Chuyên đề 1 Đại số tổng hợp

Chuyên đề 1 : Ⓐ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT: I. Qui tắc cộng – qui tắc nhân: (Phép đếm)  Qui tắc cộng: Nếu có m1 cách thực hiện công việc H1, m2 cách thực hiện công việc H2, , mn cách thực hiện công việc Hn (cách thực hiện Hi không trùng với bất kỳ cách thực hiện công việc Hj nào, với i j; i, j = 1, 2, , n) thì có m1 + m2 + + mn cách thực hiện một trong các công việc H1, H2, , Hn. ‚ Qui tắc nhân: Nếu có m1 cách thực hiện công việc H1, m2 cách thực hiện công việc H2, , mn cách thực hiện công việc Hn (cách thực hiện Hi không trùng với bất kỳ cách thực hiện công việc Hj nào, với i j; i, j = 1, 2, , n) thì có m1.m2mn cách thực hiện Tất cả các công việc H1, H2, , Hn. II. Hoán vị: Cho tập A có n phần tử (n 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử của A. Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n! § n! = 1.2(n – 1).n § Qui ước: 0! = 1 III. Chỉnh hợp: Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1 k n) phần tử khác nhau, sắp thứ tự của A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: Có thể tính Ví dụ: F Chú ý: Chỉnh hợp chập n của n phần tử là hoán vị của n phần tử. III. Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ gồm k (0 k n) phần tử khác nhau (không chú ý đến tính thứ tự) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (với k = 0 ta qui ước bộ rỗng không có phần tử nào). Số các tổ hợp chập k của n phần tử là: § § § IV. Nhị thức NIUTƠN: § Dùng máy tính bỏ túi để tính bằng cách sử dụng các phím nPr, nCr. ♠ Một số chú ý:  Số các số hạng của công thức bằng n + 1. ‚ Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của nhị thức là n. ƒ Số hạng tổng quát là (số hạng thứ k + 1) „ … Các nhị thức thường dùng: § . § . Ⓑ. ÔN TẬP LÝ THUYẾT: § Qua các bài tập cho học sinh phân biệt, tìm sự giống nhau – khác nhau giữa qui tắc cộng và qui tắc nhân, giữa chỉnh hợp và tổ hợp. § Chọn một số bài toán liên quan đến giai thừa để học sinh biến đổi nhuần nhuyển các biểu thức có chứa giai thừa. § Qua các bài toán giải phương trình và bất phương trình có chứa và , học sinh nắm chắc công thức tính và các điều kiện. § Hướng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi để tính và . § Cách viết nhị thức bằng cách nhớ cách tính chất, qui luật, số hạng tổng quát. dùng phép đếm Bộ k phần tử k phần tử không cần khác nhau k phần tử khác nhau có thứ tự: Chỉnh hợp không kể thứ tự: Tổ hợp § Nêu sơ đồ: Ⓒ. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP: I. Các bài toán dùng phép đếm, chỉnh hợp, tổ hợp: § Hướng dẫn học sinh phân tích kỹ đề bài xem đối tượng cần tìm phải thực hiện theo bao nhiêu bước, bộ gồm bao nhiêu phần tử, khác nhau hay không cần khác nhau, có thứ tự hay không kể thứ tự, có ràng buộc thêm điều kiện đối với phần tử nào không?... Ÿ Một số ví dụ:  Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên (chữ số đầu tiên khác 0) ⓐ Số tự nhiên có bốn chữ số? ⓑ Số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau? ⓒ Số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau? F ⓐ Muốn lập một số tự nhiên gồm bốn chữ số ta cần thực hiện tất cả bốn công việc (chọn chữ số từ các chữ số đã cho xếp vào bốn vị trí ), do số gồm bốn chữ số không yêu cầu gì về điều kiện khác nhau nên ta dùng qui tắc nhân để giải. F ⓑ và ⓒ phân tích theo phương pháp tương tự như trên. Phân tích thêm câu c) có thể dùng phần bù để giải. ‚ Cho năm điểm (trong đó không có bộ ba điểm nào thẳng hàng). Từ năm điểm đã cho có thể xác định được bao nhiêu: ⓐ Đoạn thẳng? ⓑ Vectơ khác vectơ – không? F ⓐ Mỗi đoạn thẳng được xác định bởi một bộ gồm hai phần tử khác nhau không kể thứ tự nên mỗi tổ hợp chập 2 của 5 điểm đã cho xác định một đoạn thẳng. F ⓑMỗi vectơ được xác định bởi một bộ gồm hai phần tử khác nhau có thứ tự nên mỗi chỉnh hợp chập 2 của 5 điểm đã cho xác định một véctơ. § Phân tích sự giống nhau và khác nhau ở hai câu trong bài ‚. ƒ Trong một chi đoàn có 25 đoàn viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một Ban chấp hành gồm một bí thư, một phó bí thư và ba uỷ viên? (mỗi đoàn viên chỉ đảm nhiệm nhiều nhất một chức vụ). F Muốn chọn một Ban chấp hành ta phải thực hiện tất cả ba công việc: CV1–chọn một bí thư, CV2–chọn một phó bí thư, CV3–chọn ba uỷ viên. CV1: Chọn một đoàn viên trong 25 đoàn viên làm bí thư có 25 cách thực hiện công việc 1. CV2: Chọn một đoàn viên trong 24 đoàn viên còn lại làm phó bí thư có 24 cách thực hiện công việc 2. CV3: Chọn ba đoàn viên (không kể thứ tự) trong 23 đoàn viên còn lại làm ba uỷ viên mỗi tổ hợp chập 3 của 23 phần tử là một cách chọn. Do phải thực hiện tất cả các công việc CV1, CV2, CV3 nên ta dùng qui tắc nhân tìm đáp số.(Có thể dùng chỉnh hợp để tìm số cách chọn bí thư và phó bí thư) „ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số trong đó chữ số 2 có mặt ba lần, các chữ số khác có mặt nhiều nhất một lần? … Có ba viên bi màu đỏ giống nhau và năm viên bi màu xanh có bán kính khác nhau. người ta muốn xếp ba viên bi đỏ và bốn trong các viên bi xanh vào một hàng có bảy ô (mỗi ô xếp một viên). Hỏi có bao nhiêu cách xếp? F Sau khi cho học sinh phân tích và giải bài toán „ đến đáp số là , nêu thêm bài toán … có cách giải hoàn toàn tương tự để rèn luyện thêm khả năng phân tích đề, xây dựng chương trình giải cho học sinh. Ÿ Trong một số bài toán có thể dùng phần bù để giải. Nhất là các bài toán có các từ “ít nhất”, “nhiều nhất” II. Các bài toán về giai thừa: Từ các ví dụ cụ thể như: 10! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 = 8!9.10 hay tổng quát thành các công thức như: n! = (n – 1)!n (với n 1); n! = (n – 2)!(n – 1)n (với n 2) Cho học sinh giải các bài tập như: § Giản ước § Rút gọn: III. Các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa và : § Hướng dẫn kỹ cách đặt điều kiện: + Đối với điều kiện là: + Đối với điều kiện là: § Khai triển đúng công thức trong trường hợp cụ thể k là gì, n là gì. IV. Các bài toán về nhị thức NIUTƠN:  Bài toán về khai triển nhị thức (a + b)n: § Yêu cầu học sinh viết nhị thức dưới dạng: § Hướng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi để tính từ đó đi đến kết quả. ‚ Các bài toán về tính số hạng, hệ số cần viết đúng số hạng tổng quát sau đó khai thác giả thiết tìm k, n kết quả. ƒ Tính tổng, chứng minh: § Qua các bài toán cần tập cho học sinh phát hiện ra các qui luật chung của các số hạng, kết hợp với các kiến thức khác như đạo hàm, tích phân tìm ra chương trình giải. § Ví dụ: Tính tổng: (n nguyên dương) F Hướng dẫn học sinh tìm ra qui luật với số hạng tổng quát là: = từ đó dẫn đến tính S =. Tuy nhiên, trong các đề thi thường kết hợp nhiều dạng, nhiều kiểu nên cần ghép các dạng toán, nhiều kiến thức từ dễ đến khó trong một bài ôn tập giúp học sinh rèn tư duy, tìm ra qui luật, qui lạ về quen Ⓓ. MỘT SỐ BÀI TẬP: 1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên (chữ số đầu tiên khác 0) ⓐ Gồm có năm chữ số. ⓑ Gồm năm chữ số khác nhau. ⓒ Gồm năm chữ số khác nhau và là số lẻ. ⓓ Gồm năm chữ số khác nhau và là số chẵn. ⓔ Gồm năm chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 2. ⓖ Gồm năm chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 23. ⓗGồm năm chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và chữ số 3. ⓘGồm tám chữ số khác nhau trong đó chữ số 1 có mặt ba lần các chữ số khác có mặt đúng một lần. ⓚ Tính tổng tất cả các số tự nhiên ở câu ⓑ. 2) Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên muốn chon bốn học sinh để trực lớp. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chon nhóm trực, biết rằng: ⓐ Số nam nữ trong nhóm là tuỳ ý. ⓑ Trong nhóm phải có hai nam và hai nữ. ⓒ Trong nhóm phải có ít nhất một nữ. 3) Cho đa giác lồi 12 cạnh. Hỏi: ⓐ Đa giác có bao nhiêu bao nhiêu đường chéo? ⓑ Có bao nhiêu véctơ khác véctơ–không được tạo thành từ các đỉnh của đa giác? ⓒ Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của đa giác? ⓓ Biết rằng ba đường chéo cùng không đi qua một đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo của đa giác. 4) Có năm tem thư khác nhau và sáu bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra ba tem thư, ba bì thư và dán ba tem thư ấy lên ba bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện? 5) Một tổ gồm mười học sinh trong đó có hai học sinh A và B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tổ học sinh thành một hàng ngang để tập thể dục, biết rằng A và B phải đứng kề nhau? 6) Có năm quyển sách toán khác nhau, bốn quyển sách lý khác nhau và hai quyển sách hoá khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách đó lên kệ sách sao cho các quyển sách cùng môn được xếp kề nhau? 7) Giải các phương trình sau: ⓐ P2.x2 – P3.x = 8. ⓑ ⓒ ⓓ 8) Giải các bất phương trình: ⓐ ⓑ ⓒ ⓓ 9) Giải các hệ phương trình sau: ⓐ ⓑ 10) Cho khai triển nhị thức: (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. 11) Khai triển các nhị thức: ⓐ (2x – 1)6 ⓑ (2x – y)6 ⓒ 12) Tìm số hạng của khai triển là một số nguyên. 13) Tìm số hạng không chứa x của các khai triển: ⓐ ⓑ 14) Tìm hệ số của x8 trong khai triển biết rằng 15) Tính tổng . 16) Cho tổng . Tìm n. 17) Tính tổng (n >2) 18) Tính tổng .