Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính – định thức và ma trận

Chương 1 hệ pt tuyến tính – định thức và ma trận: 1/ Hệ pt tuyến tính: Hệ pt tuyến tính tổng quát (m pt, n ẩn) có dạng: a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bm (1.1) ở đây, x1,x2,, xn – là các ẩn phải tìm Định nghĩa: 2 hpt có cùng số ẩn số được gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau (tức là nghiệm của hệ này là tập nghiệm của hệ kia) Định lí: các phép biến đổi sau đây chuyển 1 hệ pt tuyến tính thành 1 hệ tương đương: 1/ nhân 2 vế của 1 pt cho 1 số khác 0 2/ cộng 1 pt đã được nhân cho 1 số a vào 1 pt khác 3/ đổi vị trí 2 pt 2/ Ma trận: Bảng các hệ số của hệ (1.1) là a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn ta gọi nó là ma trận các hệ số của hệ (1.1), nếu thêm 1 cột các vế phải ta được ma trận mở rộng: a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amnb1b2bm thay vì biến đổi trực tiếp trên ma trận (1.1), ta chỉ cần biến đổi trên ma trận mở rộng 3/ Phép biến đổi sơ cấp: 1/a định nghĩa: Ma trận loại m×n là 1 bảng hình chữ nhật m hàng, n cột với mn phần tử. Nếu kí hiệu ma trận là A và các phần tử ờ hàng thứ i cột j là aij, thì ta viết: A=(aij)=a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn các phần tử aij có thể là số thực, số phức, hàm số. Định nghĩa: các phép biến đổi sau đây đối với hàng của ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp đổi với hàng: 1/ Nhân các phần tử của hàng thứ i cho số a ≠ 0, ta viết: hi ® a.hi 2/ Cộng các phần tử của hàng thứ i đã nhân cho a vào các phần tử tương ứng của hàng k, ta viết: hk ® hk+a.hi 3/ Đổi vị trí 2 hàng. Nếu 2 hàng thứ 1 và thứ k đổi vị trí cho nhau ta viết: hi ↔ hk 4/ Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn: Khái niệm: 1 hàng của ma trận được gọi là = 0 nếu tất cả các phần tử của nó = 0 (Như vậy 1 hàng khác 0 nếu có ít nhất 1 phần tử khác 0) Phần tử khác 0 đầu tiên của 1 hàng (từ trái sang phải) được gọi là phần tử chính or phần tử cơ sở của hàng đó. Định nghĩa: ma trận được gọi có dạng bậc thang nếu thỏa các dk sau: Các hàng = 0 ở dưới các hàng khác 0. Phần tử cơ sở của 1 hàng phải nằm phía phải so với phần tử cơ sở cùa hàng trên (Phần tử cơ sở của 1 hàng phải nằm phía trái so với phần tử cơ sở cùa hàng dưới) Các ma trận sau đây ko có dạng bậc thang: Định lí: mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng Định nghĩa: ma trận được gọi có dạng bậc thang rút gọn nếu nó thỏa các dk: Nó có dạng bậc thang 2- phần tử cơ sở của hàng = 1 và là phần tử duy nhất ≠ 0 trong cột chứa nó 5/ Các phép toán đối với ma trận: 6/  Ma trận chuyển vị: Định nghĩa: Cho A=(aik) - ma trận loại m×n. Ma trận chuyển vị của ma trận A là 1 ma trận loại m×n được kí hiệu là AT với phần tử hàng thứ i, cột thứ k là (aki), tức là AT=(aki). Nói cách khác là hàng thứ i của ma trận A được chuyển thành cột thứ i của ma trận AT. If AT=(aik') thì aik'=(aki) định lí: đối với phép chuyển vị ma trận, ta có: (với dk các phép toán có nghĩa) 7/ Ma trận nghịch đảo: Định nghĩa: ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I=I.A=A với mọi ma trận vuông A cấp n Định nghĩa: ma trận B (vuông cấp n) được gọi là ma trận nghịch đảo của A (vuông cấp n) nếu A.B=B.A=I .Khi ấy ta nói ma trận A khả đảo và kí hiệu ma trận nghịch đảo của nó là A-1 Nếu tồn tại ma trận nghịch đảo thì nó là duy nhất. Nếu B, B’ là các ma trận nghịch đảo của A thì ta có: A.B = I nhân bên trái đẳng thức trên cho B’ ta được: B’.A.B=B’ Tuy nhiên, ko phải ma trận nào cũng khả đảo 8/ Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp: Định lí: ma trận vuông A khả đảo khi nó tương đương hàng với ma trận đơn vị Từ nhận xét trên ta thấy, nếu đặt ma trận A liền bên ma trận đơn vị I, ta có ma trận mở rộng . Rồi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng biến đổi ma trận mở rộng sao cho A biến thành I thì khi ấy I sẽ thành . Nói cách khác, ta biến . 9/ định thức cấp 1, 2, 3 Liên hệ giữa định thức cấp 2 và cấp 3: Khái niệm: nếu từ ma trận A cấp 3, bỏ đi hàng và cột chứa (tức là bỏ hàng i, cột k) ta được 1 ma trận cấp 2 . Định thức của nó được gọi là định thức con bù của . Vậy công thức trên có thể viết ở dạng: 10/ Định nghĩa định thức: Định lí: với 1 ma trận vuông cấp n ≥ 2, ta có thể khai triển định thức của nó theo 1 hàng bất kì or 1 cột bất kì: 11/ Các tính chất của định thức: Từ tính chất trên ta thấy vai trò của hàng và cột trong định thức hoàn toàn tương đương, những tính chất nào đúng cho hàng đều đúng cho cột và ngược lại