương trình. b. Thêm vào hai vế của phương trình cùng một biểu thức xác định với mọi giá trị của ẩn thuộc tập xác định của phương trình ( trường hợp hay dùng là quy tắc chuyển vế ) c. Nhân hai vế của phương trình với cùng một biểu thức xác định và khác 0 với mọi giá trị của ẩn thuộc tập xác định của phương trình ( chú ý rằng chia cho một số tức là nhân nghịch đảo của số đó ) d. Bình phương hai vế của một phương trình có hai vế luôn cùng dấu khi ẩn lấy mọi giá trị thuộc tập xác định của phương trình. 2. Phép biến đổi cho phương trình hệ quả Bình phương hai vế của một phương trình. Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = 0 : PT có một nghiệm duy nhất và : PT vô nghiệm : PT nghiệm đúng với mọi x Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn (1) với biệt thức hay biệt thức thức thu gọn (với b=2b’) * : (1) vô nghiệm * : (1) có một nghiệm kép * : (1) có hai nghiệm phân biệt Định lí vi-ét ( thuận đảo ) Hai số và là hai nghiệm của phương trìmh bậc hai khi và chỉ khi chúng thoả mãn hệ thức Vi-ét sau : ; Định lí vi-ét có thể được ứng dụng để : Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai . Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng : Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: (ĐK : ) Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử : Cho tam thức bậc hai Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm ( có thể trùng nhau ) và thì tam thức bậc hai có thể phân tích được thành nhân tử như sau : Tính giá trị biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai : ; ; Xét dấu các nghiệm của PT bậc hai : PT có hai nghiệm trái dấu PT có hai nghiệm dương PT có hai nghiệm âm MỘT SỐ VÍ DỤ 1. Phương trình: Bài 1: Giải phương trình HD: ĐK: 1 £ x £ 7 Phương trình đã cho tương đương với Vậy nghiệm x = 4 và x = 5 Bài 2: Giải phương trình: 16x5–20x3+5x–1=0 HD: Ta có: 16x5–20x3+5x–1=0 Û(x–1)(16x4+16x3–4x2–4x+1)=0 Hoặc x=1 Hoặc 16x4+16x3–4x2–4x+1=0 Giải PT: 16x4+16x3–4x2–4x+1=0 Đặt t=2x, pt trở thành: t4 + 2t3 – t2 – 2t + 1 = 0 PT không có nghiệm t=0, chia hai vế cho t2 ta được: Đặt thì z2+2z+1=0 Û z = - l Lúc đó Hay Vậy pt đã cho có ba nghiệm: x = 1 ; Bài 3: Tim m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: HD: Ta có: Đặt f(x) = 3x2 + (4 – m)x – 1 Bài toán trở thành tìm m để f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn Bài 4: Tìm m để phương trình có nghiệm : HD: Khi x=1 Û x2=0 Û x=0 Khi x>1 chia hai vế cho x-1¹0 Ta có phương trình Đặt . ĐK t³2 Þ Điều kiện có nghiệm: m £ f(3)=9 Vậy m £ 9 Bài 5: Giải phương trình sau : HD: ĐK: Đặt (), () Ta có hệ phương trình: (I) Đặt S=u+v; P=u.v () S=3, ( không thỏa) hay (thỏa) Do đó u,v là nghiệm phương trình : hay hay (thỏa điều kiện) Vậy 2. Hệ phương trình : Bài 1: Giải hệ phương trình: HD: Khi x=0 thì Khi x¹0 thì Và Nên Do đó Vậy tập nghiệm Bài 2: Giải hệ phương trình HD: Đặt Hệ Chọn nghiệm u=2 hay Vậy Bài 3: Xác định m để hệ có nghiệm : HD: (1) Để hệ BPT có nghiệm thì PT (2) phải có nghiệm Đặt : (2) (3) Xét hàm số : trên Ta có : với mọi hàm số đồng biến trên và Khi đó điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là: Vậy : BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình sau : ĐS: x= - 1 Giải phương trình sau: ĐS: 1; 2; -7 Giải phương trình : ĐS: x=3 Giải phương trình sau: ĐS: Tìm m để phương trình có nghiệm : ĐS: Giải hệ phương trình : ĐS:; Giải hệ phương trình : ĐS: (-2; -2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất ĐS: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tính chất của BĐT * và * * Nếu thì Nếu thì Các hệ quả * và * và * và * * 2. BĐT về giá trị tuyệt đối Đối với hai số a,b tuỳ ý ta có : 3. BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân * Với mọi , ta có : ; * Với mọi , , ta có : ; Chú ý : + Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng đạt GTLN khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. + Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng đạt GTNN khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. 