Chuyên đề 1 phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số

Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 1 CHUYÊN ĐỂ 1 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. I. Vấn đề 1: Phương trình Một số dạng phương trình vô tỷ thường gặp : 1. 0, 0A B A B A B       2. 2 0B A B A B      3. 33 A B A B   Loại 1. Giải các phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình vô tỷ về dạng pt cơ bản 1. 225 1x x   2. 23 9 1 2x x x    3. 2 2 4 2x x x    4. 23 9 1 2x x x    5. 2 2 4 2x x x    6. 24 2 2x x x    7. 16 17 8 23x x   8. 2 1 1x x   9. 2 4 2 2x x x    10. 2 4 2 7 x x x     11. 4 21 1x x x    12. 2 12 1 36 0x x x     13. 2 22(1 ) 2 1 2 1x x x x x      14. 3 1 4 1x x    15. 2 22 8 6 1 2 2x x x x      16. 11 1 2x x    17. 16 9 7x x    18. 9 5 2 4x x    19. 1 6 5 2x x x      20. 2 14 7 5x x x     21. 29 9 9x x x x      22. 3 2 1 1x x    23. 5 1 3 2 1 0x x x      24. 2 2 3 2 2 3 x x x x     25. 2 41 1 4 7x x x    26. 2 5 13x x    27. 1 ( 3)( 1) 4( 3) 3 3 x x x x x         28. 2 1 2 1 1x x x x x       Loại 2 . Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Dạng 1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đơn giản hơn 1. 2 24 2 8 12 6x x x x     2. 2( 1)( 4) 3 5 2 6x x x x      3. 3 6 3 ( 3)(6 )x x x x       4. 2 25 7 8 7 5 1 8x x x x     5. 2 23 3 3 6 3x x x x      6. 2 23 2 8 3 2 15 7x x x x      7. 22 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x        8. 17 17 2x x    9. 2 22 5 2 2 2 5 6 1x x x x      Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 2 10. 21 1x x x x     11. 2 1 1 4 310x x    12. 2 23 3 3(2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3x x x x       13. 2 2 2 4 3 2 2 9 x x x x x     14. 8 2 7 1 7 4x x x x        Dạng 2. Đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ đơn giản 1. 23 6 3 3 18x x x x        2. 33 31 3 2x x    3. 2 23 2 15 3 2 8 7x x x x      4. 3 31 2 2 1x x   5. 2 217 17 9x x x x     6. 4 418 1 3x x    7. 3 312 14 2x x    8. 2 23 10 5x x    9. 3 33 3 2 2x x   10. 2 1 1x x   11. 3 3x x   12. 3 3 31 2 2 3x x x     Loại 3. Giải phương trình bằng phương pháp hàm số Loại 4. Giải phương trình bằng phương pháp đánh giá, điều kiện nghiệm, lượng giác hóa... II. Vấn đề 2: Hệ phương trình A. Hệ phương trình gồm 1 phương trình gồm phương trình bậc nhất và phương trình bậc 2. Cách giải: Dùng phương pháp thế: Bài 1 Giải các hệ phương trình sau: 1. 2 2 2 5 7 x y x y xy       2. 2 23 2 5 4 0 2 4 x xy y x y x y           3. 2 24 8 2 4 x y x y       4. 2( ) 49 3 4 84 x y x y       5. 2 2 6 2 0 2 3 x y x y x y         6. 2 2 2 6 3 10 x y x xy y       B. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Hệ phương trình có dạng:(I) ( ; ) 0 ( ; ) 0 f x y g x y    trong đó ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) f x y f y x g x y g y x    thì hệ này được gọi la hệ phương trình đối xứng loại 1 Cách giải: đặt S x y P xy     thay vao hệ (I) tìm được S,P Khi đó x,y là nghiệm của phương trình : 2 0t St P   (*) Nhận xét: Do tính đối xứng của x,y nên phương trình (*) có nghiệm 1 2,t t thì hệ (I) có nghiệm 1 2 2 1( ; ), ( ; )t t t t Bài 2 Giải hệ sau: 1. 2 2 11 2( ) 31 x y xy x y xy x y           2. 2 2 5 7 x y xy x xy y        Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 3 3. 2 2 3 3 1 1 x y x y       4. 2 2 2 2 1 1 5 1 1 9 x y x y x y x y              5. 3 3 2 2 2 2 2 2 32 ( ) 128 x y x y xy x y x y         6. 2 2 2 4 x y xy x y xy        7. 2 2 18 ( 1)( 1) 72 x y x y xy x y          8. 5 5 3 3 2 13( ) 12( ) x y x y x y       9. 2 2 2 2 1 ( )(1 ) 5 1 ( )(1 ) 49 x y xy x y x y            10. 30 35 x y y x x x y y       11. 2 2 2 8 2 4 x y xy x y        12. 4 5 5 6 x y x y         13. 2 2 2 2 1 1 18 1 1 2 x x y x y x y y x x y x y x y y                       14. 7 1 78 x y y x xy x xy y xy         C. Hệ phương trình đối xứng loại 2. Hệ có dạng : (I) ( ; ) 0 ( ; ) 0 f x y f y x    gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 Cách giải thông thường: (I) ( ; ) ( ; ) 0 ( ) ( ; ) 0 ( ; ) 0 ( ; ) 0 f x y f y x x y g x y f x y f x y            Nhận xét: + Hệ (I) nếu cộng vế với vế được pt(*) đối xứng 2 ẩn x,y + Nếu phương trình ( ; ) 0g x y  là đối xứng 2 ẩn x;y thì kết hợp với pt (*) được hệ đối xứng loại 1. Bài 3 Giải hệ phương trình sau: 1. 2 2 2 3 2 3 x xy x y xy y       2. 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 x y x y y x y x         3. 2 2 3 3 x x y y y x       4. 1 3 2 1 3 2 x y x y x y          Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 4 5. 2 2 1 2 1 2 x y y y x x         6. 2 2 2 2 x y y x         7. 3 3 y x x y     8. 3 3 2 2 x x y y y x       D. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2,3 chứa 2 ẩn Cách giải: C1: ( Dùng cho hệ đẳng cấp bậc 2 chứa 2 ẩn) Cho hệ sau: 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a x b xy c y d a x b xy c y d         Nếu 1 0d  (hoặc 2 0d  ) tức là 2 2 1 1 1 0a x b xy c y   (*) phương trình này giải tương đối đơn giản : + Xét 0y  xem có là nghiệm của hệ không + Xét 0y  : chia cả 2 vế của phương trình (*) cho 2y ta được : 21 1 1( ) ( ) 0 x x a b c y y    giải phương trình này sau đó thế vào phương trình còn lại của hệ. Nếu 1 0d  và 2 0d  thì ta sẽ khử hạng tử không chứa biến của 2 phương trình trong hệ bằng cách nhân phương trinh 2 với 1d và nhân phương trinh 1 với 2d sau đó trừ vế với vế ta cũng được pt đẳng cấp bậc 2 và cách giải như trên. C2: Giải hệ khi x=0 Khi 0x  đặt y=tx khử x bằng chia vế với vế được phương trình ẩn t Bài 4 Giải hệ phương trình sau: 1. 2 2 2 2 2 4 1 3 2 2 7 x xy y x xy y          2. 2 2 2 2 3 2 0 2 3 1 x xy y x xy y          3. 2 2 2 2 29 11 x y xy x y xy          4. 2 2 2 3 2 160 3 2 8 x xy x xy y        5. 2 2 2 2 2 2 3 9 2 2 2 x xy y x xy y         6. 2 2 2 2 ( )( ) 16 ( )( ) 40 x y x y x y x y         7. 3 2 2 3 3 2 2 3 3 15 x xy x y y x x y xy y           8. 3 2 3 2 3 3 4 3 x x y x xy y        9. 2 2 5 2 5 2 2 x xy y y x x y xy           10. 2 22 3 0 2 x xy y x x y y         E. Một số cách giải hệ phương trình: 1) Phương pháp biến đổi tương đương Loại 1: hệ có 1 pt có thể rút x theo y hoặc ngược lại Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 5 VD: Giải hệ 2 2 2 ( 1)( 1) 3 4 1 (1) 1 (2) x y x y x x xy x x            Dễ thấy x=0 không là nghiệm từ (2) ta có: 2 1 1 x y x    thay vào (1) Loại 2: 1 pt trong hệ có thể đưa về phương trình tích VD: Giải hệ 2 22 2 2 1 2 xy x y x y x y x y x y           Loại 3: Đưa 1 pt trong hệ về pt bậc 2 một ẩn và ẩn còn lại là tham số VD: Giải hệ pt: 2 2 2 (5 4)(4 ) (1) 5 4 16 8 16 0 (2) y x x x xy x y y            Đưa pt (2) về dạng: 2 24 (2 ) 5 16 16 0y y x x x      Coi pt(2) là pt bậc 2 ẩn y tham số x. 2' 9y x  2) Phương pháp đặt ẩn phụ Điểm quan trọng của pp này là phải tìm ra ẩn phụ có thể nhận ra ngay từ pt của hệ hoặc qua 1 số biến đổi hoặc chia cho 1 biểu thức khác 0 rồi mới xuất hiện ẩn phụ VD: Giải hệ: 2 2 1 ( ) 4 (1) ( 1)( 2) (2) x y y x y x y x y           Dễ thấy y=0 không là nghiệm của hệ Khi 0y  , chia cả 2 vế của 2 pt cho y ta hệ : 2 2 1 4 1 ( 2) 1 x y x y x y x y               Chỉ cần đặt ẩn phụ 2 1 2 x a y b x y         ta được hệ: 2 1 a b ab     3) Phương pháp hàm số Loại 1. Một phương trình trong hệ có dạng ( ) ( )f x f y , pt còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên đó hàm ( )f x đơn điệu VD: Giải hệ : 3 3 8 4 5 5 (1) 1 (2) x x y y x y        Từ pt(2) ta có 8 4 11 11 xx yy          Xét hàm  3( ) 5 , 1;1f t t t t    có  2'( ) 3 5 0 , 1;1f t t t      do đó ( )f t nghịch biến trong khoảng (-1;1) nên pt(1) x y  thay vào pt(2) Loại 2. Là hệ đối xứng loại 2 VD: Giải hệ 2 1 2 1 2 2 3 1 (1) 2 2 3 1 (2) y x x x x y y y               Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 6 Đặt 2 2 1 1 3 1 1 3 b a a x a a b y b b              . Trừ vế với vế của 2 pt ta được : 2 21 3 1 3 (*)a ba a b b       . Xét hàm 2( ) 1 3tf t t t    2 '( ) 1 3 .ln3 0 1 ttf t t t       . Do đó ( )f t đồng biến trên R nên pt (*) a b  thay vào 1 trong 2 pt ta được 2 21 3 0 ln( 1) ln3 0aa a a a a         Đặt 2( ) ln( 1) ln3g a a a a    hàm này nghịch biến trên R vì '( ) 0g x  Nên pt ( ) 0g x  có 1 nghiệm duy nhất a=0 từ đó ta được x=y=1 4) Phương pháp lượng giác VD: Giải hệ 2 21 1 1 (1 )(1 ) 2 x y y x x y          (HD Đặt osa cos x c y b    ) 5) Phương pháp đánh giá, sử dụng BĐT, đk có nghiệm của pt VD1: Giải hệ 2 3 2 2 23 2 2 9 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y               Cộng vế với vế ta được: 2 2 3 2 23 2 2 (1) 2 9 2 9 xy xy x y x x y y        Ta có: 3 2 23 3 32 2 2 9 ( 1) 8 2 2 22 22 9 2 9 x x x xy xyxy xy x x x x               Tương tự ta có : 23 2 2 9 xy xy y y    nên (1) 2 2 2x y xy   mà 2 2x y xy   nên (1) có nghiệm khi x=y VD2: Giải hệ 3 3 3 4 2 6 2 y x x x y y          Hệ 2 2 2 ( 1) ( 2) 2 2( 1) ( 2) y x x x y y             xét dấu 2 pt của hệ ta sẽ có nghiệm x=y=2 Bài 5 Giải hệ pt sau 1. 2 2 3 2 16 2 4 33 xy x y x y x y         2. 3 3 (2 3 ) 8 ( 2) 6 x y x y       3. 2 4 2 3 9 4(2 3) 48 48 155 0 x y y x y y x           4. 3 2 3 2 2( 2 1) ( 1) 4 1 ln( 2 ) 0 x x y x y y x y x             Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 7 5. 2 2 2 4 1 3 5 44 x x x y y y x y x y                 6. 3 2 2 2 2 0 x y x xy y y         7. 2 2 2007 1 2007 1 x y y e y x e x           8. 2 2 2 3 2 2 0 2 3 6 12 13 0 x y x y x x y x           F. Một số bài tập khác về hệ phương trình Bài 6 Giải các hệ sau: 1. 2 2 2 2 2 2 4x y y x y xy y x        2. 4 4 9 9 1 1 x y x y       3. 2 2 4 2 2 4 19 931 x xy y x x y y         4. 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) 10 y x y x x x y y       5. 2 2 2 2 3 2 1 1 4 22 y x y x x x y y            6. 3 3 3 3 19( ) 7( ) x y x y x y x y         III. Bất phương trình vô tỷ Một số dạng bất phương trình vô tỷ cơ bản: +) 0B A B A B      +) 2 0 0 B A B A A B         +) 2 0 0 B A B A A B         +) 2 00 0 BB A B A A B          PP giải bpt về cơ bản tương đối giống pp giải pt. Lưu ý: Khi giải bpt phải chú trọng đến điều kiện của ẩn Bài 7 Giải các bất phương trình sau: 1. 2 7 6 3 2x x x     2. 2 3 3 2 1x x x    3. 23 13 2 1x x   4. 2 6 5 8 2x x x     5. 22 6 1 2x x x    6. 2 2(3 ) 4 9x x x    7. 2 2( 2) 3 4 4x x x x     8. 23 16 5 2 1 x x x      9. 21 21 4 1 4 2 x x x      10. 2 22 3 11 3 4x x x x     Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 8 11. ( 5)( 2) 3 ( 3) 0x x x x     12. 2 25 10 1 7 2x x x x     13. 251 2 1 1 x x x     14. 23 4 2 2 x x x      15. 21 1 4 3 x x    16. 3 2 8 7x x x     17. 2 7 3 2x x x      18. 5 9 1x x    19. 2 1 2 3x x x    20. 2 2 23 2 4 3 5 4x x x x x x         21. 2 23 5 7 3 5 2 1x x x x      22. 2 24 3 2 3 1 1x x x x x       23. 5 1 5 2 4 22 x x xx     IV. Tổng hợp các đề thi ĐH từ năm 2002-2010 1. (Khối B 2002) Giải hệ sau: 2. (Khối D 2002) Giải bpt sau: 3 2 x y x y x y x y          2 2( 3 ) 2 3 2 0x x x x    3. (Khối A 2003) Giải hệ sau: 4. (Khối B 2003) Giải hệ sau: 3 1 1 2 1 x y x y y x         2 2 2 2 2 3 2 3 y y x x x y         5. (Khối A 2004) Giải bpt sau: 22( 16) 7 3 3 3 x x x x x        6. (Khối D 2004) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiêm: 1 1 3 x y x x y y m        7. (Khối A 2005) Giải bpt sau: 8. ( Khối D 2005) Giải pt sau: 5 1 1 2 4x x x     2 2 2 1 1 4x x x      9. (Khối A 2006) Giải hệ sau: 3 1 1 4 x y xy x y          10 ( Khối B 2006) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt 2 2 2 1x mx x    11. (Khối D 2006) Giải pt sau: 22 1 3 1 0x x x     12. ( Khối A 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 243 1 1 2 1x m x x     13. ( Khối B 2007) CMR với mọi m dương thì phương trình sau có 2 nghiêm Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Tân 9 thực phân biệt: 2 2 8 ( 2)x x m x    14. ( Khối D 2007) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m x y               15. (Khối A 2008) Giải hệ sau: 16. (Khối B 2008) Giải hệ sau: 2 3 2 4 2 5 4 5 (1 2 ) 4 x y x y xy xy x y xy x               4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x          17. (Khối D 2008) Giải hệ sau: 18. (Khối A 2009) Giải pt sau: 2 22 2 1 2 2 xy x y x y x y y x x y           32 3 2 3 6 5 8 0x x     19. (Khối B 2009) Giải hệ sau: 20.(Khối D 2009) Giải hệ sau: 2 2 2 1 7 1 13 xy x y x y xy y        2 2 ( 1) 3 0 5 ( ) 1 0 x x y x y x           21. (Khối A 2010) Giải bpt sau: 22.(Khối B 2010) Giải pt sau: 2 1 1 2( 1) x x x x      23 1 6 3 14 8 0x x x x      