Giáo án Môn Toán học 11 (chuẩn kiến thức) - Bài 12: Xác suất

Bài 12 : xác suất I/ Lý thuyết : - Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử - Một biến cố A liên quan tới phép thử T được mô tả bởi 1 tập con nào đó của không gian mẫu . Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập . Mỗi phần tử của được gọi là một kết quả thuận lợi cho A . - Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra - Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia . - G/s phép thử T có không gian mẫu và các kết quả của T là đồng khả năng . Nếu A là một biến cố và là tập hợp mô tả A ( ) thì xác suất của A bằng tỉ số của kết qủa thuận lợi trên tổng số kết quả có thể : - Nếu A1, A2, ..., Ak là các biến cố đôi một xung khắc thì : P(A1) = P(A1) + ...+ P(Ak) - Nếu A1, A2, ..., Ak là các biến cố độc lập thì : P(A1) = P(A1) P(A2) ...P(Ak) - Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1, x2, ..., xn} , kì vọng của X là : , ở đó pi = P(X = xi ) - Phương sai của X là : = - Độ lệch chuẩn của X là : II/ Các ví dụ : VD 1: Gieo đồng thời hai con xúc sắc . Tính xác suất để : Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con là 8 ? Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con là một số chẵn ? HD : a) Ta có = 36 , các kết quả thuân lợi là : ( 2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4) ; ( 5 ; 3), (6 ; 2). Vậy P = 5/36 b) C1 : Liệt kê số kết quả thuận lợi C2 : Gọi 2 con xúc sắc đó là A và B . Giả sử A xuất hiện số chấm là chẵn ( có 3 khả năng ) . Khi đó B phải xuất hiện mặt có số chấm là chẵn ( 3 KN) . TH này có : 3x3 = 9 ( KN ) Nếu A xuất hiện mặt có số chấm là lẻ thì B cũng như thế , suy ra TH này cũng có 9 (KN) Vậy P = 18/36 VD 2 : Gieo đồng thời 3 con xúc sắc . Tính xác suất để : a)Tổng số chấm xuất hiện của 3 con là 8 ? b)Tổng số chấm xuất hiện trên 3 con là 10 ? HD : a)Các TH có thể : Bộ ( 1; 2; 5) có 6 cách , bộ ( 1; 3; 4 ) có 6 cách, bộ ( 1; 1; 6) có 3 cách , bộ (2;2;4) có 3 cách, bộ ( 2; 3; 3)có 3 cách . Vậy P = 21/216 = 7/72 b) Tương tự , P = 1/9 VD 3: Cho một đa giác đều 8 cạnh . Chọn ngẫu nhiên một đường chéo của đa giác . Tìm xác suất để được một đường chéo có độ dài nhỏ nhất ? HD : Số đường chéo : - 8 = 20 . Số các đường chéo của đa giác đều 8 đỉnh có độ dài nhỏ nhất là số các cạnh của hình vuông có 4 đỉnh của đa giác đang xét (hoặc ta thấy ứng mỗi đỉnh của đa giác , thì đường chéo nối 2 đỉnh kề bên đỉnh đó có độ dài nhỏ nhất , có 8 đỉnh như thế này ) P = 8/20 VD 4: Ba cửa hàng bán xe Honda như nhau . Có 3 người khách A, B, C độc lập nhau chọn ngẫu nhiên một cửa hàng để mua xe . Tính xác suất các biến cố sau : Ba người khách vào cùng một cửa hàng ? Hai người khách vào cùng một cửa hàng , người kia vào cửa hàng khác . HD : Có 27 cách để 3 người đó vào các cửa hàng . Ta đánh số các cửa hàng đó là : 1, 2, 3 a)Có 3 cách để 3 người đó vào cùng một cửa hàng : P = 3/27 b) Các TH có thể : ( 1 ;1,2), (1,1,3), (2,2,1), (2,2,3), (3,3,1), (3,3,2) : mỗi bộ như thế tương ứng với 3 cách để 3 người đó vào các cửa hàng . P = 18/27 VD 5: Công