4. Biến đổi tương đương các BPT Cho BPT có tập xác định , là hàm số xác định trên . Khi đó trên , bất phương trình tương đương với mỗi BPT * * nếu với mọi * nếu với mọi 5. BPT và hệ BPT bậc nhất một ẩn. Giải và biện luận BPT Nếu a>0 thì tập nghiệm của (1) là Nếu a<0 thì tập nghiệm của (1) là Nếu a=0 thì (1) trở thành . Do đó vô nghiệm ( ) nếu nghiệm đúng với mọi x ( ) nếu Để giải một hệ BPT một ẩn , ta giải từng BPT của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được. 6. Dấu của nhị thức bậc nhất * Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất x Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a * Nếu thì 7. Dấu của tam thức bậc hai * Cho tam thức bậc hai () Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi ,tức là : với mọi Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi ,tức là : với mọi Nếu thì có hai nghiệm phân biệt và (). Khi đó trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng ( tức là ) và cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn ( tức là với hoặc ). Nói cách khác: * B. MỘT SỐ VÍ DỤ 1. Bất đẳng thức Bài 1: Cho các số dương a,b,c và a+b+c =1. Chứng minh rằng : HD: Với a,b,c > 0 áp dụng BĐT côsi ta có : Do đó: Mà ta có: Và Suy ra đpcm Bài 2: Chứng minh BĐT trong đó a,b,c là các số dương thoả mãn điều kiện abc=1 HD: Đặt ;; và xyz=1 bất đẳng thức tương đương: Theo BĐT côsi : Và theo BĐT côsi : Suy ra ĐPCM Bài 3: Cho các số dương a,b,c chứng minh rằng : HD: Đặt x= b+c ; y= c+a ; z=a+b . Khi đó ; ; Vì a,b,c >0 nên x,y,z >0 và z< x+y Ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y=2x; z=3x; 3y=2z x+y =z (loại) vậy dấu = không xảy ra : đpcm Bài 4: Cho 3 số dương a,b,c .Chứng minh bất đẳng thức : HD: Với a,b,c >0 Ta có: (1) và (2) Cộng (1) và (2) VTV ta có điều phải chứng minh 2. Bất phương trình Bài 1: Giải bất phương trình: HD: Đặt . ĐK: t ³ 0 và ta có: t2 = x – 4 Bất pt trở thành Bài 2: Giải bất phương trình : HD: ĐK: Đặt thì BPT trở thành: Bài 3: Giải BPT: HD: Điều kiện : Bất phương trình tương đương : Mà nên Vậy nghiệm của BPT là: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Cho x,y,z là ba số dương và . Chứng minh rằng : Cho x,y,z >0 thoã mãn . Chứng minh Cho các số thực x,y,z thoả điều kiện . Chứng minh Giải bất phương trình sau: ĐS: Giải bất phương trình : ĐS: Giải bất phương trình ĐS: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm trên mặt phẳng * Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nếu vectơ thì cặp số (x;y) được gọi là toạ độ của vectơ đối với hệ toạ độ Oxy. * Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, toạ độ của điểm M là toạ độ của vectơ . Với hai điểm M(xM; yM) và N(xN; yN) ta có : ; * là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi ; * là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi ; 2. Phương trình đường thẳng * PTTS của đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0) và có VTCP là: () * PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0) và có VTPT là: nếu đường thẳng có PTTQ () thì có VTPT là và có VTCP là * Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0) và có hệ số góc k là : nếu đường thẳng có VTCP với thì hệ số góc của là Ngược lại nếu có hệ số góc là k thì có một VTCP là * Cho hai đường thẳng và ; + Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình: (I) cắt hệ (I) có một nghiệm // hệ (I) vô nghiệm hệ (I) có vô số nghiệm + Góc giữa hai đường thẳng và được xác định theo công thức: * Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng được tính theo công thức : 3. Phương trình đường tròn * Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính R là: hay với Ngược lại , nếu thì là phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính * Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại điểm M0(x0; y0) là: 4. Phương trình đường elip + Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai điểm cố định F1, F2 luôn bằng hằng số 2a (2a > F1F2) + Trong mặt phẳng Oxy phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm F1(- c;0); F2(c; 0) và có độ dài trục lớn 2a là: với b2=a2 – c2 ,00 + Các yếu tố của elip (E) : ( 0 < b < a) Hai tiêu điểm F1(- c;0); F2(c; 0) Bốn đỉnh A1(-a; 0); A2(a; 0); B1(0; -b); B2(0; b) Độ dài trục lớn A1A2= 2a Độ dài trục nhỏ B1B2= 2b Tiêu cự F1F2= 2c Tâm sai ( e< 1) Hai trục đối xứng Ox, Oy Tâm đối xứng là gốc toạ độ B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình cạnh BC: , đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. ĐS: Dùng pt điều kiện hay công thức S=pr Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD tâm ; phương trình AB: x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh, biết đỉnh A có hoành độ âm. ĐS: A(-2;0); B(2;2); C(3;0); D(-1;-2); Chú ý tính Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip ; xét điểm M chuyển động trên tia Ox và N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định M, N để đoạn MN là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. ĐS: Min MN=7 khi ĐK: MN tiếp xúc Elip: Dùng BĐT Côsi để ý Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có AB=AC, . Biết M(1;-1)là trung điểm cạnh BC và là trọng tâm ∆ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C? ĐS: A(0;2); B(4;0); C(-2;-2); Dùng hệ thức trọng tâm Và Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2 + (y-2)2 = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng d. Tìm toạ độ các giao điểm của (C) và (C’) ĐS: (C’): (x-3)2 + y2 = 4. Giao điểm A(1;0) và B(3;2). Hình chiếu tâm I(1;2) lên d là H(2;1)có thể dùng tương giao của đường thẳng d với đường tròn (C) Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(0;2) và . Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. ĐS: và Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;1); B(4;-3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x–2y–1=0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6. ĐS: C(7;3) hay Dùng C(2t+1; t) Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1=x–y=0 và d2=2x+y–1=0. Tìm các đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và B, D thuộc trục hoành. ĐS: A(1;1) B(0;0) C(1;-1) D(2;0) Hay A(1;1) B(2;0) C(1;-1) D(0;0) Toạ độ A(t;t) nên C đối xứng A qua Ox thành C(t;-t) Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5. ĐS: (x-2)2 + (y-1)2 = 1 hay (x-2)2 + (y-7)2 = 49 Gọi tâm I(a;b) thì a = 2 và Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho C(2;0) và elip (E): . Tìm toạ độ A, B thuộc (E), biết rằng A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều. ĐS: Gọi A(x;y) thì B(x;-y) dùng điều kiện AB=AC Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng d: x–y +3=0. Tìm M Îd sao cho đường tròn tâm M, bán kính gấp đôi bán kính (C), tiếp xúc ngoài với (C). ĐS: M(1;4) hay M(-2;1) Gọi M(t;t+3) và dùng điều kiện MI=R+2R Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai bằng và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20. ĐS: