Chuyên đề Bất đẳng thức

Chuyên đề: Bất đẳng thức Tác giả : Nguyễn –Văn –Thủy sưu tập và biên soạn năm 2000 chỉnh sửa năm :2007 Bác tặng cháu - chúc cháu thành công A- Mở đầu: Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông . Nhưng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phương trình , bất phương trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Trong quá trình giải bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh được phat triển đa dang và phong phú vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả. Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống. Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phương pháp nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hương nào .Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác. Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc rất quan trọngvà không thể thiếu được của người dạy toán ,thông qua đó rèn luyện Tư duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh .Để làm được điều đó người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phương pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức . Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt hơn. Danh mục của chuyên đề S.t.t Nội dung trang Phần mở đầu 1 Nội dung chuyên đề 2 Các kiến thức cần lưu ý 3 Các phương pháp chứng minh bát đẳng thức 4 Phương pháp 1:dùng định nghiã 4 Phương pháp 2:dùng biến đổi tương đương 6 Phương pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc 8 Phương pháp 4:dùng tính chất bắc cầu 10 Phương pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số 12 Phương pháp 6: dùng phương pháp làm trội 14 Phương pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác 16 Phương pháp 8: dùng đổi biến 17 Phương pháp 9: Dùng tam thức bậc hai 18 Phương pháp 10: Dùng quy nạp toán học 19 Phương pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng 21 Các bài tập nâng cao 23 ứng dụng của bất dẳng thức 28 Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 29 Dùng bất đẳng thức để: giải phương trình hệ phương trình 31 Dùng bất đẳng thức để : giải phương trình nghiệm nguyên 33 Tài liệu tham khảo B- nội dung Phần 1 : các kiến thức cần lưu ý 1- Định nghĩa 2- Tính chất 3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương 3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phương pháp làm trội 7- Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác 8- Phương pháp đổi biến số 9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phương pháp quy nạp 11- Phương pháp phản chứng Phần 3 :các bài tập nâng cao PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ một số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) b) dấu( = ) khi x = y = 0 c) d) 2)Bất đẳng thức Cô sy: Với 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: Nếu Nếu Dấu bằng xảy ra khi b/ các ví dụ ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abc Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 4)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và chứng minh rằng Giải: Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có == Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng : Giải: Ta có Do abcd =1 nên cd = (dùng ) Ta có (1) Mặt khác: =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = Vậy ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd mà ví dụ 6: Chứng minh rằng Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 3 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Phương pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu Lưu ý: A>B và b>c thì A>c 0< x <1 thì x<x ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d Chứng minh rằng ab >ad+bc Giải: Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều phải chứng minh) ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn Chứng minh Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có ví dụ 3 Cho 0 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c 0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh) ví dụ 4 1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng Giải : Do a < 1 và Ta có 1-b-+b > 0 1+ > + b mà 0 , > Từ (1) và (2) 1+> + Vậy + < 1+ Tương tự + +Ê Cộng các bất đẳng thức ta có : b)Chứng minh rằng : Nếu thì ỗac+bd ờ=1998 (Chuyên Anh –98 – 99) Giải: Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = ac + b-= = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rỏ ràng (ac+bd)2 2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 c hứng minh rằng : a+ ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003- 2004Thanh hóa ) 2,Cho a;b;c thỏa mãn :a+b+c=1(?) Chứng minh rằng: ( Phương pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ số Kiến thức 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a – Nếu thì b – Nếu thì 2)Nếu b,d >0 thì từ ` ví dụ 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có (1) Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có < < (3) Tương tự ta có (4) (5) (6) cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có điều phải chứng minh ví dụ 2 : Cho: 0 .Chứng minh rằng < Giải: Từ < Vậy < điều phải chứng minh ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 tìm giá trị lớn nhất của giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử : Từ : vì a+b = c+d a, Nếu :b thì 999 b, Nếu: b=998 thì a=1 =Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999 Vậy giá trị lớn nhất của =999+khi a=d=1; c=b=999 Phương pháp 6: Phương pháplàm trội Lưu ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: Khi đó : S = (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn P = Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: = Khi đó P = Ví dụ 1 : Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng Giải: Ta có với k = 1,2,3,…,n-1 Do đó: Ví dụ 2 : Chứng minh rằng: Với n là số nguyên Giải : Ta có Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có 1 > 2 ……………… Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có Ví dụ 3 : Chứng minh rằng Giải: Ta có Cho k chạy từ 2 đến n ta có Vậy Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Lưu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có ị Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta có a > ờb-c ù ị > 0 b > ờa-c ù ị > 0 c > ờa-b ù ị Nhân vế các bất đẳng thức ta được Ví dụ2: (404 – 1001) 1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng 2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng Phương pháp 8: đổi biến số Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1) Giải : Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b = ; c = ta có (1) ( Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( ; nên ta có điều phải chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1 Chứng minh rằng (1) Giải: Đặt x = ; y = ; z = Ta có (1) Với x+y+z 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có 3. 3. . Mà x+y+z < 1 Vậy (đpcm) Ví dụ3: Cho x , y thỏa mãn CMR Gợi ý: Đặt , 2u-v =1 và S = x+y =v = 2u-1 thay vào tính S min Bài tập 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR Phương pháp 9: dùng tam thức bậc hai Lưu ý : Cho tam thức bậc hai Nếu thì Nếu thì Nếu thì với hoặc () với Ví dụ1: Chứng minh rằng (1) Giải: Ta có (1) Vậy với mọi x, y Ví dụ2: Chứng minh rằng Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Ta có Vì a = vậy (đpcm) Phương pháp 10: dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi Ví dụ1: Chứng minh rằng (1) Giải : Với n =2 ta có (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 Thật vậy khi n =k+1 thì (1) Theo giả thiết quy nạp k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh Ví dụ2: Cho và a+b> 0 Chứng minh rằng (1) Giải Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 Thật vậy với n = k+1 ta có (1) (2) Vế trái (2) (3) Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) Phương pháp 11: Chứng minh phản chứng Lưu ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G K” phép toán mệnh đề cho ta : Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó . Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau : A - Dùng mệnh đề phản đảo : B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – Phủ định rồi suy ra kết luận : Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải : Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a < 0 Mà abc > 0 và a < 0 cb < 0 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0 Vì a 0 b + c < 0 a 0 Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0 Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: , Giải : Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được (1) Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) Từ (1) và (2) hay (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức và có ít nhất một các bất đẳng thức sai Ví dụ 3: Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng Nếu x+y+z > thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải : Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () vì xyz = 1 theo giả thiết x+y +z > nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết) Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý) Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1 Phần iii : các bài tập nâng cao 1/dùng định nghĩa 1) Cho abc = 1 và . . Chứng minh rằngb2+c2> ab+bc+ac Giải Ta có hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 + =(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 ) Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Chứng minh rằng a) b) với mọi số thực a , b, c ta có c) Giải : a) Xét hiệu H = = H0 ta có điều phải chứng minh b) Vế trái có thể viết H = H > 0 ta có điều phải chứng minh c) vế trái có thể viết H = H 0 ta có điều phải chứng minh Ii / Dùng biến đổi tương đương 1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng Giải : Ta có (vì xy = 1) Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng Giải : Ta có BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c) Ta có (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng (1) Giải : (1) áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng Vậy (đpcm) Iv / dùng phương pháp bắc cầu 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng : Giải : Do a <1 <1 và b <1 Nên Hay (1) Mặt khác 0 <a,b <1 ; Vậy Tương tự ta có (đpcm) 2) So sánh 31 và 17 Giải : Ta thấy < Mặt khác Vởy 31 < 17 (đpcm) V/ dùng tính chất tỉ số 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng : Giải : Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có (1) (2) (3) Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có : (đpcm) 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng Giải : Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0 Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b Từ (1) Mặt khác Vậy ta có Tương tự ta có Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có : (đpcm) V/ phương pháp làm trội : 1) Chứng minh BĐT sau : a) b) Giải : a) Ta có Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có (đpcm) b) Ta có < (đpcm) Phần iv : ứng dụng của bất đẳng thức 1/ dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị Lưu ý - Nếu f(x) A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A - Nếu f(x) B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Giải : Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1) Và (2) Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4 Ta có từ (1) Dấu bằng xảy ra khi (2) Dấu bằng xảy ra khi Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1 Giải : Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= Vậy S Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x=y=z= Ví dụ 3 : Cho xy+yz+zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta có (1) Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1) Ta có Từ (1) và (2) Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi x=y=z= Ví dụ 4 : Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn nhất Giải : Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao thuộc cạnh huyền là h Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta có S = Vì a không đổi mà x+y = 2a Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất Ii/ dùng b.đ.t để giải phương trình và hệ phương trình Ví dụ 1 : Giải phương trình sau Giải : Ta có Vậy Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy khi x = -1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1 Ví dụ 2 : Giải phương trình Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có : Dấu (=) xảy ra khi x = 1 Mặt khác Dấu (=) xảy ra khi y = - Vậy khi x =1 và y =- Vậy nghiệm của phương trình là Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình sau: Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có Vì x+y+z = 1) Nên Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = Vậy có nghiệm x = y = z = Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau Từ phương trình (1) hay Từ phương trình (2) Nếu x = thì y = 2 Nếu x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình có nghiệm và Iii/ dùng B.Đ.t để giải phương trình nghiệm nguyên 1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn Giải : Vì x,y,z là các số nguyên nên (*) Mà Các số x,y,z phải tìm là Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình Giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử Ta có Mà z nguyên dương vậy z = 1 Thay z = 1 vào phương trình ta được Theo giả sử xy nên 1 = mà y nguyên dương Nên y = 1 hoặc y = 2 Với y = 1 không thích hợp Với y = 2 ta có x = 2 Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trình Hoán vị các số trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) Ví dụ 3 : Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình (*) Giải : (*) Với x < 0 , y < 0 thì phương trình không có nghĩa (*) Với x > 0 , y > 0 Ta có Đặt (k nguyên dương vì x nguyên dương ) Ta có Nhưng Mà giữa k và k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên dương nào cả Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : Tài liệu tham khảo ************ 1- toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 -nxb giáo dục 8 – 6 – 1998 Tác giả : Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Việt Hải – Vũ Dương Thụy 2- toán nâng cao cho học sinh - đại số 10 -nxb Đại học quốc gia hà nội – 1998 Tác giả : Phan Duy Khải 3 – toán bồi dưỡng học sinh đại số 9 -nhà xuất bản hà nội Tác giả : Vũ Hữu Bình – Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều 4 – sách giáo khoa đại số 8,9,10 -nxb giáo dục – 1998 5 – toán nâng cao đại số 279 bài toán chọn lọc -nhà xuất bản trẻ – 1995 Tác giả : Võ Đại Mau 6 – Giáo trình đại số sơ cấp trường đhsp i – hà nội ----------------&&&-----------------