Chuyên đề bài tập lượng giác

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC (NHIỀU TÁC GIẢ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG Vấn đề 1 : Hệ Thức Lượng Cơ Bản Kiến thức cơ bản Hệ quả 1 : Hệ quả 2 : B. TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA 1 CUNG a.Tính sina , tana, cota biết cosa = và b.Tính cosa, tana, cota biết và c.Tính cosa, sina, cota biết và d.Tính sina, cosa, tana biết và TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN. a.tính biết và b.Tính biết c.Tính biết d.Tính biết e. Tính biết tính a.Tính , , biết b.Tính , biết ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC . . CHỨNG MINH CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC . . . . . CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO X a. b. c. d. VẤN ĐỀ 2 : CUNG ( GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT (Cung liên kết). STT Hai cung Gọi là hai cung Công thức Cách nhớ 1 Đối nhau Cos đối 2 Bù nhau Sin bù 3 Phụ nhau Phụ chéo 4 Sai kém Sai tan, cot 5 Sai kém 2 cung sai kém thì sin ( cung lớn) = cos ( cung nhỏ) Hệ quả : A , B , C là 3 góc trong 1 tam giác Ta có : A + B + C = (phụ) Chứng minh rằng: Tính giá trị biểu thức : Đơn giản biểu thức sau : VẤN ĐỀ 3 : CÔNG THỨC CỘNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ quả : Biến đổi biểu thức về dạng tích số Giả sử ( và a và b không đồng thời triệt tiêu) Ta có : Áp dụng kết quả trên ta có : Rút gọn các biểu thức sau : Chứng minh rằng : Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x : Các bài toán liên quan đến tam giác : Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC (không vuông) ta đều có : Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có : Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : và xác định hình tính của tam giác ABC trong trường hợp này. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và trực tâm H chia đường cao theo tỉ số .Tính theo m và chứng minh rằng : Cho tam giác ABC thỏa mãn : . CMR tam giác ABC cân. Các bài toán liên quan khác Cho x và y là hai số thay đổi và là nghiệm đúng của phương trình . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phương trình Cho bốn số thay đổi a, b, x, y thỏa mãn và . CMR : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức biết x và y là hai số thay đổi thỏa mãn : Cho hai số x và y thay đổi sao cho . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : VẤN ĐỀ 4 : CÔNG THỨC NHÂN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Công thức nhân đôi Hệ quả Đặt , ta có : Công thức nhân 3 Tính biết Tính Tính giá trị biểu thức sau: Chứng minh rằng : Cho tam giác cân có góc ở đỉnh bằng , cạnh bên bằng b và cạnh đáy băng a. CMR Tính giá trị biểu thức sau : nếu nếu nếu VẤN ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG Biến đổi các biểu thức sau thành tổng : Chứng minh các đẳng thức sau: Cho tam giác ABC có VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ quả : Biến đổi các biểu thức sau về dạng tích : Đơn giản các biểu thức sau: Chứng minh rằng : VẤN ĐỀ 7 : CÁC BIẾN ĐỔI VỀ GÓC TRONG TAM GIÁC A, B , C là 3 góc trong 1 tam giác , ta có : vậy : (bù) ( phụ) Bất đẳng thức côsi Cho a ,b >0 ta luôn có hay Tổng quát : ta luôn có Bất đẳng thức BOUNHIACOSKY hay Định lí hàm số sin Định lí hàm số cosin Cho tam giác ABC biến đổi các biểu thức sau về dạng tích : A , B , C là 3 góc của 1 tam giác. Chứng minh rằng : Chứng tỏ rằng nếu tam giác ABC có thì tam giác ABC là 1 tam giác cân. Cho tam giác ABC , đặt . Chứng minh rằng tam giác ABC nhọn . Hãy nhận dạng tam giác ABC biết : . Cho tam giác ABC có các cạnh và các góc thỏa mãn hệ thức : Chứng minh tam giác ABC cân. Số đo 3 góc của tam giác ABC lập thành 1 cấp số cộng và thỏa mãn hệ thức : . Tính các góc A, B , C. Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi và chỉ khi : . Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có : (trong đó p là nửa chu vi. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác). Thì tam giác ABC là tam giác đều. Giả sử tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : . Thì tam giác ABC là tam giác đều. VẤN ĐỀ 8 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN KIẾN THỨC CƠ BẢN Loại 1 : PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương trình Lời giải Giải các phương trình sau : Tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình sau: trong khoảng trong khoảng trong khoảng trong đoạn trong khoảng trong khoảng trong khoảng GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có 1 và chỉ 1 nghiệm Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm LOẠI 2 Loại 2 : PHƯƠNG TRÌNH Cách giải : (điều kiện để phương trình có nghiệm ) Giải các phương trình sau : Tìm các giá trị của để phương trình : có nghiệm Tìm các giá trị của để phương trình : trong khoảng Giải và biện luận phương trình theo tham số m : Cho phương trình : .Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm. Cho phương trình :.Giải và biện luận phương trình theo tham số m. Tìm các giá trị của thỏa mãn phương trình sau với mọi m: Tìm m để phương trình có nghiệm : LOẠI 3 Phương trình chứa tổng và tích của sinx và cosx :A(sinx+cosx)+Bsinxcosx+C=0 (1) Đặt Thay vào phương trình (1), ta có : Giải các phương trình sau : Cho phương trình : Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng Xác định a để phương trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng Xác định a để phương trình có 2 nghiệm trong khoảng Cho phương trình :. Xác định m để phương trình có nghiệm trong khoảng LOẠI 4 :PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Cách 1 : Bước 1 : kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm đúng của phương trình hay không ? Bước 2 : chia hai vế của phương trình cho ta được phương trình bậc hai có ẩn số phụ t = tanx. . Cách 2 : Dùng công thức : Để biến đổi phương trình về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x (Acos2x + Bsin2x = C). GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU : Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình :. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. VẤN ĐỀ 9 : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Cho phương trình lượng giác : Giải phương trình với Tìm m để phương trình có nghiệm Cho phương trình lượng giác :. Xác định a để phương trình có nghiệm. Cho phương trình : . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. Cho phương trình : Giải phương trình khi a = 1. Tìm a để phương trình có ít nhất 1 nghiệm . Cho phương trình : Giải phương trình với k = 2. Giải và biện luận phương trình trong trường hợp tổng quát. Cho phương trình : . Xác định a để phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm trong khoảng . Tìm số dương a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện : VẤN ĐỀ 10 - MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Giải phương trình : Giải phương trình : Giải phương trình : . Giải phương trình : Giải phương trình :. Giải phương trình :. Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm :. Giải phương trình :. Giải phương trình : Giải phương trình :. Giải phương trình : VẤN ĐỀ 11 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Giải hệ phương trình : Giải hệ phương trình : Giải hệ phương trình : Giải hệ phương trình : Giải hệ phương trình : Giải hệ khi m = 0. Xác định m để hệ phương trình có nghiệm. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : Giải hệ phương trình : Giải hệ phương trình : Giải hệ phương trình : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. Tìm m để hệ phương trình :có nghiệm. Tìm nghiệm đó. Giải và biện luận phương trình:. VẤN ĐỀ 12 - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Giải các bất phương trình lượng giác sau: Xác định sao cho phương trình sau có nghiệm : Tìm các giá trị của a để phương trình sau vô nghiệm : Giải bất phương trình :. Giải bất phương trình :. Giải bất phương trình : Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x: