Chương trình ôn tập vào lớp 10 năm 2009 trường THCS TH

CHương trình ôn tập vào lớp 10 năm 2009 trường thcs th. Một số dạng toán cơ bản phần đại số A. Biến đổi rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Tóm tắt cách làm loại toán này. Bước 1. Tìm điều kiện để biểu thức xác định ( Nếu đề chưa cho) Bước 2. Xác định thứ tự thực hiện phép tính. Phân tích các tử và mẫu thành nhân tử Bước 3. Rút gọn các phân thức nếu được Bước 4. Quy đồng, thu gọn, rút gọn. Nếu thấy biểu thức còn dài thì quay lại bước 2. Bài tập có hướng dẫn Bài 1. 1) Đơn giản biểu thức : P = . 2) Cho biểu thức : Q = a) Ruựt goùn bieồu thửực Q. b) Tìm x để > - Q. c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên. Hướng dẫn : 1. P = 6 2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : Q = . b) > - Q x > 1. c) x = thì Q Z Bài 2. Cho biểu thức P = a) Rút gọn biểu thức sau P. b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = . Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : P = . b) Với x = thì P = - 3 – 2. Bài 3 Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = c) Tìm x để A < 0. d) Tìm x để = A. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : A = . b) Với x = thì A = - 1. c) Với 0 x < 1 thì A < 0. d) Với x > 1 thì = A. Bài 4. Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Xác định a để biểu thức A > . Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a > 0 và a9. Biểu thức rút gọn : A = . b) Với 0 . Bài 5. Cho biểu thức: A = . 1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. 2) Rút gọn A. 3) Với x Z ? để A Z ? Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ 1. b) Biểu thức rút gọn : A = với x ≠ 0 ; x ≠ 1. c) x = - 2003 ; 2003 thì A Z . Bài 6. Cho biểu thức: A = . a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < 0. c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = . b) Với 0 < x < 1 thì A < 0. c) x = thì A Z. Bài 7. Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = b) Ta xét hai trường hợp : +) A > 0 > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1) +) A 2 > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2) Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm). Bài 8. Cho biểu thức: P = (a 0; a 4) a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với a = 9. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a 4. Biểu thức rút gọn : P = b) Ta thấy a = 9 ĐKXĐ . Suy ra P = 4 Bài tập tự luyện Bài 1: Cho biểu thức: a/ Rút gọn P b/ Tính giá trị của P biết c/ Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên d/ Tìm x để P < 1 Bài 2: Cho biểu thức: a/ Rút gọn P b/ Tính giá trị của P biết c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P d/ Tìm x để Bài 3: Cho biểu thức a/ Rút gọn P b/ Tìm x để Bài 4: Cho biểu thức a/ Rút gọn P b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức d/ Tìm x để P > 1 Bài 5: Cho biểu thức a/ Rút gọn P. b/ Tính giá trị của P biết c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 6 : Cho biểu thức Rút gọn P Tính giá trị của P biết Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên Tìm x để P < 1 Tìm các giá trị của x để Bài 7 : Cho biểu thức Rút gọn P Tìm các giá trị của x sao cho Chứng minh P Ê Bài 8 : Cho biểu thức Rút gọn P Tính giá trị của P biết Tìm giá trị lớn nhất của Bài 9 : Cho biểu thức Rút gọn P Tính giá trị của P nếu Tìm các giá trị của x để Tìm các giá tri x nguyên để P nhận giá trị nguyên Bài 10 : Cho biểu thức Rút gọn P Tính giá trị của biết Tìm các giá trị của m để có các giá trị x thoả mãn Bài 11 : Cho biểu thức Rút gọn P Tìm các giá trị của x để Cho (x là ẩn). Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Xác định dấu của hai nghiệm đó. Bài 12 : Cho biểu thức Rút gọn P Tính giá trị của P biết Tìm các giá trị của m để có giá trị x thoả mãn : Bài 13: Cho biểu thức Rút gọn P Tìm các giá tri của x để So sánh P với 1 Bài 14 : Cho biểu thức Rút gọn P Tìm x để Bài 15 : Cho biểu thức Rút gọn P Tìm x để P < 0 Tìm x để – P = Bài 16 : Cho biểu thức a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 0 c/ Tìm x để P < 1 Bài 17: Cho biểu thức a/ Rút gọn P b/ Tìm x để Bài 18 : Cho biểu thức : a)Rút gọn . b) Tính P với x = . c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a Bài 19: Cho biểu thức: Rút gọn A. Chứng minh A > 0 với mọi x thuộc TXĐ Bài 20 : Cho biểu thức: a) Rút gọn A . b) Tính khi Bài 21: Cho biểu thức: a) Rút gọn M . b) Với giá trị nào của x thì M < 1 ? Bài 22: Cho biểu thức: a) Rút gọn M . b) Tìm các giá trị nguyên của biến để M có giá trị nguyên . Bài 23: Cho biểu thức: a) Rút gọn Q . b) Tìm giá trị của x để Q = 6 . Bài 24: Cho biểu thức: a) Rút gọn A . b) Tìm giá trị của a để Bài 25: Cho biểu thức: a) Rút gọn A . b) Tìm giá trị lớn nhất của A . Bài 26 : Cho biểu thức : Rút gọn P. Xác định các giá trị của x để ( x + 1 ).P = x – 1 Biết Tìm x để Q có giá trị lớn nhất. Tìm x để Bài 27 : Cho biểu thức : Rút gọn P. Tìm x để Tìm x để : Tìm m để có 1 giá trị của x thoả mãn : Bài 28 : Cho biểu thức : Rút gọn P Tìm m để phương trình P = m – 1 có nghiệm x , y thoả mãn : Bài 29 : Cho biểu thức : Rút gọn P Tìm giá trị lớn nhất của Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có : Bài 30 : Cho biểu thức : a) Rút gọn. b) Tính giá trị của P với x = . d) Giải pt: c ) Tìm m để có x thoả mãn P = e) Tìm m để có x thoả mãn: f) Tìm nghiệm nguyên dương của pt: B. Hàm số bậc nhất : Bài 1. 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành. Hướng dẫn : 1) Gọi pt đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b. Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt : Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = 3x – 1 2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . Bài 2. Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy. Hướng dẫn : 1) Hàm số y = (m – 2)x + m + 3 m – 2 < 0 m < 2. 2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta được m = . 3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt : (x;y) = (1;1). Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần : (x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3. Với (x;y) = (1;1) m = Bài 3. Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. Hướng dẫn : 1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 m = -1. Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta được : m = -3. Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có y0 = (m – 1)x0 + m + 3 (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2). Bài 4 Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phương trình đường thẳng AB. 2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Hướng dẫn : 1) Gọi pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b. Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt : Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = - 2x + 3. 2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2) ta cần : m = 2. Vậy m = 2 thì đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2) Bài 5 Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = . Hướng dẫn : 1) m = 2. 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có y0 = (2m – 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0 Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (). Bài 6 Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau : y =  ; y = và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm. Bài 7 Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1). Bài 8 Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003). 2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0. Bài tập tự luyện Bài 1 : Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau: a = - 1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2 a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng và đi qua điểm B(1;) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3) Đồ thị hàm số đi qua M(2;- 3) và vuông góc với đường thẳng y = x – 2 Bài 2: Với điều kiện nào của k và m thì hai đường thẳng : y = (k – 2)x + m – 1 và y = (6 – 2k)x + 5 – 2m. a) Trùng nhau b) Song song c) Cắt nhau Bài 3 : Cho hàm số y = (a – 1)x + a Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3 Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm được ở các câu a và b trên cùng một hệ trục toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được. Bài 4 : Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n (m ạ 2) (d) Tìm các giá trị của m và n trong các trường hợp sau: Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;4) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng Đường thẳng (d) cắt đường thẳng 2y + x – 3 = 0 Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0 Bài 5 : a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau : y = x (d1) ; y = 2x (d2) ; y = - x + 3 (d3) b) đường thẳng (d3) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) theo thứ tự tại A , B. Tìm toạ độ của các điểm A và B. Tính diện tích tam giác OAB. Bài 6 : Cho hàm số y = (1 – 2m)x + m + 1 (1) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến. Tìm m để hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 1 + m Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định duy nhất. Tìm điểm cố định đó. Bài 7 : Cho hai đường thẳng y = - 4x + m – 1 (d1) và y = (d2) a) Tìm m để hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm trên trục tung. b) Với m ở trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B của hai đường thẳng (d1) và (d2) với trục hoành. c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC d) Tính các góc của tam giác ABC. Bài 8 : Tìm toạ độ của M(x1; y1) thuộc đường thẳng 2x + 3y = 5 sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến M nhỏ nhất. C. Hàm số y = ax2 Quan hệ giữa Parabol y = ax2 và đường thẳng y= ax + b I.Tóm tắt lý thuyết: 1/ Toạ độ giao điểm của Parabol y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của hệ phương trình 2/ Hoành độ giao điểm của Parabol y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của phương trình ax2 = mx + n tức ax2 - mx – n = 0 (1) Nếu phương trình (1) có D > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt, đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt. Nếu phương trình (1) có D = 0 thì (1) có nghiệm kép, đường thẳng tiếp xúc với Parabol. Nếu phương trình (1) có D < 0 thì (1) vô nghiệm, đường thẳng và Parabol không giao nhau Bài tập tự luyện Bài 1 : Cho hai hàm số y = x2 (P) và y = 2x + 3 (d) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (d). Xác định toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d). Gọi C và D thứ tự là hình chiếu vuông góc cảu A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 2 : Cho Parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = 2x – m (d) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau, không giao nhau. Khi (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, hãy xác định toạ độ hai điểm A và B với m = - 3 . Tìm toạ độ trung điểm của AB. Bài 3 : Cho Parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx – m (d) Với giá trị nào cuả m thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm toạ độ trung điểm M của AB. Suy ra một hệ thức liên hệ giữa các toạ độ của m, độc lập với m. Bài 4: Cho Parabol (P): y = và đường thẳng y = mx + n. Xác định hệ số m và n để đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ giao điểm và vẽ đồ thị của (P) và đường thẳng. Bài 5: Cho Parabol (P): y = và đường thẳng y = x + n Tìm giá trị của n để đường thẳng tiếp xúc với (P). Tìm giá trị của n để đường thẳng cắt (P) tại hai điểm. Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng với (P) nếu n = 1. Vẽ đồ thị của (P) với đường thẳng trong trường hợp ấy. Bài 6: Cho Parabol (P): y = ax2 và đường thẳng y = mx + n. Xác định các hệ số a, m, n biết rằng (P) đi qua điểm A(-2; 2), đường thẳng đi qua điểm B(1; 0) và tiếp xúc với (P). Bài 7: Cho hàm số y = 2x2 (P). Vẽ đồ thị (P). Tìm trên độ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ. Tuỳ theo m hãy xét số giao điểm của đường thẳng y = mx – 1 với (P). Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0; 2) và tiếp xúc với (P). Tìm tập hợp điểm M sao cho qua M có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và cùng tiếp xúc với (P). Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng Bài 8: Cho hàm số y = (2m - 1) x2 (P). Tìm m để (P) đi qua điểm A(2; -2). Vẽ đồ thị hàm số (P) vừa tìm được. Viết phương trình đường thẳng đi qua B(-1; 1) và tiếp xúc với (P) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm T thuộc (P) Có tung độ . Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1. Bài 9: Cho Parabol y = ax2 và đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 1) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của k, đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi hoành độ của A,B lần lượt là x1, x2. CMR: Chứng minh rằng: D OAB vuông. Bài 10: Cho Cho Parabol (P): y = và đường thẳng (d): mx + y = 2. Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng d luôn đi qua 1 điểm cố định. Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích D AOB ứng với giá trị tìm được của m. Chứng minh rằng: Trung điểm I của AB khi m thay đổi luôn nằm trên Parabol cố định. Bài 11: Cho Parabol (P): y = - x2 đường thẳng y = m cắt (P) tại hai điểm A và B. Tìm giá trị của m để D AOB đều. Tính diện tích tam giác đều đó. Bài 12: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy từ điểm M nằm phía dưới đường thẳng y = người ta kẻ các đường thẳng MN, MP tiếp xúc với Parabol y = x2 tại điểm N, P. Chứng minh góc NMP nhọn. Bài 13: Cho Parabol (P): y = và đường thẳng y = x + 3 Xác định toạ độ giao điểm A, B của Parabol và đường thẳng. Xác định toạ độ giao điểm C thuộc cung AB của Parabol sao cho D ABC có diện tích lớn nhất. D. Phương trình bậc hai một ẩn - Hệ thức Vi-et A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột 2 trường hợp a) Nếu a= 0 khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy nhất - hoặc vụ nghiệm - hoặc vụ số nghiệm b)Nếu a 0 Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac * < 0 (/ < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm * = 0 (/ = 0 ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x1,2 = - (hoặc x1,2 = -) * > 0 (/ > 0 ) : phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt: x1 = ; x2 = (hoặc x1 = ; x2 = ) 2. Định lý Viột. Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ S = x1 + x2 = - p = x1x2 = Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đú là nghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2: x2 – S x + p = 0 3.Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai. Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phương trình .Ta có các kết quả sau: x1 và x2 trái dấu ( x1 < 0 < x2 ) p = x1x2 < 0 Hai nghiệm cùng dương( x1 > 0 và x2 > 0 ) Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x2 > x1 = 0) Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm. Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và thì phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 - Lập tích p = x1x2 - Phương trình cần tìm là : x2 – S x + p = 0 c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 *) = *) = *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *) (Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện ) d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trước .Tìm nghiệm thứ 2 Cách giải: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: (hoặc ) (*) - Thay x = x1 vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của tham số Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện (hoặc ) mà ta thay luôn x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước. Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình (như cách 2 trình bầy ở trên) +) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm được nghiệm thứ 2 Bài tập có hướng dẫn Bài 1: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phương trình : x2 – 3x – 7 = 0 a) Tính: A = x12 + x22 B = C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là và Giải ; Phương trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7 a)Ta có + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = = + C = = + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + 3 (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta có : S = (theo câu a) p = Vậy và là nghiệm của hương trình : X2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0 Bài 2 : Cho phương trình : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số) 1. Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k 2. Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0 Giải. 1. Phương trình (1) là phương trình bậc hai có: = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k + ) = 5(k2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 với mọi giá trị của k. Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0 - k2 + k – 2 < 0 - ( k2 – 2.k + + ) < 0 -(k - )2 - < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k 3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) Vì phương trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có x1 + x2 = k – 1 và x1x2 = - k2 + k – 2 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) = (k – 1)[(2k - )2 + ] Do đó x13 + x23 > 0 (k – 1)[(2k - )2 + ] > 0 k – 1 > 0 ( vì (2k - )2 + > 0 với mọi k) k > 1 Vậy k > 1 là giá trị cần tìm Bài 3: Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số) Giải phương trình (1) với m = -5 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2.) Giải Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9 Có = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5 = m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 với mọi m Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 Vì phương trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m – 4 Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ] => = 2 = khi m + = 0 m = - Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi m = - Bài 4: Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số) Giải phương trình khi m = - Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia. Giải: Thay m = - vào phương trình đã cho và thu gọn ta được 5x2 - 20 x + 15 = 0 phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3 + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phương trình đã cho trở thành; 5x – 5 = 0 x = 1 + Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số : = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = = x2 = Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m 3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trường hợp Trường hợp 1 : 3x1 = x2 3 = giải ra ta được m = - (đã giải ở câu 1) Trường hợp 2: x1 = 3x2 1= 3. m + 2 = 3m – 9 m = (thoả mãn điều kiện m - 2) Kiểm tra lại: Thay m = vào phương trình đã cho ta được phương trình : 15x2 – 20x + 5 = 0 phương trình này có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = = (thoả mãn đầu bài) Bài 5: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số . Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai. Giải 1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0 x = + Nếu m 0 .Lập biệt số = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m = - m + 4 4 : (1) vô nghiệm = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép x1 = x2 = - > 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = Vậy : m > 4 : phương trình (1) vô nghiệm m = 4 : phương trình (1) Có nghiệm kép x = 0 m < 4 : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = 2. (1) có nghiệm trái dấu < 0 < 0 Trường hợp không thoả mãn Trường hợp 0 < m < 3 3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm 0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có) - Thay x = 3 vào phương trình (1) ta có : 9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả mãn *) Cách 2: Không cần lập điều kiện 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm được m = -.Sau đó thay m = - vào phương trình (1) : -x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x – 21 = 0 có = 289 – 189 = 100 > 0 => Vậy với m = - thì phương trình (1) có một nghiệm x= 3 *)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm Cách 1: Thay m = - vào phương trình đã cho rồi giải phương trình để tìm được x2 = (Như phần trên đã làm) Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tổng 2 nghiệm: x1 + x2 = x2 = - x1 = - 3 = Cách 3: Thay m = - vào công trức tính tích hai nghiệm x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 = Bài 6: Cho phương trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số 1.Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép 2. Tim k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 Giải. 1.Phương trình (1) có nghiệm kép = 0 k2 – (2 – 5k) = 0 k2 + 5k – 2 = 0 ( có = 25 + 8 = 33 > 0 ) k1 = ; k2 = Vậy có 2 giá trị k1 = hoặc k2 = thì phương trình (1) Có nghiệm kép. 2.Có 2 cách giải. Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: 0 k2 + 5k – 2 0 (*) Ta có x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bài ra ta có (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - - 2k và x1x2 = 2 – 5k Vậy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 +