ty tin học A cần tuyển 2 nhân viên . Có 6 người nộp đơn , trong đó có 4 nam và 2 nữ . Giả sử rằng khả năng ứng cử của 6 người là như nhau . Tính xác suất của biến cố sau : Hai người trúng tuyển đều là nam ? Hai người trúng tuyển đều là nữ ? Hai người trúng tuyển có ít nhất 1 nữ ? HD : a) P (A) = 6/15 = 2/5; b) tương tự : P (B) = 1/15 c) P(C) = 1 – P(A) VD 6: Có 6 quả cầu giống hệt nhau được đánh số từ 1 đến 6 và đựng trong một hộp . Sau khi xáo trộn , người ta lấy ra ngẫu nhiên lần lượt 4 quả . Sắp xếp chúng theo thứ tự lấy ra thành một hàng ngang từ trái sang phải . Tìm xác suất để có được số 1234 ? Tìm xác suất để tổng các chữ số bằng 10 ? HD : a) Gọi A là biến cố để có được số 1234 . Số TH có thể là : = 360. Số TH thuận lợi là 1 . P(A) = 1/ 360 b) Các số đó được lập bởi {1,2,3,4}. Có 4! = 24 số . P = 24/360=1/15 VD 7: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập thành từ các số : 1,2,3,4,5,6 . Lấy ngẫu nhiên 2 phần tử của M . Tính xác suất để 1 trong 2 phần tử đó chia hết cho 6 . HD : Số có 2 chữ số có thể lập được là : = 36 .Số TH có thể là : = 630 . Số các số chia hết cho 6 : 12, 24, 36, 42, 54, 66. Số TH thuận lợi : 6x30 + = 195 . Suy ra : P = 195/ 630=13/42 VD 8: Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10 triệu đồng , 5 vé trúng 5 triệu đồng và 10 vé trúng 3 triệu đồng . Một người mua ngẫu nhiên 3 vé . Tính xác suất các biến cố : Người đó trúng đúng 3 triệu đồng Người đó trúng ít nhất 3 triệu đồng . HD : a) Số TH có thể : . Người đó trúng 3 triệu đồng , nên có 1 vé trúng 3 triệu và 2 vé kia không trúng . số TH thuận lợi : . Suy ra : P = 83/385 b)Gọi A là biến cố người đó trúng ít nhất 3 triệu và B là biến cố người đó không trúng vé nào . Ta có : P(A) = 1 – P(B) = 1 - VD 9: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên . Có 6 người nộp đơn trong đó có 4 nữ và 2 nam . Khả năng được tuyển của 6 người là như nhau , Giả sử Mai là một trong 4 nữ . Tính xác suất để Mai được chọn ? Tính xác suất để Mai được chọn nếu đã có ít nhất một nữ đã chọn HD : a) Số TH thuận lợi : , số TH có thể : . Vậy P = 1/3 b)Số TH để có ít nhất một nữ được chọn là : 4.2 + = 14 . số TH thuận lợi là : . Vậy P = 5/14 VD 10: Xếp ngẫu nhiên 5 người vào 1 bàn có 5 chỗ ngồi . Tính xác suất các biến cố sau : A và B ngồi đầu bàn A và B ngồi cạnh nhau HD : a) Số TH đồng khả năng là : 5! , Xếp A, B ngồi đầu bàn có 2 cách , xếp 3 người còn lại có 3! cách . Vậy P = 3!.2/5! = 0,1 b) Số TH đồng khả năng là : 5! , xếp 5 người mà A và B ngồi cạnh nhau có : 2!.4! . P = 0,4 VD 11: Bỏ ngẫu nhiên 5 lá thư vào 5 phong bì . Tính xác suất để : Có 5 là thư đến đúng người nhận Lá thứ 1 đến đúng người nhận Lá thứ 1 và thứ 2 đến đúng người nhận Có 1 lá đến đúng người nhận , các lá còn lại đều sai HD : a) P(A) = 1/5! , b)P(B) = 4!/5! , c) P(C) = 3!/5! d) P(D) = /5! VD 12: Một cỗ bài tú lơ khơ có 52 quân . Rút ngẫu nhiên ra 6 quân . Tính xác suất để có : 4 con bích và 2 co chuồn 3 quân át và 3 con 5 2 quân át VD 1: VD 1: VD 1: VD 1: VD 1: VD 1: VD 1: VD 1: VD 1: VD 1: VD 1: VD 1: VD 1: