Chuyên đề Bất Đẳng Thức Tích Phân - Ts. Nguyễn Phú Khánh

Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 1 Chứng minh rằng : 3 4 4 3 4 1 2 2 60 1 1. dx 3 2 sin x 2 3 cotg 1 2. dx 12 x 3 1 1 3. dx 2 61 x π π π π π π − π − ∫ ∫ ∫ 4





1 0 2 5 4 3 1 4. ln 2 dx 41 x x 1 5. dx x x 1 8 x 6. dx 18 x x x 3 9 3 π < < + π + + π π + + + ∫ ∫ ∫ 1 0 1 0


Bài giải : 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1. x sin x 1 sin x 1 1 2 sin x 2 1 3 2 sin x 2 1 4 4 2 2 3 2 sin x2 1 1 1 dx dx dx dx 2 3 2 sin x 4 3 2 sin x 2 π π π π π π π π π π − − π π − −∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒















3 3 3 4 4 4 3 4 cotgx 1 3 cotgx 4 3 cotgx 4 2. x dx dx dx 4 x x3 1 4 x 3 cotgx 1 dx 12 x 3 π π π π π π π π  π π   π π π π π π ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3⇒ ⇒ ⇒ 3 ⇒











Bài toán này có thể giải theo phương pháp đạo hàm. 1 1 2 2 6 2 2 6 2 6 2 6 6 2 60 1 3. 0 x 1 0 x .... x 1 1 x x 0 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 2 1 1 1 1 dx dx 1 x 1 x 1 x I < < − − − − − − − − − − ∫ ∫0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
















Với 1 2 20 1I = dx 1- x∫ Đặt x sin t ; t ; dx cos tdt 2 2 π π  = − =   ⇒ ∈  1 1 2 2 20 0 1x 0 cos tdt2 I dt 6t 0 1 sin t6 π = = = π − ∫ ∫⇒ Vậy 1 2 60 1 1 dx 2 61 x π − ∫

2 24. 0 x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x+ + +⇒ ⇒ ⇒







( ) [ ]2 1 1 1 1 ; x 0,1 x 1 1 x1 x x+ ++ ⇒ ∀

∈ Dấu đẳng thức trong (1) xảy ra khi : x = 0 x = 1    (1) (1) (1) (1) VT VG x VG VP ∅⇒
∈
Do đó : 1 1 1 1 20 0 0 0 1 1 dx 1 dx dx ln2 dx 1 x x 1 41 x x 1 x x π < < < < + ++ +∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ Chú ý : 1 20 1 dx 1 x 4 π = +∫ Xem bài tập 5 . Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 20 0 0 1 1 5. 0 1 2 2 2 2 2( 1) 1 1 1 1 ; 2 2 1 1 + + + + + + + + = + + + +∫ ∫ ∫ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒






x x x x x x x x x x x x x dx dx I dx x x x x Đặt x tgt dx dt ( tg t)dt cos t = = = + 22 1 1⇒ π π+ π π = = = = π +∫ ∫ 4 4 2 20 0 0 1 1 1 4 40 4 ⇒ ⇒ x tg t I dt dt I tg tt Vậy π + +∫ 1 20 1 2 8
dx x x ( ) 5 3 5 4 3 3 5 4 3 3 4 3 3 5 4 3 3 3 5 4 3 3 3 5 4 3 3 1 1 1 3 30 0 6. 0 1 0 2 3 3 3 3 0 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 ; Đặt 3 3 3 1  + + + + + +  + + + + + + + + + + + + + + + = = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫° 1 1 1 0 0 0 0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒















x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx dx dx x x x x x x x I dx dx x x x 2 0 1;( 0) 2 0 =⇒ 1  x t t dx tdt t 21 1 1 6 3 20 0 1 2 2 3 . 3 1 9 ( ) 1 = = + +∫ ∫ t t dt I dt t t Đặt = =3 2 0 1 3 0 1 ⇒ t u t du t dt u π = = +∫ 1 1 20 2 9 1 18 ⇒ du I u Kết quả : π = 4 I (bài tập 5) π = = +∫ 1 2 30 ° 3 9 3 x I x (tương tự) Vậy ( ) + + +∫ 1 1 25 4 30 1 3 ⇔

x I dx I x x x π π + + +∫ 5 4 318 3 9 3 1 0

x dx x x x 1,Chứng minh rằng : ( ) ( ) 2 4 40 121 1+ +∫ sin .cos sin cos  x x dx x x π π 2.Nếu : ( )   = >    ∫ 4 0 0 , 0 , ; cos 2 4 ∀ ∈ t tg x I dx t x t π thì : ( ) 2 3 3 3 4 +  + >    tg t tgt tg t e π Bài giải : 1. Ta có cos x sin x sin x cos x : ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) + + + + = + + + + + + 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 3 2 2 1 1 1 1 1 1  sin cos ( sin )( cos ) ( sin )( cos ) sin cos + + + = + + + + + + + 4 4 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇒  x x x x x x x x Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 3 sin . cos sin .cos sin . cos sin .cos sin sin ( sin )( cos ) sin cos ( sin )( cos ) sin cos sin . cos sin sin ( sin )( cos ) sin cos π π   + + + + + + + + + +    ++ + + + ∫ ∫ 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 40 0 3 1 2 2 1 1 1 1 1 1 6 1 1 3 1 2 2 1 1 6 1 1 ⇒ ⇒ ⇒    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx dx dx x x x x sin Đặt sin sin sin π π   = = = + ∫ ∫ 2 2 0 2 1 40 2 ° 2 1 ⇒ x J dx t x dt xdx x π π ⇒ = = +∫ 1 1 20 0 2 0 1 41 x dt J t t (kết quả I= 4 π bài tập 5) sin Đặt cos sin cos π = = = − +∫ 2 2 2 40 2 ° 2 1 ⇒ x J dx u x du xdx x π π = = +∫ 1 2 20 0 2 0 1 4 ⇒ 1 x du J u u (kết quả I= 4 π bài tập 5) sin .cos ( ) ( sin )( cos ) π + + +∫ 2 4 40 1 1 1 6 ⇒  x x dx I J x x Vậy sin .cos ( sin )( cos ) π π + +∫ 2 4 40 1 1 12  x x dx x x 2. Đặt ( )= = + = + 2 21 1 ⇒ ⇒ dt t tgx dt tg x dx dx t 4 2 3 3 2 2 2 20 0 0 0 2 4 tgttgt tgt tgtt dt t dt 1 1 1 t -1 1 1 tgt -1I = . = = -t -1+ dt = - t - t - ln = - tg t - tgt - ln 1- t 1+ t 1- t 1- t 3 2 t +1 3 2 tgt +1 1+ t t            ∫ ∫ ∫ Vì ( ) > 0 I t nên 31 1 tgt -1 : - tg t - tgt - ln > 0 3 2 tgt +1 ln ln       +− π π    = + > + + >   +     3 3 31 1 1 1 2 1 2 4 3 4 2 3⇔ ⇒ tg t tgttgt tg t tg t tgt tg t e tgt 2 n x 1. I = x +1 Chứng minh : ( ) ≤ ≤ + +∫ 1 0 1 1 2 1 1n I dx n n và lim →+∞ = 0 n n I dx ( )-n xn2. J = x 1+ e Chứng minh : nJ dx n< +∫0 1 2 0 1
và n n lim J dx 0 →+∞ = Bài giải : . + + 1 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 ⇒ ⇒





x x x ; n n n n n nx x xx x dx dx x dx x x+ +∫ ∫ ∫ 1 1 1 0 0 0 1 2 1 2 1 ⇒



( ) ( ) n n nnx x x x dx dx n x n n x n ++ + + + + +∫ ∫ 1 1 1 1 0 0 00 11 1 2 1 1 1 1 1 1 ⇒ ⇒ 2 +1



Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 4 Ta có : ( ) 1 0 2 1 0 11 0 1 →∞ →∞ →∞  = + = + = + nn n n lim n lim x lim n x ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 11 2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2 2 0 1 2 0 1 1 − − − − − −= + + + + + +∫ ∫ ∫ . .⇒0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒













n n n n n n x n n x x x x xx e e e x x e x hay x e x x e dx x dx x e dx n Ta có : ( )2 0 1 0 1 − →∞ →∞ = + = + n x x e dx n lim lim⇒ n n Chứng minh rằng : 2 2 3 4 4 2 1 0 4 6 0 - 1. cosx(4 3 cos x)(2 cosx 2)dx 8 2. lnx(9 3 lnx 2 lnx)dx 8(e 1) 2 493. sinx(1 2 sinx)(5 3 sin x)dx 4. tgx(7 4 tgx)dx 3 64 2435. sin x. cos xdx 6250 π π π π π π − + ≤ π − − ≤ − π π + − < − ≤ π ≤ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài giải : Đặt f(x) = cosx(4 - 3 cosx)(2 cosx + 2) cos x cos x cosxf(x) f(x)dx dx cosx( cosx)( cos x )dx2 2 2 2 2 2 3 4 3 2 2 8 3 8 4 3 2 2 8 − − − ⇒ ⇒ cauchy


π π π π π π  + − + +   =    − + π∫ ∫ ∫ 2. Đặt ( ) ln ( ln ln ) ln ( ln )( ln )9 3 2 3 3 2 f x x x x x x x= − − = + − ln ln ln( ) ( ) ln ( ln ln ) ( ) 1 1 1 3 3 3 2 8 3 8 9 3 2 8 1⇒ ⇒


e e e x x x f x f x dx dx x x x dx e  + + + −   =    − − −∫ ∫ ∫ 3. Đặt ( ) sin ( sin )( sin )1 2 5 3 f x x x x= + − ; sin x sinx sinxf(x) 3 1 2 5 3 8 3

 + + + −      Đẳng thức sinx sin x sin x x sinx sinx sinx  = + = −  ⇔ ⇔ ⇔ ∈∅  = − =   1 2 1 5 3 4 5 f(x) f(x)dx dx sinx( sinx)( sin x)dx3 3 3 4 4 4 2 8 8 1 2 5 3 3 π π π π π π π ⇒ < ⇒ < ⇒ + − <∫ ∫ ∫ 4. Đặt f(x) tgx( tgx) . tgx( tgx)17 4 4 7 4 4 = − = − Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 5 ( ) ( ) 2 0 0 0 4 4 4 4 7 41 49 ( ) 4 2 16 49 49 7 4 16 16 x tgx tgx f x f dx dx tgx tgx dx ∏ ∏ ∏  + − ≤ =     ∏ ⇒ ⇒ −∫ ∫ ∫

4 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 4 6 0 5 5. sin .cos (1 cos ).(1 cos ).cos . cos . cos 1 (2 2cos )(1 cos ).cos .cos .cos 2 1 2 2cos 1 cos cos cos cos 2 5 243 243 sin .cos sin .cos 6250 6250 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xdx = − − = − −  − + − + + + ≤     ∏ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ∏ ∫ Chứng minh rằng : ( )2 2 2 22 3 5 2 1. cos 3sin sin 3cos 3 x x x x dx − ∏ ∏ ∏ + + +∫
( ) ( )2 2 1 2. 3 2 ln 5 2ln 4 1 e x x dx e+ + − −∫
2 3 cos sin 3. 4 44 x x dx x ∏ + ∏ − +∫

Bài giải : 1. Đặt 2 2 2 2( ) 1 cos 3sin 1. sin 3cosxf x x x x= + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 cos 3sin 3cos sin 2 2 5 2 2 2 cos 3sin sin 3cos 3 x x x f x x x x f f dx dx x x x x dx ∏ ∏ − − −∏ ∏ ∏ ∏ + + + ⇒ ∏ ⇒ ⇒ + + +∫ ∫ ∫



2. Đặt ( ) 2 21 3 2ln 1 5 2ln x f x x= + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 2ln 5 2 ln 4 4 3 2 ln 5 2 ln 4 1 x x x e ee f x x f f dx dx x x dx e ≤ + + − ⇒ ≤ ⇒ ⇒ + + − ≤ −∫ ∫ ∫
( )2 2 2 2 2 2 20 0 2 2 3. 3 cos sin ( 3) 1 cos sin 3 cos sin 3 cos sin2 2 4 4 4 4 x x x x x x x x dx x x x x  + ≤ + +  + + ⇒ ≤ ⇒ ≤ + + + +∫ ∫ Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 6 Đặt ( )22 2 1x tgt dx tg t dt= ⇒ = + ( ) ( ) 2 2 20 0 0 2 20 0 4 4 2 2 2 2 10 1 1 4 2 84 10 4 3 cos sin 3 cos sin 4 4 4 4 4 tg tx dx dt dt x tg tt x x x x dx dx x x ∏ ∏+ ∏ ⇒ = = = ∏ + + + ∏ ∏ + ∏ ⇒ ⇒ − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Chứng minh rằng : 2 2 0 0 0 0 2 2 1 1 441. sin 2 2 cos 2. sin 2 2 sin 1 2 1 3. 1 xdx xdx xdx xdx x x dx dx x x ∏ ∏ ∏∏ ≤ − − < + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2 0 2 2 2 1 1 0 0 4 4 sin sin 4.. 5. (ln ) ln 6. sin cos x x dx dx x x x dx xdx xdx xdx ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ > < < ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài giải : ∏ ∏ 0 0 4 4 0 sin 1 1. 0; 2sin .cos 2cos 0 cos 14 sin2 2cos sin2 2 cos x x x x x x x x xdx xdx  ≤ ≤  ∏  ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤  ≤ ≤   ⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫ Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 7 ∏ ∏ 0 0 2 2 cos 1 2. 0; 2sin2 .cos 2sin 0 sin2 sin2 2sin sin2 2 sin x x x x x x x x xdx xdx  ≤  ∏  ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤  ≤   ⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫ [ ] 3. 1;2x∀ ∈ Xét hiệu : 2-1 2 1 1 0 1 ( 1) x x x x x x x x − − + − − = < + + 1 1 2 21 2 1 1 2 1 1 1 x x x x dx dx x x x x − − − − ⇒ < ⇒ < + +∫ ∫ 4. Đặt - -x u dx du=∏ ⇒ = ∏∏ ∏ 0∏ ∏ ∏ ∏ 0 2 22 sin sin( ) sin2 ( ) 02 1 1 0 0 2 x x u x dx du dx x u xu x x x x x ∏− ⇒ = − = ∏− ∏− ∏ < < ⇒ < <∏− ⇒ < ∏− ∫ ∫ ∫ Vì : ∏ ∏ ∏0 2 2sin sin sin sinsin 0 x x x x x dx dx x x x x > ⇒ < ⇒ < ∏− ∏−∫ ∫ ∏ ∏ ∏2 20 sin sinx x dx dx x x ⇒ >∫ ∫ 5. Hàm số y = f(x) = lnx liên tục trên [1,2] nên y = g(x) = (lnx)2 cũng liên tục trên [1,2] [ ] ⇒ ⇒ ∀ ⇒ 2 2 1 1 2 2 1 2 0 ln ln2 1(*) 0 (ln ) ln 1,2 (ln ) ln x x x x x x dx xdx < < <∫ ∫




∈  Chú ý : dấu đẳng thức (*) xảy ra tại x0 = 1⊂ [1,2] 0 ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ 0 4 4 sin 6. 0 0 1 1 4 4 cos sin cos sin cos x x tgx tg x x x xdx xdx < < < < = < < <∫ ∫ Chứng minh rằng : 2x 1 0 1 0 1 0 1 8 25 3 03 1. 2 4 5 1 1 2. 1 2 1 1 1 3. 2626 2 1 dx dx x x dx x + + + ∫ ∫ ∫





< 2 8 ∏ ∏ ∏ 1 0 21 2 30 1 3 .sin 4. 1 ln2 1 .sin .sin 5. 121 6. 6 4 x x x dx x x e x dx ex dx x x − − + + − − ∫ ∫ ∫ 0



Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 8 Bài Giải: ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ + ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 1 1 12 2 0 0 0 0 1. 0 1 0 1 4 4 5 2 4 5 2 4 5 2 4 5 x x x x dx x dx dx x dx
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ + + ∫ ∫ ∫ ∫ 8 8 8 8 1 1 1 1 0 0 0 08 8 2. 0 1 0 1 1 1 2 1 1 0 1 2 1 2 1 1 1 1 2 21 1 x x x x x dx dx dx dx x x ≤ ≤ ⇒ + ⇒ + ⇒ ⇔ + + ⇒ ⇒ + + ∫ ∫ ∫ ∫ 310 10 3 25 25 25 3 33 310 10 25 251 1 1 125 25 3 30 0 0 03 310 10 3. 0 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 21 1 1 1 1 262 26 21 1 x x x x x x x x x x x dx dx x dx dx x x











4. Trước hết ta chứng minh : [ ]sin ;(1) 0,1 . 1 sin 1 x x x x x x x ∀ + +
∈ Giả sử ta có : (1). [ ](1) ⇔ ∀ ⇔1 1 1 11 1 ; 0.1 1 sin 1 1 sin 1 x x x x x x x − − + + + +
 ⇔ ⇔1 1 .sin (1 sin ) 0x x x x x+ + −   đúng [ ]∀ 0,1x ∈ Vậy (1) đẳng thức đúng , khi đó: ( ) ⇔ ⇔ ⇒ 1 1 1 0 0 0 1 1 00 1 0 sin 1 (1) 1 sin 1 1 .sin ln 1 1 ln2 1 sin .sin 1 ln2. 1 .sin x x x dx dx dx x x x x x x x dx x x x x x x dx x x  = −   + + + − + = − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


( ) ( )2 2 2 2 21 1 1 3 3 3 1 1 0 sin 1 5. 1, 3 0, 0 1 1 0 sin 1 sin 1 1 0 ; 1 1 1 xx x xe e xx ee x e x x e x dx dx dx I I e ex x x − − −  < =  ⊂ ∏ ⇒ ⇒ < <  + + < < ⇒ < < = = + + +∫ ∫ ∫
∈ Đặt 2 2 1 (1 ) cos x tgt dx dt tg t dt t = ⇒ = = + Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 9 ( ) 3 3 2 3 2 44 4 11 3 1 12 4 tg tx dt dt t tg tt ∏ ∏ ∏ ∏∏ ∏ + ∏ ⇒ Ι = = = = ∏ ∏ +∫ ∫ 4 Vậy 21 3 sin 0 121 xe x dx ex − ∏ < < +∫ 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 1 1 0 0 02 2 3 2 6. 0 1 0 0 4 2 4 4 4 2 4 4 1 1 1 4 2 4 4 1 1 1 4 4 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x I dx dx dx J x x x x ⇒ ⇒ − − ⇒ − − − − ⇒ − − − − ⇒ − − − − ⇒ = = − − − − ∫ ∫ ∫









  

Đặt 2sin 2cosx t dx tdt= ⇒ = ( )20 0 6 60 1 2cos 60 4 2sin6 x tdt I dt t t ∏ ∏ ∏ ⇒ = = = ∏ − ∫ ∫ Đặt 2 sin 2 cosx t dx tdt= ⇒ = 0 1 0 4 x t ∏ ( ) 4 0 2 0 4 2 cos 2 2 2 8 4 2 2 sin tdt J t ∏ ∏ ∏ ⇒ = = = − ∫ 1 0 2 3 2 6 84 dx x x ∏ ∏ ⇒ ≤ ≤ − − ∫ Chứng minh rằng : 2 2 1 0 sin2 0 1 1. 1 2. 2 2 x x e e dx e e dx e − ∏ − ∏ ∏ ∫ ∫



2 2 0 1 40 1 6 3. 1 sin . 2 2 4 1 4. 0.88 1 1 x dx dx x ∏∏ ∏ ≤ + ≤ < < + ∫ ∫ Bài giải : Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 10 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1. 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 2 x x x x xx x x x x x e e e e ee e e e − − − ⇒ ⇒ < ⇒ ⇔ ⇒ = ⇒





   
2 ° °x Từ (1) và (2) suy ra 2 : 1x xe e− −

2 2 21 1 1 1 0 0 0 0 1 1x x x e e dx e dx dx e dx e − − −−⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫



2 2 2 2 sin 2 2 2 2sin sin 0 0 0 0 2. 0 sin 1 1 . 2 2 x x x x e e dx e dx e dx e dx e ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒ ∏ ∏ ⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫







2 2 2 2 2 2 22 2 0 0 0 0 1 1 1 3 3. 0 sin 1 0 sin 1 1 sin 2 2 2 2 1 3 1 6 1 sin 1 sin . 2 2 2 2 4 x x x dx x dx dx x dx ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒ ⇒ + ∏ ∏ ⇒ + ⇒ +∫ ∫ ∫ ∫









4. Cách 1: ( )0,1x∀ ∈ thì 4 2 4 2 4 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x + + ( ) 1 2 4 2 0 1 1 ln 1 ln 1 2 0,88 1 1 dx dx x x x x 1 1 0 0 ⇒ > = + + = + > + + ∫ ∫ Mặt khác : 1 4 4 40 1 1 1 1 1 1 1 1 x dx x x + > ⇒ < ⇒ < + + ∫ Vậy : 1 40 1 0,88 1 1 dx x < < + ∫ Chú ý : học sinh tự chứng minh 2 2 2 2 1 lndx x x a C a x = + + + + ∫ bằng phương pháp tích phân từng phần . Cách 2 : ( ) 4 2 2 1 4 2 40 0,1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x dx I x x x 4⇒ < ⇒1+ < + ⇒ > ⇒ > + + + ∫ ∈ Với : 1 20 1 1 I dx x = + ∫ Đặt ( )22 1 1 cos x tgt dx dt tg t dt= ⇒ = = + Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 11 ( ) ( ) 4 4 4 2 0 02 20 10 1 1 cos0 14 cos 1 sin tg tx I dt dt tt tg t t I dt t ∏ ∏ ∏ + = = ∏ + = − ∫ ∫ ∫ Đặt 0 4sin cos 0 t u t du tdt u ∏ = ⇒ = 1 2 ( )( )20 0 0 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 1 2 1 2 1 du u u I du du u u u u u u du du u u u 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2− + +  = = = + − − + + −  + = + = + − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 1 2 2 1 ln 0,88 0,88 2 2 2 1 I dx x 1 0 + = > ⇒ > − + ∫ Mặt khác 4 4 1 :1 1 1 1 x x + > ⇒ < + ( ) 4 1 1 2 1 dx dx x 1 1 0 0 ⇒ < = + ∫ ∫ Từ (1) và (2) suy ra : 1 40 1 0.88 1 1 dx x < < + ∫ Chứng minh rằng : 4 2 0 1 0 3 21 1. 0 32 cos 2. ln 2 1 .sin 3. 1 12 x x tgx dx nx dx x e x dx x e ∏ − ∏ < < + ∏ < + ∫ ∫ ∫
( ) 200 100 3 21 1 1 10 cos 4. 1 12 cos 1 5. 200 1 1 1 6. 1 1 1 2 1 21 x x nn n e x dx x e x dx x e e dx n nx ∏ ∏ − − − ∏ < + ∏    − −   − −   + ∫ ∫ ∫


Bài giải : 1. 0 0 1 0 1 0 4 x tgx tgx x tgx x ∏ ⇒ ⇒ ⇒







Xét : 0 4 xα β ∏ < < < < ta có : 4 4 0 0 0 1 0 0 4 tgx x tgx x x I x tgx dx x tgx dx x tgx dx x tgx dx α β α β ∏ ∏ < <   ⇒ <∏ < <  = = + +∫ ∫ ∫ ∫
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 12 Ta có : 4 4 4 4 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 32 x tgx dx xdx x tgx dx xdx x tgx dx xdx x tgx dx xdx x tgx dx α α β β α α β β ∏ ∏ ∏ ∏ ∏    < < ⇒ <    ∏ ⇒ < < ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫




Chú ý : ( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( ) ( ) ( ) b b x x x xa b f dx f dx f dx f dx α β α β = + +∫ ∫ ∫ ∫ Tuy nhiên nếu : ( )xm f M

thì : ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b x xa a a a m dx f dx M dx m b a f dx M b a⇒ − −∫ ∫ ∫ ∫



Nhưng ( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( ) b b b x xa a a m dx f dx M f dx< <∫ ∫ ∫ (Đây là phần mắc phải sai lầm phổ biến nhất )Do chưa hiểu hết ý nghĩa hàm số ( )xf chứa ( ),α β liên tục [ ],a b mà ( ),α β ⊂ [ ],a b ) 1 1 1 1 1 00 0 0 0 1 0 coscos cos 1 2. ln 1 ln 2 1 1 1 1 cos ln 2 1 nxnx nx dx dx dx x x x x x nx dx x = = + = + + + + ⇒ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


1 3 3 3 2 2 21 1 1 3. 1 3 sin 1 1 .sin .sin 1 1 1 x x x e e ex x e x e x edx dx dx x x x − − − −  = ⇒   ⇒ + + +∫ ∫ ∫ 





3 21 .sin 1 . 1 xe x dx I x e − ⇒ +∫
với 3 21 1 1 I dx x = +∫ Đặt ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = + ( ) 3 3 4 4 2 2 11 3 1 12 4 3 tg tx dt dt tg tt ∏ ∏ ∏ ∏ + ∏ ⇒ Ι = = = ∏ ∏ +∫ ∫ ( ) 3 1 .sin * 1 12 xe x dx x e − ∏ ⇒ +∫
(Cách 2 xem bài 4 dưới đây ) Đẳng thức xảy ra khi : Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 13 1 1 , 1, 3 sin 1sin 1 x xe e x x xx − − = =   ⇔ ⇒ ∅ ∀   ==  ∈ ∈ Vậy 3 21 .sin : 1 12 xe x dx x e − ∏ < +∫ Xem lại chú ý trên , đây là phần sai lầm thường mắc phải không ít người đã vội kết luận đẳng thức (*) đúng . Thật vô lý 3 3 3 2 2 21 1 1 cos cos 4. 1 1 1 x x xe x e x e dx dx dx x x x − − − + + +∫ ∫ ∫

Do xy e−= giảm ( ) 1 1max xe e e − −⇒ = = 3 3 2 21 1 cos 1 1 1 1 12 xe x dx dx x e x e − ∏ ⇒ = + +∫ ∫
;do I bài 3 Dấu đẳng thức : 1 1 , 1, 3 cos 1cos 1 x xe e x x xx − − = =   ⇔ ⇔ ∅ ∀   ==  ∈ ∈ Vậy 3 21 cos 1 12 xe x dx x e − ∏ < +∫ 5. Đặt 2 11 cos sin du dxu x x dv xdx v x  = −=  ⇒  = =   200 200 200 2100 100 100 200 200 200 2100 100 100 cos 1 sin sin cos 1 1 1 200 x x dx x dx x x x x dx dx x x x ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒ = + ⇒ = − = ∏ ∫ ∫ ∫ ∫
Vậy 200 100 cos 1 200 x dx x ∏ ∏ ∏∫
Bài toán này có thể giải theo phưong pháp đạo hàm . Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 6. 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 11 x x n n n x n n n n nx n e e x e e x x x e dx dx e dx x x x x xe dx e n nx − − ⇒ ⇒ + + + ⇒ + + + + + ⇔ − −+ ∫ ∫ ∫ ∫









Vậy ( ) 1 1 10 1 1 1 : 1 1 ; 1 1 2 1 21 x nn n e e dx n n nx − −    − − >   − −   +∫

Bài toán này có thể giải theo phương pháp nhị thức Newton . Chứng minh rằng : nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục và x xác định trên [a,b] , thì ta có : ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2. . . b b b x x x xa a a f g dx f dx g dx∫ ∫ ∫
Cách 1 : Cho các số 1α , tuỳ ý ( )1,i n∈ ta có : ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2... ... ... 1n n n nα α α β β β α β α β α β+ + + + + + + + +  Đẳng thức (1) xảy ra khi : 1 2 1 2 ... n n αα α β β β = = Thật vậy : phân hoạch [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia : a = x0 < x1 < x2 < . <xn = b và chọn : [ ]1 1, ,i i b a x x i i n n ξ − − = ∀ ∈ ∈ Do f và g liên tục , ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 lim 2 lim 3 nb ixa n i nb ixa n i n b a f dx f n b a g dx g n ξ ξ →+∞ = →+∞ = →∞ − =   −  =   ∑∫ ∑∫ Khi đó (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 lim . lim . lim . . 4 n n i i n n i i n i i n i b a b a f g n n b a f g n ξ ξ ξ ξ →+∞ →+∞ = = →+∞ = − − ⇔ −      ∑ ∑ ∑  Từ (4) ta cũng có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 . . n n n n i i i i i i i i f g f gξ ξ ξ ξ = = = =       ∑ ∑ ∑ ∑ 5 Đẳng thức xảy ra khi : f(x):g(x) = k hay f(x) = k.g(x) Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 15 Từ (5) ( ) 2 2 2( ). ( ) ( ) . ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx⇒ ∫ ∫ ∫
Cách 2 : t R+∀ ∈ ta có : [ ]2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) 2. . ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 0 b b b a a a tf x g x t f x t f x g x g x h t t f x dx t f x g x dx g x dx − = − + ⇒ = − +∫ ∫ ∫
 h(t) là 1 tam thức bậc 2 luôn không âm nên cần phải có điều kiện : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 ' 0 0 ( ). ( ) ( ) . ( ) 0 ( ). ( ) ( ) . ( ) h h h b b b a a a b b a a a t f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx  = > ⇔ ∆ ∆  ⇔ − ≤   ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b a


Chứng minh rằng : 2 3 sin 5 1. 1 2 3 2. 2 x x dx e dx + < ∏ > ∫ ∫ 1 0 1 0 ( )2 0 1 20 1 3. 1 1 2 3cos 4sin 5 4. 1 4 x x t t x xe e e dt e e x x dx x −  − < + < − −    − ∏ + ∫ ∫
Bài giải : 1. Ta có ( ) 2 2 2: ( ). ( ) ( ) . ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx∫ ∫ ∫
( đã chứng minh bài trước ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 1 1 1 1 3 2 2 0 0 0 0 ( ). ( ) ( ) . ( ) 1 1 . 1 1 . 1 1 1 1 1 1 b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx x x x x x x x x dx x x x dx x dx x x dx ⇒ + = + − + = + − + ⇒ + = + − + < + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 1 2 1 3 0 0 0 1 3 0 3 2 5 1 2 23 2 5 1 2 x x x x dx x x x dx    + < + = − +       ⇒ + < ∫ ∫ 2 2 2 2sin sin sin 0 2. x x xe dx e dx e dx ∏ 2 ∏∏ = +∫ ∫ ∫0 0 Đặt 2 2 0 2 xx t t dx dt t ∏ ∏ = + ⇒ = ∏ Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 16 ( )2 22 2 2 2 2 2 sinsin sin 2 0 0 0 2 2 2sin cos sin 0 0 0 2 tx x x x x e dx e dx e dt e dx e dx e dx ∏ ∏ ∏∏ + ∏ ∏ ∏ ⇒ = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ta lại có 2 2 2 2 sin cos 2 2 2 2 0 0 . x x edx e e dx ∏ ∏   =       ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos 0 0 2 2 2 2 2 2sin sin 0 0 0 0 2sin 0 0 sin 0 . 1 3 ; 2 2 3 2 x x x x x x e dx e dx hay e dx e dx e dx e dx e dx e e e e dx ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏∏ ∏ <    < ⇒ <         ⇒ > = ∏ >    ⇒ > ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chú ý : bài này có thể giải theo phương pháp đạo hàm . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 0 0 2 2 22 0 0 0 2 2 2 2 2 2 1 2 0 3. ( ). ( ) ( ) . ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 1 (1) 2 x x t t t t t x t tt t t t t t b b b a a a x t t x x x x xo t t x x e e dt e e e dt e e e dt e dt e e dt vi f x g x dx f x dx g x dx e e dt e e e e e e e dt e e − − − − − − + = + + +    ⇒ + − − − < − −         ⇒ + − −    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫



Mặt khác 2: ; 0t t te e e t x−+ > ∀ < < 2 0 0 1 (2) x x t t t xe e dt e dt e−⇒ + > = −∫ ∫ Từ (1) và (2) suy ra ( )2 0 1 : 1 1 2 x x t t x xe e e dt e e−  − < + < − −   ∫ ( )22 2 22 2 2 1 1 1 2 2 20 0 0 3cos 4sin 1 5 4. 3 4 sin cos 1 1 1 3cos 4sin 3cos 4sin 1 5 1 1 1 x x x x x x x x x x x dx dx dx x x x −    + − + =  + + + − − ⇒ + + +∫ ∫ ∫


Đặt ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = + Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 17 ( )2 2 2 2 10 1 1 1 1 40 3cos 4sin 5 4. 1 4 tg tx dx dt dt x tg tt x x dx x + ∏ ⇒ = = = ∏ + + − ∏ ⇒ + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 0 0 0 1 0 4
Chứng minh bất đẳng thức tích phân bằng phương pháp đạo hàm. Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 11 7 1 2 0 1. 54 2 7 11 108 4 2. 0 1 27 x x dx x x dx − + + − < − < ∫ ∫

( ) 2 4 0 sin 0 2 sin cos 4 4 3 4. 2 e x x x dx e dx ∏∏ ∏ + ∏ > ∫ ∫

Bài giải : 1. Xét ( ) ( ) ( ) [ ]7 11 ; 7,11f x x x x= + + − − ∈ ( ) ( )11 7' ' 0 2 2 11 7 x x f x f x x x x − − + = ⇒ = ⇔ = − + x -7 2 11 f’(x) + 0 - f(x) 6 3 2 3 2 ր ց ( ) ( ) ( ) 1